PRINCIPLES OF 
QUANTUM 
MECHANICS: 
as Applied to Chemistry 
and Chemical Physics 


DONALD D. FITTS 


CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS 



PRINCIPLE. 
O. 
QUANTU. 
MECHANIC. 
a. 
Applie. 
t. 
Chemistr. 
an. 
Chemica. 
Physic. 


Thi. 
tex. 
present. 
. 
rigorou. 
mathematica. 
accoun. 
o. 
th. 
principle. 
o. 
quantu. 
mechanics. 
i. 
particula. 
a. 
applie. 
t. 
chemistr. 
an. 
chemica. 
physics. 
Application. 
ar. 
use. 
a. 
illustration. 
o. 
th. 
basi. 
theory. 


Th. 
�rs. 
tw. 
chapter. 
serv. 
a. 
a. 
introductio. 
t. 
quantu. 
theory. 
althoug. 
i. 
i. 
assume. 
tha. 
th. 
reade. 
ha. 
bee. 
expose. 
t. 
elementar. 
quantu. 
mechanic. 
a. 
par. 
o. 
a. 
undergraduat. 
physica. 
chemistr. 
o. 
atomi. 
physic. 
course. 
Followin. 
. 
discussio. 
o. 
wav. 
motio. 
leadin. 
t. 
Schro�dinger'. 
wav. 
mech. 
anics. 
th. 
postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
ar. 
presente. 
alon. 
wit. 
th. 
essentia. 
mathematica. 
concept. 
an. 
techniques. 
Th. 
postulate. 
ar. 
rigorousl. 
applie. 
t. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
angula. 
momentum. 
th. 
hydroge. 
atom. 
th. 
variatio. 
method. 
perturbatio. 
theory. 
an. 
nuclea. 
motion. 
Moder. 
theoretica. 
concept. 
suc. 
a. 
hermitia. 
operators. 
Hilber. 
space. 
Dira. 
notation. 
an. 
ladde. 
operator. 
ar. 
introduce. 
an. 
use. 
throughout. 


Thi. 
advance. 
tex. 
i. 
appropriat. 
fo. 
beginnin. 
graduat. 
student. 
i. 
chem. 
istry. 
chemica. 
physics. 
molecula. 
physics. 
an. 
material. 
science. 


. 
nativ. 
o. 
th. 
stat. 
o. 
Ne. 
Hampshire. 
Donal. 
Fitt. 
develope. 
a. 
interes. 
i. 
chemistr. 
a. 
th. 
ag. 
o. 
eleven. 
H. 
wa. 
awarde. 
a. 
A.B. 
degree. 
magn. 
cu. 
laud. 
wit. 
highes. 
honor. 
i. 
chemistry. 
i. 
195. 
fro. 
Harvar. 
Universit. 
an. 
. 
Ph.D. 
degre. 
i. 
chemistr. 
i. 
195. 
fro. 
Yal. 
Universit. 
fo. 
hi. 
theoretica. 
wor. 
wit. 
Joh. 
G. 
Kirkwood. 
Afte. 
one-yea. 
appointment. 
a. 
. 
Nationa. 
Scienc. 
Foundatio. 
Postdoctora. 
Fello. 
a. 
th. 
Institut. 
fo. 
Theoretica. 
Physics. 
Uni. 
versit. 
o. 
Amsterdam. 
an. 
a. 
. 
Researc. 
Fello. 
a. 
Yale'. 
Chemistr. 
Depart. 
ment. 
h. 
joine. 
th. 
facult. 
o. 
th. 
Universit. 
o. 
Pennsylvania. 
risin. 
t. 
th. 
ran. 
o. 
Professo. 
o. 
Chemistry. 


I. 
Penn'. 
Schoo. 
o. 
Art. 
an. 
Sciences. 
Professo. 
Fitt. 
als. 
serve. 
a. 
Actin. 
Dea. 
fo. 
on. 
yea. 
an. 
a. 
Associat. 
Dea. 
an. 
Directo. 
o. 
th. 
Graduat. 
Divisio. 
fo. 
�ftee. 
years. 
Hi. 
sabbatica. 
leave. 
wer. 
spen. 
i. 
Britai. 
a. 
. 
NAT. 
Senio. 
Scienc. 
Fello. 
a. 
Imperia. 
College. 
London. 
a. 
a. 
Academi. 
Visito. 
i. 
Physica. 
Chemistry. 
Universit. 
o. 
Oxford. 
an. 
a. 
. 
Visitin. 
Fello. 
a. 
Corpu. 
Christ. 
College. 
Cambridge. 


H. 
i. 
th. 
autho. 
o. 
tw. 
othe. 
books. 
Nonequilibriu. 
Thermodynamic. 
(1962. 
an. 
Vecto. 
Analysi. 
i. 
Chemistr. 
(1974). 
an. 
ha. 
publishe. 
researc. 
article. 
o. 
th. 
theor. 
o. 
optica. 
rotation. 
statistica. 
mechanica. 
theor. 
o. 
transpor. 
processes. 
nonequilibriu. 
thermodynamics. 
molecula. 
quantu. 
mechanics. 
theor. 
o. 
liquids. 
intermolecula. 
forces. 
an. 
surfac. 
phenomena. 



PRINCIPLE. 
O. 
QUANTU. 
MECHANIC. 
a. 
Applie. 
t. 
Chemistr. 
an. 
Chemica. 
Physic. 


DONAL. 
D. 
FITT. 


Universit. 
o. 
Pennsylvani. 




PUBLISHED BY CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS (VIRTUAL PUBLISHING) 
FOR AND ON BEHALF OF THE PRESS SYNDICATE OF THE UNIVERSITY OF 
CAMBRIDGE 
The Pitt Building, Trumpington Street, Cambridge CB2 IRP 
40 West 20th Street, New York, NY 10011-4211, USA 
477 Williamstown Road, Port Melbourne, VIC 3207, Australia 


http://www.cambridge.org 


� D. D. Fitts 1999 
This edition � D. D. Fitts 2002 


First published in printed format 1999 


A catalogue record for the original printed book is available 
from the British Library and from the Library of Congress 
Original ISBN 0 521 65124 7 hardback 
Original ISBN 0 521 65841 1 paperback 


ISBN 0 511 00763 9 virtual (netLibrary Edition) 



Content. 


Prefac. 
vii. 
Chapte. 
. 
Th. 
wav. 
functio. 
. 
1.. 
Wav. 
motio. 
. 
1.. 
Wav. 
packe. 
. 
1.. 
Dispersio. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
1. 
1.. 
Particle. 
an. 
wave. 
1. 
1.. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
2. 
1.. 
Young'. 
double-sli. 
experimen. 
2. 
1.. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
2. 
1.. 
Physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
2. 
Problem. 
3. 
Chapte. 
. 
Schro�dinge. 
wav. 
mechanic. 
3. 
2.. 
Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
3. 
2.. 
Th. 
wav. 
functio. 
3. 
2.. 
Expectatio. 
value. 
o. 
dynamica. 
quantitie. 
4. 
2.. 
Time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
4. 
2.. 
Particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
4. 
2.. 
Tunnelin. 
5. 
2.. 
Particle. 
i. 
thre. 
dimension. 
5. 
2.. 
Particl. 
i. 
. 
three-dimensiona. 
bo. 
6. 
Problem. 
6. 
Chapte. 
. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 
6. 
3.. 
Linea. 
operator. 
6. 
3.. 
Eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
6. 
3.. 
Hermitia. 
operator. 
6. 
. 



v. 
Content. 


3.. 
Eigenfunctio. 
expansion. 
7. 
3.. 
Simultaneou. 
eigenfunction. 
7. 
3.. 
Hilber. 
spac. 
an. 
Dira. 
notatio. 
8. 
3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
8. 
3.. 
Parit. 
operato. 
9. 
3.. 
Hellmann�Feynma. 
theore. 
9. 
3.1. 
Tim. 
dependenc. 
o. 
th. 
expectatio. 
valu. 
9. 
3.1. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
9. 
Problem. 
10. 
Chapte. 
. 
Harmoni. 
oscillato. 
10. 
4.. 
Classica. 
treatmen. 
10. 
4.. 
Quantu. 
treatmen. 
10. 
4.. 
Eigenfunction. 
11. 
4.. 
Matri. 
element. 
12. 
4.. 
Heisenber. 
uncertaint. 
relatio. 
12. 
4.. 
Three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 
12. 
Problem. 
12. 
Chapte. 
. 
Angula. 
momentu. 
13. 
5.. 
Orbita. 
angula. 
momentu. 
13. 
5.. 
Generalize. 
angula. 
momentu. 
13. 
5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
13. 
5.. 
Th. 
rigi. 
roto. 
14. 
5.. 
Magneti. 
momen. 
15. 
Problem. 
15. 
Chapte. 
. 
Th. 
hydroge. 
ato. 
15. 
6.. 
Two-particl. 
proble. 
15. 
6.. 
Th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
16. 
6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
16. 
6.. 
Atomi. 
orbital. 
17. 
6.. 
Spectr. 
18. 
Problem. 
19. 
Chapte. 
. 
Spi. 
19. 
7.. 
Electro. 
spi. 
19. 
7.. 
Spi. 
angula. 
momentu. 
19. 
7.. 
Spi. 
one-hal. 
19. 
7.. 
Spin�orbi. 
interactio. 
20. 
Problem. 
20. 



Content. 
vi. 
Chapte. 
. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 
20. 
8.. 
Permutation. 
o. 
identica. 
particle. 
20. 
8.. 
Boson. 
an. 
fermion. 
21. 
8.. 
Completenes. 
relatio. 
21. 
8.. 
Non-interactin. 
particle. 
22. 
8.. 
Th. 
free-electro. 
ga. 
22. 
8.. 
Bose�Einstei. 
condensatio. 
22. 
Problem. 
23. 
Chapte. 
. 
Approximatio. 
method. 
23. 
9.. 
Variatio. 
metho. 
23. 
9.. 
Linea. 
variatio. 
function. 
23. 
9.. 
Non-degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
23. 
9.. 
Perturbe. 
harmoni. 
oscillato. 
24. 
9.. 
Degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
24. 
9.. 
Groun. 
stat. 
o. 
th. 
heliu. 
ato. 
25. 
Problem. 
26. 
Chapte. 
1. 
Molecula. 
structur. 
26. 
10.. 
Nuclea. 
structur. 
an. 
motio. 
26. 
10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 
26. 
Problem. 
27. 
Appendi. 
. 
Mathematica. 
formula. 
28. 
Appendi. 
. 
Fourie. 
serie. 
an. 
Fourie. 
integra. 
28. 
Appendi. 
. 
Dira. 
delt. 
functio. 
29. 
Appendi. 
. 
Hermit. 
polynomial. 
29. 
Appendi. 
. 
Legendr. 
an. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
30. 
Appendi. 
. 
Laguerr. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
31. 
Appendi. 
. 
Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 
31. 
Appendi. 
. 
Recurrenc. 
relatio. 
fo. 
hydrogen-ato. 
expectatio. 
value. 
32. 
Appendi. 
. 
Matrice. 
33. 
Appendi. 
. 
Evaluatio. 
o. 
th. 
two-electro. 
interactio. 
integra. 
34. 
Selecte. 
bibliograph. 
34. 
Inde. 
34. 
Physica. 
constant. 



Prefac. 


Thi. 
boo. 
i. 
intende. 
a. 
. 
tex. 
fo. 
. 
�rst-yea. 
physical-chemistr. 
o. 
chemical. 
physic. 
graduat. 
cours. 
i. 
quantu. 
mechanics. 
Emphasi. 
i. 
place. 
o. 
. 
rigorou. 
mathematica. 
presentatio. 
o. 
th. 
principle. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
wit. 
application. 
servin. 
a. 
illustration. 
o. 
th. 
basi. 
theory. 
Th. 
materia. 
i. 
normall. 
covere. 
i. 
th. 
�rs. 
semeste. 
o. 
. 
two-ter. 
sequenc. 
an. 
i. 
base. 
o. 
th. 
graduat. 
cours. 
tha. 
. 
hav. 
taugh. 
fro. 
tim. 
t. 
tim. 
a. 
th. 
Universit. 
o. 
Pennsylvania. 
Th. 
boo. 
ma. 
als. 
b. 
use. 
fo. 
independen. 
stud. 
an. 
a. 
. 
referenc. 
throughou. 
an. 
beyon. 
th. 
student'. 
academi. 
program. 


Th. 
�rs. 
tw. 
chapter. 
serv. 
a. 
a. 
introductio. 
t. 
quantu. 
theory. 
I. 
i. 
assume. 
tha. 
th. 
studen. 
ha. 
alread. 
bee. 
expose. 
t. 
elementar. 
quantu. 
mechanic. 
an. 
t. 
th. 
historica. 
event. 
tha. 
le. 
t. 
it. 
developmen. 
i. 
a. 
undergraduat. 
physica. 
chemistr. 
cours. 
o. 
i. 
. 
cours. 
o. 
atomi. 
physics. 
Accordingly. 
th. 
historica. 
developmen. 
o. 
quantu. 
theor. 
i. 
no. 
covered. 
T. 
serv. 
a. 
. 
rational. 
fo. 
th. 
postulate. 
o. 
quantu. 
theory. 
Chapte. 
. 
discusse. 
wav. 
motio. 
an. 
wav. 
packet. 
an. 
the. 
relate. 
particl. 
motio. 
t. 
wav. 
motion. 
I. 
Chapte. 
. 
th. 
time-dependen. 
an. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equation. 
ar. 
introduce. 
alon. 
wit. 
. 
discussio. 
o. 
wav. 
function. 
fo. 
particle. 
i. 
. 
potentia. 
�eld. 
Som. 
instructor. 
ma. 
wis. 
t. 
omi. 
th. 
�rs. 
o. 
bot. 
o. 
thes. 
chapter. 
o. 
t. 
presen. 
abbreviate. 
versions. 


Chapte. 
. 
i. 
th. 
hear. 
o. 
th. 
book. 
I. 
present. 
th. 
postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
an. 
th. 
mathematic. 
require. 
fo. 
understandin. 
an. 
applyin. 
th. 
postulates. 
Thi. 
chapte. 
stand. 
o. 
it. 
ow. 
an. 
doe. 
no. 
requir. 
th. 
studen. 
t. 
hav. 
rea. 
Chapter. 
. 
an. 
2. 
althoug. 
som. 
previou. 
knowledg. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
fro. 
a. 
undergraduat. 
cours. 
i. 
highl. 
desirable. 


Chapter. 
4. 
5. 
an. 
. 
discus. 
basi. 
application. 
o. 
importanc. 
t. 
chemists. 
I. 
al. 
case. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
ar. 
obtaine. 
b. 
mean. 
o. 
raisin. 
an. 
lowerin. 
operators. 
Ther. 
ar. 
severa. 
advantage. 
t. 
usin. 
thi. 
ladde. 
operato. 
techniqu. 
ove. 
th. 
olde. 
procedur. 
o. 
solvin. 
. 
second-orde. 
differ. 



Prefac. 
i. 


entia. 
equatio. 
b. 
th. 
serie. 
solutio. 
method. 
Ladde. 
operator. 
provid. 
practic. 
fo. 
th. 
studen. 
i. 
operation. 
tha. 
ar. 
use. 
i. 
mor. 
advance. 
quantu. 
theor. 
an. 
i. 
advance. 
statistica. 
mechanics. 
Moreover. 
the. 
yiel. 
th. 
eigenvalue. 
an. 
eigenfunction. 
mor. 
simpl. 
an. 
mor. 
directl. 
withou. 
th. 
nee. 
t. 
introduc. 
generatin. 
function. 
an. 
recursio. 
relation. 
an. 
t. 
conside. 
asymp. 
toti. 
behavio. 
an. 
convergence. 
Althoug. 
ther. 
i. 
n. 
nee. 
t. 
invok. 
Hermite. 
Legendre. 
an. 
Laguerr. 
polynomial. 
whe. 
usin. 
ladde. 
operators. 
thes. 
func. 
tion. 
ar. 
nevertheles. 
introduce. 
i. 
th. 
bod. 
o. 
th. 
chapter. 
an. 
thei. 
proper. 
tie. 
ar. 
discusse. 
i. 
th. 
appendices. 
Fo. 
traditionalists. 
th. 
series-solutio. 
metho. 
i. 
presente. 
i. 
a. 
appendix. 


Chapter. 
. 
an. 
. 
discus. 
spi. 
an. 
identica. 
particles. 
respectively. 
an. 
eac. 
chapte. 
introduce. 
a. 
additiona. 
postulate. 
Th. 
treatmen. 
i. 
Chapte. 
. 
i. 
limite. 
t. 
spi. 
one-hal. 
particles. 
sinc. 
thes. 
ar. 
th. 
particle. 
o. 
interes. 
t. 
chemists. 
Chapte. 
. 
provide. 
th. 
lin. 
betwee. 
quantu. 
mechanic. 
an. 
statistica. 
mechanics. 
T. 
emphasiz. 
tha. 
link. 
th. 
free-electro. 
ga. 
an. 
Bose. 
Einstei. 
condensatio. 
ar. 
discussed. 
Chapte. 
. 
present. 
tw. 
approximatio. 
procedures. 
th. 
variatio. 
metho. 
an. 
perturbatio. 
theory. 
whil. 
Chapte. 
1. 
treat. 
molecula. 
structur. 
an. 
nuclea. 
motion. 


Th. 
�rst-yea. 
graduat. 
cours. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
i. 
use. 
i. 
man. 
chemistr. 
graduat. 
program. 
a. 
. 
vehicl. 
fo. 
teachin. 
mathematica. 
analysis. 
Fo. 
thi. 
reason. 
thi. 
boo. 
treat. 
mathematica. 
topic. 
i. 
considerabl. 
detail. 
bot. 
i. 
th. 
mai. 
tex. 
an. 
especiall. 
i. 
th. 
appendices. 
Th. 
appendice. 
o. 
Fourie. 
serie. 
an. 
th. 
Fourie. 
integral. 
th. 
Dira. 
delt. 
function. 
an. 
matrice. 
discus. 
thes. 
topic. 
independentl. 
o. 
thei. 
applicatio. 
t. 
quantu. 
mechanics. 
Moreover. 
th. 
discussion. 
o. 
Hermite. 
Legendre. 
associate. 
Legendre. 
La. 
guerre. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
i. 
Appendice. 
D. 
E. 
an. 
. 
ar. 
mor. 
comprehensiv. 
tha. 
th. 
minimu. 
neede. 
fo. 
understandin. 
th. 
mai. 
text. 
Th. 
inten. 
i. 
t. 
mak. 
th. 
boo. 
usefu. 
a. 
. 
referenc. 
a. 
wel. 
a. 
. 
text. 


. 
shoul. 
lik. 
t. 
than. 
Corpu. 
Christ. 
College. 
Cambridg. 
fo. 
. 
Visitin. 
Fellowship. 
durin. 
whic. 
par. 
o. 
thi. 
boo. 
wa. 
written. 
. 
als. 
than. 
Simo. 
Capelin. 
J. 
Clegg. 
Mirand. 
Fyfe. 
an. 
Pete. 
Waterhous. 
o. 
th. 
Cambridg. 
Universit. 
Pres. 
fo. 
thei. 
effort. 
i. 
producin. 
thi. 
book. 


Donal. 
D. 
Fitt. 



Th. 
wav. 
functio. 


Quantu. 
mechanic. 
i. 
. 
theor. 
t. 
explai. 
an. 
predic. 
th. 
behavio. 
o. 
particle. 
suc. 
a. 
electrons. 
protons. 
neutrons. 
atomi. 
nuclei. 
atoms. 
an. 
molecules. 
a. 
wel. 
a. 
th. 
photon�th. 
particl. 
associate. 
wit. 
electromagneti. 
radiatio. 
o. 
light. 
Fro. 
quantu. 
theor. 
w. 
obtai. 
th. 
law. 
o. 
chemistr. 
a. 
wel. 
a. 
explanation. 
fo. 
th. 
propertie. 
o. 
materials. 
suc. 
a. 
crystals. 
semiconductors. 
superconductors. 
an. 
super�uids. 
Application. 
o. 
quantu. 
behavio. 
giv. 
u. 
transistors. 
compute. 
chips. 
lasers. 
an. 
masers. 
Th. 
relativel. 
ne. 
�el. 
o. 
molecula. 
biology. 
whic. 
lead. 
t. 
ou. 
bette. 
understandin. 
o. 
biologica. 
structure. 
an. 
lif. 
processes. 
derive. 
fro. 
quantu. 
considerations. 
Thus. 
quantu. 
behavio. 
encompasse. 
. 
larg. 
fractio. 
o. 
moder. 
scienc. 
an. 
tech. 
nology. 


Quantu. 
theor. 
wa. 
develope. 
durin. 
th. 
�rs. 
hal. 
o. 
th. 
twentiet. 
centur. 
throug. 
th. 
effort. 
o. 
man. 
scientists. 
I. 
1926. 
E. 
Schro�dinge. 
interjecte. 
wav. 
mechanic. 
int. 
th. 
arra. 
o. 
ideas. 
equations. 
explanations. 
an. 
theorie. 
tha. 
wer. 
prevalen. 
a. 
th. 
tim. 
t. 
explai. 
th. 
growin. 
accumulatio. 
o. 
observation. 
o. 
quantu. 
phenomena. 
Hi. 
theor. 
introduce. 
th. 
wav. 
functio. 
an. 
th. 
differentia. 
wav. 
equatio. 
tha. 
i. 
obeys. 
Schro�dinger'. 
wav. 
mechanic. 
i. 
no. 
th. 
backbon. 
o. 
ou. 
curren. 
conceptiona. 
understandin. 
an. 
ou. 
mathematica. 
procedure. 
fo. 
th. 
stud. 
o. 
quantu. 
phenomena. 


Ou. 
presentatio. 
o. 
th. 
basi. 
principle. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
i. 
containe. 
i. 
th. 
�rs. 
thre. 
chapters. 
Chapte. 
. 
begin. 
wit. 
. 
treatmen. 
o. 
plan. 
wave. 
an. 
wav. 
packets. 
whic. 
serve. 
a. 
backgroun. 
materia. 
fo. 
th. 
subsequen. 
discussio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
fo. 
. 
fre. 
particle. 
Severa. 
experiments. 
whic. 
lea. 
t. 
. 
physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
function. 
ar. 
als. 
described. 
I. 
Chapte. 
2. 
th. 
Schro�dinge. 
differentia. 
wav. 
equatio. 
i. 
introduce. 
an. 
th. 
wav. 
functio. 
concep. 
i. 
extende. 
t. 
includ. 
particle. 
i. 
a. 
externa. 
potentia. 
�eld. 
Th. 
forma. 
mathematica. 
postulate. 
o. 
quantu. 
theor. 
ar. 
presente. 
i. 
Chapte. 
3. 



. 
Th. 
wav. 
functio. 


1.. 
Wav. 
motio. 


Plan. 
wav. 


. 
simpl. 
stationar. 
harmoni. 
wav. 
ca. 
b. 
represente. 
b. 
th. 
equatio. 


�(x. 
. 
co. 


an. 
i. 
illustrate. 
b. 
th. 
soli. 
curv. 
i. 
Figur. 
1.1. 
Th. 
distanc. 
. 
betwee. 
peak. 
(o. 
betwee. 
troughs. 
i. 
calle. 
th. 
wavelengt. 
o. 
th. 
harmoni. 
wave. 
Th. 
valu. 
o. 
�(x. 
fo. 
an. 
give. 
valu. 
o. 
. 
i. 
calle. 
th. 
amplitud. 
o. 
th. 
wav. 
a. 
tha. 
point. 
I. 
thi. 
cas. 
th. 
amplitud. 
range. 
fro. 
.1t. 
�1. 
I. 
th. 
harmoni. 
wav. 
i. 
. 
cos(2�x=�). 
wher. 
. 
i. 
. 
constant. 
the. 
th. 
amplitud. 
range. 
fro. 
.. 
t. 
�A. 
Th. 
value. 
o. 
. 
wher. 
th. 
wav. 
crosse. 
th. 
x-axis. 
i.e.. 
wher. 
�(x. 
equal. 
zero. 
ar. 
th. 
node. 
o. 
�(x). 
I. 
th. 
wav. 
move. 
withou. 
distortio. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
b. 
a. 
amoun. 
x0. 
i. 
become. 
th. 
dashe. 
curv. 
i. 
Figur. 
1.1. 
Sinc. 
th. 
valu. 
o. 
�(x)atan. 
poin. 
. 
o. 
th. 
ne. 
(dashed. 
curv. 
correspond. 
t. 
th. 
valu. 
o. 
�(x. 
a. 
poin. 
. 
. 
x. 
o. 
th. 
origina. 
(solid. 
curve. 
th. 
equatio. 
fo. 
th. 
ne. 
curv. 
i. 


�(x. 
. 
co. 
(. 
. 
x0. 


I. 
th. 
harmoni. 
wav. 
move. 
i. 
tim. 
a. 
. 
constan. 
velocit. 
v. 
the. 
w. 
hav. 
th. 
relatio. 
x. 
. 
vt. 
wher. 
. 
i. 
th. 
elapse. 
tim. 
(i. 
seconds). 
an. 
�(x. 
become. 


�(x. 
t. 
. 
co. 
(. 
. 
vt. 


Suppos. 
tha. 
i. 
on. 
second. 
. 
cycle. 
o. 
th. 
harmoni. 
wav. 
pas. 
. 
�xe. 
poin. 
o. 
th. 
x-axis. 
Th. 
quantit. 
. 
i. 
calle. 
th. 
frequenc. 
o. 
th. 
wave. 
Th. 
velocit. 


�(x) 

x0 

� 
��/2 3�/2 �2 
Figure1.1Astationaryharmonicwave.Thedashedcurveshowsthedisplacementoftheharmonicwavebyx0.


x 


1.. 
Wav. 
motio. 
. 


. 
o. 
th. 
wav. 
i. 
the. 
th. 
produc. 
o. 
. 
cycle. 
pe. 
secon. 
an. 
�. 
th. 
lengt. 
o. 


eac. 
cycl. 
. 
. 
�. 
an. 
�(x. 
t. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 
�(x. 
t. 
. 
co. 
2. 
. 
. 
. 
�. 
. 
. 
I. 
i. 
convenien. 
t. 
introduc. 
th. 
wav. 
numbe. 
k. 
de�ne. 
a. 
. 
. 
2. 
. 
(1:1. 
an. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�. 
de�ne. 
a. 
. 
. 
2�. 
(1:2. 


Thus. 
th. 
velocit. 
. 
become. 
. 
. 
�=. 
an. 
th. 
wav. 
�(x. 
t. 
take. 
th. 
for. 
�(x. 
t. 
. 
cos(k. 
. 
�t. 
Th. 
harmoni. 
wav. 
ma. 
als. 
b. 
describe. 
b. 
th. 
sin. 
functio. 
�(x. 
t. 
. 
sin(k. 
. 
�t. 
Th. 
representatio. 
o. 
�(x. 
t. 
b. 
th. 
sin. 
functio. 
i. 
completel. 
equivalen. 
t. 
th. 
cosine-functio. 
representation. 
th. 
onl. 
differenc. 
i. 
. 
shif. 
b. 
�=. 
i. 
th. 
valu. 
o. 
. 
whe. 
. 
. 
0. 
Moreover. 
an. 
linea. 
combinatio. 
o. 
sin. 
an. 
cosin. 
representation. 
i. 
als. 
a. 
equivalen. 
descriptio. 
o. 
th. 
simpl. 
harmoni. 
wave. 
Th. 
mos. 
genera. 
representatio. 
o. 
th. 
harmoni. 
wav. 
i. 
th. 
comple. 
functio. 
�(x. 
t. 
. 
cos(k. 
. 
�t. 
. 
. 
sin(k. 
. 
�t. 
. 
ei(kx��t. 
(1:3. 


p������. 


wher. 
. 
equal. 
�. 
an. 
equatio. 
(A.31. 
fro. 
Appendi. 
. 
ha. 
bee. 
intro. 
duced. 
Th. 
rea. 
part. 
cos(k. 
. 
�t). 
an. 
th. 
imaginar. 
part. 
sin(k. 
. 
�t). 
o. 
th. 
comple. 
wave. 
(1.3). 
ma. 
b. 
readil. 
obtaine. 
b. 
th. 
relation. 


R. 
[ei(kx��t). 
. 
cos(k. 
. 
�t. 
. 
1[�(x. 
t. 
. 
�(x. 
t). 


I. 
[ei(kx��t). 
. 
sin(k. 
. 
�t. 
. 
1[�(x. 
t. 
. 
�(x. 
t). 


wher. 
�(x. 
t. 
i. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
�(x. 
t. 


�(x. 
t. 
. 
cos(k. 
. 
�t. 
. 
. 
sin(k. 
. 
�t. 
. 
e�i(kx��t. 
Th. 
functio. 
�(x. 
t. 
als. 
represent. 
. 
harmoni. 
wav. 
movin. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 


Th. 
function. 
exp[i(k. 
. 
�t). 
an. 
exp[�i(k. 
. 
�t). 
represen. 
harmoni. 
wave. 
movin. 
i. 
th. 
negativ. 
x-direction. 
Th. 
quantit. 
(k. 
. 
�t. 
i. 
equa. 
t. 
k(. 
. 
vt)o. 
k(. 
. 
x0). 
Afte. 
a. 
elapse. 
tim. 
t. 
th. 
valu. 
o. 
th. 
shifte. 
harmoni. 
wav. 
a. 
an. 
poin. 
. 
correspond. 
t. 
th. 
valu. 
a. 
th. 
poin. 
. 
. 
x. 
a. 
tim. 
. 
. 
0. 
Thus. 
th. 
harmoni. 
wav. 
ha. 
move. 
i. 
th. 
negativ. 
x-direction. 



. 
Th. 
wav. 
functio. 


Th. 
movin. 
harmoni. 
wav. 
�(x. 
t. 
i. 
equatio. 
(1.3. 
i. 
als. 
know. 
a. 
. 
plan. 
wave. 
Th. 
quantit. 
(k. 
��t. 
i. 
calle. 
th. 
phase. 
Th. 
velocit. 
�=. 
i. 
know. 
a. 
th. 
phas. 
velocit. 
an. 
hencefort. 
i. 
designate. 
b. 
vph. 
s. 
tha. 


vp. 
. 
(1:4. 


Composit. 
wav. 


. 
composit. 
wav. 
i. 
obtaine. 
b. 
th. 
additio. 
o. 
superpositio. 
o. 
an. 
numbe. 
o. 
plan. 
wave. 


A. 
ei(. 
jx�. 
jt)

�(x. 
t. 
. 
(1:5. 


wher. 
A. 
ar. 
constants. 
Equatio. 
(1.5. 
i. 
. 
Fourie. 
serie. 
representatio. 
o. 
�(x. 
t). 
Fourie. 
serie. 
ar. 
discusse. 
i. 
Appendi. 
B. 
Th. 
composit. 
wav. 
�(x. 
t. 
i. 
no. 
. 
movin. 
harmoni. 
wave. 
bu. 
rathe. 
. 
superpositio. 
o. 
. 
plan. 
wave. 
wit. 
differen. 
wavelength. 
an. 
frequencie. 
an. 
wit. 
differen. 
ampli. 
tude. 
Aj. 
Eac. 
plan. 
wav. 
travel. 
wit. 
it. 
ow. 
phas. 
velocit. 
vph. 
j. 
suc. 
tha. 


vph. 
. 
. 


A. 
. 
consequence. 
th. 
pro�l. 
o. 
thi. 
composit. 
wav. 
change. 
wit. 
time. 
Th. 
wav. 
number. 
k. 
ma. 
b. 
positiv. 
o. 
negative. 
bu. 
w. 
wil. 
restric. 
th. 
angula. 
frequencie. 
�. 
t. 
positiv. 
values. 
. 
plan. 
wav. 
wit. 
. 
negativ. 
valu. 
o. 
. 
ha. 
. 
negativ. 
valu. 
fo. 
it. 
phas. 
velocit. 
an. 
correspond. 
t. 
. 
harmoni. 
wav. 
movin. 
i. 
th. 
negativ. 
x-direction. 
I. 
general. 
th. 
angula. 
frequenc. 
. 
depend. 
o. 
th. 
wav. 
numbe. 
k. 
Th. 
dependenc. 
o. 
�(k. 
i. 
know. 
a. 
th. 
la. 
o. 
dispersio. 
fo. 
th. 
composit. 
wave. 


I. 
th. 
specia. 
cas. 
wher. 
th. 
rati. 
�(k)=. 
i. 
th. 
sam. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
componen. 
plan. 
waves. 
s. 
tha. 


�. 
�. 
�n

. 
.


. 


k. 
k. 
k. 


the. 
eac. 
plan. 
wav. 
move. 
wit. 
th. 
sam. 
velocity. 
Thus. 
th. 
pro�l. 
o. 
th. 
composit. 
wav. 
doe. 
no. 
chang. 
wit. 
tim. 
eve. 
thoug. 
th. 
angula. 
frequencie. 
an. 
th. 
wav. 
number. 
differ. 
Fo. 
thi. 
undisperse. 
wav. 
motion. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�(k. 
i. 
proportiona. 
t. 
jk. 


�(k. 
. 
cjk. 
(1:6. 
wher. 
. 
i. 
. 
constan. 
and. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(1.4). 
i. 
th. 
phas. 
velocit. 
o. 
eac. 
plan. 
wav. 
i. 
th. 
composit. 
wave. 
Example. 
o. 
undisperse. 
wav. 
motio. 
ar. 
. 
bea. 
o. 
ligh. 
o. 
mixe. 
frequencie. 
travelin. 
i. 
. 
vacuu. 
an. 
th. 
undampe. 
vibration. 
o. 
. 
stretche. 
string. 



1.. 
Wav. 
motio. 
. 


Fo. 
dispersiv. 
wav. 
motion. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�(k. 
i. 
no. 
proportiona. 
t. 
|k|. 
s. 
tha. 
th. 
phas. 
velocit. 
vp. 
varie. 
fro. 
on. 
componen. 
plan. 
wav. 
t. 
another. 
Sinc. 
th. 
phas. 
velocit. 
i. 
thi. 
situatio. 
depend. 
o. 
k. 
th. 
shap. 
o. 
th. 
composit. 
wav. 
change. 
wit. 
time. 
A. 
exampl. 
o. 
dispersiv. 
wav. 
motio. 
i. 
. 
bea. 
o. 
ligh. 
o. 
mixe. 
frequencie. 
travelin. 
i. 
. 
dens. 
mediu. 
suc. 
a. 
glass. 
Becaus. 
th. 
phas. 
velocit. 
o. 
eac. 
monochromati. 
plan. 
wav. 
depend. 
o. 
it. 
wavelength. 
th. 
bea. 
o. 
ligh. 
i. 
dispersed. 
o. 
separate. 
ont. 
it. 
componen. 
waves. 
whe. 
passe. 
throug. 
. 
glas. 
prism. 
Th. 
wav. 
o. 
th. 
surfac. 
o. 
wate. 
cause. 
b. 
droppin. 
. 
ston. 
int. 
th. 
wate. 
i. 
anothe. 
exampl. 
o. 
dispersiv. 
wav. 
motion. 


Additio. 
o. 
tw. 
plan. 
wave. 


A. 
. 
speci�. 
an. 
ye. 
simpl. 
exampl. 
o. 
composite-wav. 
constructio. 
an. 
behavior. 
w. 
no. 
conside. 
i. 
detai. 
th. 
propertie. 
o. 
th. 
composit. 
wav. 
�(x. 
t. 
obtaine. 
b. 
th. 
additio. 
o. 
superpositio. 
o. 
th. 
tw. 
plan. 
wave. 
exp[i(k. 
. 
. 
�. 
t). 
an. 
exp[i(k. 
. 
. 
�. 
t). 


�(x. 
t. 
. 
ei(k. 
x��. 
t. 
. 
ei(k. 
x��. 
t. 


(1:7. 
W. 
de�n. 
th. 
averag. 
value. 
. 
an. 
. 
an. 
th. 
difference. 
�. 
an. 
�. 
fo. 
th. 
tw. 
plan. 
wave. 
i. 
equatio. 
(1.7. 
b. 
th. 
relation. 


. 
. 
k. 
. 
k. 
. 
. 
�. 
. 
�. 
. 
. 
�. 
. 
k. 
. 
k. 
�. 
. 
�. 
. 
�. 
s. 
tha. 
�. 
�. 
k. 
. 
. 
. 
. 
. 
k. 
. 
. 
. 
. 


�. 
. 
. 
. 
. 
�. 
. 
. 
. 


Usin. 
equatio. 
(A.32. 
fro. 
Appendi. 
A. 
w. 
ma. 
no. 
writ. 
equatio. 
(1.7. 
i. 
th. 
for. 


�(x. 
t. 
. 
ei(kx��t)[ei(�kx���t)=. 
. 
e�i(�kx���t)=2

�k. 
. 
��. 


ei(kx��t)

. 
. 
co. 
(1:8. 


Equatio. 
(1.8. 
represent. 
. 
plan. 
wav. 
exp[i(k. 
. 
�t). 
wit. 
wav. 
numbe. 
k. 
angula. 
frequenc. 
�. 
an. 
phas. 
velocit. 
�=k. 
bu. 
wit. 
it. 
amplitud. 
modulate. 
b. 
th. 
functio. 
. 
cos[(�k. 
. 
��t)=2]. 
Th. 
rea. 
par. 
o. 
th. 
wav. 
(1.8. 
a. 
som. 
�xe. 
tim. 
t. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
1.2(a). 
Th. 
soli. 
curv. 
i. 
th. 
plan. 
wav. 
wit. 
wavelengt. 
. 
. 
2�=. 
an. 
th. 
dashe. 
curv. 
show. 
th. 
pro�l. 
o. 
th. 
amplitud. 
o. 
th. 
plan. 
wave. 
Th. 
pro�l. 
i. 
als. 
. 
harmoni. 
wav. 
wit. 
wavelengt. 



. 
Th. 
wav. 
functio. 


2� 

k 


4�/�k 

Re �(x, t) 


(a) 
Re �(x, t) 
(b) 
Figur. 
1.. 
(a. 
Th. 
rea. 
par. 
o. 
th. 
superpositio. 
o. 
tw. 
plan. 
wave. 
i. 
show. 
b. 
th. 
soli. 
curve. 
Th. 
pro�l. 
o. 
th. 
amplitud. 
i. 
show. 
b. 
th. 
dashe. 
curve. 
(b. 
Th. 
position. 
o. 
th. 
curve. 
i. 
Figur. 
1.2(a. 
afte. 
. 
shor. 
tim. 
interval. 


4�=�k. 
A. 
th. 
point. 
o. 
maximu. 
amplitude. 
th. 
tw. 
origina. 
plan. 
wave. 
interfer. 
constructively. 
A. 
th. 
node. 
i. 
Figur. 
1.2(a). 
th. 
tw. 
origina. 
plan. 
wave. 
interfer. 
destructivel. 
an. 
cance. 
eac. 
othe. 
out. 


A. 
tim. 
increases. 
th. 
plan. 
wav. 
exp[i(k. 
. 
�t). 
move. 
wit. 
velocit. 
�=k. 
I. 
w. 
conside. 
. 
�xe. 
poin. 
x. 
an. 
watc. 
th. 
plan. 
wav. 
a. 
i. 
passe. 
tha. 
point. 
w. 
observ. 
no. 
onl. 
th. 
periodi. 
ris. 
an. 
fal. 
o. 
th. 
amplitud. 
o. 
th. 
unmodi�e. 
plan. 
wav. 
exp[i(k. 
. 
�t)]. 
bu. 
als. 
th. 
overlappin. 
ris. 
an. 
fal. 
o. 
th. 
amplitud. 
du. 
t. 
th. 
modulatin. 
functio. 
. 
cos[(�k. 
. 
��t)=2]. 
With. 
ou. 
th. 
modulatin. 
function. 
th. 
plan. 
wav. 
woul. 
reac. 
th. 
sam. 
maximu. 



1.. 
Wav. 
motio. 
. 


an. 
th. 
sam. 
minimu. 
amplitud. 
wit. 
th. 
passag. 
o. 
eac. 
cycle. 
Th. 
modulatin. 
functio. 
cause. 
th. 
maximu. 
(o. 
minimum. 
amplitud. 
fo. 
eac. 
cycl. 
o. 
th. 
plan. 
wav. 
t. 
oscillat. 
wit. 
frequenc. 
��=2. 


Th. 
patter. 
i. 
Figur. 
1.2(a. 
propagate. 
alon. 
th. 
x-axi. 
a. 
tim. 
progresses. 
Afte. 
. 
shor. 
perio. 
o. 
tim. 
�t. 
th. 
wav. 
(1.8. 
move. 
t. 
. 
positio. 
show. 
i. 
Figur. 
1.2(b). 
Thus. 
th. 
positio. 
o. 
maximu. 
amplitud. 
ha. 
move. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
b. 
a. 
amoun. 
vg�t. 
wher. 
v. 
i. 
th. 
grou. 
velocit. 
o. 
th. 
composit. 
wave. 
an. 
i. 
give. 
b. 


v. 
. 
(1:9. 


Th. 
expressio. 
(1.9. 
fo. 
th. 
grou. 
velocit. 
o. 
. 
composit. 
o. 
tw. 
plan. 
wave. 
i. 
exact. 
I. 
th. 
specia. 
cas. 
whe. 
k. 
equal. 
�k. 
an. 
�. 
equal. 
�. 
i. 
equatio. 
(1.7). 
th. 
superpositio. 
o. 
th. 
tw. 
plan. 
wave. 
become. 
�(x. 
t. 
.ei(kx��t. 
.e�i(kx.�t. 


(1:10. 
wher. 


. 
.k. 
.�k. 


. 
.�. 
.�. 


Th. 
tw. 
componen. 
plan. 
wave. 
i. 
equatio. 
(1.10. 
trave. 
wit. 
equa. 
phas. 
velocitie. 
�=k. 
bu. 
i. 
opposit. 
directions. 
Usin. 
equation. 
(A.31. 
an. 
(A.32). 
w. 
ca. 
expres. 
equatio. 
(1.10. 
i. 
th. 
for. 


�(x. 
t. 
.(eik. 
.e�ikx

)e�i. 
. 
.. 
co. 
k. 
e�i�. 
.. 
co. 
k. 
(co. 
�. 
�. 
si. 
�t. 


W. 
se. 
tha. 
fo. 
thi. 
specia. 
cas. 
th. 
composit. 
wav. 
i. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
functions. 
on. 
onl. 
o. 
th. 
distanc. 
. 
an. 
th. 
othe. 
onl. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
Th. 
composit. 
wav. 
�(x. 
t. 
vanishe. 
wheneve. 
co. 
k. 
i. 
zero. 
i.e.. 
whe. 
k. 
.�=2. 
3�=2. 
5�=2. 
.... 
regardles. 
o. 
th. 
valu. 
o. 
t. 
Therefore. 
th. 
node. 
o. 
�(x. 
t. 
ar. 
independen. 
o. 
time. 
However. 
th. 
amplitud. 
o. 
pro�l. 
o. 
th. 
composit. 
wav. 
change. 
wit. 
time. 
Th. 
rea. 
par. 
o. 
�(x. 
t. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
1.3. 
Th. 
soli. 
curv. 
represent. 
th. 
wav. 
whe. 
co. 
�. 
i. 
. 
maximum. 
th. 
dotte. 
curv. 
whe. 
co. 
�. 
i. 
. 
minimum. 
an. 
th. 
dashe. 
curv. 
whe. 
co. 
�. 
ha. 
a. 
intermediat. 
value. 
Thus. 
th. 
wav. 
doe. 
no. 
travel. 
bu. 
pulsates. 
increasin. 
an. 
decreasin. 
i. 
amplitud. 
wit. 
frequenc. 
�. 
Th. 
imaginar. 
par. 
o. 
�(x. 
t. 
behave. 
i. 
th. 
sam. 
way. 
. 
composit. 
wav. 
wit. 
thi. 
behavio. 
i. 
know. 
a. 
. 
standin. 
wave. 



. 
Th. 
wav. 
functio. 


Re �(x, t) 


Figur. 
1.. 
. 
standin. 
harmoni. 
wav. 
a. 
variou. 
times. 


1.. 
Wav. 
packe. 


W. 
no. 
conside. 
th. 
formatio. 
o. 
. 
composit. 
wav. 
a. 
th. 
superpositio. 
o. 
. 
continuou. 
spectru. 
o. 
plan. 
wave. 
wit. 
wav. 
number. 
. 
con�ne. 
t. 
. 
narro. 
ban. 
o. 
values. 
Suc. 
. 
composit. 
wav. 
�(x. 
t. 
i. 
know. 
a. 
. 
wav. 
packe. 
an. 
ma. 
b. 
expresse. 
a. 


. 
A(k)ei(kx��t)

�(x. 
t. 
.p�����. 
d. 
(1:11. 


Th. 
weightin. 
facto. 
A(k. 
fo. 
eac. 
plan. 
wav. 
o. 
wav. 
numbe. 
. 
i. 
negligibl. 
excep. 
whe. 
. 
lie. 
withi. 
. 
smal. 
interva. 
�k. 
Fo. 
mathematica. 
convenienc. 
w. 
hav. 
include. 
. 
facto. 
(2�)�1=. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(1.11). 
Thi. 
facto. 
merel. 
change. 
th. 
valu. 
o. 
A(k. 
an. 
ha. 
n. 
othe. 
effect. 


W. 
not. 
tha. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
i. 
th. 
invers. 
Fourie. 
transfor. 
o. 
A(k). 
Th. 
mathematica. 
developmen. 
an. 
propertie. 
o. 
Fourie. 
transform. 
ar. 
presente. 
i. 
Appendi. 
B. 
Equatio. 
(1.11. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
equatio. 
(B.19). 
Accordin. 
t. 
equatio. 
(B.20). 
th. 
Fourie. 
transfor. 
A(k. 
i. 
relate. 
t. 
�(x. 
t. 


. 
�(x. 
t)e�i(kx��t)

A(k. 
.p�����. 
d. 
(1:12. 


I. 
i. 
becaus. 
o. 
th. 
Fourie. 
relationship. 
betwee. 
�(x. 
t. 
an. 
A(k. 
tha. 
th. 
facto. 
(2�)�1=. 
i. 
include. 
i. 
equatio. 
(1.11). 
Althoug. 
th. 
tim. 
. 
appear. 
i. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
(1.12). 
th. 
functio. 
A(k. 
doe. 
no. 
depen. 
o. 
t. 
th. 
tim. 
dependenc. 
o. 
�(x. 
t. 
cancel. 
th. 
facto. 
ei. 
t. 
W. 
conside. 
belo. 



1.. 
Wav. 
packe. 
. 


tw. 
speci�. 
example. 
fo. 
th. 
functiona. 
for. 
o. 
A(k). 
However. 
i. 
orde. 
t. 
evaluat. 
th. 
integra. 
ove. 
. 
i. 
equatio. 
(1.11). 
w. 
als. 
nee. 
t. 
kno. 
th. 
dependenc. 
o. 
th. 
angula. 
frequenc. 
. 
o. 
th. 
wav. 
numbe. 
k. 


I. 
general. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�(k. 
i. 
. 
functio. 
o. 
k. 
s. 
tha. 
th. 
angula. 
frequencie. 
i. 
th. 
composit. 
wav. 
�(x. 
t). 
a. 
wel. 
a. 
th. 
wav. 
numbers. 
var. 
fro. 
on. 
plan. 
wav. 
t. 
another. 
I. 
�(k. 
i. 
. 
slowl. 
varyin. 
functio. 
o. 
. 
an. 
th. 
value. 
o. 
. 
ar. 
con�ne. 
t. 
. 
smal. 
rang. 
�k. 
the. 
�(k. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
. 
Taylo. 
serie. 
i. 
. 
abou. 
som. 
poin. 
k. 
withi. 
th. 
interva. 
�. 


d. 
. 
d2. 


�(k. 
.�. 
. 
(. 
�k0. 
. 
(. 
�k0). 
.

. 
(1:13. 


d. 
2dk. 


wher. 
�. 
i. 
th. 
valu. 
o. 
�(k)a. 
k. 
an. 
th. 
derivative. 
ar. 
als. 
evaluate. 
a. 
k0. 
W. 
ma. 
neglec. 
th. 
quadrati. 
an. 
higher-orde. 
term. 
i. 
th. 
Taylo. 
expansio. 
(1.13. 
becaus. 
th. 
interva. 
�. 
and. 
consequently. 
. 
�k. 
ar. 
small. 
Substitu. 
tio. 
o. 
equatio. 
(1.13. 
int. 
th. 
phas. 
fo. 
eac. 
plan. 
wav. 
i. 
(1.11. 
the. 
give. 


k. 
��. 
(. 
�k. 
.k0). 
��. 
. 
. 
(. 
�k0). 


. 
k0. 
��. 
. 
. 
. 
. 
. 
(. 
�k0. 


s. 
tha. 
equatio. 
(1.11. 
become. 


�(x. 
t. 
. 
B(x. 
t)ei(k. 
x��. 
t. 
(1:14. 


wher. 


. 
A(k)ei[x�(d�=dk). 
t](k�k0)

B(x. 
t. 
.p�����. 
d. 
(1:15. 


Thus. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
represent. 
. 
plan. 
wav. 
o. 
wav. 
numbe. 
k. 
an. 
angula. 
frequenc. 
�. 
wit. 
it. 
amplitud. 
modulate. 
b. 
th. 
facto. 
B(x. 
t). 
Thi. 
modulatin. 
functio. 
B(x. 
t. 
depend. 
o. 
. 
an. 
. 
throug. 
th. 
relationshi. 
[. 
�(d�=dk). 
t]. 
Thi. 
situatio. 
i. 
analogou. 
t. 
th. 
cas. 
o. 
tw. 
plan. 
wave. 
a. 
expresse. 
i. 
equation. 
(1.7. 
an. 
(1.8). 
Th. 
modulatin. 
functio. 
B(x. 
t)move. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
wit. 
grou. 
velocit. 
v. 
give. 
b. 


v. 
. 
(1:16. 


I. 
contras. 
t. 
th. 
grou. 
velocit. 
fo. 
th. 
two-wav. 
case. 
a. 
expresse. 
i. 
equatio. 
(1.9). 
th. 
grou. 
velocit. 
i. 
(1.16. 
fo. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
no. 
uniquel. 
de�ned. 
Th. 
poin. 
k. 
i. 
chose. 
arbitraril. 
and. 
therefore. 
th. 
valu. 
a. 
k. 
o. 
th. 
derivativ. 
d�=d. 
varie. 
accordin. 
t. 
tha. 
choice. 
However. 
th. 
rang. 
o. 
. 
i. 



1. 
Th. 
wav. 
functio. 


narro. 
an. 
�(k. 
change. 
slowl. 
wit. 
k. 
s. 
tha. 
th. 
variatio. 
i. 
v. 
i. 
small. 
Combinin. 
equation. 
(1.15. 
an. 
(1.16). 
w. 
hav. 


A(k)ei(x�v. 
t)(k�k0. 
dk

B(x. 
t. 
.p�����. 
(1:17. 


Sinc. 
th. 
functio. 
A(k. 
i. 
th. 
Fourie. 
transfor. 
o. 
�(x. 
t). 
th. 
tw. 
function. 
obe. 
Parseval'. 
theore. 
a. 
give. 
b. 
equatio. 
(B.28. 
i. 
Appendi. 
. 


.. 
�. 
j�(x. 
t)j2d. 
. 
.. 
�. 
jB(x. 
t)j. 
d. 
. 
.. 
�. 
jA(k)j. 
d. 
(1:18. 
Gaussia. 
wav. 
numbe. 
distributio. 


I. 
orde. 
t. 
obtai. 
. 
speci�. 
mathematica. 
expressio. 
fo. 
th. 
wav. 
packet. 
w. 
nee. 
t. 
selec. 
som. 
for. 
fo. 
th. 
functio. 
A(k). 
I. 
ou. 
�rs. 
exampl. 
w. 
choos. 
A(k. 
t. 
b. 
th. 
gaussia. 
functio. 


1e�(k�k0)2=2�. 


A(k. 
.p�����. 
(1:19. 


Thi. 
functio. 
A(k. 
i. 
. 
maximu. 
a. 
wav. 
numbe. 
k0. 
whic. 
i. 
als. 
th. 
averag. 
valu. 
fo. 
. 
fo. 
thi. 
distributio. 
o. 
wav. 
numbers. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(1.19. 
int. 
(1.17. 
give. 


1e��2(x�v. 
t)2=2

j�(x. 
t)j. 
B(x. 
t. 
.p�����. 
(1:20. 


wher. 
equatio. 
(A.8. 
ha. 
bee. 
used. 
Th. 
resultin. 
modulatin. 
facto. 
B(x. 
t)i. 
als. 
. 
gaussia. 
function�followin. 
th. 
genera. 
resul. 
tha. 
th. 
Fourie. 
transfor. 


o. 
. 
gaussia. 
functio. 
i. 
itsel. 
gaussian. 
W. 
hav. 
als. 
note. 
i. 
equatio. 
(1.20. 
tha. 
B(x. 
t. 
i. 
alway. 
positiv. 
an. 
i. 
therefor. 
equa. 
t. 
th. 
absolut. 
valu. 
j�(x. 
t). 
o. 
th. 
wav. 
packet. 
Th. 
function. 
A(k. 
an. 
j�(x. 
t). 
ar. 
show. 
i. 


Figur. 
1.4. 


A(k) 
1/� 2� � 
1/� 2� �e 
k 
1/� 2� 
1/� 2� e 
x 
|�(x, t)| 
(a) k0 2 � 2 � k0 k0 1 � 2 � 
� 2 � 2

(b) vg t 2 vg t vg t 1 
Figur. 
1.. 
(a. 
. 
gaussia. 
wav. 
numbe. 
distribution. 
(b. 
Th. 
modulatin. 
functio. 
correspondin. 
t. 
th. 
wav. 
numbe. 
distributio. 
i. 
Figur. 
1.4(a). 



1.. 
Wav. 
packe. 
1. 


Figur. 
1.. 
show. 
th. 
rea. 
par. 
o. 
th. 
plan. 
wav. 
exp[i(k. 
. 
. 
�. 
t). 
wit. 
it. 
amplitud. 
modulate. 
b. 
B(x. 
t. 
o. 
equatio. 
(1.20). 
Th. 
plan. 
wav. 
move. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
wit. 
phas. 
velocit. 
vp. 
equa. 
t. 
�0=k0. 
Th. 
maximu. 
amplitud. 
occur. 
a. 
. 
. 
v. 
. 
an. 
propagate. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
wit. 
grou. 
velocit. 
v. 
equa. 
t. 
(d�=dk)0. 


p�����. 


Th. 
valu. 
o. 
th. 
functio. 
A(k. 
fall. 
fro. 
it. 
maximu. 
valu. 
o. 
. 
2��)�. 
a. 


k. 
t. 
1=. 
o. 
it. 
maximu. 
valu. 
whe. 
j. 
. 
k0. 
equal. 
2�. 
Mos. 
o. 
th. 
are. 


unde. 
th. 
curv. 
(actuall. 
84.3%. 
come. 
fro. 
th. 
rang. 


p��. 
p��. 
. 
2. 
. 
(. 
. 
k0. 
. 
2. 


Thus. 
th. 
distanc. 
2. 
ma. 
b. 
regarde. 
a. 
. 
measur. 
o. 
th. 
widt. 
o. 
th. 
distributio. 
A(k. 
an. 
i. 
calle. 
th. 
hal. 
width. 
Th. 
hal. 
widt. 
ma. 
b. 
de�ne. 
usin. 
1=. 
o. 
som. 
othe. 
fractio. 
instea. 
o. 
1=e. 
Th. 
reaso. 
fo. 
usin. 
1=ei. 
tha. 
th. 
valu. 
o. 
. 
a. 
tha. 
poin. 
i. 
easil. 
obtaine. 
withou. 
consultin. 
. 
tabl. 
o. 
numerica. 
values. 
Thes. 
variou. 
possibl. 
de�nition. 
giv. 
differen. 
numerica. 
value. 
fo. 
th. 
hal. 
width. 
bu. 
al. 
thes. 
value. 
ar. 
o. 
th. 
sam. 
orde. 
o. 
magnitude. 
Sinc. 
th. 
valu. 
o. 
j�(x. 
t). 
fall. 
fro. 
it. 
maximu. 
valu. 
o. 


p��. 
p��. 
(2�)�1=. 
t. 
1=. 
o. 
tha. 
valu. 
whe. 
j. 
. 
v. 
t. 
equal. 
2=�. 
th. 
distanc. 
2=. 
ma. 
b. 
considere. 
th. 
hal. 
widt. 
o. 
th. 
wav. 
packet. 
Whe. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
small. 
th. 
maximu. 
o. 
th. 
functio. 
A(k. 
i. 
hig. 
an. 
th. 
functio. 
drop. 
of. 
i. 
valu. 
rapidl. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
k0. 
givin. 
. 
smal. 
valu. 
fo. 
th. 
hal. 
width. 
Th. 
hal. 
widt. 
o. 
th. 
wav. 
packet. 
however. 
i. 
larg. 
becaus. 
i. 
i. 
proportiona. 
t. 
1=�. 
O. 
th. 
othe. 
hand. 
whe. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
large. 
th. 
maximu. 
o. 
A(k. 
i. 
lo. 
an. 
th. 
functio. 
drop. 
of. 
slowly. 
givin. 
. 
larg. 
hal. 
width. 
I. 
thi. 
case. 
th. 
hal. 
widt. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
become. 
small. 
I. 
w. 
regar. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
valu. 
o. 
. 
a. 
th. 
hal. 
widt. 
o. 
th. 
distributio. 
A(k. 
an. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
positio. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
a. 
it. 
hal. 
width. 
the. 
th. 
produc. 
o. 
thes. 
tw. 
uncertaintie. 
i. 


�x�. 
. 
. 



x 

Figur. 
1.. 
Th. 
rea. 
par. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
fo. 
. 
gaussia. 
wav. 
numbe. 
distribution. 



1. 
Th. 
wav. 
functio. 


Thus. 
th. 
produc. 
o. 
thes. 
tw. 
uncertaintie. 
�. 
an. 
�. 
i. 
. 
constan. 
o. 
orde. 
unity. 
independen. 
o. 
th. 
paramete. 
�. 


Squar. 
puls. 
wav. 
numbe. 
distributio. 


A. 
. 
secon. 
example. 
w. 
choos. 
A(k. 
t. 
hav. 
. 
constan. 
valu. 
o. 
unit. 
fo. 
. 
betwee. 
k. 
an. 
k. 
an. 
t. 
vanis. 
elsewhere. 
s. 
tha. 


A(k. 
. 
1. 
k. 
. 
. 
. 
k. 


(1:21. 


. 
0. 
. 
. 
k1. 
. 
. 
k. 


a. 
illustrate. 
i. 
Figur. 
1.6(a). 
Wit. 
thi. 
choic. 
fo. 
A(k). 
th. 
modulatin. 
functio. 
B(x. 
t. 
i. 
equatio. 
(1.17. 
become. 


. 
.k2ei(x�v. 
t)(k�k0)

B(x. 
t. 
.p�����. 
d. 


. 
[ei(x�v. 
t)(k2�k0. 
. 
ei(x�v. 
t)(k1�k0)

.. 
�����. 
. 
2�i(. 
. 
v. 
t. 


. 
[ei(x�v. 
t)�k=. 
. 
e�i(x�v. 
t)�k=2

.p�����. 
. 


2�i(. 
. 
v. 
t. 


. 
sin[(. 
. 
v. 
t)�k=2. 


. 
(1:22. 


. 
. 
. 
v. 
. 


wher. 
k. 
i. 
chose. 
t. 
b. 
(k. 
. 
k2)=2. 
�. 
i. 
de�ne. 
a. 
(k. 
. 
k1). 
an. 
equatio. 
(A.33. 
ha. 
bee. 
used. 
Th. 
functio. 
B(x. 
t. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
1.6(b). 


Th. 
rea. 
par. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
obtaine. 
fro. 
combinin. 
equation. 
(1.14. 
an. 
(1.22. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
1.7. 
Th. 
amplitud. 
o. 
th. 
plan. 
wav. 
exp[i(k. 
. 
. 
�. 
t). 
i. 
modulate. 
b. 
th. 
functio. 
B(x. 
t. 
o. 
equatio. 
(1.22). 
whic. 
ha. 
. 
maximu. 
whe. 
(. 
. 
v. 
t. 
equal. 
zero. 
i.e.. 
whe. 
. 
. 
v. 
t. 
Th. 
node. 
o. 
B(x. 
t. 
neares. 
t. 
th. 
maximu. 
occu. 
whe. 
(. 
. 
v. 
t)�k=. 
equal. 
�. 
i.e.. 
whe. 
. 
i. 
(2�=�k. 
fro. 
th. 
poin. 
o. 
maximu. 
amplitude. 
I. 
w. 
conside. 
th. 
hal. 
widt. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
betwee. 
thes. 
tw. 
node. 
a. 
. 
measur. 
o. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
locatio. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
an. 
th. 
widt. 
(k. 
. 
k1. 
o. 
th. 
squar. 
puls. 
A(k. 
a. 
. 
measur. 
o. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
valu. 
o. 
k. 
the. 
th. 
produc. 
o. 
thes. 
tw. 
uncertaintie. 
i. 


�x�. 
. 
2. 


Uncertaint. 
relatio. 


W. 
hav. 
show. 
i. 
th. 
tw. 
example. 
abov. 
tha. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
positio. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
i. 
inversel. 
relate. 
t. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
wav. 
number. 
o. 
th. 
constituen. 
plan. 
waves. 
Thi. 
relationshi. 
i. 
generall. 
vali. 
an. 



1.. 
Wav. 
packe. 
1. 


A(k) 

1 
0 k 
(a) k1 k2 
B(x, t) 
�k/� 2� 
x 2 vg t 
(b) 22�/�k 02�/�k 
Figur. 
1.. 
(a. 
. 
squar. 
puls. 
wav. 
numbe. 
distribution. 
(b. 
Th. 
modulatin. 
functio. 
correspondin. 
t. 
th. 
wav. 
numbe. 
distributio. 
i. 
Figur. 
1.6(a). 


Re �(x, t) 


x 

Figur. 
1.. 
Th. 
rea. 
par. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
fo. 
. 
squar. 
puls. 
wav. 
numbe. 
distribution. 



1. 
Th. 
wav. 
functio. 


i. 
. 
propert. 
o. 
Fourie. 
transforms. 
I. 
orde. 
t. 
localiz. 
. 
wav. 
packe. 
s. 
tha. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
ver. 
small. 
i. 
i. 
necessar. 
t. 
emplo. 
. 
broa. 
spectru. 
o. 
plan. 
wave. 
i. 
equation. 
(1.11. 
o. 
(1.17). 
Th. 
functio. 
A(k. 
mus. 
hav. 
. 
wid. 
distributio. 
o. 
wav. 
numbers. 
givin. 
. 
larg. 
uncertaint. 
�k. 
I. 
th. 
distributio. 
A(k. 
i. 
ver. 
narrow. 
s. 
tha. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
small. 
the. 
th. 
wav. 
packe. 
become. 
broa. 
an. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
large. 


Thus. 
fo. 
al. 
wav. 
packet. 
th. 
produc. 
o. 
th. 
tw. 
uncertaintie. 
ha. 
. 
lowe. 
boun. 
o. 
orde. 
unit. 


�x�. 
. 
. 
(1:23. 
Th. 
lowe. 
boun. 
applie. 
whe. 
th. 
narrowes. 
possibl. 
rang. 
�. 
o. 
value. 
fo. 
. 
i. 
use. 
i. 
th. 
constructio. 
o. 
th. 
wav. 
packet. 
s. 
tha. 
th. 
quadrati. 
an. 
higher. 
orde. 
term. 
i. 
equatio. 
(1.13. 
ca. 
b. 
neglected. 
I. 
. 
broade. 
rang. 
o. 
. 
i. 
allowed. 
the. 
th. 
produc. 
�x�. 
ca. 
b. 
mad. 
arbitraril. 
large. 
makin. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(1.23. 
. 
lowe. 
bound. 
Th. 
actua. 
valu. 
o. 
th. 
lowe. 
boun. 
depend. 
o. 
ho. 
th. 
uncertaintie. 
ar. 
de�ned. 
Equatio. 
(1.23. 
i. 
know. 
a. 
th. 
uncertaint. 
relation. 


. 
simila. 
uncertaint. 
relatio. 
applie. 
t. 
th. 
variable. 
. 
an. 
�. 
T. 
sho. 
thi. 
relation. 
w. 
writ. 
th. 
wav. 
packe. 
(1.11. 
i. 
th. 
for. 
o. 
equatio. 
(B.21. 


. 
G(�)ei(kx��t)

�(x. 
t. 
.p�����. 
d. 
(1:24. 


wher. 
th. 
weightin. 
facto. 
G(�. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
equatio. 
(B.22. 


. 
�(x. 
t)e�i(kx��t)

G(�. 
.p�����. 
d. 


I. 
th. 
evaluatio. 
o. 
th. 
integra. 
i. 
equatio. 
(1.24). 
th. 
wav. 
numbe. 
. 
i. 
regarde. 
a. 
. 
functio. 
o. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�. 
s. 
tha. 
i. 
plac. 
o. 
(1.13. 
w. 


k(�. 
. 
k. 
. 
(. 
. 
�0. 
. 


. 


I. 
w. 
neglec. 
th. 
quadrati. 
an. 
higher-orde. 
term. 
i. 
thi. 
expansion. 
the. 
equatio. 
(1.24. 
become. 
�(x. 
t. 
. 
C(x. 
t)ei(k. 
x��. 
t. 
wher. 


. 
A(�)e�i[t�(dk=d�). 
x](���0)

C(x. 
t. 
.p�����. 
d. 


A. 
before. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
. 
plan. 
wav. 
o. 
wav. 
numbe. 
k. 
an. 
angula. 
frequenc. 
�. 
wit. 
it. 
amplitud. 
modulate. 
b. 
. 
facto. 
tha. 
move. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
wit. 
grou. 
velocit. 
vg. 
give. 
b. 
equatio. 
(1.16). 
Followin. 



1.. 
Dispersio. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
1. 


th. 
previou. 
analysis. 
i. 
w. 
selec. 
. 
speci�. 
for. 
fo. 
th. 
modulatin. 
functio. 
G(�. 
suc. 
a. 
. 
gaussia. 
o. 
. 
squar. 
puls. 
distribution. 
w. 
ca. 
sho. 
tha. 
th. 
produc. 
o. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
tim. 
variabl. 
an. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
angula. 
frequenc. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
ha. 
. 
lowe. 
boun. 
o. 
orde. 
unity. 
i.e. 


�t�. 
. 
. 
(1:25. 


Thi. 
uncertaint. 
relatio. 
i. 
als. 
. 
propert. 
o. 
Fourie. 
transform. 
an. 
i. 
vali. 
fo. 
al. 
wav. 
packets. 


1.. 
Dispersio. 
o. 
. 
wav. 
packe. 


I. 
thi. 
sectio. 
w. 
investigat. 
th. 
chang. 
i. 
contou. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
a. 
i. 
propagate. 
wit. 
time. 


Th. 
genera. 
expressio. 
fo. 
. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(1.11). 
Th. 
weightin. 
facto. 
A(k. 
i. 
(1.11. 
i. 
th. 
invers. 
Fourie. 
transfor. 
o. 
�(x. 
t. 
an. 
i. 
give. 
b. 
(1.12). 
Sinc. 
th. 
functio. 
A(k. 
i. 
independen. 
o. 
time. 
w. 
ma. 
se. 
. 
equa. 
t. 
an. 
arbitrar. 
valu. 
i. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(1.12). 
I. 
w. 
le. 
. 
equa. 
zer. 
i. 
(1.12). 
the. 
tha. 
equatio. 
become. 


A(k. 
.. 
. 
�����. 
�(�. 
0)e�ik. 
d. 
(1:26. 


wher. 
w. 
hav. 
als. 
replace. 
th. 
dumm. 
variabl. 
o. 
integratio. 
b. 
�. 
Substitu. 
tio. 
o. 
equatio. 
(1.26. 
int. 
(1.11. 
yield. 


�(x. 
t. 
. 
. 
�(�. 
0)ei[k(x��)��t]d. 
d. 
(1:27. 


Sinc. 
th. 
limit. 
o. 
integratio. 
d. 
no. 
depen. 
o. 
th. 
variable. 
. 
an. 
k. 
th. 
orde. 
o. 
integratio. 
ove. 
thes. 
variable. 
ma. 
b. 
interchanged. 


Equatio. 
(1.27. 
relate. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
a. 
tim. 
. 
t. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
0. 
a. 
tim. 
. 
. 
0. 
However. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�(k. 
i. 
dependen. 
o. 
. 
an. 
th. 
functiona. 
for. 
mus. 
b. 
know. 
befor. 
w. 
ca. 
evaluat. 
th. 
integra. 
ove. 
k. 


I. 
�(k. 
i. 
proportiona. 
t. 
jk. 
a. 
expresse. 
i. 
equatio. 
(1.6). 
the. 
(1.27. 
give. 


�(x. 
t. 
. 
. 
�(�. 
0)eik(x�ct��)d. 
d. 


Th. 
integra. 
ove. 
. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
throug. 
equatio. 
(C.6. 
i. 
Appendi. 
C. 
s. 
tha. 
w. 
hav. 



1. 
Th. 
wav. 
functio. 


�(x. 
t. 
. 
�(�,0)�(. 
. 
c. 
. 
�)d. 
. 
�(. 
. 
ct,0. 


Thus. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
ha. 
th. 
sam. 
valu. 
a. 
poin. 
. 
an. 
tim. 
. 
tha. 
i. 
ha. 
a. 
poin. 
. 
. 
c. 
a. 
tim. 
. 
. 
0. 
Th. 
wav. 
packe. 
ha. 
travele. 
wit. 
velocit. 
. 
withou. 
. 
chang. 
i. 
it. 
contour. 
i.e.. 
i. 
ha. 
travele. 
withou. 
dispersion. 
Sinc. 
th. 
phas. 
velocit. 
vp. 
i. 
give. 
b. 
�0=k. 
. 
. 
an. 
th. 
grou. 
velocit. 
v. 
i. 
give. 
b. 
(d�=dk). 
. 
c. 
th. 
tw. 
velocitie. 
ar. 
th. 
sam. 
fo. 
a. 
undisperse. 
wav. 
packet. 


W. 
nex. 
conside. 
th. 
mor. 
genera. 
situatio. 
wher. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�(k. 
i. 
no. 
proportiona. 
t. 
jkj. 
bu. 
i. 
instea. 
expande. 
i. 
th. 
Taylo. 
serie. 
(1.13. 
abou. 
(. 
. 
k0). 
Now. 
however. 
w. 
retai. 
th. 
quadrati. 
term. 
bu. 
stil. 
neglec. 
th. 
term. 
highe. 
tha. 
quadratic. 
s. 
tha. 


�(k. 
. 
�. 
. 
vg(. 
. 
k0. 
. 
�(. 
. 
k0). 


wher. 
equatio. 
(1.16. 
ha. 
bee. 
substitute. 
fo. 
th. 
�rst-orde. 
derivativ. 
an. 
. 
i. 
a. 
abbreviatio. 
fo. 
th. 
second-orde. 
derivativ. 


2dk2
. 
Th. 
phas. 
i. 
equatio. 
(1.27. 
the. 
become. 


k(. 
. 
�. 
. 
�. 
. 
(. 
. 
k0)(. 
. 
�. 
. 
k0(. 
. 
�. 
. 
�. 
. 


. 
v. 
t(. 
. 
k0. 
. 
�t(. 
. 
k0). 


. 
k. 
. 
. 
�. 
. 
. 
k0. 
. 
(. 
. 
v. 
. 
. 
�)(. 
. 
k0. 
. 
�t(. 
. 
k0). 


s. 
tha. 
th. 
wav. 
packe. 
(1.27. 
take. 
th. 
for. 


ei(k. 
x��. 
t. 


ei(x�v. 
t��)(k�k0)�i�t(k�k0). 


��(x. 
t. 
. 
�(�. 
0)e�ik0�d. 
d. 


Th. 
subscrip. 
. 
ha. 
bee. 
include. 
i. 
th. 
notatio. 
��(x. 
t. 
i. 
orde. 
t. 
distinguis. 
tha. 
wav. 
packe. 
fro. 
th. 
on. 
i. 
equation. 
(1.14. 
an. 
(1.15). 
wher. 
th. 
quadrati. 
ter. 
i. 
�(k. 
i. 
omitted. 
Th. 
integra. 
ove. 
. 
ma. 
b. 
evaluate. 
usin. 
equatio. 
(A.8). 
givin. 
th. 
resul. 


ei(k. 
x��. 
t. 


e�(x�v. 
t��)2=4i�t

��(x. 
t. 
.p��������. 
�(�. 
0)e�ik0�d. 
(1:28. 


2i��. 


Equatio. 
(1.28. 
relate. 
th. 
wav. 
packe. 
a. 
tim. 
. 
t. 
th. 
wav. 
packe. 
a. 
tim. 
. 
. 
. 
i. 
th. 
k-dependenc. 
o. 
th. 
angula. 
frequenc. 
include. 
term. 
u. 
t. 
k2. 
Th. 
pro�l. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
��(x. 
t. 
change. 
a. 
tim. 
progresse. 
becaus. 
o. 



1.. 
Dispersio. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
1. 


th. 
facto. 
t�1=. 
befor. 
th. 
integra. 
an. 
th. 
. 
i. 
th. 
exponen. 
withi. 
th. 
integral. 
I. 
w. 
selec. 
. 
speci�. 
for. 
fo. 
th. 
wav. 
packe. 
a. 
tim. 
. 
.0. 
th. 
natur. 
o. 
thi. 
tim. 
dependenc. 
become. 
mor. 
evident. 


Gaussia. 
wav. 
packe. 


Le. 
u. 
suppos. 
tha. 
�(x. 
0. 
ha. 
th. 
gaussia. 
distributio. 
(1.20. 
a. 
it. 
pro�le. 
s. 
tha. 
equatio. 
(1.14. 
a. 
tim. 
. 
.0i. 


. 
eik0�e��2�2=2

�(�,0. 
.eik0. 
B(�,0. 
.p�����. 
(1:29. 


Substitutio. 
o. 
equatio. 
(1.29. 
int. 
(1.28. 
give. 


ei(k. 
x��. 
t. 
.. 


e��2�2=2e�(x�v. 
t��)2=4i�t

��(x. 
t. 
.p��������. 
d. 


2. 
2i�. 
�. 
Th. 
integra. 
ma. 
b. 
evaluate. 
usin. 
equatio. 
(A.8. 
accompanie. 
wit. 
som. 
tedious. 
bu. 
straightforwar. 
algebrai. 
manipulations. 
yieldin. 


ei(k. 
x��. 
t. 


e��2(x�v. 
t)2=2(1.2i�2�t)

��(x. 
t. 
.p�����������������������������. 
(1:30. 
2�(. 
.2i�2�t. 


Th. 
wav. 
packet. 
then. 
consist. 
o. 
th. 
plan. 
wav. 
ex. 
i[k0. 
��. 
t. 
wit. 
it. 
amplitud. 
modulate. 
b. 


1e��2(x�v. 
t)2=2(1.2i�2�t)

p�����������������������������. 


2�(. 
.2i�2�t. 


whic. 
i. 
. 
comple. 
functio. 
tha. 
depend. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
Whe. 
. 
equal. 
zer. 
s. 
tha. 
th. 
quadrati. 
ter. 
i. 
�(k. 
i. 
neglected. 
thi. 
comple. 
modulatin. 
functio. 
reduce. 
t. 
B(x. 
t. 
i. 
equatio. 
(1.20). 
Th. 
absolut. 
valu. 
j��(x. 
t)jo. 
th. 
wav. 
packe. 
(1.30. 
i. 
give. 
b. 


1e��2(x�v. 
t)2=2(1.4�4�. 
t2)

j��(x. 
t)j. 
(1:31. 


(2�)1=2(. 
.4�4�. 
t2)1=. 
W. 
no. 
contras. 
th. 
behavio. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
equatio. 
(1.31. 
wit. 
tha. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
(1.20). 
A. 
an. 
tim. 
t. 
th. 
maximu. 
amplitude. 
o. 
bot. 
occu. 
a. 
. 
.v. 
. 
an. 
trave. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
wit. 
th. 
sam. 
grou. 
velocit. 
vg. 
However. 
a. 
tha. 
tim. 
t. 
th. 
valu. 
o. 
j��(x. 
t). 
i. 
1=. 
o. 
it. 
maximu. 
valu. 
whe. 
th. 
exponen. 
i. 
equatio. 
(1.31. 
i. 
unity. 
s. 
tha. 
th. 
hal. 
widt. 
o. 
uncertaint. 
�. 
fo. 
j��(x. 
t)ji. 
give. 
b. 


p�����������������������. 


�. 
.j. 
�v. 
tj. 
. 
.4�4�. 
t. 


Moreover. 
th. 
maximu. 
amplitud. 
fo. 
j��(x. 
t)ja. 
tim. 
. 
i. 
give. 
b. 
t2)�1=4

(2�)�1=2(. 
.4�4�. 



1. 
Th. 
wav. 
functio. 


A. 
tim. 
increase. 
fro. 
�. 
t. 
0. 
th. 
hal. 
widt. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
j��(x. 
t). 
continuousl. 
decrease. 
an. 
th. 
maximu. 
amplitud. 
continuousl. 
increases. 
A. 


. 
. 
. 
th. 
hal. 
widt. 
attain. 
it. 
lowes. 
valu. 
o. 
2=. 
an. 
th. 
maximu. 


p�����. 


amplitud. 
attain. 
it. 
highes. 
valu. 
o. 
1. 
2�. 
an. 
bot. 
value. 
ar. 
i. 
agreemen. 
wit. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
equatio. 
(1.20). 
A. 
tim. 
increase. 
fro. 
. 
t. 
1. 
th. 
hal. 
widt. 
continuousl. 
increase. 
an. 
th. 
maximu. 
amplitud. 
continuousl. 
decreases. 
Thus. 
a. 
t. 
increases. 
th. 
wav. 
packe. 
j��(x. 
t). 
remain. 
gaussia. 
i. 
shape. 
bu. 
broaden. 
an. 
�atten. 
ou. 
i. 
suc. 
. 
wa. 
tha. 
th. 
are. 
unde. 
th. 
squar. 
j��(x. 
t)j. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
remain. 
constan. 
ove. 
tim. 
a. 
. 
valu. 
o. 


(. 
��)�1. 
i. 
agreemen. 
wit. 
Parseval'. 
theore. 
(1.18). 


Th. 
produc. 
�x�. 
fo. 
thi. 
spreadin. 
wav. 
packe. 
��(x. 
t)i. 


p�����������������������. 


�x�. 
. 
2. 
. 
4�4�. 
t. 
an. 
increase. 
a. 
jt. 
increases. 
Thus. 
th. 
valu. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
whe. 
. 
. 
. 
i. 
th. 
lowe. 
boun. 
fo. 
th. 
produc. 
�x�. 
an. 
i. 
i. 
agreemen. 
wit. 
th. 
uncertaint. 
relatio. 
(1.23). 


1.. 
Particle. 
an. 
wave. 


T. 
explai. 
th. 
photoelectri. 
effect. 
Einstei. 
(1905. 
postulate. 
tha. 
light. 
o. 
electromagneti. 
radiation. 
consist. 
o. 
. 
bea. 
o. 
particles. 
eac. 
o. 
whic. 
travel. 
a. 
th. 
sam. 
velocit. 
. 
(th. 
spee. 
o. 
light). 
wher. 
. 
ha. 
th. 
valu. 


. 
. 
2:99. 
9. 
. 
10. 
ms�. 
Eac. 
particle. 
late. 
name. 
. 
photon. 
ha. 
. 
characteristi. 
frequenc. 
. 
an. 
a. 
energ. 
h�. 
wher. 
. 
i. 
Planck'. 
constan. 
wit. 
th. 
valu. 


. 
. 
6:62. 
0. 
. 
10�3. 
J. 
Th. 
constan. 
. 
an. 
th. 
hypothesi. 
tha. 
energ. 
i. 
quantize. 
i. 
integra. 
multiple. 
o. 
h. 
ha. 
previousl. 
bee. 
introduce. 
b. 
M. 
Planc. 
(1900. 
i. 
hi. 
stud. 
o. 
blackbod. 
radiation.. 
I. 
term. 
o. 
th. 
angula. 
frequenc. 
. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(1.2). 
th. 
energ. 
. 
o. 
. 
photo. 
i. 
. 
. 
". 
(1:32. 
wher. 
. 
i. 
de�ne. 
b. 


. 
. 
. 
. 
1:05. 
5. 
. 
10�3. 
J. 


Becaus. 
th. 
photo. 
travel. 
wit. 
velocit. 
c. 
it. 
motio. 
i. 
governe. 
b. 
relativit. 


Th. 
histor. 
o. 
th. 
developmen. 
o. 
quantu. 
concept. 
t. 
explai. 
observe. 
physica. 
phenomena. 
whic. 
occurre. 
mainl. 
i. 
th. 
�rs. 
thre. 
decade. 
o. 
th. 
twentiet. 
century. 
i. 
discusse. 
i. 
introductor. 
text. 
o. 
physica. 
chemistr. 
an. 
o. 
atomi. 
physics. 
. 
muc. 
mor. 
detaile. 
accoun. 
i. 
give. 
i. 
M. 
Jamme. 
(1966. 
Th. 
Conceptua. 
Developmen. 
o. 
Quantu. 
Mechanic. 
(McGraw-Hill. 
Ne. 
York). 



1.. 
Particle. 
an. 
wave. 
1. 


theory. 
whic. 
require. 
tha. 
it. 
res. 
mas. 
b. 
zero. 
Th. 
magnitud. 
o. 
th. 
momentu. 
. 
fo. 
. 
particl. 
wit. 
zer. 
res. 
mas. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
relativisti. 
energ. 
. 
b. 
. 
.E=c. 
s. 
tha. 


Eh. 
". 


Sinc. 
th. 
velocit. 
. 
equal. 
�=k. 
th. 
momentu. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
wav. 
numbe. 
. 
fo. 
. 
photo. 
b. 
. 
.". 
(1:33. 
Einstein'. 
postulat. 
wa. 
late. 
con�rme. 
experimentall. 
b. 
A. 
Compto. 
(1924). 
Notin. 
tha. 
i. 
ha. 
bee. 
fruitfu. 
t. 
regar. 
ligh. 
a. 
havin. 
. 
corpuscula. 
nature. 
L. 
d. 
Brogli. 
(1924. 
suggeste. 
tha. 
i. 
migh. 
b. 
usefu. 
t. 
associat. 
wave-lik. 
behavio. 
wit. 
th. 
motio. 
o. 
. 
particle. 
H. 
postulate. 
tha. 
. 
particl. 
wit. 
linea. 
momentu. 
. 
b. 
associate. 
wit. 
. 
wav. 
whos. 
wavelengt. 
. 
i. 
give. 
b. 


. 
.. 
(1:34. 


an. 
tha. 
expression. 
(1.32. 
an. 
(1.33. 
als. 
appl. 
t. 
particles. 
Th. 
hypothesi. 
o. 
wav. 
propertie. 
fo. 
particle. 
an. 
th. 
d. 
Brogli. 
relatio. 
(equatio. 
(1.34). 
hav. 
bee. 
con�rme. 
experimentall. 
fo. 
electron. 
b. 
G. 
P. 
Thomso. 
(1927. 
an. 
b. 
Davisso. 
an. 
Germe. 
(1927). 
fo. 
neutron. 
b. 
E. 
Ferm. 
an. 
L. 
Marshal. 
(1947). 
an. 
b. 
W. 
H. 
Zin. 
(1947). 
an. 
fo. 
heliu. 
atom. 
an. 
hydroge. 
molecule. 
b. 
I. 
Estermann. 
R. 
Frisch. 
an. 
O. 
Ster. 
(1931). 


Th. 
classical. 
non-relativisti. 
energ. 
. 
fo. 
. 
fre. 
particle. 
i.e.. 
. 
particl. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
a. 
externa. 
force. 
i. 
expresse. 
a. 
th. 
su. 
o. 
th. 
kineti. 
an. 
potentia. 
energie. 
an. 
i. 
give. 
b. 


. 
. 
. 
mv. 
.. 
. 
p. 
.. 
(1:35. 
. 
2. 


wher. 
. 
i. 
th. 
mas. 
an. 
. 
th. 
velocit. 
o. 
th. 
particle. 
th. 
linea. 
momentu. 
. 


an. 
. 
i. 
. 
constan. 
potentia. 
energy. 
Th. 
forc. 
. 
actin. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
give. 


. 
.. 
.. 


an. 
vanishe. 
becaus. 
. 
i. 
constant. 
I. 
classica. 
mechanic. 
th. 
choic. 
o. 
th. 
zero-leve. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
arbitrary. 
Sinc. 
th. 
potentia. 
energ. 
fo. 
th. 
fre. 
particl. 
i. 
. 
constant. 
w. 
may. 
withou. 
los. 
o. 
generality. 
tak. 
tha. 
constan. 
valu. 
t. 
b. 
zero. 
s. 
tha. 
equatio. 
(1.35. 
become. 



2. 
Th. 
wav. 
functio. 


. 
. 
(1:36. 


Followin. 
th. 
theoretica. 
schem. 
o. 
Schro�dinger. 
w. 
associat. 
. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t. 
wit. 
th. 
motio. 
i. 
th. 
x-directio. 
o. 
thi. 
fre. 
particle. 
Thi. 
wav. 
packe. 
i. 
readil. 
constructe. 
fro. 
equatio. 
(1.11. 
b. 
substitutin. 
(1.32. 
an. 
(1.33. 
fo. 
. 
an. 
k. 
respectivel. 


. 
A. 
p)ei. 
px�Et)="

�(x. 
t. 
.p��������. 
. 
. 
(1:37. 


2�. 
�. 


where. 
fo. 
th. 
sak. 
o. 
symmetr. 
betwee. 
�(x. 
t. 
an. 
A. 
p). 
. 
facto. 
"�1=. 
ha. 
bee. 
absorbe. 
int. 
A. 
p). 
Th. 
functio. 
A(k. 
i. 
equatio. 
(1.12. 
i. 
no. 
"1=. 
A. 
p). 
s. 
tha. 


. 
�(x. 
t)e�i. 
px�Et)="

A. 
p. 
.p��������. 
d. 
(1:38. 


2�. 
�. 
Th. 
la. 
o. 
dispersio. 
fo. 
thi. 
wav. 
packe. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
combinin. 
equation. 
(1.32). 
(1.33). 
an. 
(1.36. 
t. 
giv. 


Ep. 
"k. 


�(k. 
.. 
. 
(1:39. 


. 
2m. 
2. 
Thi. 
dispersio. 
la. 
wit. 
. 
proportiona. 
t. 
k. 
i. 
differen. 
fro. 
tha. 
fo. 
undisperse. 
ligh. 
waves. 
wher. 
. 
i. 
proportiona. 
t. 
k. 


I. 
�(k. 
i. 
equatio. 
(1.39. 
i. 
expresse. 
a. 
. 
powe. 
serie. 
i. 
. 
. 
k0. 
w. 
obtai. 


�(k. 
.. 
(. 
. 
k0. 
. 
(. 
. 
k0). 
(1:40. 


2m. 
2. 
Thi. 
expansio. 
i. 
exact. 
ther. 
ar. 
n. 
term. 
o. 
highe. 
orde. 
tha. 
quadratic. 
Fro. 
equatio. 
(1.40. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
phas. 
velocit. 
vp. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
give. 
b. 


�. 
"k0

vp. 
.. 
(1:41. 


an. 
th. 
grou. 
velocit. 
v. 
i. 


d. 
"k0

v. 
.. 
(1:42. 


whil. 
th. 
paramete. 
. 
o. 
equation. 
(1.28). 
(1.30). 
an. 
(1.31. 
i. 


. 
d2. 
. 


. 
.. 
(1:43. 


2dk202. 
I. 
w. 
tak. 
th. 
derivativ. 
o. 
�(k. 
i. 
equatio. 
(1.39. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
an. 
us. 
equatio. 
(1.33). 
w. 
obtai. 
d. 
"k. 



1.. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
2. 


Thus. 
th. 
velocit. 
. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
associate. 
wit. 
th. 
grou. 
velocit. 
v. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 


I. 
th. 
constan. 
potentia. 
energ. 
. 
i. 
equatio. 
(1.35. 
i. 
se. 
a. 
som. 
arbitrar. 
valu. 
othe. 
the. 
zero. 
the. 
equatio. 
(1.39. 
take. 
th. 
for. 


�(k. 
.. 


2. 
. 
an. 
th. 
phas. 
velocit. 
vp. 
become. 
vp. 
. 
"k. 
. 
. 


2. 
"k. 


Thus. 
bot. 
th. 
angula. 
frequenc. 
�(k. 
an. 
th. 
phas. 
velocit. 
vp. 
ar. 
dependen. 
o. 
th. 
choic. 
o. 
th. 
zero-leve. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
an. 
ar. 
therefor. 
arbitrary. 
neithe. 
ha. 
. 
physica. 
meanin. 
fo. 
. 
wav. 
packe. 
represent. 
in. 
. 
particle. 


Sinc. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
non-vanishing. 
th. 
wav. 
packe. 
wil. 
dispers. 
wit. 
tim. 
a. 
indicate. 
b. 
equatio. 
(1.28). 
Fo. 
. 
gaussia. 
pro�le. 
th. 
absolut. 
valu. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(1.31. 
wit. 
. 
give. 
b. 
(1.43). 
W. 
not. 
tha. 
. 
i. 
proportiona. 
t. 
m�1. 
s. 
tha. 
a. 
. 
become. 
larger. 
. 
become. 
smaller. 
Thus. 
fo. 
heav. 
particle. 
th. 
wav. 
packe. 
spread. 
slowl. 
wit. 
time. 


A. 
a. 
example. 
th. 
valu. 
o. 
. 
fo. 
a. 
electron. 
whic. 
ha. 
. 
mas. 
o. 
9:1. 
310�31kg. 
i. 
5:7. 
310�. 
m2s�1. 
Fo. 
. 
macroscopi. 
particl. 
whos. 
mas. 
i. 
approximatel. 
. 
microgram. 
sa. 
9:1. 
310�1. 
k. 
i. 
orde. 
t. 
mak. 
th. 
calculatio. 
easier. 
th. 
valu. 
o. 
. 
i. 
5:7. 
310�2. 
m2s�1. 
Th. 
rati. 
o. 
th. 
macroscopi. 
particl. 
t. 
th. 
electro. 
i. 
1021. 
Th. 
tim. 
dependenc. 
i. 
th. 
dispersio. 
term. 
i. 
equation. 
(1.31. 
occur. 
a. 
th. 
produc. 
�t. 
Thus. 
fo. 
th. 
sam. 
exten. 
o. 
spreading. 
th. 
macroscopi. 
particl. 
require. 
. 
facto. 
o. 
102. 
longe. 
tha. 
th. 
electron. 


1.. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 


Sinc. 
. 
fre. 
particl. 
i. 
represente. 
b. 
th. 
wav. 
packe. 
�(x. 
t). 
w. 
ma. 
regar. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
positio. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
a. 
th. 
uncertaint. 
i. 
th. 
positio. 
o. 
th. 
particle. 
Likewise. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
wav. 
numbe. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
uncertaint. 
. 
. 
i. 
th. 
momentu. 
o. 
th. 
particl. 
b. 
�. 
. 
. 
p=". 
Th. 
uncertaint. 
relatio. 
(1.23. 
fo. 
th. 
particl. 
is. 
the. 


�x. 
. 
>. 
(1:44. 
Thi. 
relationshi. 
i. 
know. 
a. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principle. 
Th. 
consequenc. 
o. 
thi. 
principl. 
i. 
tha. 
a. 
an. 
instan. 
o. 
tim. 
th. 
positio. 



2. 
Th. 
wav. 
functio. 


o. 
th. 
particl. 
i. 
de�ne. 
onl. 
a. 
. 
rang. 
�. 
an. 
th. 
momentu. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
de�ne. 
onl. 
a. 
. 
rang. 
. 
p. 
Th. 
produc. 
o. 
thes. 
tw. 
range. 
o. 
`uncertain. 
ties. 
i. 
o. 
orde. 
"o. 
larger. 
Th. 
exac. 
valu. 
o. 
th. 
lowe. 
boun. 
i. 
dependen. 
o. 
ho. 
th. 
uncertaintie. 
ar. 
de�ned. 
. 
precis. 
de�nitio. 
o. 
th. 
uncertaintie. 
i. 
positio. 
an. 
momentu. 
i. 
give. 
i. 
Section. 
2.. 
an. 
3.10. 


Th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
i. 
. 
consequenc. 
o. 
th. 
stipulatio. 
tha. 
. 
quantu. 
particl. 
i. 
. 
wav. 
packet. 
Th. 
mathematica. 
constructio. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
fro. 
plan. 
wave. 
o. 
varyin. 
wav. 
number. 
dictate. 
th. 
relatio. 
(1.44). 
I. 
i. 
no. 
th. 
situatio. 
tha. 
whil. 
th. 
positio. 
an. 
th. 
momentu. 
o. 
th. 
particl. 
ar. 
well-de�ned. 
the. 
canno. 
b. 
measure. 
simultaneousl. 
t. 
an. 
desire. 
degre. 
o. 
accuracy. 
Th. 
positio. 
an. 
momentu. 
are. 
i. 
fact. 
no. 
simultaneousl. 
precisel. 
de�ned. 
Th. 
mor. 
precisel. 
on. 
i. 
de�ned. 
th. 
les. 
precisel. 
i. 
th. 
other. 
i. 
accordanc. 
wit. 
equatio. 
(1.44). 
Thi. 
situatio. 
i. 
i. 
contras. 
t. 
classical-mechanica. 
behavior. 
wher. 
bot. 
th. 
positio. 
an. 
th. 
momentu. 
can. 
i. 
principle. 
b. 
speci�e. 
simultaneousl. 
a. 
precisel. 
a. 
on. 
wishes. 


I. 
quantu. 
mechanics. 
i. 
th. 
momentu. 
o. 
. 
particl. 
i. 
precisel. 
speci�e. 
s. 
tha. 
. 
. 
p. 
an. 
. 
. 
. 
0. 
the. 
th. 
functio. 
A. 
p)i. 
A. 
p. 
. 
�. 
. 
. 
p0. 


Th. 
wav. 
packe. 
(1.37. 
the. 
become. 


. 
�. 
. 
. 
p0)ei. 
px�Et)=". 
. 
. 
. 
ei. 
p. 
x�Et)="

�(x. 
t. 
.p��������. 
p��������. 
2�. 
�. 
2�. 
whic. 
i. 
. 
plan. 
wav. 
wit. 
wav. 
numbe. 
p0=. 
an. 
angula. 
frequenc. 
E=". 
Suc. 
. 
plan. 
wav. 
ha. 
a. 
in�nit. 
valu. 
fo. 
th. 
uncertaint. 
�x. 
Likewise. 
i. 
th. 
positio. 
o. 
. 
particl. 
i. 
precisel. 
speci�ed. 
th. 
uncertaint. 
i. 
it. 
momentu. 
i. 
in�nite. 
Anothe. 
Heisenber. 
uncertaint. 
relatio. 
exist. 
fo. 
th. 
energ. 
. 
o. 
. 
particl. 
an. 
th. 
tim. 
. 
a. 
whic. 
th. 
particl. 
ha. 
tha. 
valu. 
fo. 
th. 
energy. 
Th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
angula. 
frequenc. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
particl. 
b. 
�. 
. 
�E=". 
s. 
tha. 
th. 
relatio. 
(1.25. 
whe. 
applie. 
t. 
. 
fre. 
particl. 
become. 
�E�. 
>. 
(1:45. 


Again. 
thi. 
relatio. 
arise. 
fro. 
th. 
representatio. 
o. 
. 
particl. 
b. 
. 
wav. 
packe. 
an. 
i. 
. 
propert. 
o. 
Fourie. 
transforms. 


Th. 
relatio. 
(1.45. 
ma. 
als. 
b. 
obtaine. 
fro. 
(1.44. 
a. 
follows. 
Th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
th. 
sprea. 
o. 
th. 
kineti. 
energie. 
i. 
. 
wav. 
packet. 
I. 
. 
. 
i. 
small. 
the. 
�. 
i. 
relate. 
t. 
. 
. 
b. 


�. 
. 
. 
. 
. 
. 
(1:46. 



1.. 
Young'. 
double-sli. 
experimen. 
2. 


Th. 
tim. 
�. 
fo. 
. 
wav. 
packe. 
t. 
pas. 
. 
give. 
poin. 
equal. 
th. 
uncertaint. 
i. 
it. 
positio. 
. 
divide. 
b. 
th. 
grou. 
velocit. 
v. 
�. 
�x. 


�. 
... 
�. 
(1:47. 


Combinin. 
equation. 
(1.46. 
an. 
(1.47). 
w. 
se. 
tha. 
�E�. 
. 
�x. 
p. 
Thus. 
th. 
relatio. 
(1.45. 
follow. 
fro. 
(1.44). 
Th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
relatio. 
(1.45. 
i. 
treate. 
mor. 
thoroughl. 
i. 
Sectio. 
3.10. 


1.. 
Young'. 
double-sli. 
experimen. 


Th. 
essentia. 
feature. 
o. 
th. 
particle�wav. 
dualit. 
ar. 
clearl. 
illustrate. 
b. 
Young'. 
double-sli. 
experiment. 
I. 
orde. 
t. 
explai. 
al. 
o. 
th. 
observation. 
o. 
thi. 
experiment. 
ligh. 
mus. 
b. 
regarde. 
a. 
havin. 
bot. 
wave-lik. 
an. 
particle. 
lik. 
properties. 
Simila. 
experiment. 
o. 
electron. 
indicat. 
tha. 
the. 
to. 
posses. 
bot. 
particle-lik. 
an. 
wave-lik. 
characteristics. 
Th. 
consideratio. 
o. 
th. 
experimenta. 
result. 
lead. 
directl. 
t. 
. 
physica. 
interpretatio. 
o. 
Schro�dinger'. 
wav. 
function. 
whic. 
i. 
presente. 
i. 
Sectio. 
1.8. 


Th. 
experimenta. 
apparatu. 
i. 
illustrate. 
schematicall. 
i. 
Figur. 
1.8. 
Mono. 
chromati. 
ligh. 
emitte. 
fro. 
th. 
poin. 
sourc. 
. 
i. 
focuse. 
b. 
. 
len. 
. 
ont. 
. 
detectio. 
o. 
observatio. 
scree. 
D. 
Betwee. 
. 
an. 
. 
i. 
a. 
opaqu. 
scree. 
wit. 
tw. 
closel. 
space. 
slit. 
. 
an. 
B. 
eac. 
o. 
whic. 
ma. 
b. 
independentl. 
opene. 
o. 
closed. 


. 
monochromati. 
ligh. 
bea. 
fro. 
. 
passin. 
throug. 
th. 
opaqu. 
scree. 
wit. 
sli. 
. 
ope. 
an. 
sli. 
. 
close. 
give. 
. 
diffractio. 
patter. 
o. 
. 
wit. 
a. 
intensit. 
distributio. 
I. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
1.9(a). 
I. 
tha. 
�gur. 
th. 
point. 
. 
an. 
. 
ar. 
directl. 
i. 
lin. 
wit. 
slit. 
. 
an. 
B. 
respectively. 
I. 
sli. 
. 
i. 
close. 
an. 
sli. 
. 
open. 
th. 
intensit. 
distributio. 
o. 
th. 
diffractio. 
patter. 
i. 
give. 
b. 
th. 
curv. 
labele. 
I. 
i. 
Figur. 
1.9(a). 
Fo. 
a. 
experimen. 
i. 
whic. 
sli. 
. 
i. 
ope. 
an. 
sli. 
. 
i. 
close. 
hal. 
o. 
th. 
time. 
whil. 
sli. 
. 
i. 
close. 
an. 
sli. 
. 
i. 
ope. 
th. 
othe. 
hal. 
o. 
th. 
time. 
th. 
resultin. 
intensit. 
distributio. 
i. 
th. 
su. 
o. 
I. 
an. 
IB,a. 
show. 
i. 
Figur. 
1.9(b). 
However. 
whe. 
bot. 
slit. 
ar. 
ope. 
throughou. 
a. 


D 

L 

A 
S 


B 

Figur. 
1.. 
Diagra. 
o. 
Young'. 
double-sli. 
experiment. 




2. 
Th. 
wav. 
functio. 


A 

B 

(a) 
Figur. 
1.. 
(a. 
Intensit. 
distribution. 
I. 
fro. 
sli. 
. 
alon. 
an. 
I. 
fro. 
sli. 
. 
alone. 
(b. 
Th. 
su. 
o. 
th. 
intensit. 
distribution. 
I. 
an. 
IB. 
(c. 
Th. 
intensit. 
interferenc. 
patter. 
whe. 
slit. 
. 
an. 
. 
ar. 
ope. 
simultaneously. 


A 
B 
A 
B 
IA IA 1 IB 
IB 
(b)(c) 
experiment. 
a. 
interferenc. 
patter. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
1.9(c. 
i. 
observed. 
Th. 
intensit. 
patter. 
i. 
thi. 
cas. 
i. 
no. 
th. 
su. 
I. 
. 
IB. 
bu. 
rathe. 
a. 
alternatin. 
serie. 
o. 
brigh. 
an. 
dar. 
interferenc. 
fringe. 
wit. 
. 
brigh. 
maximu. 
midwa. 
betwee. 
point. 
. 
an. 
B. 
Th. 
spacin. 
o. 
th. 
fringe. 
depend. 
o. 
th. 
distanc. 
betwee. 
th. 
tw. 
slits. 


Th. 
wav. 
theor. 
fo. 
ligh. 
provide. 
. 
satisfactor. 
explanatio. 
fo. 
thes. 
observations. 
I. 
was. 
indeed. 
thi. 
ver. 
experimen. 
conducte. 
b. 
T. 
Youn. 
(1802. 
that. 
i. 
th. 
nineteent. 
century. 
le. 
t. 
th. 
replacemen. 
o. 
Newton'. 
particl. 
theor. 
o. 
ligh. 
b. 
. 
wav. 
theory. 


Th. 
wav. 
interpretatio. 
o. 
th. 
interferenc. 
patter. 
observe. 
i. 
Young'. 
experimen. 
i. 
inconsisten. 
wit. 
th. 
particl. 
o. 
photo. 
concep. 
o. 
ligh. 
a. 
require. 
b. 
Einstein'. 
explanatio. 
o. 
th. 
photoelectri. 
effect. 
I. 
th. 
monochro. 
mati. 
bea. 
o. 
ligh. 
consist. 
o. 
. 
strea. 
o. 
individua. 
photons. 
the. 
eac. 
photo. 
presumabl. 
mus. 
pas. 
throug. 
eithe. 
sli. 
. 
o. 
sli. 
B. 
T. 
tes. 
thi. 
assertion. 
detector. 
ar. 
place. 
directl. 
behin. 
slit. 
. 
an. 
. 
an. 
bot. 
slit. 
ar. 
opened. 
Th. 
ligh. 
bea. 
use. 
i. 
o. 
suc. 
lo. 
intensit. 
tha. 
onl. 
on. 
photo. 
a. 
. 
tim. 
i. 
emitte. 
b. 
S. 
I. 
thi. 
situatio. 
eac. 
photo. 
i. 
recorde. 
b. 
eithe. 
on. 
detecto. 
o. 
th. 
other. 
neve. 
b. 
bot. 
a. 
once. 
Hal. 
o. 
th. 
photon. 
ar. 
observe. 
t. 
pas. 
throug. 
sli. 
A. 
hal. 
throug. 
sli. 
. 
i. 
rando. 
order. 
Thi. 
resul. 
i. 
consisten. 
wit. 
particl. 
behavior. 


Ho. 
the. 
i. 
. 
photo. 
passin. 
throug. 
onl. 
on. 
sli. 
in�uence. 
b. 
th. 
othe. 
sli. 
t. 
produc. 
a. 
interferenc. 
pattern. 
. 
possibl. 
explanatio. 
i. 
tha. 
someho. 
photon. 
passin. 
throug. 
sli. 
. 
interac. 
wit. 
othe. 
photon. 
passin. 
throug. 
sli. 



1.. 
Young'. 
double-sli. 
experimen. 
2. 


. 
an. 
vic. 
versa. 
T. 
answe. 
thi. 
question. 
Young'. 
experimen. 
i. 
repeate. 
wit. 
bot. 
slit. 
ope. 
an. 
wit. 
onl. 
on. 
photo. 
a. 
. 
tim. 
emitte. 
b. 
S. 
Th. 
elapse. 
tim. 
betwee. 
eac. 
emissio. 
i. 
lon. 
enoug. 
t. 
rul. 
ou. 
an. 
interaction. 
amon. 
th. 
photons. 
Whil. 
i. 
migh. 
b. 
expecte. 
that. 
unde. 
thes. 
circumstances. 
th. 
patter. 
i. 
Figur. 
1.9(b. 
woul. 
b. 
obtained. 
i. 
fac. 
th. 
interferenc. 
fringe. 
o. 
Figur. 
1.9(c. 
ar. 
observed. 
Thus. 
th. 
sam. 
resul. 
i. 
obtaine. 
regardles. 
o. 
th. 
intensit. 
o. 
th. 
ligh. 
beam. 
eve. 
i. 
th. 
limi. 
o. 
diminishin. 
intensity. 


I. 
th. 
detectio. 
scree. 
. 
i. 
constructe. 
s. 
tha. 
th. 
location. 
o. 
individua. 
photo. 
impact. 
ca. 
b. 
observe. 
(wit. 
a. 
arra. 
o. 
scintillatio. 
counters. 
fo. 
example). 
the. 
tw. 
feature. 
becom. 
apparent. 
Th. 
�rs. 
i. 
tha. 
onl. 
whol. 
photon. 
ar. 
detected. 
eac. 
photo. 
strike. 
th. 
scree. 
. 
a. 
onl. 
on. 
location. 
Th. 
secon. 
i. 
tha. 
th. 
interferenc. 
patter. 
i. 
slowl. 
buil. 
u. 
a. 
th. 
cumulativ. 
effec. 
o. 
ver. 
man. 
individua. 
photo. 
impacts. 
Th. 
behavio. 
o. 
an. 
particula. 
photo. 
i. 
unpredictable. 
i. 
strike. 
th. 
scree. 
a. 
. 
rando. 
location. 
Th. 
densit. 
o. 
th. 
impact. 
a. 
eac. 
poin. 
o. 
th. 
scree. 
. 
give. 
th. 
interferenc. 
fringes. 
Lookin. 
a. 
i. 
th. 
othe. 
wa. 
around. 
th. 
interferenc. 
patter. 
i. 
th. 
probabilit. 
distributio. 
o. 
th. 
locatio. 
o. 
th. 
photo. 
impacts. 


I. 
onl. 
sli. 
. 
i. 
ope. 
hal. 
o. 
th. 
tim. 
an. 
onl. 
sli. 
. 
th. 
othe. 
hal. 
o. 
th. 
time. 
the. 
th. 
interferenc. 
fringe. 
ar. 
no. 
observe. 
an. 
th. 
diffractio. 
patter. 
o. 
Figur. 
1.9(b. 
i. 
obtained. 
Th. 
photon. 
passin. 
throug. 
sli. 
. 
on. 
a. 
. 
tim. 
for. 
i. 
. 
statistica. 
manne. 
th. 
patter. 
labele. 
I. 
i. 
Figur. 
1.9(a). 
whil. 
thos. 
passin. 
throug. 
sli. 
. 
yiel. 
th. 
patter. 
IB. 
I. 
bot. 
slit. 
. 
an. 
. 
ar. 
lef. 
open. 
bu. 
. 
detecto. 
i. 
place. 
a. 
sli. 
. 
s. 
tha. 
w. 
kno. 
fo. 
certai. 
whethe. 
eac. 
give. 
photo. 
passe. 
throug. 
sli. 
. 
o. 
throug. 
sli. 
B. 
the. 
th. 
interferenc. 
patter. 
i. 
agai. 
no. 
observed. 
onl. 
th. 
patter. 
o. 
Figur. 
1.9(b. 
i. 
obtained. 
Th. 
ac. 
o. 
ascertainin. 
throug. 
whic. 
sli. 
th. 
photo. 
passe. 
ha. 
th. 
sam. 
effec. 
a. 
closin. 
th. 
othe. 
slit. 


Th. 
severa. 
variation. 
o. 
Young'. 
experimen. 
canno. 
b. 
explaine. 
exclu. 
sivel. 
b. 
. 
wav. 
concep. 
o. 
ligh. 
no. 
b. 
. 
particl. 
concept. 
Bot. 
wav. 
an. 
particl. 
behavio. 
ar. 
neede. 
fo. 
. 
complet. 
description. 
Whe. 
th. 
photo. 
i. 
allowe. 
t. 
pas. 
undetecte. 
throug. 
th. 
slits. 
i. 
display. 
wav. 
behavio. 
an. 
a. 
interferenc. 
patter. 
i. 
observed. 
Typica. 
o. 
particl. 
behavior. 
eac. 
photo. 
strike. 
th. 
detectio. 
scree. 
. 
a. 
. 
speci�. 
location. 
However. 
th. 
locatio. 
i. 
differen. 
fo. 
eac. 
photo. 
an. 
th. 
resultin. 
patter. 
fo. 
man. 
photon. 
i. 
i. 
accor. 
wit. 
. 
probabilit. 
distribution. 
Whe. 
th. 
photo. 
i. 
observe. 
o. 
constraine. 
t. 
pas. 
throug. 
. 
speci�. 
slit. 
whethe. 
th. 
othe. 
sli. 
i. 
ope. 
o. 
closed. 
th. 
behavio. 
i. 
mor. 
lik. 
tha. 
o. 
. 
particl. 
an. 
th. 
interferenc. 
fringe. 
ar. 
no. 
observed. 
I. 
shoul. 
b. 
noted. 
however. 
tha. 
th. 
curv. 
I. 
i. 
Figur. 
1.9(a. 
i. 
th. 
diffractio. 
patter. 
fo. 
. 
wav. 
passin. 
throug. 
. 
sli. 
o. 
widt. 
comparabl. 
t. 
th. 
wavelengt. 
o. 
th. 
wave. 
Thus. 
eve. 
wit. 
onl. 
on. 
sli. 
ope. 



2. 
Th. 
wav. 
functio. 


an. 
wit. 
th. 
photon. 
passin. 
throug. 
th. 
sli. 
on. 
a. 
. 
time. 
wav. 
behavio. 
i. 
observed. 


Analogou. 
experiment. 
usin. 
electron. 
instea. 
o. 
photon. 
hav. 
bee. 
carrie. 
ou. 
wit. 
th. 
sam. 
results. 
Electron. 
passin. 
throug. 
. 
syste. 
wit. 
doubl. 
slit. 
produc. 
a. 
interferenc. 
pattern. 
I. 
. 
detecto. 
determine. 
throug. 
whic. 
sli. 
eac. 
electro. 
passes. 
the. 
th. 
interferenc. 
patter. 
i. 
no. 
observed. 
A. 
wit. 
th. 
photon. 
th. 
electro. 
exhibit. 
bot. 
wave-lik. 
an. 
particle-lik. 
behavio. 
an. 
it. 
locatio. 
o. 
. 
detectio. 
scree. 
i. 
randoml. 
determine. 
b. 
. 
probabilit. 
distribution. 


1.. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 


Anothe. 
experimen. 
tha. 
relate. 
t. 
th. 
physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
wa. 
performe. 
b. 
O. 
Ster. 
an. 
W. 
Gerlac. 
(1922). 
Thei. 
experimen. 
i. 
. 
dramati. 
illustratio. 
o. 
. 
quantum-mechanica. 
effec. 
whic. 
i. 
i. 
direc. 
con�ic. 
wit. 
th. 
concept. 
o. 
classica. 
theory. 
I. 
wa. 
th. 
�rs. 
experimen. 
o. 
. 
non-optica. 
natur. 
t. 
sho. 
quantu. 
behavio. 
directly. 


I. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experiment. 
. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
i. 
produce. 
b. 
evaporatin. 
silve. 
i. 
. 
high-temperatur. 
ove. 
an. 
allowin. 
th. 
atom. 
t. 
escap. 
throug. 
. 
smal. 
hole. 
Th. 
bea. 
i. 
furthe. 
collimate. 
b. 
passag. 
throug. 
. 
serie. 
o. 
slits. 
A. 
show. 
i. 
Figur. 
1.10. 
th. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
the. 
passe. 
throug. 
. 
highl. 
inhomogeneou. 
magneti. 
�el. 
an. 
condense. 
o. 
. 
detectio. 
plate. 
Th. 
cross-sectio. 
o. 
th. 
magne. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
1.11. 
On. 
pol. 
ha. 
. 
ver. 
shar. 
edg. 
i. 
orde. 
t. 
produc. 
. 
larg. 
gradien. 
i. 
th. 
magneti. 
�eld. 
Th. 
atomi. 
bea. 
i. 
directe. 
alon. 
thi. 
edg. 
(th. 
z-axis. 
s. 
tha. 
th. 
silve. 
atom. 
experienc. 
. 
gradien. 
i. 
magneti. 
�el. 
i. 
th. 
vertica. 
o. 
x-direction. 
bu. 
no. 
i. 
th. 
horizonta. 
o. 
y-direction. 


Silve. 
atoms. 
bein. 
paramagnetic. 
hav. 
. 
magneti. 
momen. 
M.In. 
magneti. 
�el. 
B. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
o. 
eac. 
ato. 
i. 
. 
.�M.. 
Betwee. 
th. 
pole. 
o. 
th. 
magnet. 
th. 
magneti. 
�el. 
. 
varie. 
rapidl. 
i. 
th. 
x. 


Oven Collimating 
slits 
Magnet 
y 
x 
z 

Detection 
plate 

Figur. 
1.1. 
Diagra. 
o. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experiment. 



1.. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
2. 


x 


z 

y 

Magnet 

Figur. 
1.1. 
. 
cross-sectio. 
o. 
th. 
magne. 
i. 
Figur. 
1.10. 


direction. 
resultin. 
i. 
. 
forc. 
F. 
i. 
th. 
x-directio. 
actin. 
o. 
eac. 
silve. 
atom. 
Thi. 
forc. 
i. 
give. 
b. 


F. 
.. 
.. 
co. 
. 


wher. 
. 
an. 
. 
ar. 
th. 
magnitude. 
o. 
th. 
vector. 
. 
an. 
. 
an. 
. 
i. 
th. 
angl. 
betwee. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
magneti. 
momen. 
an. 
th. 
positiv. 
x-axis. 
Thus. 
th. 
inhomogeneou. 
magneti. 
�el. 
de�ect. 
th. 
pat. 
o. 
. 
silve. 
ato. 
b. 
a. 
amoun. 
dependen. 
o. 
th. 
orientatio. 
angl. 
. 
o. 
it. 
magneti. 
moment. 
I. 
th. 
angl. 
. 
i. 
betwee. 
0. 
an. 
908. 
the. 
th. 
forc. 
i. 
positiv. 
an. 
th. 
ato. 
move. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
Fo. 
a. 
angl. 
. 
betwee. 
90. 
an. 
1808. 
th. 
forc. 
i. 
negativ. 
an. 
th. 
ato. 
move. 
i. 
th. 
negativ. 
x-direction. 


A. 
th. 
silve. 
atom. 
escap. 
fro. 
th. 
oven. 
thei. 
magneti. 
moment. 
ar. 
randoml. 
oriente. 
s. 
tha. 
al. 
possibl. 
value. 
o. 
th. 
angl. 
. 
occur. 
Accordin. 
t. 
classica. 
mechanics. 
w. 
shoul. 
expec. 
th. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
t. 
form. 
o. 
th. 
detectio. 
plate. 
. 
continuou. 
vertica. 
line. 
correspondin. 
t. 
. 
gaussia. 
distribu. 
tio. 
o. 
impact. 
wit. 
. 
maximu. 
intensit. 
a. 
th. 
cente. 
(. 
.0). 
Th. 
oute. 
limit. 
o. 
thi. 
lin. 
woul. 
correspon. 
t. 
th. 
magneti. 
momen. 
o. 
. 
silve. 
ato. 
paralle. 
(. 
.08. 
an. 
antiparalle. 
(. 
.1808. 
t. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
(. 
B=@x). 
Wha. 
i. 
actuall. 
observe. 
o. 
th. 
detectio. 
plat. 
ar. 
tw. 
spots. 
locate. 
a. 
eac. 
o. 
th. 
oute. 
limit. 
predicte. 
b. 
th. 
classica. 
theory. 
Thus. 
th. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
split. 
int. 
tw. 
distinc. 
components. 
on. 
correspondin. 
t. 
. 
.08. 
th. 
othe. 
t. 
. 
.1808. 
Ther. 
ar. 
n. 
trajectorie. 
correspondin. 
t. 
intermediat. 
value. 
o. 
�. 
Ther. 
i. 
nothin. 
uniqu. 
o. 
specia. 
abou. 
th. 
vertica. 
direction. 
I. 
th. 
magne. 
i. 
rotate. 
s. 
tha. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
i. 
alon. 
th. 
y-axis. 
the. 
agai. 
onl. 
tw. 
spot. 
ar. 
observe. 
o. 
th. 
detectio. 
plate. 
bu. 
ar. 
no. 
locate. 
o. 
th. 
horizonta. 
axis. 


Th. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
show. 
tha. 
th. 
magneti. 
momen. 
o. 
eac. 



2. 
Th. 
wav. 
functio. 


silve. 
ato. 
i. 
foun. 
onl. 
i. 
on. 
o. 
tw. 
orientations. 
eithe. 
paralle. 
o. 
antiparalle. 
t. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradient. 
eve. 
thoug. 
th. 
magneti. 
moment. 
o. 
th. 
atom. 
ar. 
randoml. 
oriente. 
whe. 
the. 
emerg. 
fro. 
th. 
oven. 
Thus. 
th. 
possibl. 
orientation. 
o. 
th. 
atomi. 
magneti. 
momen. 
ar. 
quantized. 
i.e.. 
onl. 
certai. 
discret. 
value. 
ar. 
observed. 
Sinc. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
quantizatio. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradient. 
th. 
experimenta. 
proces. 
itsel. 
in�uence. 
th. 
resul. 
o. 
th. 
measurement. 
Thi. 
featur. 
occur. 
i. 
othe. 
experiment. 
a. 
wel. 
an. 
i. 
characteristi. 
o. 
quantu. 
behavior. 


I. 
th. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
i. 
allowe. 
t. 
pas. 
sequentiall. 
betwee. 
th. 
pole. 
o. 
tw. 
o. 
thre. 
magnets. 
additiona. 
interestin. 
phenomen. 
ar. 
observed. 
W. 
describ. 
her. 
thre. 
suc. 
relate. 
experimenta. 
arrangements. 
I. 
th. 
�rs. 
arrangemen. 
th. 
collimate. 
bea. 
passe. 
throug. 
. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
pointin. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
On. 
o. 
th. 
tw. 
exitin. 
beam. 
i. 
blocke. 
(sa. 
th. 
on. 
wit. 
antiparalle. 
orientation). 
whil. 
th. 
othe. 
(wit. 
paralle. 
orientation. 
passe. 
throug. 
. 
secon. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
whic. 
i. 
paralle. 
t. 
th. 
�rst. 
Th. 
atom. 
exitin. 
th. 
secon. 
magne. 
ar. 
deposite. 
o. 
. 
detectio. 
plate. 
I. 
thi. 
cas. 
onl. 
on. 
spo. 
i. 
observed. 
becaus. 
th. 
magneti. 
moment. 
o. 
th. 
atom. 
enterin. 
th. 
secon. 
magneti. 
�el. 
ar. 
al. 
oriente. 
paralle. 
t. 
th. 
gradien. 
an. 
remai. 
paralle. 
unti. 
the. 
strik. 
th. 
detectio. 
plate. 


Th. 
secon. 
arrangemen. 
i. 
th. 
sam. 
a. 
th. 
�rs. 
excep. 
tha. 
th. 
gradien. 
o. 
th. 
secon. 
magneti. 
�el. 
i. 
alon. 
th. 
positiv. 
y-axis. 
i.e.. 
i. 
i. 
perpendicula. 
t. 
th. 
gradien. 
o. 
th. 
�rs. 
magneti. 
�eld. 
Fo. 
thi. 
arrangement. 
tw. 
spot. 
o. 
silve. 
atom. 
appea. 
o. 
th. 
detectio. 
plate. 
on. 
t. 
th. 
lef. 
an. 
on. 
t. 
th. 
righ. 
o. 
th. 
vertica. 
x-axis. 
Th. 
bea. 
leavin. 
th. 
�rs. 
magne. 
wit. 
al. 
th. 
atomi. 
magneti. 
moment. 
oriente. 
i. 
th. 
positiv. 
x-directio. 
i. 
no. 
spli. 
int. 
tw. 
equa. 
beam. 
wit. 
th. 
magneti. 
moment. 
oriente. 
paralle. 
an. 
antiparalle. 
t. 
th. 
secon. 
magneti. 
�el. 
gradient. 


Th. 
thir. 
arrangemen. 
add. 
ye. 
anothe. 
vertica. 
inhomogeneou. 
magneti. 
�el. 
t. 
th. 
setu. 
o. 
th. 
secon. 
arrangement. 
I. 
thi. 
ne. 
arrangemen. 
th. 
collimate. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
comin. 
fro. 
th. 
ove. 
�rs. 
encounter. 
. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
whic. 
split. 
th. 
bea. 
verticall. 
int. 
tw. 
parts. 
Th. 
lowe. 
bea. 
i. 
blocke. 
an. 
th. 
uppe. 
bea. 
passe. 
throug. 
. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
i. 
th. 
positiv. 
y-direction. 
Thi. 
bea. 
i. 
spli. 
horizontall. 
int. 
tw. 
parts. 
Th. 
lef. 
bea. 
i. 
blocke. 
an. 
th. 
righ. 
bea. 
i. 
no. 
directe. 
throug. 
. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
paralle. 
t. 
th. 
�rs. 
one. 
i.e.. 
oriente. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
Th. 
resultin. 
patter. 
o. 
th. 
detectio. 
plat. 
migh. 
b. 
expecte. 
t. 
b. 
. 
singl. 
spot. 
correspondin. 
t. 
th. 
magneti. 
moment. 
o. 
al. 
atom. 
bein. 
aligne. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
Wha. 
i. 
observe. 
i. 
thi. 
case. 
however. 
ar. 
tw. 
spot. 
situate. 
o. 
. 
vertica. 
axi. 
an. 
correspondin. 
t. 
atomi. 
magneti. 
moment. 
aligne. 
i. 
equa. 
number. 
i. 
bot. 
th. 
positiv. 
an. 
negativ. 



1.. 
Physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
2. 


x-directions. 
Th. 
passag. 
o. 
th. 
atom. 
throug. 
th. 
secon. 
magne. 
apparentl. 
realigne. 
thei. 
magneti. 
moment. 
paralle. 
an. 
antiparalle. 
t. 
th. 
positiv. 
y. 
axi. 
an. 
thereb. 
destroye. 
th. 
previou. 
informatio. 
regardin. 
thei. 
alignmen. 
b. 
th. 
�rs. 
magnet. 


Th. 
origina. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
ha. 
als. 
bee. 
carrie. 
ou. 
wit. 
th. 
sam. 
result. 
usin. 
sodium. 
potassium. 
copper. 
gold. 
thallium. 
an. 
hydroge. 
atom. 
i. 
plac. 
o. 
silve. 
atoms. 
Eac. 
o. 
thes. 
atoms. 
includin. 
silver. 
ha. 
. 
singl. 
unpaire. 
electro. 
amon. 
th. 
valenc. 
electron. 
surroundin. 
it. 
nucleu. 
an. 
cor. 
electrons. 
I. 
hydrogen. 
o. 
course. 
ther. 
i. 
onl. 
on. 
electro. 
abou. 
th. 
nucleus. 
Th. 
magneti. 
momen. 
o. 
suc. 
a. 
ato. 
i. 
du. 
t. 
th. 
intrinsi. 
angula. 
momentum. 
calle. 
spin. 
o. 
thi. 
od. 
electron. 
Th. 
quantizatio. 
o. 
th. 
magneti. 
momen. 
b. 
th. 
inhomogeneou. 
magneti. 
�el. 
i. 
the. 
th. 
quantizatio. 
o. 
thi. 
electro. 
spi. 
angula. 
momentum. 
Th. 
spi. 
o. 
th. 
electro. 
an. 
o. 
othe. 
particle. 
i. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
7. 


Sinc. 
th. 
splittin. 
o. 
th. 
atomi. 
bea. 
i. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
i. 
du. 
t. 
th. 
spi. 
o. 
a. 
unpaire. 
electron. 
on. 
migh. 
wonde. 
wh. 
. 
bea. 
o. 
electron. 
i. 
no. 
use. 
directl. 
rathe. 
tha. 
havin. 
th. 
electron. 
attache. 
t. 
atoms. 
I. 
orde. 
fo. 
. 
particl. 
t. 
pas. 
betwee. 
th. 
pole. 
o. 
. 
magne. 
an. 
b. 
de�ecte. 
b. 
. 
distanc. 
proportiona. 
t. 
th. 
forc. 
actin. 
o. 
it. 
th. 
trajector. 
o. 
th. 
particl. 
mus. 
b. 
essentiall. 
. 
classica. 
path. 
A. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
1.4. 
suc. 
. 
particl. 
i. 
describe. 
b. 
. 
wav. 
packe. 
an. 
wav. 
packet. 
dispers. 
wit. 
time�th. 
lighte. 
th. 
particle. 
th. 
faste. 
th. 
dispersio. 
an. 
th. 
greate. 
th. 
uncertaint. 
i. 
th. 
positio. 
o. 
th. 
particle. 
Th. 
applicatio. 
o. 
Heisenberg'. 
uncertaint. 
principl. 
t. 
a. 
electro. 
bea. 
show. 
that. 
becaus. 
o. 
th. 
smal. 
mas. 
o. 
th. 
electron. 
i. 
i. 
meaningles. 
t. 
assig. 
. 
magneti. 
momen. 
t. 
. 
fre. 
electron. 
A. 
. 
result. 
th. 
patter. 
o. 
th. 
detectio. 
plat. 
fro. 
a. 
electro. 
bea. 
woul. 
b. 
suf�cientl. 
diffus. 
fro. 
interferenc. 
effect. 
tha. 
n. 
conclusion. 
coul. 
b. 
drawn.. 
How. 
ever. 
whe. 
th. 
electro. 
i. 
boun. 
unpaire. 
i. 
a. 
atom. 
the. 
th. 
atom. 
havin. 
. 
suf�cientl. 
large. 
mass. 
ha. 
. 
magneti. 
momen. 
an. 
a. 
essentiall. 
classica. 
pat. 
throug. 
th. 
Stern�Gerlac. 
apparatus. 


1.. 
Physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 


Young'. 
double-sli. 
experimen. 
an. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experiment. 
a. 
de. 
scribe. 
i. 
th. 
tw. 
previou. 
sections. 
lea. 
t. 
. 
physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
associate. 
wit. 
th. 
motio. 
o. 
. 
particle. 
Basi. 
t. 
th. 
concep. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
i. 
th. 
postulat. 
tha. 
th. 
wav. 
functio. 
contain. 
al. 
th. 


Thi. 
poin. 
i. 
discusse. 
i. 
mor. 
detai. 
i. 
N. 
F. 
Mot. 
an. 
H. 
S. 
W. 
Masse. 
(1965. 
Th. 
Theor. 
o. 
Atomi. 
Collisions. 
3r. 
edition. 
p. 
215�16. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 



3. 
Th. 
wav. 
functio. 


informatio. 
tha. 
ca. 
b. 
know. 
abou. 
th. 
particl. 
tha. 
i. 
represents. 
Th. 
wav. 
functio. 
i. 
. 
complet. 
descriptio. 
o. 
th. 
quantu. 
behavio. 
o. 
th. 
particle. 
Fo. 
thi. 
reason. 
th. 
wav. 
functio. 
i. 
ofte. 
als. 
calle. 
th. 
stat. 
o. 
th. 
system. 


I. 
th. 
double-sli. 
experiment. 
th. 
pattern. 
observe. 
o. 
th. 
detectio. 
scree. 
ar. 
slowl. 
buil. 
u. 
fro. 
man. 
individua. 
particl. 
impacts. 
whethe. 
thes. 
particle. 
ar. 
photon. 
o. 
electrons. 
Th. 
positio. 
o. 
th. 
impac. 
o. 
an. 
singl. 
particl. 
canno. 
b. 
predicted. 
onl. 
th. 
cumulativ. 
effec. 
o. 
man. 
impact. 
i. 
predetermined. 
Accordingly. 
. 
theoretica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
experimen. 
mus. 
involv. 
probabilit. 
distribution. 
rathe. 
tha. 
speci�. 
particl. 
trajectories. 
Th. 
probabilit. 
tha. 
. 
particl. 
wil. 
strik. 
th. 
detectio. 
scree. 
betwee. 
som. 
poin. 
. 
an. 
. 
neighborin. 
poin. 
. 
.d. 
i. 
P(x)d. 
an. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
rang. 
dx. 
Th. 
large. 
th. 
rang. 
dx. 
th. 
greate. 
th. 
probabilit. 
fo. 
. 
give. 
particl. 
t. 
strik. 
th. 
detectio. 
scree. 
i. 
tha. 
range. 
Th. 
proportionalit. 
facto. 
P(x. 
i. 
calle. 
th. 
probabilit. 
densit. 
an. 
i. 
. 
functio. 
o. 
th. 
positio. 
x. 
Fo. 
example. 
th. 
probabilit. 
densit. 
P(x. 
fo. 
th. 
curv. 
I. 
i. 
Figur. 
1.9(a. 
ha. 
. 
maximu. 
a. 
th. 
poin. 
. 
an. 
decrease. 
symmetricall. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
A. 


I. 
th. 
motio. 
o. 
. 
particl. 
i. 
th. 
double-sli. 
experimen. 
i. 
t. 
b. 
represente. 
b. 
. 
wav. 
function. 
the. 
tha. 
wav. 
functio. 
mus. 
determin. 
th. 
probabilit. 
densit. 
P(x). 
Fo. 
mechanica. 
wave. 
i. 
matte. 
an. 
fo. 
electromagneti. 
waves. 
th. 
intensit. 
o. 
. 
wav. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
squar. 
o. 
it. 
amplitude. 
B. 
analogy. 
th. 
probabilit. 
densit. 
P(x. 
i. 
postulate. 
t. 
b. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
absolut. 
valu. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 


P(x. 
.j�(x)j. 
.�(x)�(x. 


O. 
th. 
basi. 
o. 
thi. 
postulate. 
th. 
interferenc. 
patter. 
observe. 
i. 
th. 
double. 
sli. 
experimen. 
ca. 
b. 
explaine. 
i. 
term. 
o. 
quantu. 
particl. 
behavior. 


. 
particle. 
photo. 
o. 
electron. 
passin. 
throug. 
sli. 
. 
an. 
strikin. 
th. 
detectio. 
scree. 
a. 
poin. 
. 
ha. 
wav. 
functio. 
�A(x). 
whil. 
. 
simila. 
particl. 
passin. 
throug. 
sli. 
. 
ha. 
wav. 
functio. 
�B(x). 
Sinc. 
. 
particl. 
i. 
observe. 
t. 
retai. 
it. 
identit. 
an. 
no. 
divid. 
int. 
smalle. 
units. 
it. 
wav. 
functio. 
�(x)i. 
postulate. 
t. 
b. 
th. 
su. 
o. 
th. 
tw. 
possibilitie. 


�(x. 
.�A(x. 
.�B(x. 
(1:48. 


Whe. 
onl. 
sli. 
. 
i. 
open. 
th. 
particl. 
emitte. 
b. 
th. 
sourc. 
. 
passe. 
throug. 
sli. 
A. 
thereb. 
causin. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
i. 
equatio. 
(1.48. 
t. 
chang. 
o. 
collaps. 
suddenl. 
t. 
�A(x). 
Th. 
probabilit. 
densit. 
PA(x. 
tha. 
th. 
particl. 
strike. 
poin. 
. 
o. 
th. 
detectio. 
scree. 
is. 
the. 


PA(x. 
.j�A(x)j

an. 
th. 
intensit. 
distributio. 
I. 
i. 
Figur. 
1.9(a. 
i. 
obtained. 
Whe. 
onl. 
sli. 
. 



1.. 
Physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
3. 


i. 
open. 
th. 
particl. 
passe. 
throug. 
sli. 
. 
an. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
collapse. 
t. 
�B(x). 
Th. 
probabilit. 
densit. 
PB(x. 
i. 
the. 
give. 
b. 


PB(x. 
.j�B(x)j

an. 
curv. 
I. 
i. 
Figur. 
1.9(a. 
i. 
observed. 
I. 
sli. 
. 
i. 
ope. 
an. 
sli. 
. 
close. 
hal. 
o. 
th. 
time. 
an. 
sli. 
. 
i. 
close. 
an. 
sli. 
. 
ope. 
th. 
othe. 
hal. 
o. 
th. 
time. 
the. 
th. 
resultin. 
probabilit. 
densit. 
o. 
th. 
detectio. 
scree. 
i. 
jus. 


PA(x. 
.PB(x. 
.j�A(x)j. 
.j�B(x)j

givin. 
th. 
curv. 
i. 
Figur. 
1.9(b). 


Whe. 
bot. 
slit. 
. 
an. 
. 
ar. 
ope. 
a. 
th. 
sam. 
time. 
th. 
interpretatio. 
changes. 
I. 
thi. 
case. 
th. 
probabilit. 
densit. 
PAB(x)i. 


PAB(x. 
.j�A(x. 
.�B(x)j

.j�A(x)j. 
.j�B(x)j. 
.�(x)�B(x. 
.�(x)�A(x. 


.PA(x. 
.PB(x. 
.IAB(x. 
(1:49. 


wher. 


IAB(x. 
.�(x)�B(x. 
.�(x)�A(x. 


Th. 
probabilit. 
densit. 
PAB(x. 
ha. 
a. 
interferenc. 
ter. 
IAB(x. 
i. 
additio. 
t. 
th. 
term. 
PA(x. 
an. 
PB(x). 
Thi. 
interferenc. 
ter. 
i. 
rea. 
an. 
i. 
positiv. 
fo. 
som. 
value. 
o. 
x. 
bu. 
negativ. 
fo. 
others. 
Thus. 
th. 
ter. 
IAB(x. 
modi�e. 
th. 
su. 
PA(x. 
.PB(x. 
t. 
giv. 
a. 
intensit. 
distributio. 
wit. 
interferenc. 
fringe. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
1.9(c). 


Fo. 
th. 
experimen. 
wit. 
bot. 
slit. 
ope. 
an. 
. 
detecto. 
place. 
a. 
sli. 
A. 
th. 
interactio. 
betwee. 
th. 
wav. 
functio. 
an. 
th. 
detecto. 
mus. 
b. 
take. 
int. 
account. 
An. 
interactio. 
betwee. 
. 
particl. 
an. 
observin. 
apparatu. 
modi�e. 
th. 
wav. 
functio. 
o. 
th. 
particle. 
I. 
thi. 
case. 
th. 
wav. 
functio. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
. 
wav. 
packe. 
which. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(1.37). 
oscillate. 
wit. 
tim. 
a. 


e�iEt=". 


Durin. 
th. 
tim. 
perio. 
�. 
tha. 
th. 
particl. 
an. 
th. 
detecto. 
ar. 
interacting. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
interactin. 
syste. 
i. 
uncertai. 
b. 
a. 
amoun. 
�E. 
which. 
accordin. 
t. 
th. 
Heisenber. 
energy�tim. 
uncertaint. 
principle. 
equa. 
tio. 
(1.45). 
i. 
relate. 
t. 
�. 
b. 
�. 
>"=�t. 
Thus. 
ther. 
i. 
a. 
uncertaint. 
i. 
th. 
phas. 
Et="o. 
th. 
wav. 
functio. 
an. 
�A(x. 
i. 
replace. 
b. 
eij�A(x). 
wher. 
. 
i. 
real. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
varie. 
wit. 
eac. 
particle�detecto. 
interactio. 
an. 
i. 
totall. 
unpredictable. 
Therefore. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
thi. 
experimen. 
i. 


�(x. 
.eij�A(x. 
.�B(x. 
(1:50. 


an. 
th. 
resultin. 
probabilit. 
densit. 
Pj(x)i. 



3. 
Th. 
wav. 
functio. 


Pj(x. 
.j�A(x)j. 
.j�B(x)j. 
.e�ij�(x)�B(x. 
.eij�(x)�A(x. 


.PA(x. 
.PB(x. 
.Ij(x. 
(1:51. 
wher. 
Ij(x. 
i. 
de�ne. 
b. 
Ij(x. 
.e�ij�(x)�B(x. 
.eij�(x)�A(x. 


Th. 
interactio. 
wit. 
th. 
detecto. 
a. 
sli. 
. 
ha. 
change. 
th. 
interferenc. 
ter. 
fro. 
IAB(x)t. 
Ij(x). 


Fo. 
an. 
particula. 
particl. 
leavin. 
th. 
sourc. 
. 
an. 
ultimatel. 
strikin. 
th. 
detectio. 
scree. 
D. 
th. 
valu. 
o. 
. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
interactio. 
wit. 
th. 
detecto. 
a. 
sli. 
A. 
However. 
thi. 
valu. 
i. 
no. 
know. 
an. 
canno. 
b. 
controlled. 
fo. 
al. 
practica. 
purpose. 
i. 
i. 
. 
randoml. 
determine. 
an. 
unveri�abl. 
number. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
does. 
however. 
in�uenc. 
th. 
poin. 
. 
wher. 
th. 
particl. 
strike. 
th. 
detectio. 
screen. 
Th. 
patter. 
observe. 
o. 
th. 
scree. 
i. 
th. 
resul. 
o. 
. 
larg. 
numbe. 
o. 
impact. 
o. 
particles. 
eac. 
wit. 
wav. 
functio. 
�(x. 
i. 
equatio. 
(1.50). 
bu. 
wit. 
rando. 
value. 
fo. 
j. 
I. 
establishin. 
thi. 
pattern. 
th. 
ter. 
Ij(x. 
i. 
equatio. 
(1.51. 
average. 
t. 
zero. 
Thus. 
i. 
thi. 
experimen. 
th. 
probabilit. 
densit. 
Pj(x. 
i. 
jus. 
th. 
su. 
o. 
PA(x. 
an. 
PB(x). 
givin. 
th. 
intensit. 
distributio. 
show. 
i. 
Figur. 
1.9(b). 


I. 
comparin. 
th. 
tw. 
experiment. 
wit. 
bot. 
slit. 
open. 
w. 
se. 
tha. 
interact. 
in. 
wit. 
th. 
syste. 
b. 
placin. 
. 
detecto. 
a. 
sli. 
. 
change. 
th. 
wav. 
functio. 
o. 
th. 
syste. 
an. 
th. 
experimenta. 
outcome. 
Thi. 
featur. 
i. 
a. 
essentia. 
char. 
acteristi. 
o. 
quantu. 
theory. 
W. 
als. 
not. 
tha. 
withou. 
. 
detecto. 
a. 
sli. 
A. 
ther. 
ar. 
tw. 
indistinguishabl. 
way. 
fo. 
th. 
particl. 
t. 
reac. 
th. 
detectio. 
scree. 
. 
an. 
th. 
tw. 
wav. 
function. 
�A(x. 
an. 
�B(x. 
ar. 
adde. 
together. 
Wit. 
. 
detecto. 
a. 
sli. 
A. 
th. 
tw. 
path. 
ar. 
distinguishabl. 
an. 
i. 
i. 
th. 
probabilit. 
densitie. 
PA(x. 
an. 
PB(x. 
tha. 
ar. 
added. 


A. 
analysi. 
o. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
als. 
contribute. 
t. 
th. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
function. 
Whe. 
a. 
ato. 
escape. 
fro. 
th. 
high. 
temperatur. 
oven. 
it. 
magneti. 
momen. 
i. 
randoml. 
oriented. 
Befor. 
thi. 
ato. 
interact. 
wit. 
th. 
magneti. 
�eld. 
it. 
wav. 
functio. 
. 
i. 
th. 
weighte. 
su. 
o. 
tw. 
possibl. 
state. 
. 
an. 
. 


. 
.c�. 
.c�. 
(1:52. 


wher. 
c. 
an. 
c. 
ar. 
constant. 
an. 
ar. 
relate. 
b. 


jc�j. 
.jc�j. 
.. 


I. 
th. 
presenc. 
o. 
th. 
inhomogeneou. 
magneti. 
�eld. 
th. 
wav. 
functio. 
. 


collapse. 
t. 
eithe. 
. 
o. 
. 
wit. 
probabilitie. 
jc�jan. 
jc�j2. 
respectively. 
Th. 
stat. 
. 
correspond. 
t. 
th. 
atomi. 
magneti. 
momen. 
bein. 
paralle. 
t. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradient. 
th. 
stat. 
. 
bein. 
antiparallel. 
Regardles. 
o. 
th. 



1.. 
Physica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
3. 


orientatio. 
o. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradient. 
vertica. 
(u. 
o. 
down). 
horizonta. 
(lef. 
o. 
right). 
o. 
an. 
angl. 
i. 
between. 
th. 
wav. 
functio. 
o. 
th. 
ato. 
i. 
alway. 
give. 
b. 
equatio. 
(1.52. 
wit. 
. 
paralle. 
an. 
. 
antiparalle. 
t. 
th. 
magneti. 
�el. 
gradient. 
Sinc. 
th. 
atomi. 
magneti. 
moment. 
ar. 
initiall. 
randoml. 
oriented. 
hal. 
o. 
th. 
wav. 
function. 
collaps. 
t. 
. 
an. 
hal. 
t. 
�. 


I. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
wit. 
tw. 
magnet. 
havin. 
paralle. 
magneti. 
�el. 
gradients�th. 
`�rs. 
arrangement. 
describe. 
i. 
Sectio. 
1.7�al. 
th. 
atom. 
enterin. 
th. 
secon. 
magne. 
ar. 
i. 
stat. 
. 
an. 
therefor. 
ar. 
al. 
de�ecte. 
i. 
th. 
sam. 
directio. 
b. 
th. 
secon. 
magneti. 
�el. 
gradient. 
Thus. 
i. 
i. 
clea. 
tha. 
th. 
wav. 
functio. 
. 
befor. 
an. 
interactio. 
i. 
permanentl. 
change. 
b. 
th. 
inter. 
actio. 
wit. 
th. 
�rs. 
magnet. 


I. 
th. 
`secon. 
arrangement. 
o. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experiment. 
th. 
atom. 
emergin. 
fro. 
th. 
�rs. 
magne. 
an. 
enterin. 
th. 
secon. 
magne. 
ar. 
al. 
i. 
th. 
sam. 
state. 
sa. 
�. 
(Recal. 
tha. 
th. 
othe. 
bea. 
o. 
atom. 
i. 
stat. 
. 
i. 
blocked.. 
Th. 
wav. 
functio. 
. 
ma. 
b. 
regarde. 
a. 
th. 
weighte. 
su. 
o. 
tw. 
state. 
�. 
an. 
�. 


. 
.c9��. 
.c9��. 
wher. 
�. 
an. 
�. 
refe. 
t. 
state. 
wit. 
atomi. 
magneti. 
moment. 
paralle. 
an. 
antiparallel. 
respectively. 
t. 
th. 
secon. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
an. 
wher. 
c9. 
an. 
c9. 
ar. 
constant. 
relate. 
b. 


jc9�j. 
.jc9�j. 
.. 
I. 
th. 
`secon. 
arrangement'. 
th. 
secon. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
i. 
perpendicu. 
la. 
t. 
th. 
�rst. 
s. 
tha. 


jc9�j. 
.jc9�j

. 
.p��. 
(�. 
�9. 


Th. 
interactio. 
o. 
th. 
atom. 
i. 
stat. 
. 
wit. 
th. 
secon. 
magne. 
collapse. 
th. 
wav. 
functio. 
. 
t. 
eithe. 
�. 
o. 
�. 
wit. 
equa. 
probabilities. 


I. 
th. 
`thir. 
arrangement'. 
th. 
righ. 
bea. 
o. 
atom. 
emergin. 
fro. 
th. 
secon. 
magne. 
(al. 
atom. 
bein. 
i. 
stat. 
�9). 
passe. 
throug. 
. 
thir. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
paralle. 
t. 
th. 
�rst. 
I. 
thi. 
case. 
th. 
wav. 
functio. 
�. 
ma. 
b. 
expresse. 
a. 
th. 
su. 
o. 
state. 
. 
an. 
. 


�. 
.p��. 
(. 
�. 


Th. 
interactio. 
betwee. 
th. 
thir. 
magneti. 
�el. 
gradien. 
an. 
eac. 
ato. 
collapse. 
th. 
wav. 
functio. 
�. 
t. 
eithe. 
. 
o. 
. 
wit. 
equa. 
probabilities. 


Th. 
interpretatio. 
o. 
th. 
variou. 
arrangement. 
i. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experi. 



3. 
Th. 
wav. 
functio. 


men. 
reinforce. 
th. 
postulat. 
tha. 
th. 
wav. 
functio. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
th. 
su. 
o. 
indistinguishabl. 
path. 
an. 
i. 
modi�e. 
whe. 
th. 
path. 
becom. 
distinguishabl. 
b. 
mean. 
o. 
. 
measurement. 
Th. 
natur. 
o. 
th. 
modi�catio. 
i. 
th. 
collaps. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
t. 
on. 
o. 
it. 
component. 
i. 
th. 
sum. 
Moreover. 
thi. 
ne. 
collapse. 
wav. 
functio. 
ma. 
b. 
expresse. 
a. 
th. 
su. 
o. 
subsequen. 
indis. 
tinguishabl. 
paths. 
bu. 
remain. 
unchange. 
i. 
n. 
furthe. 
interaction. 
wit. 
measurin. 
device. 
occur. 


Thi. 
statistica. 
interpretatio. 
o. 
th. 
signi�canc. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
wa. 
postulate. 
b. 
M. 
Bor. 
(1926). 
althoug. 
hi. 
idea. 
wer. 
base. 
o. 
som. 
experiment. 
othe. 
tha. 
th. 
double-sli. 
an. 
Stern�Gerlac. 
experiments. 
Th. 
concept. 
tha. 
th. 
wav. 
functio. 
contain. 
al. 
th. 
informatio. 
know. 
abou. 
th. 
syste. 
i. 
represent. 
an. 
tha. 
i. 
collapse. 
t. 
. 
differen. 
stat. 
i. 
a. 
experimenta. 
observatio. 
wer. 
originate. 
b. 
W. 
Heisenber. 
(1927). 
Thes. 
postulate. 
regard. 
in. 
th. 
meanin. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
ar. 
par. 
o. 
wha. 
ha. 
becom. 
know. 
a. 
th. 
Copenhage. 
interpretatio. 
o. 
quantu. 
mechanics. 
Whil. 
th. 
Copenhage. 
interpretatio. 
i. 
dispute. 
b. 
som. 
scientist. 
an. 
philosophers. 
i. 
i. 
accepte. 
b. 
th. 
majorit. 
o. 
scientist. 
an. 
i. 
provide. 
. 
consisten. 
theor. 
whic. 
agree. 
wit. 
al. 
experimenta. 
observation. 
t. 
date. 
W. 
adop. 
th. 
Copenhage. 
interpretatio. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
i. 
thi. 
book.. 


Problem. 


1.. 
Th. 
la. 
o. 
dispersio. 
fo. 
surfac. 
wave. 
o. 
. 
shee. 
o. 
wate. 
o. 
unifor. 
dept. 
. 
is. 


�(k. 
. 
. 
g. 
tan. 
dk)1=. 


wher. 
. 
i. 
th. 
acceleratio. 
du. 
t. 
gravity. 
Wha. 
i. 
th. 
grou. 
velocit. 
o. 
th. 


resultan. 
composit. 
wave. 
Wha. 
i. 
th. 
limi. 
fo. 
dee. 
wate. 
(d. 
. 
4). 
1.. 
Th. 
phas. 
velocit. 
fo. 
. 
particula. 
wav. 
i. 
vp. 
. 
A=�. 
wher. 
. 
i. 
. 
constant. 
Wha. 


i. 
th. 
dispersio. 
relation. 
Wha. 
i. 
th. 
grou. 
velocity. 
1.. 
Sho. 
tha. 


A(k)d. 
. 
. 


fo. 
th. 
gaussia. 
functio. 
A(k. 
i. 
equatio. 
(1.19). 


Th. 
historica. 
an. 
philosophica. 
aspect. 
o. 
th. 
Copenhage. 
interpretatio. 
ar. 
mor. 
extensivel. 
discusse. 
i. 
J. 
Baggot. 
(1992. 
Th. 
Meanin. 
o. 
Quantu. 
Theor. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 


Fo. 
. 
derivation. 
se. 
H. 
Lam. 
(1932. 
Hydrodynamics. 
pp. 
363�8. 
(Cambridg. 
Universit. 
Press. 
Cam. 
bridge). 



Problem. 
3. 


1.. 
Sho. 
tha. 
th. 
averag. 
valu. 
o. 
. 
i. 
k. 
fo. 
th. 
gaussia. 
functio. 
A(k. 
i. 
equatio. 


(1.19). 
1.. 
Sho. 
tha. 
th. 
gaussia. 
function. 
A(k. 
an. 
�(x. 
t. 
obe. 
Parseval'. 
theore. 
(1.18). 
1.. 
Sho. 
tha. 
th. 
squar. 
puls. 
A(k. 
i. 
equatio. 
(1.21. 
an. 
th. 
correspondin. 
functio. 


�(x. 
t. 
obe. 
Parseval'. 
theorem. 



Schro�dinge. 
wav. 
mechanic. 


2.. 
Th. 
Schr.
o�dinge. 
equatio. 


I. 
th. 
previou. 
chapte. 
w. 
introduce. 
th. 
wav. 
functio. 
t. 
represen. 
th. 
motio. 
o. 
. 
particl. 
movin. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
a. 
externa. 
force. 
I. 
thi. 
chapte. 
w. 
exten. 
th. 
concep. 
o. 
. 
wav. 
functio. 
t. 
mak. 
i. 
appl. 
t. 
. 
particl. 
acte. 
upo. 
b. 
. 
non-vanishin. 
force. 
i.e.. 
. 
particl. 
movin. 
unde. 
th. 
in�uenc. 
o. 
. 
potentia. 
whic. 
depend. 
o. 
position. 
Th. 
forc. 
. 
actin. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
potentia. 
o. 
potentia. 
energ. 
. 
(x)b. 


. 
.. 
(2:1. 


A. 
i. 
Chapte. 
1. 
w. 
initiall. 
conside. 
onl. 
motio. 
i. 
th. 
x-direction. 
I. 
Sectio. 
2.7. 
however. 
w. 
exten. 
th. 
formalis. 
t. 
includ. 
three-dimensiona. 
motion. 


I. 
Chapte. 
. 
w. 
associate. 
th. 
wav. 
packe. 


. 
A. 
p)ei. 
px�Et)="

�(x. 
t. 
.p��������. 
. 
. 
(2:2. 


2�. 
�. 
wit. 
th. 
motio. 
i. 
th. 
x-directio. 
o. 
. 
fre. 
particle. 
wher. 
th. 
weightin. 
facto. 
A. 
p)isgive. 
b. 


. 
�(x. 
t)e�i. 
px�Et)=. 
dx

A. 
p. 
.p��������. 
(2:3. 


2�. 
�. 
Thi. 
wav. 
packe. 
satis�e. 
. 
partia. 
differentia. 
equation. 
whic. 
wil. 
b. 
use. 
a. 
th. 
basi. 
fo. 
th. 
furthe. 
developmen. 
o. 
. 
quantu. 
theory. 
T. 
�n. 
thi. 
differentia. 
equation. 
w. 
�rs. 
differentiat. 
equatio. 
(2.2. 
twic. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
distanc. 
variabl. 
. 
t. 
obtai. 


@2. 
�. 


.p���������. 
p. 
A. 
p)ei. 
px�Et)=. 
. 
. 
(2:4. 


2�". 
�. 


Differentiatio. 
o. 
(2.2. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
tim. 
. 
give. 



2.. 
Th. 
wav. 
functio. 
3. 


EA. 
p)ei. 
px�Et)="

.p���������. 
. 
. 
(2:5. 


. 
. 
2�". 


Th. 
tota. 
energ. 
. 
fo. 
. 
fre. 
particl. 
(i.e.. 
fo. 
. 
particl. 
movin. 
i. 
. 
regio. 
o. 
constan. 
potentia. 
energ. 
. 
)isgive. 
b. 


whic. 
ma. 
b. 
combine. 
wit. 
equation. 
(2.4. 
an. 
(2.5. 
t. 
giv. 


@. 
". 
@2. 


i. 
.. 
. 
. 
. 


. 
. 
2. 
@x. 


Schro�dinge. 
(1926. 
postulate. 
tha. 
thi. 
differentia. 
equatio. 
i. 
als. 
vali. 
whe. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
no. 
constant. 
bu. 
i. 
. 
functio. 
o. 
position. 
I. 
tha. 
cas. 
th. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
become. 


@�(x. 
t. 
". 
@2�(x. 
t. 


i. 
.. 
. 
V(x)�(x. 
t. 
(2:6. 


. 
. 
2. 
@x. 
whic. 
i. 
know. 
a. 
th. 
time-dependen. 
Schr.
o�dinge. 
equation. 
Th. 
solution. 
�(x. 
t. 
o. 
equatio. 
(2.6. 
ar. 
th. 
time-dependen. 
wav. 
functions. 
A. 
importan. 
goa. 
i. 
wav. 
mechanic. 
i. 
solvin. 
equatio. 
(2.6. 
fo. 
�(x. 
t. 
usin. 
variou. 
expression. 
fo. 
V(x. 
tha. 
relat. 
t. 
speci�. 
physica. 
systems. 


Whe. 
V(x. 
i. 
no. 
constant. 
th. 
solution. 
�(x. 
t. 
t. 
equatio. 
(2.6. 
ma. 
stil. 
b. 
expande. 
i. 
th. 
for. 
o. 
. 
wav. 
packet. 


. 
A. 
p. 
t)ei. 
px�Et)=. 
. 
p

�(x. 
t. 
.p��������. 
(2:7. 


2�. 
�. 
Th. 
Fourie. 
transfor. 
A. 
p. 
t. 
i. 
then. 
i. 
general. 
. 
functio. 
o. 
bot. 
. 
an. 
tim. 
t. 
an. 
i. 
give. 
b. 


. 
�(x. 
t)e�i. 
px�Et)="

A. 
p. 
t. 
.p��������. 
d. 
(2:8. 


2�. 
�. 
B. 
wa. 
o. 
contrast. 
recal. 
tha. 
i. 
treatin. 
th. 
fre. 
particl. 
a. 
. 
wav. 
packe. 
i. 
Chapte. 
1. 
w. 
require. 
tha. 
th. 
weightin. 
facto. 
A. 
p. 
b. 
independen. 
o. 
tim. 
an. 
w. 
neede. 
t. 
specif. 
. 
functiona. 
for. 
fo. 
A. 
p. 
i. 
orde. 
t. 
stud. 
som. 
o. 
th. 
propertie. 
o. 
th. 
wav. 
packet. 


2.. 
Th. 
wav. 
functio. 


Interpretatio. 


Befor. 
discussin. 
th. 
method. 
fo. 
solvin. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
speci�. 
choice. 
o. 
. 
(x). 
w. 
conside. 
th. 
meanin. 
o. 
th. 
wav. 
function. 
Sinc. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
identi�e. 
wit. 
. 
particle. 
w. 
nee. 
t. 
establis. 
th. 
connec. 
tio. 
betwee. 
�(x. 
t. 
an. 
th. 
observabl. 
propertie. 
o. 
th. 
particle. 
A. 
i. 
th. 



3. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


cas. 
o. 
th. 
fre. 
particl. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
1. 
w. 
follo. 
th. 
formulatio. 
o. 
Bor. 
(1926). 


Th. 
fundamenta. 
postulat. 
relatin. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
t. 
th. 
proper. 
tie. 
o. 
th. 
associate. 
particl. 
i. 
tha. 
th. 
quantit. 
j�(x. 
t)j. 
. 
�(x. 
t)�(x. 
t. 
give. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
a. 
poin. 
. 
a. 
tim. 
t. 
Thus. 
th. 
probabilit. 
o. 
�ndin. 
th. 
particl. 
betwee. 
. 
an. 
. 
. 
d. 
a. 
tim. 
. 
i. 
j�(x. 
t)j2dx. 
Th. 
locatio. 
o. 
. 
particle. 
a. 
leas. 
withi. 
a. 
arbitraril. 
smal. 
interval. 
ca. 
b. 
determine. 
throug. 
. 
physica. 
measurement. 
I. 
. 
serie. 
o. 
measurement. 
ar. 
mad. 
o. 
. 
numbe. 
o. 
particles. 
eac. 
o. 
whic. 
ha. 
th. 
exac. 
sam. 
wav. 
function. 
the. 
thes. 
particle. 
wil. 
b. 
foun. 
i. 
man. 
differen. 
locations. 
Thus. 
th. 
wav. 
functio. 
doe. 
no. 
indicat. 
th. 
actua. 
locatio. 
a. 
whic. 
th. 
particl. 
wil. 
b. 
found. 
bu. 
rathe. 
provide. 
th. 
probabilit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
i. 
an. 
give. 
interval. 
Mor. 
generally. 
quantu. 
theor. 
provide. 
th. 
probabilitie. 
fo. 
th. 
variou. 
possibl. 
result. 
o. 
a. 
observatio. 
rathe. 
tha. 
. 
precis. 
predictio. 
o. 
th. 
result. 
Thi. 
featur. 
o. 
quantu. 
theor. 
i. 
i. 
shar. 
contras. 
t. 
th. 
predictiv. 
characte. 
o. 
classica. 
mechanics. 


Accordin. 
t. 
Born'. 
statistica. 
interpretation. 
th. 
wav. 
functio. 
completel. 
describe. 
th. 
physica. 
syste. 
i. 
represents. 
Ther. 
i. 
n. 
informatio. 
abou. 
th. 
syste. 
tha. 
i. 
no. 
containe. 
i. 
�(x. 
t). 
Thus. 
th. 
stat. 
o. 
th. 
syste. 
i. 
determine. 
b. 
it. 
wav. 
function. 
Fo. 
thi. 
reaso. 
th. 
wav. 
functio. 
i. 
als. 
calle. 
th. 
stat. 
functio. 
an. 
i. 
sometime. 
referre. 
t. 
a. 
th. 
stat. 
�(x. 
t). 


Th. 
produc. 
o. 
. 
functio. 
an. 
it. 
comple. 
conjugat. 
i. 
alway. 
rea. 
an. 
i. 
positiv. 
everywhere. 
Accordingly. 
th. 
wav. 
functio. 
itsel. 
ma. 
b. 
. 
rea. 
o. 
. 
comple. 
function. 
A. 
an. 
poin. 
. 
o. 
a. 
an. 
tim. 
t. 
th. 
wav. 
functio. 
ma. 
b. 
positiv. 
o. 
negative. 
I. 
orde. 
tha. 
j�(x. 
t)j. 
represent. 
. 
uniqu. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
ever. 
poin. 
i. 
spac. 
an. 
a. 
al. 
times. 
th. 
wav. 
functio. 
mus. 
b. 
continuous. 
single-valued. 
an. 
�nite. 
Sinc. 
�(x. 
t. 
satis�e. 
. 
differentia. 
equatio. 
tha. 
i. 
second-orde. 
i. 
x. 
it. 
�rs. 
derivativ. 
i. 
als. 
continuous. 
Th. 
wav. 
functio. 
ma. 
b. 
multiplie. 
b. 
. 
phas. 
facto. 
ei�. 
wher. 
. 
i. 
real. 
withou. 
changin. 
it. 
physica. 
signi�canc. 
sinc. 


[ei��(x. 
t)][ei��(x. 
t). 
. 
�(x. 
t)�(x. 
t. 
.j�(x. 
t)j. 


Normalizatio. 


Th. 
particl. 
tha. 
i. 
represente. 
b. 
th. 
wav. 
functio. 
mus. 
b. 
foun. 
wit. 
probabilit. 
equa. 
t. 
unit. 
somewher. 
i. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
1. 
s. 
tha. 
�(x. 
t. 
mus. 
obe. 
th. 
relatio. 


j�(x. 
t)j2d. 
. 
. 
(2:9. 



2.. 
Th. 
wav. 
functio. 
3. 


. 
functio. 
tha. 
obey. 
thi. 
equatio. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
normalized. 
I. 
. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
no. 
normalized. 
bu. 
satis�e. 
th. 
relatio. 


�(x. 
t)�(x. 
t)d. 
. 
. 


the. 
th. 
functio. 
�(x. 
t. 
de�ne. 
b. 


�(x. 
t. 
.p����. 
�(x. 
t. 


i. 
normalized. 


I. 
orde. 
fo. 
�(x. 
t. 
t. 
satisf. 
equatio. 
(2.9). 
th. 
wav. 
functio. 
mus. 
b. 
square-integrabl. 
(als. 
calle. 
quadraticall. 
integrable). 
Therefore. 
�(x. 
t)

p�����. 


mus. 
g. 
t. 
zer. 
faste. 
tha. 
1. 
jx. 
a. 
. 
approache. 
(. 
in�nity. 
Likewise. 
th. 
derivativ. 
@�=@. 
mus. 
als. 
g. 
t. 
zer. 
a. 
. 
approache. 
(. 
in�nity. 


Onc. 
. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
ha. 
bee. 
normalized. 
i. 
remain. 
normalize. 
a. 
tim. 
progresses. 
T. 
prov. 
thi. 
assertion. 
w. 
conside. 
th. 
integra. 


. 
. 
�. 
d. 


an. 
sho. 
tha. 
. 
i. 
independen. 
o. 
tim. 
fo. 
ever. 
functio. 
. 
tha. 
obey. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(2.6). 
Th. 
tim. 
derivativ. 
o. 
. 
i. 


.j�(x. 
t)j2d. 
(2:10. 


wher. 
th. 
orde. 
o. 
differentiatio. 
an. 
integratio. 
ha. 
bee. 
interchange. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
Th. 
derivativ. 
o. 
th. 
probabilit. 
densit. 
ma. 
b. 
expande. 
a. 
follow. 


@. 
@�. 


j�(x. 
t)j. 
. 
(��. 
. 
�. 
@. 
. 
. 


Equatio. 
(2.6. 
an. 
it. 
comple. 
conjugat. 
ma. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 


@. 
i. 
@2. 
. 


. 
. 
2. 
@x. 
. 


(2:11. 
@�. 
i. 
@2�. 
. 


.. 
. 
. 
�. 


. 
. 
2. 
@x. 
. 
s. 
tha. 
@j�(x. 
t)j2=. 
. 
become. 


. 
i. 
�. 
@2. 
@2�. 


j�(x. 
t)j. 
.. 
. 


. 
. 
2. 
@x. 
@x. 
wher. 
th. 
term. 
containin. 
. 
cancel. 
W. 
nex. 
not. 
tha. 


. 
�. 
@. 
@�
. 
�. 
@2. 
@2�. 


@. 
@. 
@. 
@x. 
@x. 



4. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


s. 
tha. 


. 
i. 
. 
�. 
@. 
@�. 


j�(x. 
t)j. 
.. 
. 
(2:12. 


. 
. 
2. 
@. 
@. 
@. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(2.12. 
int. 
(2.10. 
an. 
evaluatio. 
o. 
th. 
integra. 
giv. 


. 
. 
. 
d. 
i. 
.. 
. 
�. 
@. 
@�. 
i. 
�. 
@. 
@�. 


.. 
. 
d. 
.. 
. 


d. 
2. 
@. 
@. 
@. 
2. 
@. 
@. 


Sinc. 
�(x. 
t. 
goe. 
t. 
zer. 
a. 
. 
goe. 
t. 
(. 
in�nity. 
th. 
right-mos. 
ter. 
vanishe. 
an. 
w. 
hav. 


Thus. 
th. 
integra. 
. 
i. 
time-independen. 
an. 
th. 
normalizatio. 
o. 
�(x. 
t. 
doe. 
no. 
chang. 
wit. 
time. 


No. 
al. 
wav. 
function. 
ca. 
b. 
normalized. 
I. 
suc. 
case. 
th. 
quantit. 
j�(x. 
t)j. 
ma. 
b. 
regarde. 
a. 
th. 
relativ. 
probabilit. 
density. 
s. 
tha. 
th. 
rati. 


j�(x. 
t)j2d. 


j�(x. 
t)j2d. 


represent. 
th. 
probabilit. 
tha. 
th. 
particl. 
wil. 
b. 
foun. 
betwee. 
a. 
an. 
a. 
relativ. 
t. 
th. 
probabilit. 
tha. 
i. 
wil. 
b. 
foun. 
betwee. 
b. 
an. 
b2.Asa. 
example. 
th. 
plan. 
wav. 


�(x. 
t. 
. 
ei. 
px�Et)=. 


doe. 
no. 
approac. 
zer. 
a. 
. 
approache. 
(. 
in�nit. 
an. 
consequentl. 
canno. 
b. 
normalized. 
Th. 
probabilit. 
densit. 
j�(x. 
t)j. 
i. 
unit. 
everywhere. 
s. 
tha. 
th. 
particl. 
i. 
equall. 
likel. 
t. 
b. 
foun. 
i. 
an. 
regio. 
o. 
. 
speci�e. 
width. 


Momentum-spac. 
wav. 
functio. 


Th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
ma. 
b. 
represente. 
a. 
. 
Fourie. 
integral. 
a. 
show. 
i. 
equatio. 
(2.7). 
wit. 
it. 
Fourie. 
transfor. 
A. 
p. 
t. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.8). 
Th. 
transfor. 
A. 
p. 
t. 
i. 
uniquel. 
determine. 
b. 
�(x. 
t. 
an. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
uniquel. 
determine. 
b. 
A. 
p. 
t). 
Thus. 
knowledg. 
o. 
on. 
o. 
thes. 
function. 
i. 
equivalen. 
t. 
knowledg. 
o. 
th. 
other. 
Sinc. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
completel. 
describe. 
th. 
physica. 
syste. 
tha. 
i. 
represents. 
it. 
Fourie. 
transfor. 
A. 
p. 
t. 
als. 
possesse. 
tha. 
property. 
Eithe. 
functio. 
ma. 
serv. 
a. 
. 
complet. 
descriptio. 
o. 
th. 
stat. 
o. 
th. 
system. 
A. 
. 
consequence. 
w. 
ma. 
interpre. 
th. 
quantit. 
jA. 
p. 
t)j. 
a. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
th. 
momentu. 
a. 



2.. 
Expectatio. 
value. 
o. 
dynamica. 
quantitie. 
4. 


tim. 
t. 
B. 
Parseval'. 
theore. 
(equatio. 
(B.28)). 
i. 
�(x. 
t. 
i. 
normalized. 
the. 
it. 
Fourie. 
transfor. 
A. 
p. 
t. 
i. 
normalized. 


j�(x. 
t)j2d. 
.jA. 
p. 
t)j2. 
. 
. 
. 


Th. 
transfor. 
A. 
p. 
t. 
i. 
calle. 
th. 
momentum-spac. 
wav. 
function. 
whil. 
�(x. 
t. 
i. 
mor. 
accuratel. 
know. 
a. 
th. 
coordinate-spac. 
wav. 
function. 
Whe. 
ther. 
i. 
n. 
confusion. 
however. 
�(x. 
t. 
i. 
usuall. 
simpl. 
referre. 
t. 
a. 
th. 
wav. 
function. 


2.. 
Expectatio. 
value. 
o. 
dynamica. 
quantitie. 


Suppos. 
w. 
wis. 
t. 
measur. 
th. 
positio. 
o. 
. 
particl. 
whos. 
wav. 
functio. 
i. 
�(x. 
t). 
Th. 
Bor. 
interpretatio. 
o. 
j�(x. 
t)j. 
a. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
associate. 
particl. 
a. 
positio. 
. 
a. 
tim. 
. 
implie. 
tha. 
suc. 
. 
measuremen. 
wil. 
no. 
yiel. 
. 
uniqu. 
result. 
I. 
w. 
hav. 
. 
larg. 
numbe. 
o. 
particles. 
eac. 
o. 
whic. 
i. 
i. 
stat. 
�(x. 
t. 
an. 
w. 
measur. 
th. 
positio. 
o. 
eac. 
o. 
thes. 
particle. 
i. 
separat. 
experiment. 
al. 
a. 
som. 
tim. 
t. 
the. 
w. 
wil. 
obtai. 
. 
multitud. 
o. 
differen. 
results. 
W. 
ma. 
the. 
calculat. 
th. 
averag. 
o. 
mea. 
valu. 
hx. 
o. 
thes. 
measurements. 
I. 
quantu. 
mechanics. 
averag. 
value. 
o. 
dynamica. 
quantitie. 
ar. 
calle. 
expectatio. 
values. 
Thi. 
nam. 
i. 
somewha. 
misleading. 
becaus. 
i. 
a. 
experimenta. 
measuremen. 
on. 
doe. 
no. 
expec. 
t. 
obtai. 
th. 
expectatio. 
value. 


B. 
de�nition. 
th. 
averag. 
o. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
i. 
jus. 
th. 
su. 
ove. 
al. 
possibl. 
value. 
o. 
. 
o. 
th. 
produc. 
o. 
. 
an. 
th. 
probabilit. 
o. 
obtainin. 
tha. 
value. 
Sinc. 
. 
i. 
. 
continuou. 
variable. 
w. 
replac. 
th. 
probabilit. 
b. 
th. 
probabilit. 
densit. 
an. 
th. 
su. 
b. 
a. 
integra. 
t. 
obtai. 


hxi. 
xj�(x. 
t)j2d. 
(2:13. 


Mor. 
generally. 
th. 
expectatio. 
valu. 
. 
. 
(x). 
o. 
an. 
functio. 
. 
(x. 
o. 
th. 
variabl. 
. 
i. 
give. 
b. 


. 
. 
(x)i. 
. 
(x)j�(x. 
t)j2d. 
(2:14. 


Sinc. 
�(x. 
t. 
depend. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
th. 
expectatio. 
value. 
hx. 
an. 
. 
. 
(x). 
i. 
equation. 
(2.13. 
an. 
(2.14. 
ar. 
function. 
o. 
t. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
. 
p. 
o. 
th. 
momentu. 
. 
ma. 
b. 
obtaine. 
usin. 
th. 
momentum-spac. 
wav. 
functio. 
A. 
p. 
t. 
i. 
th. 
sam. 
wa. 
tha. 
hx. 
wa. 
obtaine. 
fro. 
�(x. 
t). 
Th. 
appropriat. 
expressio. 
i. 



4. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


. 
pi. 
pjA. 
p. 
t)j2. 
. 
. 
pA. 
p. 
t)A. 
p. 
t). 
. 
(2:15. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
. 
. 
. 
p). 
o. 
an. 
functio. 
. 
. 
p)o. 
. 
i. 
give. 
b. 
a. 
expressio. 
analogou. 
t. 
equatio. 
(2.14. 


. 
. 
. 
p)i. 
. 
. 
p)jA. 
p. 
t)j2. 
. 
(2:16. 


I. 
general. 
A. 
p. 
t. 
depend. 
o. 
th. 
time. 
s. 
tha. 
th. 
expectatio. 
value. 
. 
p. 
an. 
. 
. 
. 
p). 
ar. 
als. 
function. 
o. 
time. 


Bot. 
�(x. 
t. 
an. 
A. 
p. 
t. 
contai. 
th. 
sam. 
informatio. 
abou. 
th. 
system. 
makin. 
i. 
possibl. 
t. 
�n. 
. 
p. 
usin. 
th. 
coordinate-spac. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
plac. 
o. 
A. 
p. 
t). 
Th. 
resul. 
o. 
establishin. 
suc. 
. 
procedur. 
wil. 
prov. 
usefu. 
whe. 
determinin. 
expectatio. 
value. 
fo. 
function. 
o. 
bot. 
positio. 
an. 
momentum. 
W. 
begi. 
b. 
takin. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
A. 
p. 
t. 
i. 
equatio. 
(2.8. 


1(x. 
t)ei. 
px�Et)="

A. 
p. 
t. 
.p��������. 
�d. 


2�. 
�. 
Substitutio. 
o. 
A. 
p. 
t. 
int. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(2.15. 
give. 


. 
�(x. 
t. 
pA. 
p. 
t)ei. 
px�Et)="

. 
pi.p��������. 
d. 
. 
. 


.. 
.. 
. 


. 
pA. 
p. 
t)ei. 
px�Et)="

. 
�(x. 
t. 
p��������. 
. 
. 
d. 
(2:17. 
�. 
2�. 
�. 
I. 
orde. 
t. 
evaluat. 
th. 
integra. 
ove. 
p. 
w. 
observ. 
tha. 
th. 
derivativ. 
o. 
�(x. 
t. 
i. 
equatio. 
(2.7). 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
positio. 
variabl. 
x,i. 


@�(x. 
t). 
. 


pA. 
p. 
t)ei. 
px�Et)=. 
. 
p

.p��������. 


@. 
2�. 
�. 
. 
Substitutio. 
o. 
thi. 
observatio. 
int. 
equatio. 
(2.21. 
give. 
th. 
�na. 
resul. 


. 
pi. 
�(x. 
t. 
. 
. 
�(x. 
t)d. 
(2:18. 


Thus. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
momentu. 
ca. 
b. 
obtaine. 
b. 
a. 
integratio. 
i. 
coordinat. 
space. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
p. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.16. 
wit. 
. 
. 
p. 
. 
p2. 
Th. 
expressio. 
analogou. 
t. 
(2.17. 
i. 


.. 
.. 
. 


. 
A. 
p. 
t)ei. 
px�Et)="

. 
p2i. 
�(x. 
t. 
p��������. 
p2. 
. 
d. 
�. 
2�. 
�. 


Fro. 
equatio. 
(2.7. 
i. 
ca. 
b. 
see. 
tha. 
th. 
quantit. 
i. 
squar. 
bracket. 
equal. 



2.. 
Expectatio. 
value. 
o. 
dynamica. 
quantitie. 
4. 


. 
@2�(x. 
t. 


s. 
tha. 


. 
p2i. 
�(x. 
t. 
�(x. 
t)d. 
(2:19. 


�. 
. 
@x. 


Similarly. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
p. 
i. 
give. 
b. 


. 
pni. 
(x. 
t. 
�(x. 
t)d. 
(2:20. 


Eac. 
o. 
th. 
integrand. 
i. 
equation. 
(2.18). 
(2.19). 
an. 
(2.20. 
i. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
multiplie. 
b. 
a. 
operato. 
actin. 
o. 
th. 
wav. 
function. 
Thus. 
i. 
th. 
coordinate-spac. 
calculatio. 
o. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
momentu. 
. 
o. 
th. 
nt. 
powe. 
o. 
th. 
momentum. 
w. 
associat. 
wit. 
. 
th. 
operato. 
("=i)(@=@x). 
W. 
generaliz. 
thi. 
associatio. 
t. 
appl. 
t. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
an. 
functio. 
. 
. 
p. 
o. 
th. 
momentum. 
s. 
tha. 


. 
. 
. 
p)i. 
�(x. 
t. 
. 
. 
. 
�(x. 
t)d. 
(2:21. 


Equatio. 
(2.21. 
i. 
equivalen. 
t. 
th. 
momentum-spac. 
equatio. 
(2.16). 


W. 
ma. 
combin. 
equation. 
(2.14. 
an. 
(2.21. 
t. 
�n. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
functio. 
. 
(x. 
p. 
o. 
th. 
positio. 
an. 
momentu. 


. 
. 
(x. 
p)i. 
(x. 
t. 
fx. 
�(x. 
t)d. 
(2:22. 


Ehrenfest'. 
theorem. 


Accordin. 
t. 
th. 
correspondenc. 
principl. 
a. 
state. 
b. 
N. 
Boh. 
(1928). 
th. 
averag. 
behavio. 
o. 
. 
well-de�ne. 
wav. 
packe. 
shoul. 
agre. 
wit. 
th. 
classical. 
mechanica. 
law. 
o. 
motio. 
fo. 
th. 
particl. 
tha. 
i. 
represents. 
Thus. 
th. 
expectatio. 
value. 
o. 
dynamica. 
variable. 
suc. 
a. 
position. 
velocity. 
momen. 
tum. 
kineti. 
energy. 
potentia. 
energy. 
an. 
forc. 
a. 
calculate. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
shoul. 
obe. 
th. 
sam. 
relationship. 
tha. 
th. 
dynamica. 
variable. 
obe. 
i. 
classica. 
theory. 
Thi. 
featur. 
o. 
wav. 
mechanic. 
i. 
illustrate. 
b. 
th. 
derivatio. 
o. 
tw. 
relationship. 
know. 
a. 
Ehrenfest'. 
theorems. 


Th. 
�rs. 
relationshi. 
i. 
obtaine. 
b. 
considerin. 
th. 
tim. 
dependenc. 
o. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
positio. 
coordinat. 
x. 
Th. 
tim. 
derivativ. 
o. 
hx. 
i. 
equatio. 
(2.13. 
i. 



4. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


dhx. 
. 
. 


. 
xj�(x. 
t)j2d. 
. 
. 
j�(x. 
t)j2d. 


d. 
d. 
@. 


i. 
.. 
. 
�. 
@. 
@�. 


. 
. 
. 
. 
d. 


2. 
@. 
@. 
@. 


wher. 
equatio. 
(2.12. 
ha. 
bee. 
used. 
Integratio. 
b. 
part. 
o. 
th. 
las. 
integra. 
give. 


. 
. 


dhx. 
i. 
@�. 
i. 
@�. 


�. 
@. 
.. 
�. 
@. 


. 
. 
. 
. 
�. 
. 
d. 


d. 
2. 
@. 
@. 
�. 
2. 
�. 
@. 
@. 


Th. 
integrate. 
par. 
vanishe. 
becaus. 
�(x. 
t. 
goe. 
t. 
zer. 
a. 
. 
approache. 
(. 
in�nity. 
Anothe. 
integratio. 
b. 
part. 
o. 
th. 
las. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
yield. 


dhx. 
. 
. 
. 


. 
�. 
. 
d. 


dt. 
. 
@. 


Accordin. 
t. 
equatio. 
(2.18). 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
thi. 
equatio. 
i. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
momentum. 
s. 
tha. 
w. 
hav. 


. 
pi. 
. 
(2:23. 


Equatio. 
(2.23. 
i. 
th. 
quantum-mechanica. 
analo. 
o. 
th. 
classica. 
de�nitio. 
o. 
momentum. 
. 
. 
m. 
. 
m(dx=dt). 
Thi. 
derivatio. 
als. 
show. 
tha. 
th. 
associa. 
tio. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
o. 
th. 
operato. 
("=i)(@=@x. 
wit. 
th. 
momentu. 
i. 
consisten. 
wit. 
th. 
correspondenc. 
principle. 
Th. 
secon. 
relationshi. 
i. 
obtaine. 
fro. 
th. 
tim. 
derivativ. 
o. 
th. 
expecta. 
tio. 
valu. 
o. 
th. 
momentu. 
. 
p. 
i. 
equatio. 
(2.18). 


d. 
p. 
. 
�. 
. 
@. 
. 
@�. 
@. 
. 
�. 
@@. 


. 
d. 
. 
d. 


d. 
d. 
. 
@. 
. 
@. 
@. 
@. 
@. 


W. 
nex. 
substitut. 
equation. 
(2.11. 
fo. 
th. 
tim. 
derivative. 
o. 
. 
an. 
�. 
an. 
obtai. 


d. 
pi�". 
@2�. 
@. 
". 
@2. 


.. 
. 
�. 
�. 
. 
. 
. 
. 
d. 


d. 
�. 
2. 
@x. 
@. 
@. 
2. 
@x. 


�". 
@2�. 
@. 
". 
�. 
@3. 
d. 


. 
d. 
. 
d. 
. 
�. 
d. 


2. 
@x. 
@. 
2. 
@x3d. 


(2:24. 


wher. 
th. 
term. 
i. 
. 
cancel. 
Th. 
�rs. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(2.24. 
ma. 
b. 
integrate. 
b. 
part. 
twic. 
t. 
giv. 



2.. 
Expectatio. 
value. 
o. 
dynamica. 
quantitie. 
4. 


.@2�. 
@. 
@�. 
@. 
. 
.@�. 
@2. 


d. 
.. 
d. 


�. 
@x. 
@. 
@. 
@. 
�. 
�. 
@. 
@x. 


@�. 
@. 
. 
�. 
@2�
�. 
@3. 


@. 
@. 
@x. 
�. 
�. 
@x. 


Th. 
integrate. 
par. 
vanishe. 
becaus. 
. 
an. 
@�=@. 
vanis. 
a. 
(. 
in�nity. 
Th. 
remainin. 
integra. 
cancel. 
th. 
secon. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(2.24). 
leavin. 
th. 
�na. 
resul. 


d. 
p. 
d. 


.. 
.hF. 
(2:25. 


wher. 
equatio. 
(2.1. 
ha. 
bee. 
used. 
Equatio. 
(2.25. 
i. 
th. 
quantu. 
analo. 
o. 
Newton'. 
secon. 
la. 
o. 
motion. 
. 
. 
ma. 
an. 
i. 
i. 
agreemen. 
wit. 
th. 
correspondenc. 
principle. 


Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 


Usin. 
expectatio. 
values. 
w. 
ca. 
deriv. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
introduce. 
i. 
Sectio. 
1.5. 
I. 
w. 
de�n. 
th. 
uncertaintie. 
�. 
an. 
. 
. 
a. 
th. 
standar. 
deviation. 
o. 
. 
an. 
p. 
a. 
use. 
i. 
statistics. 
the. 
w. 
hav. 


�. 
.h(. 
�hxi)2i1=. 


. 
. 
.h. 
. 
�. 
pi)2i1=. 


Th. 
expectatio. 
value. 
o. 
. 
an. 
o. 
. 
a. 
. 
tim. 
. 
ar. 
give. 
b. 
equation. 
(2.13. 
an. 
(2.18). 
respectively. 
Fo. 
th. 
sak. 
o. 
simplicit. 
i. 
thi. 
derivation. 
w. 
selec. 
th. 
origin. 
o. 
th. 
positio. 
an. 
momentu. 
coordinate. 
a. 
tim. 
. 
t. 
b. 
th. 
center. 
o. 
th. 
wav. 
packe. 
an. 
it. 
Fourie. 
transform. 
s. 
tha. 
hxi. 
. 
an. 
. 
pi. 
0. 
Th. 
square. 
o. 
th. 
uncertaintie. 
�. 
an. 
. 
. 
ar. 
the. 
give. 
b. 


(�x). 
. 
x2�. 
d. 


2.. 
22.1

. 
�. 
@2. 
. 
�. 
@. 
. 
@�. 
@. 


(. 
p). 
. 
d. 
.. 
d. 


. 
@x2. 
@. 
. 
@. 
@. 


.. 
. 


�. 
@�. 
. 
@. 


. 
@. 
. 
@. 


wher. 
th. 
integrate. 
ter. 
fo. 
(. 
p). 
vanishe. 
becaus. 
. 
goe. 
t. 
zer. 
a. 
. 
approache. 
(. 
in�nity. 


Th. 
produc. 
(�x. 
p). 
i. 



4. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


(�x. 
p). 
. 
(x�)(x�)d. 


. 
@. 
. 
@. 


Applyin. 
Schwarz'. 
inequalit. 
(A.56). 
w. 
obtai. 


x�. 
@. 


(��)d.


(�x. 
p). 
. 


x�. 
. 
�. 
d. 


����. 


Th. 
integrate. 
par. 
vanishe. 
becaus. 
. 
goe. 
t. 
zer. 
faste. 
tha. 
1. 
jxj,a. 
. 
approache. 
(. 
in�nit. 
an. 
th. 
remainin. 
integra. 
i. 
unit. 
b. 
equatio. 
(2.9). 
Takin. 
th. 
squar. 
root. 
w. 
obtai. 
a. 
explici. 
for. 
o. 
th. 
Heisenber. 
uncer. 
taint. 
principl. 


�x. 
. 
. 
(2:26. 


Thi. 
expressio. 
i. 
consisten. 
wit. 
th. 
earlie. 
form. 
equatio. 
(1.44). 
bu. 
relatio. 
(2.26. 
i. 
base. 
o. 
. 
precis. 
de�nitio. 
o. 
th. 
uncertainties. 
wherea. 
relatio. 
(1.44. 
i. 
not. 


2.. 
Time-independen. 
Schr.
o�dinge. 
equatio. 


Th. 
�rs. 
ste. 
i. 
th. 
solutio. 
o. 
th. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
(2.6. 
i. 
t. 
expres. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
a. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
function. 


�(x. 
t. 
. 
�(x)�(t. 
(2:27. 
wher. 
�(x. 
i. 
. 
functio. 
o. 
onl. 
th. 
distanc. 
. 
an. 
�(t. 
i. 
. 
functio. 
o. 
onl. 
th. 
tim. 
t. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(2.27. 
int. 
(2.6. 
an. 
divisio. 
b. 
th. 
produc. 
�(x)�(t)giv. 


1d�(t. 
". 
1d2�(x. 


i. 
.. 
. 
V(x. 
(2:28. 


�(t)d. 
2. 
�(x)dx. 


Th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(2.28. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
t. 
whil. 
th. 
right. 
han. 
sid. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
x. 
Sinc. 
. 
an. 
. 
ar. 
independen. 
variables. 
eac. 
sid. 
o. 
equatio. 
(2.28. 
mus. 
equa. 
. 
constant. 
I. 
thi. 
wer. 
no. 
true. 
the. 
th. 
left-han. 
sid. 
coul. 
b. 
change. 
b. 
varyin. 
. 
whil. 
th. 
right-han. 
sid. 
remaine. 
�xe. 
an. 
s. 
th. 
equalit. 
woul. 
n. 
longe. 
apply. 
Fo. 
reason. 
tha. 
wil. 
soo. 
b. 
apparent. 
w. 
designat. 
thi. 
separatio. 
constan. 
b. 
. 
an. 
assum. 
tha. 
i. 
i. 
. 
rea. 
number. 


Equatio. 
(2.28. 
i. 
no. 
separabl. 
int. 
tw. 
independen. 
differentia. 
equations. 
on. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
tw. 
independen. 
variable. 
. 
an. 
t. 
Th. 
time-dependen. 
equatio. 
i. 



2.. 
Time-independen. 
Schr.
o�dinge. 
equatio. 
4. 


d�(t. 


i. 
. 
E�(t. 


whic. 
ha. 
th. 
solutio. 
�(t. 
. 
e�iEt=. 


(2:29. 


Th. 
integratio. 
constan. 
i. 
equatio. 
(2.29. 
ha. 
arbitraril. 
bee. 
se. 
equa. 
t. 
unity. 
Th. 
spatial-dependen. 
equatio. 
i. 
". 
d2�(x. 
�. 
V(x)�(x. 
. 
E�(x. 
(2:30. 


2. 
dx. 
an. 
i. 
calle. 
th. 
time-independen. 
Schr.
o�dinge. 
equation. 
Th. 
solutio. 
o. 
thi. 
differentia. 
equatio. 
depend. 
o. 
th. 
speci�catio. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
(x). 
Not. 
tha. 
th. 
separatio. 
o. 
equatio. 
(2.6. 
int. 
spatia. 
an. 
tempora. 
part. 
i. 
contingen. 
o. 
th. 
potentia. 
. 
(x. 
bein. 
time-independent. 


Th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
the. 
�(x. 
t. 
. 
�(x)e�iEt=. 


(2:31. 


an. 
th. 
probabilit. 
densit. 
j�(x. 
t)j. 
i. 
no. 
give. 
b. 


j�(x. 
t)j. 
. 
�(x. 
t)�(x. 
t. 
. 
�(x)eiEt="�(x)e�iEt=. 
.j�(x)j. 


Thus. 
th. 
probabilit. 
densit. 
depend. 
onl. 
o. 
th. 
positio. 
variabl. 
. 
an. 
doe. 
no. 
chang. 
wit. 
time. 
Fo. 
thi. 
reaso. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
equatio. 
(2.31. 
i. 
calle. 
. 
stationar. 
state.I. 
�(x. 
t. 
i. 
normalized. 
the. 
�(x. 
i. 
als. 
normalize. 


j�(x)j2d. 
. 
. 
(2:32. 


whic. 
i. 
th. 
reaso. 
wh. 
w. 
se. 
th. 
integratio. 
constan. 
i. 
equatio. 
(2.29. 
equa. 
t. 
unity. 
Th. 
tota. 
energy. 
whe. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
positio. 
an. 
momentum. 
i. 
calle. 
th. 
Hamiltonian. 
H. 
an. 
i. 
give. 
b. 
H(x. 
p. 
.. 
V(x. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
hH. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
applyin. 
equatio. 
(2.22. 


hHi. 
�(x. 
t. 
�. 
V(x. 
�(x. 
t)d. 


�. 
2. 
@x. 


Fo. 
th. 
stationar. 
stat. 
(2.31). 
thi. 
expressio. 
become. 


hHi. 
�(x. 
�. 
V(x. 
�(x)d. 


�. 
2. 
@x. 


I. 
w. 
substitut. 
equatio. 
(2.30. 
int. 
th. 
integrand. 
w. 
obtai. 



4. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


hHi. 
. 
�(x)�(x)d. 
. 
. 


wher. 
w. 
hav. 
als. 
applie. 
equatio. 
(2.32). 
W. 
hav. 
jus. 
show. 
tha. 
th. 
separatio. 
constan. 
. 
i. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
Hamiltonian. 
o. 
th. 
tota. 
energ. 
fo. 
th. 
stationar. 
state. 
s. 
tha. 
`E. 
i. 
. 
desirabl. 
designation. 
Sinc. 
th. 
energ. 
i. 
. 
rea. 
physica. 
quantity. 
th. 
assumptio. 
tha. 
. 
i. 
rea. 
i. 
justi�ed. 


I. 
th. 
applicatio. 
o. 
Schro�dinger'. 
equatio. 
(2.30. 
t. 
speci�. 
physica. 
examples. 
th. 
requirement. 
tha. 
�(x. 
b. 
continuous. 
single-valued. 
an. 
square. 
integrabl. 
restric. 
th. 
acceptabl. 
solution. 
t. 
a. 
in�nit. 
se. 
o. 
speci�. 
function. 
�n(x). 
. 
.1. 
2. 
3. 
.... 
eac. 
wit. 
. 
correspondin. 
energ. 
valu. 
En. 
Thus. 
th. 
energ. 
i. 
quantized. 
bein. 
restricte. 
t. 
certai. 
values. 
Thi. 
featur. 
i. 
illustrate. 
i. 
Sectio. 
2.. 
wit. 
th. 
exampl. 
o. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
box. 


Sinc. 
th. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
(2.6. 
i. 
linear. 
an. 
linea. 
superpositio. 
o. 
solution. 
i. 
als. 
. 
solution. 
Therefore. 
th. 
mos. 
genera. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(2.6. 
fo. 
. 
time-independen. 
potentia. 
energ. 
. 
(x)i. 


�(x. 
t. 
. 
cn�n(x)e�iEnt=. 
(2:33. 


wher. 
th. 
coef�cient. 
c. 
ar. 
arbitrar. 
comple. 
constants. 
Th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
t. 
i. 
equatio. 
(2.33. 
i. 
no. 
. 
stationar. 
state. 
bu. 
rathe. 
. 
su. 
o. 
stationar. 
states. 
eac. 
wit. 
. 
differen. 
energ. 
En. 


2.. 
Particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 


A. 
a. 
illustratio. 
o. 
th. 
applicatio. 
o. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
t. 
. 
syste. 
wit. 
. 
speci�. 
for. 
fo. 
. 
(x). 
w. 
conside. 
. 
particl. 
con�ne. 
t. 
. 
bo. 
wit. 
in�nitel. 
hig. 
sides. 
Th. 
potentia. 
energ. 
fo. 
suc. 
. 
particl. 
i. 
give. 
b. 


. 
(x. 
.0. 
. 
. 
. 
. 
. 


.1. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


an. 
i. 
illustrate. 
i. 
Figur. 
2.1. 
Outsid. 
th. 
potentia. 
well. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(2.30. 
i. 
give. 
b. 
". 
d2. 
. 
.1. 
. 
E. 


2. 
dx. 
fo. 
whic. 
th. 
solutio. 
i. 
simpl. 
�(x. 
.0. 
th. 
probabilit. 
i. 
zer. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
outsid. 
th. 
bo. 
wher. 
th. 
potentia. 
i. 
in�nite. 
Insid. 
th. 
box. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
i. 


". 
d2. 


2. 
dx. 



2.. 
Particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
4. 


V(x) 

x 
0 a 

Figur. 
2.. 
Th. 
potentia. 
energ. 
V(x. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
o. 
lengt. 
a. 


d2. 
4�. 


.. 
. 
(2:34. 


dx. 
�. 


wher. 
. 
i. 
th. 
d. 
Brogli. 
wavelength. 
. 
. 
2�. 
���������. 
2m. 
. 
. 
. 
. 
(2:35. 


W. 
hav. 
implicitl. 
assume. 
her. 
tha. 
. 
i. 
no. 
negative. 
I. 
. 
wer. 
negative. 
the. 
th. 
wav. 
functio. 
. 
an. 
it. 
secon. 
derivativ. 
woul. 
hav. 
th. 
sam. 
sign. 
A. 
jx. 
increases. 
th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
an. 
it. 
curvatur. 
d2�=dx. 
woul. 
becom. 
large. 
an. 
large. 
i. 
magnitud. 
an. 
�(x. 
woul. 
approac. 
(. 
in�nit. 
a. 
. 
!1. 


Th. 
solution. 
t. 
equatio. 
(2.34. 
ar. 
function. 
tha. 
ar. 
proportiona. 
t. 
thei. 
secon. 
derivatives. 
namel. 
sin(2�x=�. 
an. 
cos(2�x=�). 
Th. 
function. 
exp[2�ix=�. 
an. 
exp[�2�ix=�]. 
whic. 
a. 
equatio. 
(A.31. 
show. 
ar. 
equivalen. 
t. 
th. 
trigonometri. 
functions. 
ar. 
als. 
solutions. 
bu. 
ar. 
mor. 
dif�cul. 
t. 
us. 
fo. 
thi. 
system. 
Thus. 
th. 
genera. 
solutio. 
t. 
equatio. 
(2.34. 
i. 


2�. 
2�. 


�(x. 
.. 
si. 
.. 
co. 
(2:36. 


wher. 
. 
an. 
. 
ar. 
arbitrar. 
constant. 
o. 
integration. 


Th. 
constant. 
. 
an. 
. 
ar. 
determine. 
b. 
th. 
boundar. 
condition. 
place. 
o. 
th. 
solutio. 
�(x). 
Sinc. 
�(x. 
mus. 
b. 
continuous. 
th. 
boundar. 
condition. 
requir. 
tha. 
�(x. 
vanis. 
a. 
eac. 
en. 
o. 
th. 
bo. 
s. 
a. 
t. 
matc. 
th. 
valu. 
o. 
�(x. 
outsid. 
th. 
box. 
i.e.. 
�(0. 
.�(a. 
.0. 
A. 
. 
.0. 
th. 
functio. 
�(0. 
fro. 
(2.36. 


�(0. 
.. 
si. 
. 
.. 
co. 
. 
.. 
s. 
tha. 
. 
.. 
an. 
�(x)isno. 


�(x. 
.. 
si. 
(2:37. 


A. 
. 
.a. 
�(a)i. 



5. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


�(a. 
. 
. 
si. 
. 
. 


Th. 
constan. 
. 
canno. 
b. 
zero. 
fo. 
the. 
�(x. 
woul. 
vanis. 
everywher. 
an. 
ther. 
woul. 
b. 
n. 
particle. 
Consequently. 
w. 
hav. 
sin(2�a=�. 
. 
0o. 


. 
n�. 
. 
. 
1. 
2,3. 
... 


wher. 
. 
i. 
an. 
positiv. 
intege. 
greate. 
tha. 
zero. 
Th. 
solutio. 
. 
. 
. 
woul. 
caus. 
�(x. 
t. 
vanis. 
everywher. 
an. 
i. 
therefor. 
no. 
acceptable. 
Negativ. 
value. 
o. 
. 
giv. 
redundan. 
solution. 
becaus. 
sin(��. 
equal. 
�si. 
�. 


W. 
hav. 
foun. 
tha. 
onl. 
distinc. 
value. 
fo. 
th. 
d. 
Brogli. 
wavelengt. 
satisf. 
th. 
requiremen. 
tha. 
th. 
wav. 
functio. 
represent. 
th. 
motio. 
o. 
th. 
particle. 
Thes. 
distinc. 
value. 
ar. 
denote. 
a. 
�. 
an. 
ar. 
give. 
b. 


�. 
. 
. 
. 
. 
1. 
2. 
3. 
... 
(2:38. 


Consequently. 
fro. 
equatio. 
(2.35. 
onl. 
distinc. 
value. 
E. 
o. 
th. 
energ. 
ar. 
allowe. 


n2�2". 
n. 
h. 
E. 
.. 
. 
. 
. 
1,2. 
3. 
... 
(2:39. 


2ma28ma. 


s. 
tha. 
th. 
energ. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
i. 
quantized. 


Th. 
lowes. 
allowe. 
energ. 
leve. 
i. 
calle. 
th. 
zero-poin. 
energ. 
an. 
i. 
give. 
b. 
E. 
. 
h2=8ma2. 
Thi. 
zero-poin. 
energ. 
i. 
alway. 
greate. 
tha. 
th. 
zer. 
valu. 
o. 
th. 
constan. 
potentia. 
energ. 
o. 
th. 
syste. 
an. 
increase. 
a. 
th. 
lengt. 
. 
o. 
th. 
bo. 
decreases. 
Th. 
non-zer. 
valu. 
fo. 
th. 
lowes. 
energ. 
leve. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principle. 
Fo. 
th. 
particl. 
i. 
. 
box. 
th. 
uncertaint. 
�. 
i. 
positio. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
lengt. 
. 
sinc. 
th. 
particl. 
i. 
somewher. 
withi. 
th. 
box. 
Th. 
uncertaint. 
. 
. 
i. 
momentu. 
i. 
equa. 
t. 
2. 
p. 
sinc. 
th. 
momentu. 
range. 
fro. 
�. 
p. 
t. 
. 
pj. 
Th. 
momentu. 
an. 
energ. 
ar. 
relate. 
b. 


p���������. 


. 
pj. 
2m. 
. 


s. 
tha. 


�x. 
. 
. 
n. 


i. 
i. 
agreemen. 
wit. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
(2.26). 
I. 
th. 
lowes. 
allowe. 
energ. 
leve. 
wer. 
zero. 
the. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
woul. 
b. 
violated. 


Th. 
allowe. 
wav. 
function. 
�n(x. 
fo. 
th. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
ar. 
obtaine. 
b. 
substitutin. 
equatio. 
(2.38. 
int. 
(2.37). 


�n(x. 
. 
. 
sin. 
. 
. 
. 
. 
. 



2.. 
Particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
5. 


Th. 
remainin. 
constan. 
o. 
integratio. 
. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
normalizatio. 
conditio. 
(2.32). 


.. 
.. 
.�

n�x. 
. 


j�n(x)jd. 
.jAjsin. 
d. 
.jAjsin2n. 
d. 
.jAj.. 
�. 
. 
. 
. 
0. 
wher. 
equatio. 
(A.15. 
wa. 
used. 
Therefore. 
w. 
hav. 


. 
.ei. 
. 


Settin. 
th. 
phas. 
. 
equa. 
t. 
zer. 
sinc. 
i. 
ha. 
n. 
physica. 
signi�cance. 
w. 
obtai. 
fo. 
th. 
normalize. 
wav. 
function. 


�n(x. 
. 
si. 
,. 
. 
. 
. 
. 


(2:40. 


.0. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


Th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(2.30. 
fo. 
th. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
ha. 
a. 
in�nit. 
se. 
o. 
solution. 
�n(x. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.40). 
Th. 
�rs. 
fou. 
wav. 
function. 
�n(x. 
fo. 
. 
.1. 
2. 
3. 
an. 
. 
an. 
thei. 
correspondin. 
probabilit. 


densitie. 
j�n(x)jar. 
show. 
i. 
Figur. 
2.2. 
Th. 
wav. 
functio. 
�1(x. 
corre. 
spondin. 
t. 
th. 
lowes. 
energ. 
leve. 
E. 
i. 
calle. 
th. 
groun. 
state. 
Th. 
othe. 
wav. 
function. 
ar. 
calle. 
excite. 
states. 


I. 
w. 
integrat. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
differen. 
wav. 
function. 
�l(x. 
an. 
�n(x). 
w. 
�n. 
tha. 


.. 
.. 
.�

. 
l�xn�. 
. 


�l(x)�n(x)d. 
. 
si. 
si. 
d. 
. 
si. 
l. 
si. 
n. 
d. 
.. 


(2:41. 


wher. 
equatio. 
(A.15. 
ha. 
bee. 
introduced. 
Thi. 
resul. 
ma. 
b. 
combine. 
wit. 
th. 
normalizatio. 
relatio. 
t. 
giv. 


�l(x)�n(x)d. 
.�l. 
(2:42. 


wher. 
�l. 
i. 
th. 
Kronecke. 
delta. 


�l. 
.1. 
. 
.. 
(2:43. 


.0. 
. 
6.. 


Function. 
tha. 
obe. 
equatio. 
(2.41. 
ar. 
calle. 
orthogona. 
functions. 
I. 
th. 
orthogona. 
function. 
ar. 
als. 
normalized. 
a. 
i. 
equatio. 
(2.42). 
the. 
the. 
ar. 



5. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


|�1|2

�1 

x 

0 a 
0 a 
0 a 
�2 

|�2|2 

x 

0 a 
�3 

|�3|2 

x 

0 a 
0 a 
�4 

|�4|2 

x 

a

0 
0 a 
Figur. 
2.. 
Wav. 
function. 
�. 
an. 
probabilit. 
densitie. 
j�ij. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
one. 
dimensiona. 
bo. 
o. 
lengt. 
a. 


sai. 
t. 
b. 
orthonormal. 
Th. 
orthogona. 
propert. 
o. 
wav. 
function. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
i. 
discusse. 
i. 
. 
mor. 
genera. 
contex. 
i. 
Sectio. 
3.3. 


Th. 
stationar. 
state. 
�(x. 
t. 
fo. 
th. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
ar. 
give. 
b. 
substitutio. 
o. 
equation. 
(2.39. 
an. 
(2.40. 
int. 
(2.31). 


e�i(n2�2"=2ma2)t

�(x. 
t. 
. 
si. 
(2:44. 


Th. 
mos. 
genera. 
solutio. 
(2.33. 
is. 
then. 


e�i(n2�2"=2ma2)t

�(x. 
t. 
. 
c. 
si. 
(2:45. 



2.. 
Tunnelin. 
5. 


2.. 
Tunnelin. 


A. 
. 
secon. 
exampl. 
o. 
th. 
applicatio. 
o. 
th. 
Schro�dinge. 
equation. 
w. 
conside. 
th. 
behavio. 
o. 
. 
particl. 
i. 
th. 
presenc. 
o. 
. 
potentia. 
barrier. 
Th. 
speci�. 
for. 
tha. 
w. 
choos. 
fo. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
(x)isgive. 
b. 


. 
(x. 
.V0. 
. 
. 
. 
. 
. 


.0. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


an. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
2.3. 
Th. 
regio. 
wher. 
. 
. 
. 
i. 
labele. 
I. 
wher. 
. 
. 
. 
. 
. 
i. 
labele. 
II. 
an. 
wher. 
. 
. 
. 
i. 
labele. 
III. 


Suppos. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
an. 
energ. 
. 
comin. 
fro. 
th. 
lef. 
approache. 
th. 
potentia. 
barrier. 
Accordin. 
t. 
classica. 
mechanics. 
i. 
. 
i. 
les. 
tha. 
th. 
barrie. 
heigh. 
V0. 
th. 
particl. 
wil. 
b. 
re�ecte. 
b. 
th. 
barrier. 
i. 
canno. 
pas. 
throug. 
th. 
barrie. 
an. 
appea. 
i. 
regio. 
III. 
I. 
quantu. 
theory. 
a. 
w. 
shal. 
see. 
th. 
particl. 
ca. 
penetrat. 
th. 
barrie. 
an. 
appea. 
o. 
th. 
othe. 
side. 
Thi. 
effec. 
i. 
calle. 
tunneling. 


I. 
region. 
. 
an. 
III. 
wher. 
V(x. 
i. 
zero. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(2.30. 
i. 
d2�(x)2m. 


.. 
�(x. 
(2:46. 


dx. 
". 
Th. 
genera. 
solution. 
t. 
equatio. 
(2.46. 
fo. 
thes. 
region. 
ar. 
�. 
.Aei�. 
.Be�i�. 
(2:4. 
a. 
�II. 
.Fei�. 
.Ge�i�. 
(2:4. 
b. 
wher. 
A. 
B. 
F. 
an. 
. 
ar. 
arbitrar. 
constant. 
o. 
integratio. 
an. 
. 
i. 
th. 
abbreviatio. 


p���������. 


. 
. 
(2:48. 


I. 
regio. 
II. 
wher. 
V(x. 
.V. 
. 
E. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(2.30. 
become. 


V(x) 

V0 

I II III 

x 

Figur. 
2.. 
Potentia. 
energ. 
barrie. 
o. 
heigh. 
V. 
an. 
widt. 
a. 


0 a 



5. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


d2�(x)2. 


. 
(V. 
. 
E)�(x. 
(2:49. 


dx. 
". 


fo. 
whic. 
th. 
genera. 
solutio. 
i. 


�I. 
. 
Ce�. 
. 
De��. 
(2:50. 


wher. 
. 
an. 
. 
ar. 
integratio. 
constant. 
an. 
. 
i. 
th. 
abbreviatio. 


p�����������������������. 


2m(V. 
. 
E. 


. 
. 
(2:51. 


Th. 
ter. 
exp[i�x. 
i. 
equation. 
(2.47. 
indicate. 
trave. 
i. 
th. 
positiv. 
x. 
direction. 
whil. 
exp[�i�x. 
refer. 
t. 
trave. 
i. 
th. 
opposit. 
direction. 
Th. 
coef�cien. 
. 
is. 
then. 
th. 
amplitud. 
o. 
th. 
inciden. 
wave. 
. 
i. 
th. 
amplitud. 
o. 
th. 
re�ecte. 
wave. 
an. 
. 
i. 
th. 
amplitud. 
o. 
th. 
transmitte. 
wave. 
I. 
regio. 
III. 
th. 
particl. 
move. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
s. 
tha. 
. 
i. 
zero. 
Th. 
relativ. 
probabilit. 
o. 
tunnelin. 
i. 
give. 
b. 
th. 
transmissio. 
coef�cien. 
. 


. 
. 
(2:52. 


an. 
th. 
relativ. 
probabilit. 
o. 
re�ectio. 
i. 
give. 
b. 
th. 
re�ectio. 
coef�cien. 
. 


. 
. 
(2:53. 


Th. 
wav. 
functio. 
fo. 
th. 
particl. 
i. 
obtaine. 
b. 
joinin. 
th. 
thre. 
part. 
�I. 
�II. 
an. 
�II. 
suc. 
tha. 
th. 
resultin. 
wav. 
functio. 
�(x. 
an. 
it. 
�rs. 
derivativ. 
�9(x. 
ar. 
continuous. 
Thus. 
th. 
followin. 
boundar. 
condition. 
appl. 


�I(0. 
. 
�II(0). 
�9I(0. 
. 
�9II(0. 
(2:54. 


�II(a. 
. 
�III(a). 
�9II(a. 
. 
�9III(a. 
(2:55. 


Thes. 
fou. 
relation. 
ar. 
suf�cien. 
t. 
determin. 
an. 
fou. 
o. 
th. 
constant. 
A. 
B. 
C. 
D. 
. 
i. 
term. 
o. 
th. 
�fth. 
I. 
th. 
particl. 
wer. 
con�ne. 
t. 
. 
�nit. 
regio. 
o. 
space. 
the. 
it. 
wav. 
functio. 
coul. 
b. 
normalized. 
thereb. 
determinin. 
th. 
�ft. 
an. 
�na. 
constant. 
However. 
i. 
thi. 
example. 
th. 
positio. 
o. 
th. 
particl. 
ma. 
rang. 
fro. 
�. 
t. 
1. 
Accordingly. 
th. 
wav. 
functio. 
canno. 
b. 
normalized. 
th. 
remainin. 
constan. 
canno. 
b. 
evaluated. 
an. 
onl. 
relativ. 
probabilitie. 
suc. 
a. 
th. 
transmissio. 
an. 
re�ectio. 
coef�cient. 
ca. 
b. 
determined. 


W. 
�rs. 
evaluat. 
th. 
transmissio. 
coef�cien. 
. 
i. 
equatio. 
(2.52). 
Applyin. 
equation. 
(2.55. 
t. 
(2.4. 
b. 
an. 
(2.50). 
w. 
obtai. 
Ce�. 
. 
De��. 
. 
Fei�. 


�(Ce�. 
. 
De��a. 
. 
i�Fei�. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 



2.. 
Tunnelin. 
5. 


e(i���). 


(2:56. 


e(i�.�). 


Applicatio. 
o. 
equatio. 
(2.54. 
t. 
(2.4. 
a. 
an. 
(2.50. 
give. 


. 
.. 
.. 
.. 


(2:57. 
i�(. 
�B. 
.�(. 
�D. 


Eliminatio. 
o. 
. 
fro. 
th. 
pai. 
o. 
equation. 
(2.57. 
an. 
substitutio. 
o. 
equation. 
(2.56. 
fo. 
. 
an. 
fo. 
. 
yiel. 


. 
. 
[(. 
.i�). 
�(. 
�i�)D. 


.. 
[(. 
.i�)2e��. 
�(. 
�i�)2. 


A. 
thi. 
poin. 
i. 
i. 
easie. 
t. 
for. 
jAj. 
befor. 
an. 
furthe. 
algebrai. 
simpli�ca. 
tion. 


jAj. 
.A. 


.jFj
. 
[(�. 
.�2)2e�2�. 
.(�. 
.�2)2e2�. 
�(. 
�i�). 
�(. 
.i�)4. 


16�2�. 


.jFj
. 
[(�. 
.�2)2(e�. 
�e��a). 
.16�2�2. 


16�2�. 


(�. 
.�2). 


.jFj. 
. 
sinh. 
�. 


4�2�. 


wher. 
equatio. 
(A.46. 
ha. 
bee. 
used. 
Combinin. 
thi. 
resul. 
wit. 
equation. 
(2.48). 
(2.51). 
an. 
(2.52). 
w. 
obtai. 


. 
. 
p�����������������������. 


. 
. 
. 
. 
sinh2. 
2m(V. 
�E. 
a=". 
(2:58. 


4E(V. 
�E. 


T. 
�n. 
th. 
re�ectio. 
coef�cien. 
R. 
w. 
eliminat. 
. 
fro. 
th. 
pai. 
o. 
equation. 
(2.57. 
an. 
substitut. 
equation. 
(2.56. 
fo. 
. 
an. 
fo. 
. 
t. 
obtai. 


. 
. 
1[�(. 
�i�). 
.(. 
.i�)D. 
.. 
ei�. 
[(�. 
.�2)e�. 
�(�. 
.�2)e��a. 


2i. 
4i�. 


.. 
(�. 
.�2)sin. 
�. 



5. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


wher. 
agai. 
equatio. 
(A.46. 
ha. 
bee. 
used. 
Combinin. 
thi. 
resul. 
wit. 
equation. 
(2.52. 
an. 
(2.53). 
w. 
�n. 
tha. 


jBj2(�. 
. 
�2). 


. 
. 
. 
. 
. 
sinh. 
�. 


jFj24�2�. 


Substitutio. 
o. 
equation. 
(2.48). 
(2.51). 
an. 
(2.58. 
yield. 


. 
. 
p�����������������������. 


sinh2. 
2m(V. 
. 
E. 
a=". 


4E(V. 
. 
E. 


. 
. 
(2:59. 


. 
. 
p�����������������������. 


. 
. 
sinh2. 
2m(V. 
. 
E. 
a=". 


4E(V. 
. 
E. 


Th. 
transmissio. 
coef�cien. 
. 
i. 
equatio. 
(2.58. 
i. 
th. 
relativ. 
probabilit. 
tha. 
. 
particl. 
impingin. 
o. 
th. 
potentia. 
barrie. 
tunnel. 
throug. 
th. 
barrier. 
Th. 
re�ectio. 
coef�cien. 
. 
i. 
equatio. 
(2.59. 
i. 
th. 
relativ. 
probabilit. 
tha. 
th. 
particl. 
bounce. 
of. 
th. 
barrie. 
an. 
move. 
i. 
th. 
negativ. 
x-direction. 
Sinc. 
th. 
particl. 
mus. 
d. 
on. 
o. 
th. 
othe. 
o. 
thes. 
tw. 
possibilities. 
th. 
su. 
o. 
. 
an. 
. 
shoul. 
equa. 
unit. 


. 
. 
. 
. 
. 
whic. 
w. 
observ. 
fro. 
equation. 
(2.58. 
an. 
(2.59. 
t. 
b. 
th. 
case. 
W. 
als. 
not. 
tha. 
th. 
(relative. 
probabilit. 
fo. 
th. 
particl. 
bein. 
i. 
th. 
regio. 
. 
. 
. 
. 
. 
i. 
no. 
zero. 
I. 
thi. 
region. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
greate. 
tha. 
th. 
tota. 
particl. 
energy. 
makin. 
th. 
kineti. 
energ. 
o. 
th. 
particl. 
negative. 
Thi. 
concep. 
i. 
contrar. 
t. 
classica. 
theor. 
an. 
doe. 
no. 
hav. 
. 
physica. 
signi�. 
cance. 
Fo. 
thi. 
reaso. 
w. 
canno. 
observ. 
th. 
particl. 
experimentall. 
withi. 
th. 
potentia. 
barrier. 
Further. 
w. 
not. 
tha. 
becaus. 
th. 
particl. 
i. 
no. 
con�ne. 
t. 
. 
�nit. 
region. 
th. 
boundar. 
condition. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
hav. 
no. 
impose. 
an. 
restriction. 
o. 
th. 
energ. 
E. 
Thus. 
th. 
energ. 
i. 
thi. 
exampl. 
i. 
no. 
quantized. 
I. 
thi. 
analysi. 
w. 
considere. 
th. 
relativ. 
probabilitie. 
fo. 
tunnelin. 
an. 
re�ectio. 
fo. 
. 
singl. 
particle. 
Th. 
conclusion. 
appl. 
equall. 
wel. 
t. 
. 
bea. 
o. 
particles. 
eac. 
o. 
mas. 
. 
an. 
tota. 
energ. 
E. 
travelin. 
initiall. 
i. 
th. 
positiv. 
x-direction. 
I. 
tha. 
case. 
th. 
transmissio. 
coef�cien. 
. 
i. 
equatio. 
(2.58. 
give. 
th. 
fractio. 
o. 
incomin. 
particle. 
tha. 
tunne. 
throug. 
th. 
barrier. 
an. 
th. 
re�ectio. 
coef�cien. 
. 
i. 
equatio. 
(2.59. 
give. 
th. 
fractio. 
tha. 
ar. 
re�ecte. 
b. 
th. 
barrier. 
I. 
th. 
potentia. 
barrie. 
i. 
thic. 
(. 
i. 
large). 
th. 
potentia. 
barrie. 
i. 
hig. 
compare. 
wit. 
th. 
particl. 
energ. 
. 
(V. 
. 
E). 
th. 
mas. 
. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
large. 
o. 
an. 
combinatio. 
o. 
thes. 
characteristics. 
the. 
w. 
hav. 


sin. 
�. 
. 
. 
(e�. 
. 
e��a. 
. 



2.. 
Particle. 
i. 
thre. 
dimension. 
5. 


s. 
tha. 
. 
an. 
. 
becom. 


p���������������. 


16E(V. 
�E. 


e�2. 
2m(V0�E)=. 


p���������������. 


16E(V. 
�E. 


e�2. 
2m(V0�E)=. 


I. 
th. 
limi. 
a. 
. 
!1,a. 
V. 
!1,a. 
. 
!1. 
o. 
an. 
combination. 
th. 
transmissio. 
coef�cien. 
. 
approache. 
zer. 
an. 
th. 
re�ectio. 
coef�cien. 
. 
approache. 
unity. 
whic. 
ar. 
th. 
classical-mechanica. 
values. 
W. 
als. 
not. 
tha. 
i. 
th. 
limi. 
. 
!0. 
th. 
classica. 
value. 
fo. 
. 
an. 
. 
ar. 
obtained. 


Example. 
o. 
tunnelin. 
i. 
physica. 
phenomen. 
occu. 
i. 
th. 
spontaneou. 
emissio. 
o. 
a. 
alph. 
particl. 
b. 
. 
nucleus. 
oxidation�reductio. 
reactions. 
electrod. 
reactions. 
an. 
th. 
umbrell. 
inversio. 
o. 
th. 
ammoni. 
molecule. 
Fo. 
thes. 
cases. 
th. 
potentia. 
i. 
no. 
a. 
simpl. 
a. 
th. 
on. 
use. 
here. 
bu. 
mus. 
b. 
selecte. 
t. 
approximat. 
a. 
closel. 
a. 
possibl. 
th. 
actua. 
potential. 
However. 
th. 
basi. 
qualitativ. 
result. 
o. 
th. 
treatmen. 
her. 
serv. 
t. 
explai. 
th. 
genera. 
concep. 
o. 
tunneling. 


2.. 
Particle. 
i. 
thre. 
dimension. 


U. 
t. 
thi. 
poin. 
w. 
hav. 
considere. 
particl. 
motio. 
onl. 
i. 
th. 
x-direction. 
Th. 
generalizatio. 
o. 
Schro�dinge. 
wav. 
mechanic. 
t. 
thre. 
dimension. 
i. 
straightforward. 
I. 
thi. 
sectio. 
w. 
summariz. 
th. 
basi. 
idea. 
an. 
equation. 
o. 
wav. 
mechanic. 
a. 
expresse. 
i. 
thei. 
three-dimensiona. 
form. 


Th. 
positio. 
o. 
an. 
poin. 
i. 
three-dimensiona. 
cartesia. 
spac. 
i. 
denote. 
b. 
th. 
vecto. 
. 
wit. 
component. 
x. 
y. 
z. 
s. 
tha. 


. 
.i. 
.. 
. 
.k. 
(2:60. 
wher. 
i. 
j. 
. 
are. 
respectively. 
th. 
uni. 
vector. 
alon. 
th. 
x. 
y. 
. 
cartesia. 
coordinat. 
axes. 
Th. 
linea. 
momentu. 
. 
o. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
i. 
give. 
b. 


d. 
d. 
. 
. 
d. 
. 
.. 
d. 
.. 
. 
d. 
.. 
d. 
.. 
d. 
.. 
p. 
.. 
p. 
.. 
p. 
(2:61. 


Th. 
x-component. 
px. 
o. 
th. 
momentu. 
no. 
need. 
t. 
carr. 
. 
subscript. 
wherea. 
befor. 
i. 
wa. 
denote. 
simpl. 
a. 
p. 
Th. 
scala. 
o. 
do. 
produc. 
o. 
. 
an. 


r.. 
.p.. 
.xp. 
.yp. 
.zp. 
an. 
th. 
magnitud. 
. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
i. 
. 
.(p.p)1=. 
.. 
p. 
.p. 
.p2)1=. 


Th. 
classica. 
Hamiltonia. 
H(p. 
r. 
take. 
th. 
for. 



5. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


H(p. 
r. 
.. 
V(r. 
. 
. 
p. 
. 
p. 
. 
p2. 
. 
. 
(r. 
(2:62. 


Whe. 
expresse. 
i. 
thre. 
dimensions. 
th. 
d. 
Brogli. 
relatio. 
i. 


. 
. 
". 
(2:63. 
wher. 
. 
i. 
th. 
vecto. 
wav. 
numbe. 
wit. 
component. 
kx. 
ky. 
kz. 
Th. 
d. 
Brogli. 
wavelengt. 
. 
i. 
stil. 
give. 
b. 


wher. 
no. 
. 
an. 
. 
ar. 
th. 
magnitude. 
o. 
th. 
correspondin. 
vectors. 
Th. 
wav. 
packe. 
representin. 
. 
particl. 
i. 
thre. 
dimension. 
i. 


. 
A(p. 
t)ei(p.r�Et)="

�(r. 
t. 
. 
d. 
(2:64. 


(2�")3=. 
A. 
show. 
b. 
equation. 
(B.19). 
(B.20). 
an. 
(B.27). 
th. 
momentum-spac. 
wav. 
functio. 
A(p. 
t. 
i. 
. 
generalize. 
Fourie. 
transfor. 
o. 
�(r. 
t). 


. 
�(r. 
t)e�i(p.r�Et)="

A(p. 
t. 
. 
d. 
(2:65. 


(2�")3=. 


Th. 
volum. 
element. 
d. 
an. 
d. 
ar. 
de�ne. 
a. 
d. 
. 
d. 
d. 
d. 
d. 
. 
. 
p. 
. 
p. 
. 
p. 


an. 
th. 
integration. 
exten. 
ove. 
th. 
complet. 
rang. 
o. 
eac. 
variable. 
Fo. 
. 
particl. 
movin. 
i. 
three-dimensiona. 
space. 
th. 
quantit. 


�(r. 
t)�(r. 
t)d. 
. 
�(x. 
y. 
z. 
t)�(x. 
y. 
z. 
t)d. 
. 
. 
d. 
i. 
th. 
probabilit. 
a. 
tim. 
. 
o. 
�ndin. 
th. 
particl. 
wit. 
it. 
x-coordinat. 
betwee. 
. 
an. 
. 
. 
dx. 
it. 
y-coordinat. 
betwee. 
. 
an. 
. 
. 
dy. 
an. 
it. 
z-coordinat. 
betwee. 
. 
an. 
. 
. 
dz. 
Th. 
produc. 
�(r. 
t)�(r. 
t. 
is. 
then. 
th. 
probabilit. 
densit. 
a. 
th. 
poin. 
. 
a. 
tim. 
t. 
I. 
th. 
particl. 
i. 
unde. 
th. 
in�uenc. 
o. 
a. 
externa. 
potentia. 
�el. 
. 
(r). 
th. 
wav. 
functio. 
�(r. 
t. 
ma. 
b. 
normalize. 


�(r. 
t)�(r. 
t)d. 
. 
. 
(2:66. 


Th. 
quantum-mechanica. 
operator. 
correspondin. 
t. 
th. 
component. 
o. 
. 


ar. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
.
^p
. 
. 
. 
@. 
. 
.
^p
. 
. 
. 
. 
. 
. 
.
^p
. 
. 
. 
@. 
or. 
i. 
vecto. 
notatio. 
. 
. 
^p
. 
. 
(2:67. 
. 



2.. 
Particle. 
i. 
thre. 
dimension. 
5. 


wher. 
th. 
gradien. 
operato. 
. 
i. 
de�ne. 
a. 


. 
. 
.. 
.. 


@. 
. 
. 
@. 


Usin. 
thes. 
relations. 
w. 
ma. 
expres. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
thre. 
dimension. 
a. 


. 
. 
=. 
.V(r. 


wher. 
th. 
laplacia. 
operato. 
=. 
i. 
de�ne. 
b. 


=. 
. 
. 
. 
... 


@x. 
. 
y. 
@z. 


Th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
i. 
@�(r. 
t. 


i. 
. 
^H
�(r. 
t. 
. 
. 
. 
�". 
=2�(r. 
t. 
.. 
(r)�(r. 
t. 
(2:68. 
2. 
Th. 
stationary-stat. 
solution. 
t. 
thi. 
differentia. 
equatio. 
ar. 
�n(r. 
t. 
.�n(r)e�iE. 
t=. 
(2:69. 


wher. 
th. 
spatia. 
function. 
�n(r. 
ar. 
solution. 
o. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 


=2�n(r. 
.. 
(r)�n(r. 
.En�n(r. 
(2:70. 


Th. 
mos. 
genera. 
solutio. 
t. 
equatio. 
(2.68. 
i. 


�(r. 
t. 
. 
cn�n(r)e�iEnt=. 
(2:71. 


wher. 
c. 
ar. 
arbitrar. 
comple. 
constants. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
functio. 
. 
(r. 
p. 
o. 
positio. 
an. 
momentu. 
i. 
give. 
b. 


h. 
(r. 
p)i. 
�(r. 
t. 
. 
r. 
. 
. 
�(r. 
t)d. 
(2:72. 


Equivalently. 
expectatio. 
value. 
o. 
three-dimensiona. 
dynamica. 
quantitie. 
ma. 
b. 
evaluate. 
fo. 
eac. 
dimensio. 
an. 
the. 
combined. 
i. 
appropriate. 
int. 
vecto. 
notation. 
Fo. 
example. 
th. 
tw. 
Ehrenfes. 
theorem. 
i. 
thre. 
dimension. 



6. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


hpi.. 


.�h=Vi.hF. 


wher. 
. 
i. 
th. 
vecto. 
forc. 
actin. 
o. 
th. 
particle. 
Th. 
Heisenber. 
uncertaint. 


principl. 
become. 
�x. 
p. 
. 
. 
. 
. 
�y. 
p. 
. 
. 
. 
. 
�z. 
p. 
. 
. 
. 


Multi-particl. 
syste. 


Fo. 
. 
syste. 
o. 
. 
distinguishabl. 
particle. 
i. 
three-dimensiona. 
space. 
th. 
classica. 
Hamiltonia. 
i. 


H(p1. 
p2. 
.... 
p. 
. 
r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
. 
. 
.


. 


2m12m22m. 


.. 
(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
wher. 
r. 
an. 
p. 
ar. 
th. 
positio. 
an. 
momentu. 
vector. 
o. 
particl. 
k. 
Thus. 
th. 
quantum-mechanica. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 


�"21. 
1

^=. 
=. 
=2

. 
. 
. 
.


. 
.. 
(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
(2:73. 


. 
m. 
m. 
m. 


wher. 
=. 
i. 
th. 
laplacia. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
positio. 
o. 
particl. 
k. 


Th. 
wav. 
functio. 
fo. 
thi. 
syste. 
i. 
. 
functio. 
o. 
th. 
. 
positio. 
vectors. 
�(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
t). 
Thus. 
althoug. 
th. 
. 
particle. 
ar. 
movin. 
i. 
three. 
dimensiona. 
space. 
th. 
wav. 
functio. 
i. 
3N-dimensional. 
Th. 
physica. 
inter. 
pretatio. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
i. 
analogou. 
t. 
tha. 
fo. 
th. 
three-dimensiona. 
case. 
Th. 
quantit. 


�(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
t)�(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
t)dr1dr. 
... 
dr. 


.�(x1. 
y1. 
z1. 
x2. 
.... 
z. 
)�(x1. 
y1. 
z1. 
x2. 
.... 
z. 
)dx1. 
y1dz1dx. 
...dz. 
i. 
th. 
probabilit. 
a. 
tim. 
. 
that. 
simultaneously. 
particl. 
. 
i. 
betwee. 
x1. 
y1. 
z. 
an. 
x. 
.dx1. 
y. 
.dy1. 
z. 
.dz1. 
particl. 
. 
i. 
betwee. 
x2. 
y2. 
z. 
an. 
x. 
.dx2. 
y. 
.dy2. 
z. 
.dz2. 
.... 
an. 
particl. 
. 
i. 
betwee. 
x. 
. 
y. 
. 
z. 
an. 
x. 
.dxN. 
y. 
.dy. 
. 
z. 
.dz. 
. 
Th. 
normalizatio. 
conditio. 
i. 


�(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
t)�(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 
t)dr1dr. 
... 
dr. 
.. 
(2:74. 


Thi. 
discussio. 
applie. 
onl. 
t. 
system. 
wit. 
distinguishabl. 
particles. 
fo. 
example. 
system. 
wher. 
eac. 
particl. 
ha. 
. 
differen. 
mass. 
Th. 
treatmen. 
o. 
wav. 
function. 
fo. 
system. 
wit. 
indistinguishabl. 
particle. 
i. 
mor. 
compli. 



2.. 
Particl. 
i. 
. 
three-dimensiona. 
bo. 
6. 


cate. 
an. 
i. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
8. 
Suc. 
system. 
includ. 
atom. 
o. 
molecule. 
wit. 
mor. 
tha. 
on. 
electron. 
an. 
molecule. 
wit. 
tw. 
o. 
mor. 
identica. 
nuclei. 


2.. 
Particl. 
i. 
. 
three-dimensiona. 
bo. 


. 
simpl. 
exampl. 
o. 
. 
three-dimensiona. 
syste. 
i. 
. 
particl. 
con�ne. 
t. 
. 
rectangula. 
containe. 
wit. 
side. 
o. 
length. 
a. 
b. 
an. 
c. 
Withi. 
th. 
bo. 
ther. 
i. 
n. 
forc. 
actin. 
o. 
th. 
particle. 
s. 
tha. 
th. 
potentia. 
. 
(r)isgive. 
b. 


V(r. 
.0. 
. 
. 
. 
. 
a,. 
. 
. 
. 
b,. 
. 
. 
. 
. 


.1. 
. 
. 
0. 
. 
. 
a. 
. 
. 
0. 
. 
. 
b. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 
Th. 
wav. 
functio. 
�(r. 
outsid. 
th. 
bo. 
vanishe. 
becaus. 
th. 
potentia. 
i. 
in�nit. 
there. 
Insid. 
th. 
box. 
th. 
wav. 
functio. 
obey. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(2.70. 
wit. 
th. 
potentia. 
energ. 
se. 
equa. 
t. 
zer. 


�". 
@2�(r. 
@2�(r. 
@2�(r. 


.. 
.E�(r. 
(2:75. 


2. 
@x. 
. 
y. 
@z. 


Th. 
standar. 
procedur. 
fo. 
solvin. 
. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
o. 
thi. 
typ. 
i. 
t. 
assum. 
tha. 
th. 
functio. 
�(r. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 
th. 
produc. 
o. 
thre. 
functions. 
on. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
variable. 


�(r. 
.�(x. 
y. 
z. 
.. 
(x). 
(y)Z(z. 
(2:76. 
Thus. 
. 
(x. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
x. 
. 
. 
y. 
onl. 
o. 
y. 
an. 
Z(z. 
onl. 
o. 
z. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(2.76. 
int. 
(2.75. 
an. 
divisio. 
b. 
th. 
produc. 
XY. 


�". 
d. 
. 
�". 
d. 
. 
�". 
d. 
. 


.... 
(2:77. 


2m. 
dx22m. 
. 
y22m. 
dz. 


Th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(2.77. 
depend. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
x. 
th. 
secon. 
onl. 
o. 
y. 
an. 
th. 
thir. 
onl. 
o. 
z. 
N. 
matte. 
wha. 
th. 
value. 
o. 
x,o. 
y,o. 
z. 
th. 
su. 
o. 
thes. 
thre. 
term. 
i. 
alway. 
equa. 
t. 
th. 
sam. 
constan. 
E. 
Th. 
onl. 
wa. 
tha. 
thi. 
conditio. 
ca. 
b. 
me. 
i. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
term. 
t. 
equa. 
som. 
constant. 
sa. 
Ex. 
Ey. 
an. 
Ez. 
respectively. 
Th. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
(2.77. 
ca. 
the. 
b. 
separate. 
int. 
thre. 
equations. 
on. 
fo. 
eac. 
variabl. 


d. 
. 
dx. 
. 
2. 
". 
Ex. 
.0. 
d2. 
dy. 
. 
2. 
". 
Ey. 
.0. 
d. 
. 
dz. 
. 
2. 
". 
Ez. 
.. 
(2:78. 
wher. 
E. 
.E. 
.E. 
.. 
(2:79. 



6. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


Thus. 
th. 
three-dimensiona. 
proble. 
ha. 
bee. 
reduce. 
t. 
thre. 
one-dimen. 
siona. 
problems. 


Th. 
differentia. 
equation. 
(2.78. 
ar. 
identica. 
i. 
for. 
t. 
equatio. 
(2.34. 
an. 
th. 
boundar. 
condition. 
ar. 
th. 
sam. 
a. 
before. 
Consequently. 
th. 
solution. 
insid. 
th. 
bo. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.40. 
a. 


. 
nx�. 


. 
(x. 
. 
si. 
. 
n. 
. 
1. 
2,3. 
... 


. 
(y. 
. 
. 
. 
si. 
ny. 
. 
. 
. 
n. 
. 
1. 
2. 
3. 
... 
(2:80. 
���. 
Z(z. 
. 
. 
. 
si. 
nz�. 
. 
. 
n. 
. 
1. 
2. 
3. 
... 


an. 
th. 
constant. 
Ex. 
Ey. 
E. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.39. 


E. 
. 
. 
. 
n. 
. 
1. 
2. 
3. 
... 


E. 
. 
. 
. 
n. 
. 
1. 
2. 
3. 
... 
(2:81. 


E. 
. 
. 
. 
n. 
. 
1. 
2. 
3. 
... 


Th. 
quantu. 
number. 
nx. 
ny. 
n. 
tak. 
o. 
positiv. 
intege. 
value. 
independentl. 
o. 
eac. 
other. 
Combinin. 
equation. 
(2.76. 
an. 
(2.80. 
give. 
th. 
wav. 
function. 
insid. 
th. 
three-dimensiona. 
bo. 


. 
nx�. 
ny�. 
nz�. 


�nx,ny,n. 
(r. 
. 
si. 
si. 
si. 
(2:82. 


wher. 
. 
. 
ab. 
i. 
th. 
volum. 
o. 
th. 
box. 
Th. 
energ. 
level. 
fo. 
th. 
particl. 
ar. 
obtaine. 
b. 
substitutio. 
o. 
equation. 
(2.81. 
int. 
(2.79. 


h. 
n. 
n. 
n. 


Enx,ny,n. 
. 
.. 
(2:83. 


8ma. 
b. 
c. 


Degenerac. 
o. 
energ. 
level. 


I. 
th. 
bo. 
i. 
cubic. 
w. 
hav. 
. 
. 
. 
. 
. 
an. 
th. 
energ. 
level. 
becom. 


Enx,ny,n. 
. 
(n. 
. 
n. 
. 
n2. 
(2:84. 


Th. 
lowes. 
o. 
zero-poin. 
energ. 
i. 
E1,1,. 
. 
3h2=8ma2. 
whic. 
i. 
thre. 
time. 
th. 
zero-poin. 
energ. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
o. 
th. 
sam. 
length. 
Th. 
secon. 
o. 
next-highes. 
valu. 
fo. 
th. 
energ. 
i. 
obtaine. 
b. 
settin. 
on. 
o. 



2.. 
Particl. 
i. 
. 
three-dimensiona. 
bo. 
6. 


Tabl. 
2.1. 
Energ. 
level. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
three. 
dimensiona. 
bo. 
wit. 
. 
. 
. 
. 
. 


Energ. 
Degenerac. 
Value. 
o. 
nx. 
ny. 
n. 


3(h2/8ma2. 
. 
1,1,. 
6(h2/8ma2. 
. 
2,1,. 
1,2,. 
1,1,. 
9(h2/8ma2. 
. 
2,2,. 
2,1,. 
1,2,. 


11(h2/8ma2. 
. 
3,1,. 
1,3,. 
1,1,. 


12(h2/8ma2. 
. 
2,2,. 


14(h2/8ma2. 
. 
3,2,. 
3,1,. 
2,3,. 
2,1,. 
1,3,. 
1,2,. 


Tabl. 
2.2. 
Energ. 
level. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
three. 
dimensiona. 
bo. 
wit. 
. 
. 
a=2,. 
. 
a=. 


Energ. 
Degenerac. 
Value. 
o. 
nx. 
ny. 
n. 


14(h2/8ma2. 
. 
1,1,. 
17(h2/8ma2. 
. 
2,1,. 
22(h2/8ma2. 
. 
3,1,. 
26(h2/8ma2. 
. 
1,2,. 
29(h2/8ma2. 
. 
2,2,. 
4,1,. 
34(h2/8ma2. 
. 
3,2,. 
38(h2/8ma2. 
. 
5,1,. 
41(h2/8ma2. 
. 
1,1,. 
4,2,. 


th. 
integer. 
nx. 
ny. 
n. 
equa. 
t. 
. 
an. 
th. 
remainin. 
one. 
equa. 
t. 
unity. 
Thus. 
ther. 
ar. 
thre. 
way. 
o. 
obtainin. 
th. 
valu. 
6h2=8ma2. 
namely. 
E2,1,1. 
E1,2,1. 
an. 
E1,1,2. 
Eac. 
o. 
thes. 
thre. 
possibilitie. 
correspond. 
t. 
. 
differen. 
wav. 
function. 
respectively. 
�2,1,1(r). 
�1,2,1(r). 
an. 
�1,1,2(r). 
A. 
energ. 
leve. 
tha. 
correspond. 
t. 
mor. 
tha. 
on. 
wav. 
functio. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
degenerate. 
Th. 
secon. 
energ. 
leve. 
i. 
thi. 
cas. 
i. 
threefol. 
o. 
tripl. 
degenerate. 
Th. 
zero. 
poin. 
energ. 
leve. 
i. 
non-degenerate. 
Th. 
energie. 
an. 
degeneracie. 
fo. 
th. 
�rs. 
si. 
energ. 
level. 
ar. 
liste. 
i. 
Tabl. 
2.1. 


Th. 
degeneracie. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
i. 
thi. 
exampl. 
ar. 
th. 
resul. 
o. 
symmetr. 
i. 
th. 
length. 
o. 
th. 
side. 
o. 
th. 
box. 
If. 
instea. 
o. 
th. 
bo. 
bein. 
cubic. 
th. 
length. 
o. 
. 
an. 
. 
i. 
term. 
o. 
. 
wer. 
. 
. 
a=2. 
. 
. 
a=3. 
the. 
th. 
value. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
an. 
thei. 
degeneracie. 
ar. 
different. 
a. 
show. 
i. 
Tabl. 
2.. 
fo. 
th. 
lowes. 
eigh. 
levels. 


Degenerac. 
i. 
discusse. 
i. 
mor. 
detai. 
i. 
Chapte. 
3. 



6. 
Schr.
o�dinge. 
wav. 
mechanic. 


Problem. 


2.. 
Conside. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
o. 
lengt. 
. 
an. 
i. 
quantu. 
stat. 
n. 
Wha. 
i. 
th. 
probabilit. 
tha. 
th. 
particl. 
i. 
i. 
th. 
lef. 
quarte. 
o. 
th. 
bo. 
(. 
. 
. 
. 
a=4). 
Fo. 
whic. 
stat. 
. 
i. 
th. 
probabilit. 
. 
maximum. 
Wha. 
i. 
th. 
probabilit. 
tha. 
th. 
particl. 
i. 
i. 
th. 
lef. 
hal. 
o. 
th. 
bo. 
(. 
. 
. 
. 
a=2). 


2.. 
Conside. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
potentia. 
suc. 
tha. 
. 
(x. 
.0. 
�a=. 
. 
. 
. 
a=. 
.1. 
. 
. 
�a=2. 
. 
. 
a=. 
Solv. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
thi. 
particl. 
t. 
obtai. 
th. 
energ. 
level. 
an. 
th. 
normalize. 
wav. 
functions. 
(Not. 
tha. 
th. 
boundar. 
condition. 
ar. 
differen. 
fro. 
thos. 
i. 
Sectio. 
2.5.. 
2.. 
Conside. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
con�ne. 
t. 
mov. 
o. 
. 
circl. 
o. 
radiu. 
a. 
Expres. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
plan. 
pola. 
coordinate. 
an. 
the. 
determin. 
th. 
energ. 
level. 
an. 
wav. 
functions. 
2.. 
Conside. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
an. 
energ. 
. 
approachin. 
fro. 
th. 
lef. 
. 
potentia. 
barrie. 
o. 
heigh. 
V0. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
2.. 
an. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
2.6. 
However. 
suppos. 
no. 
tha. 
. 
i. 
greate. 
tha. 
V0(. 
. 
V0). 
Obtai. 
expression. 
fo. 
th. 
re�ectio. 
an. 
transmissio. 
coef�cient. 
fo. 
thi. 
case. 
Sho. 
tha. 
. 
equal. 
unit. 
whe. 
. 
�V. 
.n2�2"2=2ma. 
fo. 
. 
.1. 
2. 
... 
Sho. 
tha. 
betwee. 
thes. 
periodi. 
maxim. 
. 
ha. 
minim. 
whic. 
li. 
progressivel. 
close. 
t. 
unit. 
a. 
. 
increases. 
2.. 
Fin. 
th. 
expressio. 
fo. 
th. 
transmissio. 
coef�cien. 
. 
fo. 
Proble. 
2.. 
whe. 
th. 
energ. 
. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
potentia. 
barrie. 
heigh. 
V0. 



Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


3.. 
Linea. 
operator. 


Th. 
wav. 
mechanic. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
. 
i. 
. 
linea. 
theory. 
I. 
orde. 
t. 
develo. 
th. 
theor. 
i. 
. 
mor. 
forma. 
manner. 
w. 
nee. 
t. 
discus. 
th. 
propertie. 


o. 
linea. 
operators. 
A. 
operato. 
. 
i. 
. 
mathematica. 
entit. 
tha. 
transform. 
. 
functio. 
. 
int. 
anothe. 
functio. 
. 


. 
. 
A^. 
(3:1. 


Throughou. 
thi. 
boo. 
. 
circum�e. 
i. 
use. 
t. 
denot. 
operators. 
Fo. 
example. 
multiplyin. 
th. 
functio. 
�(x. 
b. 
th. 
variabl. 
. 
t. 
giv. 
. 
ne. 
functio. 
�(x. 
ma. 
b. 
regarde. 
a. 
operatin. 
o. 
th. 
functio. 
�(x. 
wit. 
th. 
operato. 
.
^x. 
wher. 
. 
^xmean. 
multipl. 
b. 
x. 
�(x. 
. 
.
^x�(x. 
. 
x�(x). 
Generally. 
whe. 
th. 
operatio. 
i. 
simpl. 
multiplication. 
th. 
circum�e. 
o. 
th. 
operato. 
i. 
omitted. 
Th. 
operato. 


Dx. 
de�ne. 
a. 
d=dx. 
actin. 
o. 
�(x. 
give. 
th. 
�rs. 
derivativ. 
o. 
�(x. 
wit. 
respec. 
t. 
x. 
s. 
tha. 
i. 
thi. 
cas. 


. 
. 
D^x. 
. 


Th. 
operato. 
. 
ma. 
involv. 
. 
mor. 
comple. 
procedure. 
suc. 
a. 
takin. 
th. 
integra. 
o. 
. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
eithe. 
implicitl. 
o. 
betwee. 
. 
pai. 
o. 
limits. 


Th. 
operato. 
A^i. 
linea. 
i. 
i. 
satis�e. 
tw. 
criteri. 


A^(�. 
. 
�2. 
. 
A^�. 
. 
A^�. 
(3:2a. 


A(c�. 
. 
cA^. 
(3:2b. 


wher. 
. 
i. 
an. 
comple. 
constant. 
I. 
th. 
thre. 
example. 
give. 
above. 
th. 
operator. 
ar. 
linear. 
Som. 
nonlinea. 
operator. 
ar. 
`exp. 
(tak. 
th. 
exponentia. 
of. 
an. 
. 
]. 
(tak. 
th. 
squar. 
of). 
sinc. 



6. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


ex. 
. 
. 
ex

. 
. 
6
e. 
. 
. 
. 


. 
c. 
6
ce. 


[. 
. 
y]. 
. 
x. 
. 
2x. 
. 
y. 
6
x. 
. 
y. 


[c(. 
. 
y)]. 
6
c[. 
. 
y]. 


Th. 
operato. 
C^i. 
th. 
su. 
o. 
th. 
operator. 
A^an. 
B^i. 


C. 
. 
(A^. 
B^). 
. 
A^. 
. 
B^. 


Th. 
operato. 
C^i. 
th. 
produc. 
o. 
th. 
operator. 
A^an. 
B^i. 


C^. 
. 
A^B^. 
. 
A^(B^�. 


wher. 
�rs. 
. 
operate. 
o. 
. 
an. 
the. 
. 
operate. 
o. 
th. 
resultin. 
function. 
Operator. 
obe. 
th. 
associativ. 
la. 
o. 
multiplication. 
namel. 
A^. 
^C. 
. 
. 
^B. 
^

. 
^. 
^. 


Operator. 
ma. 
b. 
combined. 
Thus. 
th. 
squar. 
A^. 
o. 
a. 
operato. 
A^i. 
jus. 
th. 
produc. 
A^A^
A^2. 
. 
A^^A. 
^

A. 
. 
^A�. 


Simila. 
de�nition. 
appl. 
t. 
highe. 
power. 
o. 
A. 
A. 
anothe. 
example. 
th. 
differentia. 
equatio. 


. 
k. 
. 
. 
. 


ma. 
b. 
writte. 
a. 
. 
D^
. 
. 
k2. 
. 
. 
0. 
wher. 
th. 
operato. 
. 
D^
. 
. 
k2. 
i. 
th. 
su. 
o. 


th. 
tw. 
produc. 
operator. 
D^
. 
an. 
k2. 


I. 
multiplication. 
th. 
orde. 
o. 
. 
an. 
. 
i. 
importan. 
becaus. 
AB^. 
i. 
no. 
necessaril. 
equa. 
t. 
B^A^�. 
Fo. 
example. 
i. 
A^. 
. 
an. 
B^. 
D^
x. 
the. 
w. 
hav. 
A^B^. 
. 
. 
^B^^^

Dx. 
. 
x(d�=dx. 
while. 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
A. 
. 
Dx(x�. 
. 


. 
. 
x(d�=dx). 
Th. 
commutato. 
o. 
. 
an. 
B^. 
writte. 
a. 
. 
A^. 
B^]. 
i. 
a. 
operato. 
de�ne. 
a. 


[A^. 
B^. 
. 
A^B^. 
B^A^(3:3. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 
. 
A^. 
B^. 
.�[B^. 
A]. 
I. 
AB^. 
. 
B^A^�. 
the. 
w. 
hav. 
. 
. 
^A. 
^^

A^^BA^an. 
. 
^B. 
. 
0. 
i. 
thi. 
cas. 
w. 
sa. 
tha. 
A^an. 
. 
commute.B. 
expansio. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
th. 
followin. 
expressions. 
w. 
ca. 
readil. 
prov. 
th. 
relationship. 


[A^. 
B^C^. 
. 
[A^. 
B^]C^. 
B^[A^. 
C. 
(3:4a. 


[A^B^. 
C. 
. 
[A^. 
C]B^. 
A^[B^. 
C. 
(3:4b. 


Th. 
operato. 
A^i. 
th. 
reciproca. 
o. 
. 
i. 
A^^BA^. 
1. 
wher. 
. 
ma. 
b. 


regarde. 
a. 
th. 
uni. 
operator. 
i.e.. 
`multipl. 
b. 
unity'. 
W. 
ma. 
writ. 
. 
. 
B^�. 




3.. 
Eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
6. 


an. 
. 
.A^�1. 
I. 
th. 
operato. 
. 
possesse. 
. 
reciprocal. 
i. 
i. 
non-singular,i. 
whic. 
cas. 
th. 
expressio. 
. 
.A^. 
ma. 
b. 
solve. 
fo. 
�. 
givin. 
. 
.A^�1�.I. 


. 
possesse. 
n. 
reciprocal. 
i. 
i. 
singula. 
an. 
th. 
expressio. 
. 
.A^. 
ma. 
no. 
b. 
inverted. 


3.. 
Eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 


Conside. 
. 
�nit. 
se. 
o. 
function. 
f. 
an. 
th. 
relationshi. 


c. 
f. 
.c. 
f. 
.


. 
cn. 
. 
.. 
wher. 
c1. 
c2. 
...ar. 
comple. 
constants. 
I. 
a. 
equatio. 
o. 
thi. 
for. 
exists. 
the. 
th. 
function. 
ar. 
linearl. 
dependent. 
However. 
i. 
n. 
suc. 
relationshi. 
exists. 
excep. 
fo. 
th. 
trivia. 
on. 
wit. 
c. 
.c. 
. 


. 
. 
c. 
.0. 
the. 
th. 
function. 
ar. 
linearl. 
independent. 
Thi. 
de�nitio. 
ca. 
b. 
extende. 
t. 
includ. 
a. 
in�nit. 
se. 
o. 
functions. 


I. 
general. 
th. 
functio. 
. 
obtaine. 
b. 
th. 
applicatio. 
o. 
th. 
operato. 
. 
o. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
�. 
a. 
expresse. 
i. 
equatio. 
(3.1). 
i. 
linearl. 
independen. 
o. 
�. 
However. 
fo. 
som. 
particula. 
functio. 
�1. 
i. 
i. 
possibl. 
tha. 


A�. 
.�1�. 
wher. 
�. 
i. 
. 
comple. 
number. 
I. 
suc. 
. 
cas. 
�. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
a. 
eigenfunctio. 


o. 
. 
an. 
�. 
i. 
th. 
correspondin. 
eigenvalue. 
Fo. 
. 
give. 
operato. 
A. 
man. 
eigenfunction. 
ma. 
exist. 
s. 
tha. 


A�. 
.�i�. 
(3:5. 
wher. 
�. 
ar. 
th. 
eigenfunctions. 
whic. 
ma. 
eve. 
b. 
in�nit. 
i. 
number. 
an. 
�. 
ar. 
th. 
correspondin. 
eigenvalues. 
Eac. 
eigenfunctio. 
o. 
A^i. 
unique. 
tha. 
i. 
t. 
say. 
i. 
linearl. 
independen. 
o. 
th. 
othe. 
eigenfunctions. 
Sometime. 
tw. 
o. 
mor. 
eigenfunction. 
hav. 
th. 
sam. 
eigenvalue. 
I. 
tha. 
situatio. 
th. 
eigenvalu. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
degenerate. 
Whe. 
two. 
three. 
.... 
. 
eigenfunction. 
hav. 
th. 
sam. 
eigenvalue. 
th. 
eigenvalu. 
i. 
doubly. 
triply. 
.... 
n-fol. 
degenerate. 
Whe. 
a. 
eigenvalu. 
correspond. 
onl. 
t. 
. 
singl. 
eigenfunc. 
tion. 
th. 
eigenvalu. 
i. 
non-degenerate. 


. 
simpl. 
exampl. 
o. 
a. 
eigenvalu. 
equatio. 
involve. 
th. 
operato. 
D. 
mentione. 
i. 
Sectio. 
3.1. 
Whe. 
D^
. 
operate. 
o. 
ekx. 
th. 
resul. 
i. 


D^
xek. 
. 
dek. 
. 
kek. 


Thus. 
th. 
exponential. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
D. 
wit. 
correspondin. 
eigenvalue. 
k. 
Sinc. 
bot. 
th. 
rea. 
par. 
an. 
th. 
imaginar. 
par. 
o. 
. 
ca. 
hav. 
an. 
value. 
fro. 
�. 
t. 
.1. 
ther. 
ar. 
a. 
in�nit. 
numbe. 
o. 
eigenfunction. 
an. 
thes. 
eigenfunction. 
for. 
. 
continuu. 
o. 
functions. 



6. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


Anothe. 
exampl. 
i. 
th. 
operato. 
D^
actin. 
o. 
eithe. 
si. 
n. 
o. 
co. 
nx. 
wher. 


. 
i. 
. 
positiv. 
intege. 
(. 
. 
1). 
fo. 
whic. 
w. 
obtai. 


si. 
n. 
.�n. 
si. 
n. 


co. 
n. 
.�n. 
co. 
n. 


Th. 
function. 
si. 
n. 
an. 
co. 
n. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
wit. 
eigenvalue. 


�n2. 
Althoug. 
ther. 
ar. 
a. 
in�nit. 
numbe. 
o. 
eigenfunction. 
i. 
thi. 
example. 
thes. 
eigenfunction. 
for. 
. 
discrete. 
rathe. 
tha. 
. 
continuous. 
set. 


I. 
orde. 
tha. 
th. 
eigenfunction. 
�. 
hav. 
physica. 
signi�canc. 
i. 
thei. 
applicatio. 
t. 
quantu. 
theory. 
the. 
ar. 
chose. 
fro. 
. 
specia. 
clas. 
o. 
func. 
tions. 
namely. 
thos. 
whic. 
ar. 
continuous. 
hav. 
continuou. 
derivatives. 
ar. 
single-valued. 
an. 
ar. 
squar. 
integrable. 
W. 
refe. 
t. 
function. 
wit. 
thes. 
propertie. 
a. 
well-behave. 
functions. 
Throughou. 
thi. 
boo. 
w. 
implicitl. 
assum. 
tha. 
al. 
function. 
ar. 
well-behaved. 


Scala. 
produc. 
an. 
orthogonalit. 


Th. 
scala. 
produc. 
o. 
tw. 
function. 
�(x. 
an. 
�(x. 
i. 
de�ne. 
a. 


�(x)�(x)d. 


Fo. 
function. 
o. 
th. 
thre. 
cartesia. 
coordinate. 
x. 
y. 
z. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
�(x. 
y. 
z. 
an. 
�(x. 
y. 
z)i. 


�(x. 
y. 
z)�(x. 
y. 
z)d. 
. 
. 
d. 


Fo. 
th. 
function. 
�(r. 
�. 
j. 
an. 
�(r. 
�. 
j. 
o. 
th. 
spherica. 
coordinate. 
r. 
�. 
j. 
th. 
scala. 
produc. 
i. 


.2�.�.. 


�(r. 
�. 
j)�(r. 
�. 
j)r. 
si. 
. 
d. 
d. 
d. 


I. 
orde. 
t. 
expres. 
equation. 
i. 
genera. 
terms. 
w. 
adop. 
th. 
notatio. 
d. 
t. 
indicat. 
integratio. 
ove. 
th. 
ful. 
rang. 
o. 
al. 
th. 
coordinate. 
o. 
th. 
syste. 
bein. 
considere. 
an. 
writ. 
th. 
scala. 
produc. 
i. 
th. 
for. 


�. 
d. 


Fo. 
furthe. 
convenienc. 
w. 
als. 
introduc. 
. 
notatio. 
devise. 
b. 
Dira. 
an. 
writ. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
. 
an. 
. 
a. 
h. 
j�i. 
s. 
tha. 


h. 
j�i. 
�. 
d. 


Th. 
signi�canc. 
o. 
thi. 
notatio. 
i. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
3.6. 
Fro. 
th. 
de�nitio. 
o. 
th. 
scala. 
produc. 
an. 
o. 
th. 
notatio. 
h. 
j�i. 
w. 
not. 
tha. 



3.. 
Hermitia. 
operator. 
6. 


h. 
j�i.h. 
j�. 


h. 
jc�i.ch. 
j�. 


hc. 
j�i.ch. 
j�. 


wher. 
. 
i. 
a. 
arbitrar. 
comple. 
constant. 
Sinc. 
th. 
integra. 
h. 
j�iequal. 
h. 
j�i. 
th. 
scala. 
produc. 
h. 
j�ii. 
real. 


I. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
. 
an. 
. 
vanishes. 
i.e.. 
i. 
h. 
j�i.0. 
the. 
. 
an. 
. 


ar. 
sai. 
t. 
b. 
orthogonal. 
I. 
th. 
eigenfunction. 
�. 
o. 
a. 
operato. 
. 
obe. 
th. 
expression. 


h�. 
j�ii.. 
al. 
i. 
. 
wit. 
. 
6.. 


th. 
function. 
�. 
for. 
a. 
orthogona. 
set. 
Furthermore. 
i. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
�. 
wit. 
itsel. 
i. 
unity. 
th. 
functio. 
�. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
normalized. 
. 
se. 
o. 
function. 
whic. 
ar. 
bot. 
orthogona. 
t. 
on. 
anothe. 
an. 
normalize. 
ar. 
sai. 
t. 
b. 
orthonorma. 


h. 
. 
j�ii.�i. 
(3:6. 


wher. 
�i. 
i. 
th. 
Kronecke. 
delt. 
function. 
�i. 
.1. 
. 
.. 


(3:7. 


.0. 
. 
6.. 


3.. 
Hermitia. 
operator. 


Th. 
linea. 
operato. 
A^i. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
se. 
o. 
function. 
�. 
o. 
th. 
variable. 
q1. 
q2. 
...i. 
i. 
possesse. 
th. 
propert. 
tha. 


�A^�. 
d. 
. 
�i(A^�j)d. 
(3:8. 


Th. 
integratio. 
i. 
ove. 
th. 
entir. 
rang. 
o. 
al. 
th. 
variables. 
Th. 
differentia. 
d. 
ha. 
th. 
for. 


d. 
.w(q1. 
q2. 
...)dq1dq. 
... 
wher. 
w(q1. 
q2. 
...)is. 
weightin. 
functio. 
tha. 
depend. 
o. 
th. 
choic. 
o. 
th. 
coordinate. 
q1. 
q2. 
... 
Fo. 
cartesia. 
coordinate. 
th. 
weightin. 
functio. 
w(x. 
y. 
z. 
equal. 
unity. 
fo. 
spherica. 
coordinates. 
w(r. 
�. 
j. 
equal. 
r. 
si. 
�. 
Specia. 
variable. 
introduce. 
t. 
simplif. 
speci�. 
problem. 
hav. 
thei. 
ow. 
weightin. 
functions. 
whic. 
ma. 
diffe. 
fro. 
unit. 
(se. 
fo. 
exampl. 
Sectio. 
6.3). 
Equatio. 
(3.8. 
ma. 
als. 
b. 
expresse. 
i. 
Dira. 
notatio. 


h. 
. 
jA^�ii.hA^�. 
j�i. 
(3:9. 


i. 
whic. 
th. 
bracket. 
indicat. 
integratio. 
ove. 
al. 
th. 
variable. 
usin. 
thei. 
weightin. 
function. 



7. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


Fo. 
illustration. 
w. 
conside. 
som. 
example. 
involvin. 
onl. 
on. 
variable. 
namely. 
th. 
cartesia. 
coordinat. 
x. 
fo. 
whic. 
w(x. 
. 
1. 
A. 
operato. 
tha. 
result. 
i. 
multiplyin. 
b. 
. 
rea. 
functio. 
. 
(x. 
i. 
hermitian. 
sinc. 
i. 
thi. 
cas. 
. 
(x). 
. 
(x. 
an. 
equatio. 
(3.8. 
i. 
a. 
identity. 
Likewise. 
th. 
momentu. 
operato. 
. 
^p. 
("=i)(d=dx). 
whic. 
wa. 
introduce. 
i. 
Sectio. 
2.3. 
i. 
hermitia. 
sinc. 


.. 
.1. 
.1

. 
d�. 
. 
. 
j

�. 
�. 
�. 


.
^p�. 
d. 
. 
d. 
. 
�. 
. 
�. 
d. 


id. 
. 
id. 


Th. 
integrate. 
par. 
i. 
zer. 
i. 
th. 
function. 
�. 
vanis. 
a. 
in�nity. 
whic. 
they

. 
�i.
^p�

mus. 
i. 
orde. 
t. 
b. 
well-behaved. 
Th. 
remainin. 
integra. 
i. 
dx,s. 


tha. 
w. 
hav. 


.
^p�. 
d. 
. 
�i(.
^p�j)d. 


Th. 
imaginar. 
uni. 
. 
containe. 
i. 
th. 
operato. 
. 
^pi. 
essentia. 
fo. 
th. 
hermitia. 
characte. 
o. 
tha. 
operator. 
Th. 
operato. 
D^
. 
. 
d=d. 
i. 
no. 
hermitia. 
becaus. 


�. 
d. 
.. 
�. 
d. 
(3:10. 


wher. 
agai. 
th. 
integrate. 
par. 
vanishes. 
Th. 
negativ. 
sig. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(3.10. 
indicate. 
tha. 
th. 
operato. 
i. 
no. 
hermitian. 
Th. 
operato. 


. 
however. 
i. 
hermitian. 


Th. 
hermitia. 
characte. 
o. 
a. 
operato. 
depend. 
no. 
onl. 
o. 
th. 
operato. 
itself. 
bu. 
als. 
o. 
th. 
function. 
o. 
whic. 
i. 
act. 
an. 
o. 
th. 
rang. 
o. 
integration. 
A. 
operato. 
ma. 
b. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
on. 
se. 
o. 
functions. 
bu. 
no. 
wit. 
respec. 
t. 
anothe. 
set. 
I. 
ma. 
b. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
se. 
o. 
function. 
de�ne. 
ove. 
on. 
rang. 
o. 
variables. 
bu. 
no. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
sam. 
se. 
ove. 
. 
differen. 
range. 
Fo. 
example. 
th. 
hermiticit. 
o. 
th. 
momentu. 
operato. 
. 
^pi. 
dependen. 
o. 
th. 
vanishin. 
o. 
th. 
function. 
�. 
a. 
in�nity. 


Th. 
produc. 
o. 
tw. 
hermitia. 
operator. 
ma. 
o. 
ma. 
no. 
b. 
hermitian. 


Conside. 
th. 
produc. 
AB^wher. 
. 
an. 
B^ar. 
separatel. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
se. 
o. 
function. 
�i. 
s. 
tha. 


h�. 
. 
A^B^�ii.hA^. 
. 
. 
B^�ii.hB^A^. 
. 
. 
�i. 
(3:11. 


wher. 
w. 
hav. 
assume. 
tha. 
th. 
function. 
A^�. 
an. 
B^�. 
als. 
li. 
i. 
th. 
hermitia. 


domai. 
o. 
. 
an. 
B. 
Th. 
produc. 
AB^i. 
hermitia. 
if. 
an. 
onl. 
if. 
. 
an. 
. 
commute. 
Usin. 
th. 
sam. 
procedure. 
on. 
ca. 
easil. 
demonstrat. 
tha. 
i. 
A^an. 
B^d. 
no. 
commute. 
the. 
th. 
operator. 
(A^B^. 
B^A^. 
an. 
i[A^. 
B^. 
ar. 
hermitian. 


B. 
settin. 
B^equa. 
t. 
A^i. 
th. 
produc. 
A^B^i. 
equatio. 
(3.11). 
w. 
se. 
tha. 
th. 
squar. 
o. 
. 
hermitia. 
operato. 
i. 
hermitian. 
Thi. 
resul. 
ca. 
b. 
generalize. 
t. 



3.. 
Hermitia. 
operator. 
7. 


an. 
integra. 
powe. 
o. 
A^. 
Sinc. 
jA^�j. 
i. 
alway. 
positive. 
th. 
integra. 
hA^. 
jA^�. 
i. 
positiv. 
an. 
consequentl. 


h. 
jA^2�i. 
. 
(3:12. 


Eigenvalue. 


Th. 
eigenvalue. 
o. 
. 
hermitia. 
operato. 
ar. 
real. 
T. 
prov. 
thi. 
statement. 
w. 
conside. 
th. 
eigenvalu. 
equatio. 


A. 
.�. 
(3:13. 


wher. 
. 
i. 
hermitian. 
. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
A. 
an. 
. 
i. 
th. 
correspondin. 
eigenvalue. 
Multiplyin. 
b. 
�an. 
integratin. 
giv. 


h. 
jA^�i.�h. 
j�. 
(3:14. 
Multiplicatio. 
o. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
equatio. 
(3.13. 
b. 
. 
an. 
integrat. 
in. 
giv. 


hA^. 
j�i.�h. 
j�. 
(3:15. 


Becaus. 
. 
i. 
hermitian. 
th. 
left-han. 
side. 
o. 
equation. 
(3.14. 
an. 
(3.15. 
ar. 
equal. 
s. 
tha. 


(. 
��)h. 
j�i.. 
(3:16. 
Sinc. 
th. 
integra. 
i. 
equatio. 
(3.16. 
i. 
no. 
equa. 
t. 
zero. 
w. 
conclud. 
tha. 
. 
.�an. 
thu. 
. 
i. 
real. 


Orthogonalit. 
theore. 


I. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
. 
hermitia. 
operato. 
. 
wit. 
differen. 
eigenvalue. 
�. 
an. 
�2. 
the. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
orthogonal. 
T. 
prov. 
thi. 
theorem. 
w. 
begi. 
wit. 
th. 
integra. 


h�. 
jA^�1i.�1h�. 
j�1. 
(3:17. 
Sinc. 
A^i. 
hermitia. 
an. 
�. 
i. 
real. 
th. 
left-han. 
sid. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 


h�. 
jA^�1i.hA^�. 
j�1i.�2h�. 
j�1. 


Thus. 
equatio. 
(3.17. 
become. 
(�. 
��1)h�. 
j�1i.. 
Sinc. 
�. 
6.�2. 
th. 
function. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
orthogonal. 
Sinc. 
th. 
Dira. 
notatio. 
suppresse. 
th. 
variable. 
involve. 
i. 
th. 
integration. 
w. 
re-expres. 
th. 
orthogonalit. 
relatio. 
i. 
integra. 
notatio. 


�(q1. 
q2. 
...)�1(q1. 
q2. 
...)w(q1. 
q2. 
...)dq1dq. 
... 
.. 


Thi. 
expressio. 
serve. 
a. 
. 
reminde. 
that. 
i. 
general. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
. 



7. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


hermitia. 
operato. 
involv. 
severa. 
variable. 
an. 
tha. 
th. 
weightin. 
functio. 
mus. 
b. 
used. 
Th. 
function. 
are. 
therefore. 
orthogona. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
weightin. 
functio. 
w(q1. 
q2. 
...). 


I. 
th. 
weightin. 
functio. 
i. 
rea. 
an. 
positive. 
the. 
w. 
ca. 
de�n. 
�. 
an. 
�. 


p���. 
p���. 


�. 
. 
w�1. 
�. 
. 
w�. 


Th. 
function. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
the. 
mutuall. 
orthogona. 
wit. 
respec. 
t. 
. 


weightin. 
functio. 
o. 
unity. 
Moreover. 
i. 
th. 
operato. 
. 
i. 
hermitia. 
wit. 


respec. 
t. 
�. 
an. 
�. 
wit. 
. 
weightin. 
functio. 
w. 
the. 
. 
i. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
�. 
an. 
�. 
wit. 
. 
weightin. 
functio. 
equa. 
t. 
unity. 


I. 
tw. 
o. 
mor. 
linearl. 
independen. 
eigenfunction. 
hav. 
th. 
sam. 
eigen. 
value. 
s. 
tha. 
th. 
eigenvalu. 
i. 
degenerate. 
th. 
orthogonalit. 
theore. 
doe. 
no. 
apply. 
However. 
i. 
i. 
possibl. 
t. 
construc. 
eigenfunction. 
tha. 
ar. 
mutuall. 
orthogonal. 
Suppos. 
ther. 
ar. 
tw. 
independen. 
eigenfunction. 
�. 
an. 
�. 
o. 


th. 
operato. 
. 
wit. 
th. 
sam. 
eigenvalu. 
�. 
An. 
linea. 
combinatio. 
c1�. 
.c2�2. 
wher. 
c. 
an. 
c. 
ar. 
an. 
pai. 
o. 
comple. 
numbers. 
i. 
als. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
A^wit. 
th. 
sam. 
eigenvalue. 
s. 
tha. 


A(c1�. 
.c2�2. 
.c1A�. 
.c2A�. 
.�(c1�. 
.c2�2. 


Fro. 
an. 
pai. 
�1. 
�. 
whic. 
initiall. 
ar. 
no. 
orthogonal. 
w. 
ca. 
construc. 
b. 
selectin. 
appropriat. 
value. 
fo. 
c. 
an. 
c. 
. 
ne. 
pai. 
whic. 
ar. 
orthogonal. 
B. 
selectin. 
differen. 
set. 
o. 
value. 
fo. 
c1. 
c2. 
w. 
ma. 
obtai. 
in�nitel. 
man. 
ne. 
pair. 
o. 
eigenfunction. 
whic. 
ar. 
mutuall. 
orthogonal. 


A. 
a. 
illustration. 
suppos. 
th. 
member. 
o. 
. 
se. 
o. 
function. 
�1. 
�2. 
.... 
�. 
ar. 
no. 
orthogonal. 
W. 
de�n. 
. 
ne. 
se. 
o. 
function. 
�1. 
�2. 
.... 
�. 
b. 
th. 
relation. 


�. 
.�. 


�. 
.a�. 
.�. 


�. 
.b1�. 
.b2�. 
.�. 


I. 
w. 
requir. 
tha. 
�. 
b. 
orthogona. 
t. 
�. 
b. 
settin. 
h�. 
j�2i.0. 
the. 
th. 
constan. 
. 
i. 
give. 
b. 


. 
.�h�. 
j�2i=h�. 
j�1i.�h�. 
j�2i=h�. 
j�1. 


an. 
�. 
i. 
determined. 
W. 
nex. 
requir. 
�. 
t. 
b. 
orthogona. 
t. 
�. 
an. 
t. 
�2. 
whic. 
give. 



3.. 
Hermitia. 
operator. 
7. 


b. 
.�h�. 
j�3i=h�. 
j�1. 


b. 
.�h�. 
j�3i=h�. 
j�2. 


I. 
general. 
w. 
hav. 


�. 
.�. 
. 
ksi�. 


ks. 
.�h�. 
j�si=h�. 
j�i. 


Thi. 
constructio. 
i. 
know. 
a. 
th. 
Schmid. 
orthogonalizatio. 
procedure. 
Sinc. 
th. 
initia. 
selectio. 
fo. 
�. 
ca. 
b. 
an. 
o. 
th. 
origina. 
function. 
�. 
o. 
an. 
linea. 
combinatio. 
o. 
them. 
a. 
in�nit. 
numbe. 
o. 
orthogona. 
set. 
�. 
ca. 
b. 
obtaine. 
b. 
th. 
Schmid. 
procedure. 


W. 
conclud. 
tha. 
al. 
eigenfunction. 
o. 
. 
hermitia. 
operato. 
ar. 
eithe. 
mutuall. 
orthogona. 
or. 
i. 
belongin. 
t. 
. 
degenerat. 
eigenvalue. 
ca. 
b. 
chose. 
t. 
b. 
mutuall. 
orthogonal. 
Throughou. 
th. 
remainde. 
o. 
thi. 
book. 
w. 
trea. 
al. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
. 
hermitia. 
operato. 
a. 
a. 
orthogona. 
set. 


Extende. 
orthogonalit. 
theore. 


Th. 
orthogonalit. 
theore. 
ca. 
als. 
b. 
extende. 
t. 
cove. 
. 
somewha. 
mor. 
genera. 
for. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
equation. 
Fo. 
th. 
sak. 
o. 
convenience. 
w. 
presen. 
i. 
detai. 
th. 
cas. 
o. 
. 
singl. 
variable. 
althoug. 
th. 
treatmen. 
ca. 
b. 
generalize. 
t. 
an. 
numbe. 
o. 
variables. 
Suppos. 
tha. 
instea. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
equatio. 
(3.5). 
w. 
hav. 
fo. 
. 
hermitia. 
operato. 
A^o. 
on. 
variabl. 


A�i(x. 
.�iw(x)�i(x. 
(3:18. 


wher. 
th. 
functio. 
w(x. 
i. 
real. 
positive. 
an. 
th. 
sam. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
i. 
Therefore. 
equatio. 
(3.18. 
ca. 
als. 
b. 
writte. 
a. 


A^�(x. 
.�w(x)�(x. 
(3:19. 


Multiplicatio. 
o. 
equatio. 
(3.18. 
b. 
�(x. 
an. 
integratio. 
ove. 
. 
giv. 


�(x)A^�i(x)d. 
.�. 
�(x)�i(x)w(x)d. 
(3:20. 


Now. 
th. 
operato. 
. 
i. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
function. 
�. 
wit. 
. 
weightin. 
functio. 
equalin. 
unity. 
s. 
tha. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(3.20. 
become. 


�(x)A^�i(x)d. 
. 
�i(x)A^�(x)d. 
.�. 
�(x)�i(x)w(x)d. 


wher. 
equatio. 
(3.19. 
ha. 
bee. 
use. 
a. 
well. 
Accordingly. 
equatio. 
(3.20. 
become. 



7. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


(�. 
. 
�. 
�(x)�i(x)w(x)d. 
. 
. 
(3:21. 


Whe. 
. 
. 
i. 
th. 
integra. 
i. 
equatio. 
(3.21. 
canno. 
vanis. 
becaus. 
th. 
produc. 
��. 
an. 
th. 
functio. 
w(x. 
ar. 
alway. 
positive. 
Therefore. 
w. 
hav. 


�. 
. 
�. 
an. 
th. 
eigenvalue. 
�. 
ar. 
real. 
Fo. 
th. 
situatio. 
wher. 
. 
6
an. 


�. 
6
�. 
th. 
integra. 
i. 
equatio. 
(3.21. 
mus. 
vanish. 


�(x)�i(x)w(x)d. 
. 
. 
(3:22. 


Thus. 
th. 
se. 
o. 
function. 
�i(x. 
fo. 
non-degenerat. 
eigenvalue. 
ar. 
mutuall. 
orthogona. 
whe. 
integrate. 
wit. 
. 
weightin. 
functio. 
w(x). 
Eigenfunction. 
correspondin. 
t. 
degenerat. 
eigenvalue. 
ca. 
b. 
mad. 
orthogona. 
a. 
discusse. 
earlier. 


Th. 
discussio. 
abov. 
ma. 
b. 
generalize. 
t. 
mor. 
tha. 
on. 
variable. 
I. 
th. 
genera. 
case. 
equatio. 
(3.18. 
i. 
replace. 
b. 


A�i(q1. 
q2. 
.... 
. 
�iw(q1. 
q2. 
...)�i(q1. 
q2. 
.... 
(3:23. 


an. 
equatio. 
(3.22. 
b. 


�. 
. 
(q1. 
q2. 
...)�i(q1. 
q2. 
...)w(q1. 
q2. 
...)dq1dq. 
... 
. 
. 
(3:24. 


Equatio. 
(3.18. 
ca. 
als. 
b. 
transforme. 
int. 
th. 
mor. 
usua. 
form. 
equatio. 
(3.5). 
W. 
�rs. 
de�n. 
. 
se. 
o. 
function. 
�i(x)a. 


�i(x. 
. 
[w(x)]1=2�i(x. 
. 
�i(x)=u(x. 
(3:25. 


wher. 


u(x. 
. 
[w(x)]�1=. 
(3:26. 


Th. 
functio. 
u(x. 
i. 
rea. 
becaus. 
w(x. 
i. 
alway. 
positiv. 
an. 
u(x. 
i. 
positiv. 
becaus. 
w. 
tak. 
th. 
positiv. 
squar. 
root. 
I. 
w(x. 
approache. 
in�nit. 
a. 
an. 


poin. 
withi. 
th. 
rang. 
o. 
hermiticit. 
o. 
. 
(a. 
. 
approache. 
in�nity. 
fo. 
example). 
the. 
�i(x. 
mus. 
approac. 
zer. 
suc. 
tha. 
th. 
rati. 
�i(x. 
approache. 
zero. 
Equatio. 
(3.18. 
i. 
no. 
multiplie. 
b. 
u(x. 
an. 
�i(x. 
i. 
replace. 
b. 
u(x)�i(x. 


u(x. 
^

Au(x)�i(x. 
. 
�iw(x)[u(x)]2�i(x. 


. 
. 
u(x. 
^
(3.26). 
w. 
obtai. 


I. 
w. 
de�n. 
a. 
operato. 
B^b. 
th. 
relatio. 
^Au(x. 
an. 
appl. 
equatio. 


B�i(x. 
. 
�i�i(x. 


whic. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
equatio. 
(3.5). 
W. 
observ. 
tha. 



3.. 
Eigenfunctio. 
expansion. 
7. 


�^�. 
^�^

A�. 
d. 
. 
Au�. 
d. 
. 
B�. 
d. 


(A^�j). 
^u�. 
d. 
. 
B�j)

�. 
d. 
. 
Au. 
j). 
^�. 
d. 


Sinc. 
. 
i. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
�is. 
th. 
tw. 
integral. 
o. 
th. 
lef. 
o. 
eac. 
equatio. 
equa. 
eac. 
other. 
fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


�B^�. 
d. 
. 
(B^�j)�. 
d. 


an. 
B^i. 
therefor. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
�is. 


3.. 
Eigenfunctio. 
expansion. 


Conside. 
. 
se. 
o. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
�. 
o. 
. 
hermitia. 
operator. 
An. 
arbitrar. 
functio. 
. 
o. 
th. 
sam. 
variable. 
a. 
�. 
de�ne. 
ove. 
th. 
sam. 
rang. 
o. 
thes. 
variable. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
th. 
member. 
o. 
se. 
�. 


. 
. 
ai�. 
(3:27. 


wher. 
th. 
ai. 
ar. 
constants. 
Th. 
summatio. 
i. 
equatio. 
(3.27. 
converge. 
t. 
th. 
functio. 
. 
i. 
th. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
i. 
complete.B. 
complet. 
w. 
mea. 
tha. 
n. 
othe. 
functio. 
. 
exist. 
wit. 
th. 
propert. 
tha. 
h. 
j�ii.. 
fo. 
an. 
valu. 
o. 
i. 
wher. 
. 
an. 
�. 
ar. 
function. 
o. 
th. 
sam. 
variable. 
an. 
ar. 
de�ne. 
ove. 
th. 
sam. 
variabl. 
range. 
A. 
. 
genera. 
rule. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
. 
hermitia. 
operato. 
ar. 
no. 
onl. 
orthogonal. 
bu. 
ar. 
als. 
complete. 
. 
mathematica. 
criterio. 
fo. 
completenes. 
i. 
presente. 
a. 
th. 
en. 
o. 
thi. 
section. 


Th. 
coef�cient. 
a. 
ar. 
evaluate. 
b. 
multiplyin. 
(3.27. 
b. 
th. 
comple. 
conjugat. 
�. 
o. 
on. 
o. 
th. 
eigenfunctions. 
integratin. 
ove. 
th. 
rang. 
o. 
th. 


variables. 
an. 
notin. 
tha. 
th. 
�i. 
ar. 
orthonorma. 


h. 
. 
j. 
i. 
. 
. 
ai�. 
. 
aih�. 
j�ii.a. 


Replacin. 
th. 
dumm. 
inde. 
. 
b. 
i,wehav. 


a. 
.h�. 
j. 
. 
(3:28. 


Substitutio. 
o. 
equatio. 
(3.28. 
bac. 
int. 
(3.27. 
give. 


. 
.h�. 
j. 
i�. 
(3:29. 



7. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


Completenes. 


W. 
no. 
evaluat. 
h. 
j. 
ii. 
whic. 
. 
an. 
. 
ar. 
expande. 
a. 
i. 
equatio. 
(3.27). 
wit. 
th. 
tw. 
independen. 
summation. 
give. 
differen. 
dumm. 
indice. 


XXX. 
. 


h. 
j. 
i. 
aj. 
. 
ai�. 
. 
aajh. 
. 
j�ii. 
jaij

jij. 
. 


Withou. 
los. 
o. 
generalit. 
w. 
ma. 
assum. 
tha. 
th. 
functio. 
. 
i. 
normalized. 
s. 
tha. 
h. 
j. 
i.. 
an. 


jaij. 
.. 
(3:30. 


Equatio. 
(3.30. 
ma. 
b. 
use. 
a. 
. 
criterio. 
fo. 
completeness. 
I. 
a. 
eigenfunc. 
tio. 
�. 
wit. 
. 
non-vanishin. 
coef�cien. 
a. 
wer. 
missin. 
fro. 
th. 
summatio. 
i. 
equatio. 
(3.27). 
the. 
th. 
serie. 
woul. 
stil. 
converge. 
bu. 
i. 
woul. 
b. 
incomplet. 
an. 
woul. 
therefor. 
no. 
converg. 
t. 
. 
. 
Th. 
correspondin. 
coef�. 
cien. 
a. 
woul. 
b. 
missin. 
fro. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(3.30). 
Sinc. 
eac. 
ter. 
i. 
th. 
summatio. 
i. 
equatio. 
(3.30. 
i. 
positive. 
th. 
su. 
withou. 
a. 
woul. 
b. 
les. 
tha. 
unity. 
Onl. 
i. 
th. 
expansio. 
se. 
�. 
i. 
equatio. 
(3.27. 
i. 
complet. 
wil. 
(3.30. 
b. 
satis�ed. 


Th. 
completenes. 
criterio. 
ca. 
als. 
b. 
expresse. 
i. 
anothe. 
form. 
Fo. 
thi. 
purpos. 
w. 
nee. 
t. 
introduc. 
th. 
variable. 
explicitly. 
Fo. 
simplicit. 
w. 
assum. 
�rs. 
tha. 
. 
i. 
. 
functio. 
o. 
onl. 
on. 
variabl. 
x. 
I. 
thi. 
case. 
equatio. 
(3.29. 
i. 


. 
(x. 
. 
�(x9. 
. 
(x9)dx. 
�i(x. 


wher. 
x. 
i. 
th. 
dumm. 
variabl. 
o. 
integration. 
Interchangin. 
th. 
orde. 
o. 
summatio. 
an. 
integratio. 
give. 


. 
(x. 
. 
. 
�(x9)�i(x. 
. 
(x9)dx. 


Thus. 
th. 
summatio. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
(se. 
Appendi. 
C. 


�. 
. 
(x9)�i(x. 
.�(. 
�x9. 
(3:31. 


Thi. 
expression. 
know. 
a. 
th. 
completenes. 
relatio. 
an. 
sometime. 
a. 
th. 
closur. 
relation. 
i. 
vali. 
onl. 
i. 
th. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
i. 
complete. 
an. 
ma. 
b. 
use. 
a. 
. 
mathematica. 
tes. 
fo. 
completeness. 
Notic. 
tha. 
th. 
completenes. 
relatio. 
(3.31. 
i. 
no. 
relate. 
t. 
th. 
choic. 
o. 
th. 
arbitrar. 
functio. 
. 
. 
wherea. 
th. 
criterio. 
(3.30. 
i. 
related. 


Th. 
completenes. 
relatio. 
fo. 
th. 
multi-variabl. 
cas. 
i. 
slightl. 
mor. 
complex. 
Whe. 
expresse. 
explicitl. 
i. 
term. 
o. 
it. 
variables. 
equatio. 
(3.29. 
i. 



3.. 
Simultaneou. 
eigenfunction. 
7. 


. 
(q1. 
q2. 
.... 
. 
. 
�(q91. 
q92. 
.... 
. 
(q91. 
q92. 
...)w(q91. 
q92. 
...)dq91,dq92. 
... 


. 
�i(q1. 
q2. 
.... 
Interchangin. 
th. 
orde. 
o. 
summatio. 
an. 
integratio. 
give. 


. 
(q1. 
q2. 
.... 
. 
�(q91. 
q92. 
...)�i(q1. 
q2. 
.... 


. 
. 
(q91. 
q92. 
...)w(q91. 
q92. 
...)dq1dq. 
... 


s. 
tha. 
th. 
completenes. 
relatio. 
take. 
th. 
for. 


w(q91. 
q92. 
.... 
. 
�(q91. 
q92. 
...)�i(q1. 
q2. 
.... 
. 
�(q. 
. 
q91)�(q. 
. 
q92. 
... 


(3:32. 


3.. 
Simultaneou. 
eigenfunction. 


Suppos. 
th. 
member. 
o. 
. 
complet. 
se. 
o. 
function. 
�. 
ar. 
simultaneousl. 
eigenfunction. 
o. 
tw. 
hermitia. 
operator. 
A^an. 
B^wit. 
eigenvalue. 
�. 
an. 
�i. 
respectivel. 


A�. 
. 
�i�. 


B�. 
. 
�i�. 


I. 
w. 
operat. 
o. 
th. 
�rs. 
eigenvalu. 
equatio. 
wit. 
B^an. 
o. 
th. 
secon. 
wit. 
A^. 
w. 
obtai. 


A�. 
. 
�iB�. 
. 
�i�i�. 


B�. 
. 
�iA�. 
. 
�i�i�. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


(A^B^. 
B^A^)�. 
. 
[A. 
B]�. 
. 
. 
Thus. 
th. 
function. 
�. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
commutato. 
. 
A^. 
B^. 
wit. 
eigenvalue. 
equa. 
t. 
zero. 
A. 
operato. 
tha. 
give. 
zer. 
whe. 
applie. 
t. 
an. 
membe. 
o. 
. 
complet. 
se. 
o. 
function. 
i. 
itsel. 
zero. 
s. 
tha. 
A^an. 
B^commute. 


W. 
hav. 
jus. 
show. 
tha. 
i. 
th. 
operator. 
. 
an. 
. 
hav. 
. 
complet. 
se. 
o. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
the. 
^. 
commute.

. 
an. 
^

W. 
no. 
prov. 
th. 
converse. 
namely. 
tha. 
eigenfunction. 
o. 
commutin. 
operator. 
ca. 
alway. 
b. 
constructe. 
t. 
b. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
Suppos. 
tha. 
A^�. 
. 
�i�. 
an. 
tha. 
. 
A^. 
B^. 
. 
0. 
Sinc. 
A^an. 
B^commute. 
w. 



7. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


A^B^�. 
.B^A^�. 
.B^(�i�i. 
.�iB^�. 


Therefore. 
th. 
functio. 
B^�. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
A^wit. 
eigenvalu. 
�i. 


Ther. 
ar. 
no. 
tw. 
possibilities. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
o. 
. 
i. 
eithe. 
non. 
degenerat. 
o. 
degenerate. 
I. 
�. 
i. 
non-degenerate. 
the. 
i. 
correspond. 
t. 
onl. 
on. 
independen. 
eigenfunctio. 
�i. 
s. 
tha. 
th. 
functio. 
B^�. 
i. 
proportiona. 
t. 


B�. 
.�i�. 


wher. 
�. 
i. 
th. 
proportionalit. 
constan. 
an. 
therefor. 
th. 
eigenvalu. 
o. 
. 
correspondin. 
t. 
�i. 
Thus. 
th. 
functio. 
�. 
i. 
. 
simultaneou. 
eigenfunctio. 
o. 
bot. 
A^an. 
B^. 


O. 
th. 
othe. 
hand. 
suppos. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
i. 
degenerate. 
Fo. 
simplicity. 
w. 
conside. 
th. 
cas. 
o. 
. 
doubl. 
degenerat. 
eigenvalu. 
�i. 
th. 
extensio. 
t. 
n. 
fol. 
degenerac. 
i. 
straightforward. 
Th. 
functio. 
�. 
i. 
the. 
an. 
linea. 
combina. 
tio. 
o. 
tw. 
linearl. 
independent. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
�i. 
an. 
�i. 
o. 
A^
correspondin. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
�. 


�. 
.c1�i. 
.c2�i. 


W. 
nee. 
t. 
determin. 
th. 
coef�cient. 
c1. 
c. 
suc. 
tha. 
B^�. 
.�i�i. 
tha. 
i. 


c1B�i. 
.c2B�i. 
.�i(c1�i. 
.c2�i2. 


I. 
w. 
tak. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
thi. 
equatio. 
�rs. 
wit. 
�i. 
an. 
the. 
wit. 
�i2. 
w. 
obtai. 


c1(B1. 
��i. 
.c. 
B1. 
.. 


c. 
B2. 
.c2(B2. 
��i. 
.. 


wher. 
w. 
hav. 
introduce. 
th. 
simpli�e. 
notatio. 


Bj. 
h�i. 
jB^�i. 
. 


Thes. 
simultaneou. 
linea. 
homogeneou. 
equation. 
determin. 
c. 
an. 
c. 
an. 
hav. 
. 
non-trivia. 
solutio. 
i. 
th. 
determinan. 
o. 
th. 
coef�cient. 
o. 
c1. 
c. 
vanishe. 


B1. 
��iB1. 


B2. 
B2. 
��. 


�(B1. 
.B22)�. 
.B1. 
B2. 
�B1. 
B2. 
.. 
�(1. 
�(2)

Thi. 
quadrati. 
equatio. 
ha. 
tw. 
root. 
an. 
. 
whic. 
lea. 
t. 
tw. 


(1. 
(1. 
(2. 
(2)

correspondin. 
set. 
o. 
constant. 
c. 
can. 
c. 
c. 
Thus. 
ther. 
ar. 
tw. 


an. 
�(2)

distinc. 
function. 
�(1. 



3.. 
Simultaneou. 
eigenfunction. 
7. 


�(1. 
(1. 
(1. 


. 
. 
c�i. 
. 
c�i. 


�(2. 
(2. 
(2)

. 
c�i. 
. 
c�i. 


whic. 
satisf. 
th. 
relation. 


B^�(1. 
. 
�(1)�(1. 


B�(2. 
. 
�(2)�(2. 


an. 
are. 
therefore. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
commutin. 
operator. 
. 
an. 
B^. 


Thi. 
analysi. 
ca. 
b. 
extende. 
t. 
thre. 
o. 
mor. 
operators. 
I. 
thre. 
operator. 


A. 
B. 
an. 
. 
hav. 
. 
complet. 
se. 
o. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
the. 
th. 


argumen. 
abov. 
show. 
tha. 
A^an. 
B^commute. 
B^an. 
. 
commute. 
an. 
A^an. 
. 


commute. 
Furthermore. 
th. 
convers. 
i. 
als. 
true. 
I. 
. 
commute. 
wit. 
bot. 
B^

an. 
C. 
an. 
B^commute. 
wit. 
C. 
the. 
th. 
thre. 
operator. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
T. 
sho. 
this. 
suppos. 
tha. 
th. 
thre. 
operator. 
commut. 
wit. 
on. 
another. 
W. 
kno. 
tha. 
sinc. 
A^an. 
B^commute. 
the. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
�. 
suc. 
tha. 


A�. 
. 
�i�. 


B�. 
. 
�i�. 


W. 
nex. 
operat. 
o. 
eac. 
o. 
thes. 
expression. 
wit. 
C^. 
givin. 
C^A^�. 
. 
A^(C^�i. 
. 
C^(�i�i. 
. 
�i(C^�i. 


C^B^�. 
. 
B^(C^�i. 
. 
C^(�i�i. 
. 
�i(C^�i. 


Thus. 
th. 
functio. 
C^�. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
bot. 
A^an. 
B^wit. 
eigenvalue. 
�. 
an. 
�i. 
respectively. 
I. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
non-degenerate. 
the. 
ther. 
i. 
onl. 
on. 


eigenfunctio. 
�. 
correspondin. 
t. 
the. 
an. 
th. 
functio. 
C�. 
i. 
proportiona. 


C�. 
. 
�i�. 


and. 
consequently. 
A. 
B. 
an. 
. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
Fo. 
degenerat. 
eigenvalue. 
�. 
and/o. 
�i. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
ma. 
b. 
constructe. 
usin. 
. 
procedur. 
paralle. 
t. 
th. 
on. 
describe. 
abov. 
fo. 
th. 
doubl. 
degenerat. 
two-operato. 
case. 


W. 
not. 
her. 
tha. 
i. 
A^commute. 
wit. 
B^an. 
B^commute. 
wit. 
C^. 
bu. 
A^doe. 


no. 
commut. 
wit. 
C. 
the. 
A^an. 
B^posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
B^an. 


. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
bu. 
. 
an. 
. 
d. 
not. 
Th. 
se. 
o. 


simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
. 
an. 
B^wil. 
diffe. 
fro. 
th. 
se. 
fo. 
B^an. 
C. 
A. 
exampl. 
o. 
thi. 
situatio. 
i. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
5. 



8. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


I. 
som. 
o. 
th. 
derivation. 
presente. 
i. 
thi. 
section. 
operator. 
nee. 
no. 
b. 
hermitian. 
However. 
w. 
ar. 
onl. 
intereste. 
i. 
th. 
propertie. 
o. 
hermitia. 
operator. 
becaus. 
quantu. 
mechanic. 
require. 
them. 
Therefore. 
w. 
hav. 
implicitl. 
assume. 
tha. 
al. 
th. 
operator. 
ar. 
hermitia. 
an. 
w. 
hav. 
no. 
bothere. 
t. 
commen. 
o. 
th. 
part. 
wher. 
hermiticit. 
i. 
no. 
required. 


3.. 
Hilber. 
spac. 
an. 
Dira. 
notatio. 


Thi. 
sectio. 
introduce. 
th. 
basi. 
mathematic. 
o. 
linea. 
vecto. 
space. 
a. 
a. 
alternativ. 
conceptua. 
schem. 
fo. 
quantum-mechanica. 
wav. 
functions. 
Th. 
concep. 
o. 
vecto. 
space. 
wa. 
develope. 
befor. 
quantu. 
mechanics. 
bu. 
Dira. 
applie. 
i. 
t. 
wav. 
function. 
an. 
introduce. 
. 
particularl. 
usefu. 
an. 
widel. 
accepte. 
notation. 
Muc. 
o. 
th. 
literatur. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
use. 
Dirac'. 
idea. 
an. 
notation. 


. 
se. 
o. 
complet. 
orthonorma. 
function. 
�i(x. 
o. 
. 
singl. 
variabl. 
. 
ma. 
b. 
regarde. 
a. 
th. 
basi. 
vector. 
o. 
. 
linea. 
vecto. 
spac. 
o. 
eithe. 
�nit. 
o. 
in�nit. 
dimensions. 
dependin. 
o. 
whethe. 
th. 
complet. 
se. 
contain. 
. 
�nit. 
o. 
in�nit. 
numbe. 
o. 
members. 
Th. 
situatio. 
i. 
analogou. 
t. 
three-dimensiona. 
cartesia. 
spac. 
forme. 
b. 
thre. 
orthogona. 
uni. 
vectors. 
I. 
quantu. 
mechanic. 
w. 
usuall. 
(se. 
Sectio. 
7.. 
fo. 
a. 
exception. 
encounte. 
complet. 
set. 
wit. 
a. 
in�nit. 
numbe. 
o. 
member. 
and. 
therefore. 
ar. 
usuall. 
concerne. 
wit. 
linea. 
vecto. 
space. 
o. 
in�nit. 
dimensionality. 
Suc. 
. 
linea. 
vecto. 
spac. 
i. 
calle. 
. 
Hilber. 
space. 
Th. 
function. 
�i(x. 
use. 
a. 
th. 
basi. 
vector. 
ma. 
constitut. 
. 
discret. 
se. 
o. 
. 
continuou. 
set. 
Whil. 
. 
vecto. 
spac. 
compose. 
o. 
. 
discret. 
se. 
o. 
basi. 
vector. 
i. 
easie. 
t. 
visualiz. 
(eve. 
i. 
th. 
spac. 
i. 
o. 
in�nit. 
dimensionality. 
tha. 
on. 
compose. 
o. 
. 
continuou. 
set. 
ther. 
i. 
n. 
mathema. 
tica. 
reaso. 
t. 
exclud. 
continuou. 
basi. 
vector. 
fro. 
th. 
concep. 
o. 
Hilber. 
space. 
I. 
Dira. 
notation. 
th. 
basi. 
vector. 
i. 
Hilber. 
spac. 
ar. 
calle. 
ke. 
vector. 
o. 
jus. 
ket. 
an. 
ar. 
represente. 
b. 
th. 
symbo. 
j�i. 
o. 
sometime. 
simpl. 
b. 
jii. 
Thes. 
ke. 
vector. 
determin. 
. 
ke. 
space. 


Whe. 
. 
ke. 
j�iii. 
multiplie. 
b. 
. 
constan. 
c. 
th. 
resul. 
. 
j�ii.jc�iii. 
. 
ke. 
i. 
th. 
sam. 
directio. 
a. 
j�ii. 
onl. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
ke. 
vecto. 
i. 
changed. 
However. 
whe. 
a. 
operato. 
A^act. 
o. 
. 
ke. 
j�ii. 
th. 
resul. 
i. 
anothe. 
ke. 
j�i. 


j�ii.A^j�ii.jA^�i. 
I. 
general. 
th. 
ke. 
j�iii. 
no. 
i. 
th. 
sam. 
directio. 
a. 
j�iino. 
i. 
th. 
sam. 
directio. 
a. 
an. 
othe. 
ke. 
j�ji. 
bu. 
rathe. 
ha. 
projection. 
alon. 
severa. 
o. 
al. 


basi. 
kets. 
I. 
a. 
operato. 
. 
act. 
o. 
al. 
ket. 
j�i. 
o. 
th. 
basi. 
set. 
an. 
th. 
resultin. 
se. 
o. 
ket. 
j�ii.jA^�iiar. 
orthonormal. 
the. 
th. 
ne. 
resul. 
o. 
th. 



3.. 
Hilber. 
spac. 
an. 
Dira. 
notatio. 
8. 


operatio. 
i. 
. 
rotatio. 
o. 
th. 
basi. 
se. 
j�iiabou. 
th. 
origi. 
t. 
. 
ne. 
basi. 
se. 


j�ii. 
I. 
th. 
situatio. 
wher. 
. 
actin. 
o. 
j�iigive. 
. 
constan. 
time. 
j�ii(cf. 
equatio. 
(3.5). 


A^j�ii.jA^�ii.�ij�i. 


th. 
ke. 
jA^�iii. 
alon. 
th. 
directio. 
o. 
j�iian. 
th. 
ket. 
j�iiar. 
sai. 
t. 
b. 
eigenket. 
o. 
th. 
operato. 
A^. 


Althoug. 
th. 
expression. 
A^j�iian. 
jA^�iiar. 
completel. 
equivalent. 
ther. 


i. 
. 
subtl. 
distinctio. 
betwee. 
them. 
Th. 
�rst. 
Aj�ii. 
indicate. 
th. 
operato. 
. 
bein. 
applie. 
t. 
th. 
ke. 
j�ii. 
Th. 
quantit. 
jA^�iii. 
th. 
ke. 
whic. 
result. 
fro. 
tha. 
application. 


Br. 
vector. 


Th. 
function. 
�i(x. 
are. 
i. 
general. 
comple. 
functions. 
A. 
. 
consequence. 
ke. 
spac. 
i. 
. 
comple. 
vecto. 
space. 
makin. 
i. 
mathematicall. 
necessar. 
t. 
introduc. 
. 
correspondin. 
se. 
o. 
vector. 
whic. 
ar. 
th. 
adjoint. 
o. 
th. 
ke. 
vectors. 
Th. 
adjoin. 
(sometime. 
als. 
calle. 
th. 
comple. 
conjugat. 
transpose. 
o. 
. 
comple. 
vecto. 
i. 
th. 
generalizatio. 
o. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
. 
comple. 
number. 
I. 
Dira. 
notatio. 
thes. 
adjoin. 
vector. 
ar. 
calle. 
br. 
vector. 
o. 
bra. 
an. 
ar. 
denote. 
b. 
h�ijo. 
hij. 
Thus. 
th. 
br. 
h�iji. 
th. 
adjoin. 
j�ii. 
o. 
th. 
ke. 
j�iiand. 
conversely. 
th. 
ke. 
j�iii. 
th. 
adjoin. 
h�ij. 
o. 
th. 
br. 
h�i. 


j�ii. 
.h�i. 


h�ij. 
.j�i. 


Thes. 
br. 
vector. 
determin. 
. 
br. 
space. 
jus. 
a. 
th. 
ket. 
determin. 
ke. 
space. 


Th. 
scala. 
produc. 
o. 
inne. 
produc. 
of. 
br. 
h�jan. 
. 
ke. 
j�ii. 
writte. 
i. 
Dira. 
notatio. 
a. 
h�j�ian. 
i. 
de�ne. 
a. 


h�j�i. 
�(x)�(x)d. 


Th. 
bracke. 
(bra-c-ket)i. 
h�j�. 
provide. 
th. 
name. 
fo. 
th. 
componen. 
vectors. 
Thi. 
notatio. 
wa. 
introduce. 
i. 
Sectio. 
3.. 
a. 
. 
shorthan. 
fo. 
th. 
scala. 
produc. 
integral. 
Th. 
scala. 
produc. 
o. 
. 
ke. 
j�iwit. 
it. 
correspondin. 
br. 
h�. 
give. 
. 
real. 
positiv. 
numbe. 
an. 
i. 
th. 
analo. 
o. 
multiplyin. 
. 
comple. 
numbe. 
b. 
it. 
comple. 
conjugate. 
Th. 
scala. 
produc. 
o. 
. 
br. 
h. 
j. 
an. 
th. 
ke. 
jA^�i. 
i. 
expresse. 
i. 
Dira. 
notatio. 
a. 
h�jjA^j�i. 
o. 
a. 
hjjA^jii. 


Thes. 
scala. 
product. 
ar. 
als. 
know. 
a. 
th. 
matri. 
element. 
o. 
. 
an. 
ar. 
sometime. 
denote. 
b. 
Aij. 


T. 
ever. 
ke. 
i. 
ke. 
space. 
ther. 
correspond. 
. 
br. 
i. 
br. 
space. 
Fo. 
th. 
ke. 



8. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


cj�ii. 
th. 
correspondin. 
br. 
i. 
ch�ij. 
W. 
ca. 
als. 
writ. 
cj�iia. 
jc�ii,i. 
whic. 
cas. 
th. 
correspondin. 
br. 
i. 
hc�ij. 
s. 
tha. 


hc�ij.ch�i. 


Fo. 
ever. 
linea. 
operato. 
A^tha. 
transform. 
j�iii. 
ke. 
spac. 
int. 
j�ii.jA^�ii. 
ther. 
i. 
. 
correspondin. 
linea. 
operato. 
A^. 
i. 
br. 
spac. 
whic. 
transform. 
h�i. 
int. 
h�ij.hA^�ij. 
Thi. 
operato. 
A^. 
i. 
calle. 
th. 
adjoin. 
o. 
A^. 
I. 
br. 
spac. 
th. 
transformatio. 
i. 
expresse. 
a. 


hA^�ij.h�ijA^. 


Thus. 
fo. 
bra. 
th. 
operato. 
act. 
o. 
th. 
vecto. 
t. 
it. 
left. 
wherea. 
fo. 
ket. 
th. 
operato. 
act. 
o. 
th. 
vecto. 
t. 
it. 
right. 


T. 
�n. 
th. 
relationshi. 
betwee. 
. 
an. 
it. 
adjoin. 
Ay. 
w. 
tak. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
hA^�jjan. 
j�i. 


hA^�jj�ii.h�jjA^yj�i. 
(3:33a. 


o. 
i. 
integra. 
notatio. 


(A^�j)�. 
d. 
. 
�A^y�. 
d. 
(3:33b. 


. 
compariso. 
wit. 
equatio. 
(3.8. 
show. 
tha. 
i. 
. 
i. 
hermitian. 
the. 
w. 
hav. 


A^y.A^an. 
. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
self-adjoint. 
Th. 
tw. 
terms. 
hermitia. 
an. 
self. 
adjoint. 
ar. 
synonymous. 
T. 
�n. 
th. 
adjoin. 
o. 
. 
non-hermitia. 
operator. 
w. 
appl. 
equation. 
(3.33). 
Fo. 
example. 
w. 
se. 
fro. 
equatio. 
(3.10. 
tha. 
th. 
adjoin. 
o. 
th. 
operato. 
d=d. 
i. 
�d=dx. 


Sinc. 
th. 
scala. 
produc. 
h�j�ii. 
equa. 
t. 
h�j�i. 
w. 
se. 
tha. 


hA^�jj�ii.h�ijA^j. 
ji. 
(3:34. 


Combinin. 
equation. 
(3.33a. 
an. 
(3.34. 
give. 


h�jjA^yj�ii.h�ijA^j�ji. 
(3:35. 


I. 
w. 
replac. 
A^i. 
equatio. 
(3.35. 
b. 
th. 
operato. 
^. 
w. 
obtai. 


h�jj(A^y)yj�ii.h�ijA^yj�ji. 
(3:36. 


wher. 
. 
^i. 
th. 
adjoin. 
o. 
th. 
operato. 
A^y. 
Equatio. 
(3.35. 
ma. 
b. 
rewritte. 


h�ijA^yj�ji.h�jjA^j�i. 


an. 
whe. 
compare. 
wit. 
(3.36). 
w. 
se. 
tha. 


h�jj(A^y)yj�ii.h�jjA^j�i. 


W. 
conclud. 
tha. 


(A^y)y.A^(3:37. 


Fro. 
equatio. 
(3.35. 
w. 
ca. 
als. 
sho. 
tha. 



3.. 
Hilber. 
spac. 
an. 
Dira. 
notatio. 
8. 
(. 
^A). 
.c^A. 
(3:38. 
wher. 
. 
i. 
an. 
comple. 
constant. 
an. 
tha. 
. 
^. 
.^B). 
. 
^Ay.^B. 
(3:39. 


T. 
obtai. 
th. 
adjoin. 
o. 
th. 
produc. 
A^B^o. 
tw. 
operators. 
w. 
appl. 
equatio. 
(3.33a). 
�rs. 
t. 
A^B^. 
the. 
t. 
A^. 
an. 
�nall. 
t. 
B^
h�jj(A^B^)yj�ii.hA^B^�jj�ii.hB^. 
jjA^yj�ii.h. 
jjB^yA^yj�i. 


Thus. 
w. 
hav. 
th. 
relatio. 
(A^B^)y.B^yA^. 
(3:40. 
I. 
A^an. 
B^ar. 
hermitia. 
(self-adjoint). 
the. 
w. 
hav. 
. 
A^B^)y.B^A^an. 
further. 
i. 
A^an. 
B^commute. 
the. 
th. 
produc. 
A^B^i. 
hermitia. 
o. 
self-adjoint. 
Th. 
oute. 
produc. 
o. 
. 
br. 
h�jan. 
. 
ke. 
j�ii. 
j�ih�jan. 
behave. 
a. 
a. 
operator. 
I. 
w. 
le. 
thi. 
oute. 
produc. 
operat. 
o. 
anothe. 
ke. 
j�i. 
w. 
obtai. 
th. 
expressio. 
j�ih�j�i. 
whic. 
ca. 
b. 
regarde. 
i. 
tw. 
ways. 
Th. 
scala. 
produc. 
h�j�. 
i. 
. 
comple. 
numbe. 
multiplyin. 
th. 
ke. 
j�i. 
s. 
tha. 
th. 
complet. 
expressio. 
i. 
. 
ke. 
paralle. 
t. 
j�i. 
Alternatively. 
th. 
operato. 
j�ih�jact. 
o. 
th. 
ke. 
j�ian. 
transfrom. 
j�iint. 
. 
ke. 
proportiona. 
t. 
j�i. 
T. 
�n. 
th. 
adjoin. 
o. 
th. 
oute. 
produc. 
j�ih�jo. 
th. 
ke. 
j�ian. 
th. 
br. 
h�j. 
w. 
le. 
A^i. 
equatio. 
(3.35. 
b. 
equa. 
t. 
j�ih�jan. 
obtai. 
h�jj(j�ih�j)yj�ii.h�ij(j�ih�j)j�ji.h�ij�ih�j. 
ji. 


.h�j�iih. 
jj�i.h. 
jj�ih�j�ii.h. 
jj(j�ih�j)j�i. 


Settin. 
equa. 
th. 
operator. 
i. 
th. 
left-mos. 
an. 
right-mos. 
integrals. 
w. 
�n. 


(j�ih�j)y.j�ih�. 
(3:41. 


Projectio. 
operato. 


W. 
de�n. 
th. 
operato. 
P^
. 
a. 
th. 
oute. 
produc. 
o. 
j�iian. 
it. 
correspondin. 
br. 


P. 
j�iih�ijjiihi. 
(3:42. 
an. 
appl. 
P^
. 
t. 
a. 
arbitrar. 
ke. 
j�. 


Pij�i.jiihij�. 
Thus. 
th. 
resul. 
o. 
P^
. 
actin. 
o. 
j�ii. 
. 
ke. 
proportiona. 
t. 
jii. 
th. 
proportion. 
alit. 
constan. 
bein. 
th. 
scala. 
produc. 
h�ij�i. 
Th. 
operato. 
P^
i. 
then. 
project. 
j�. 
ont. 
j�i. 
an. 
fo. 
tha. 
reaso. 
i. 
know. 
a. 
th. 
projectio. 
operator. 
Th. 
operato. 
P^
. 
i. 
give. 
b. 


P^
. 
. 
.P^
iP^
. 
.jiihijiihij.jiihij.P^
. 


wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
th. 
ket. 
jiiar. 
normalized. 
Likewise. 
th. 
operato. 
P^
. 



8. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


fo. 
. 
. 
. 
als. 
equal. 
P^
i. 
Thi. 
propert. 
i. 
consisten. 
wit. 
th. 
interpretatio. 
o. 


P. 
a. 
. 
projectio. 
operato. 
sinc. 
th. 
resul. 
o. 
projectin. 
j�iont. 
jiishoul. 
b. 
th. 
sam. 
whethe. 
th. 
projectio. 
i. 
carrie. 
ou. 
once. 
twice. 
o. 
multipl. 
times. 
Th. 
operato. 
P^
i. 
hermitian. 
s. 
tha. 
th. 
projectio. 
o. 
j�io. 
j�iii. 
equa. 
t. 


th. 
projectio. 
o. 
j�i. 
o. 
j�i. 
T. 
sho. 
tha. 
P. 
i. 
hermitian. 
w. 
le. 
j�i. 


j�i.jiii. 
equatio. 
(3.41. 
an. 
obtai. 
P^
..
^Pi. 


Th. 
expansio. 
o. 
. 
functio. 
. 
(x. 
i. 
term. 
o. 
th. 
orthonorma. 
se. 
�i(x). 
a. 
show. 
i. 
equatio. 
(3.27). 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
ket. 
a. 


j. 
i. 
aij�ii.aiji. 


wher. 
j. 
. 
i. 
regarde. 
a. 
. 
vecto. 
i. 
ke. 
space. 
Th. 
constant. 
a. 
ar. 
th. 
projection. 
o. 
j. 
io. 
th. 
`uni. 
ke. 
vectors. 
jiian. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(3.28. 
a. 
.hij. 
. 


Combinin. 
thes. 
tw. 
equation. 
give. 
equatio. 
(3.29). 
whic. 
whe. 
expresse. 
i. 
Dira. 
notatio. 
i. 


j. 
i. 
jiihij. 
. 


Sinc. 
. 
(x. 
i. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
o. 
x. 
th. 
operato. 
ijiihijmus. 
equa. 
th. 
identit. 
operator. 
s. 
tha. 


jiihij.. 
(3:43. 


Fro. 
th. 
de�nitio. 
o. 
P^
. 
i. 
equatio. 
(3.42). 
w. 
se. 
tha. 


Sinc. 
th. 
operato. 
ijiihijequal. 
unity. 
i. 
ma. 
b. 
inserte. 
a. 
an. 
poin. 
i. 
a. 
equation. 
Accordingly. 
w. 
inser. 
i. 
betwee. 
th. 
br. 
an. 
th. 
ke. 
i. 
th. 
scala. 
produc. 
o. 
j. 
iwit. 
itsel. 


h. 
j. 
i. 


jiihi. 


wher. 
w. 
hav. 
assume. 
j. 
ii. 
normalized. 
Thi. 
expressio. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 


. 
. 
. 
.1

h. 
j. 
i. 
h. 
jiihij. 
i. 
jhij. 
ijjaij

Thus. 
th. 
expressio. 
(3.43. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
completenes. 
criterio. 
(3.30. 
an. 
i. 
called. 
therefore. 
th. 
completenes. 
relation. 



3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
8. 


3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 


I. 
thi. 
sectio. 
w. 
stat. 
th. 
postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
i. 
term. 
o. 
th. 
propertie. 
o. 
linea. 
operators. 
B. 
wa. 
o. 
a. 
introductio. 
t. 
quantu. 
theory. 
th. 
basi. 
principle. 
hav. 
alread. 
bee. 
presente. 
i. 
Chapter. 
. 
an. 
2. 
Th. 
purpos. 
o. 
tha. 
introductio. 
i. 
t. 
provid. 
. 
rational. 
fo. 
th. 
quantu. 
concept. 
b. 
showin. 
ho. 
th. 
particle�wav. 
dualit. 
lead. 
t. 
th. 
postulat. 
o. 
. 
wav. 
functio. 
base. 
o. 
th. 
propertie. 
o. 
. 
wav. 
packet. 
Althoug. 
thi. 
approach. 
base. 
i. 
par. 
o. 
historica. 
development. 
help. 
t. 
explai. 
wh. 
certai. 
quantu. 
concept. 
wer. 
proposed. 
th. 
basi. 
principle. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
canno. 
b. 
obtaine. 
b. 
an. 
proces. 
o. 
deduction. 
The. 
mus. 
b. 
state. 
a. 
postulate. 
t. 
b. 
accepte. 
becaus. 
th. 
conclusion. 
draw. 
fro. 
the. 
agre. 
wit. 
experimen. 
withou. 
exception. 


W. 
�rs. 
stat. 
th. 
postulate. 
succinctl. 
an. 
the. 
elaborat. 
o. 
eac. 
o. 
the. 
wit. 
particula. 
regar. 
t. 
th. 
mathematica. 
propertie. 
o. 
linea. 
operators. 
Th. 
postulate. 
ar. 
a. 
follows. 


1. 
Th. 
stat. 
o. 
. 
physica. 
syste. 
i. 
de�ne. 
b. 
. 
normalize. 
functio. 
. 
o. 
th. 
spatia. 
coordinate. 
an. 
th. 
time. 
Thi. 
functio. 
contain. 
al. 
th. 
informatio. 
tha. 
exist. 
o. 
th. 
stat. 
o. 
th. 
system. 


2. 
Ever. 
physica. 
observabl. 
. 
i. 
represente. 
b. 
. 
linea. 
hermitia. 
operato. 
A^. 
3. 
Ever. 
individua. 
measuremen. 
o. 
. 
physica. 
observabl. 
. 
yield. 
a. 
eigenvalu. 
o. 


th. 
correspondin. 
operato. 
A. 
Th. 
averag. 
valu. 
o. 
expectatio. 
valu. 
hAifro. 
. 
serie. 
o. 
measurement. 
o. 
. 
fo. 
systems. 
eac. 
o. 
whic. 
i. 
i. 
th. 
exac. 
sam. 
stat. 
�. 
i. 
give. 
b. 
hAi.h�jAj�i. 


4. 
I. 
. 
measuremen. 
o. 
. 
physica. 
observabl. 
. 
fo. 
. 
syste. 
i. 
stat. 
. 
give. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
o. 
A^. 
the. 
th. 
stat. 
o. 
th. 
syste. 
immediatel. 
afte. 
th. 
measuremen. 
i. 
th. 
eigenfunctio. 
(i. 
�. 
i. 
non-degenerate. 
o. 
. 
linea. 
combinatio. 
o. 
eigenfunc. 
tion. 
(i. 
�. 
i. 
degenerate. 
correspondin. 
t. 
�n. 


5. 
Th. 
tim. 
dependenc. 
o. 
th. 
stat. 
functio. 
. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
differentia. 
equatio. 


i. 
.H^
. 


wher. 
H^
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
th. 
system. 


Thi. 
lis. 
o. 
postulate. 
i. 
no. 
complet. 
i. 
tha. 
tw. 
quantu. 
concept. 
ar. 
no. 
covered. 
spi. 
an. 
identica. 
particles. 
I. 
Sectio. 
1.. 
w. 
mentione. 
i. 
passin. 
tha. 
a. 
electro. 
ha. 
a. 
intrinsi. 
angula. 
momentu. 
calle. 
spin. 
Othe. 
particle. 
als. 
posses. 
spin. 
Th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
spi. 
i. 
postpone. 
unti. 
Chapte. 
7. 
Moreover. 
th. 
stat. 
functio. 
fo. 
. 
syste. 
o. 
tw. 
o. 
mor. 
identica. 
an. 
therefor. 
indistinguishabl. 
particle. 
require. 
specia. 
consideratio. 
an. 
i. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
8. 



8. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


Stat. 
functio. 


Accordin. 
t. 
th. 
�rs. 
postulate. 
th. 
stat. 
o. 
. 
physica. 
syste. 
i. 
completel. 
describe. 
b. 
. 
stat. 
functio. 
�(q. 
t. 
o. 
ke. 
j�i. 
whic. 
depend. 
o. 
spatia. 
coordinate. 
. 
an. 
th. 
tim. 
t. 
Thi. 
functio. 
i. 
sometime. 
als. 
calle. 
. 
stat. 
vecto. 
o. 
. 
wav. 
function. 
Th. 
coordinat. 
vecto. 
. 
ha. 
component. 
q1. 
q2. 
.... 
s. 
tha. 
th. 
stat. 
functio. 
ma. 
als. 
b. 
writte. 
a. 
�(q1. 
q2. 
.... 
t). 
Fo. 
. 
particl. 
o. 
syste. 
tha. 
move. 
i. 
onl. 
on. 
dimensio. 
(sa. 
alon. 
th. 
x-axis). 
th. 
vecto. 
. 
ha. 
onl. 
on. 
componen. 
an. 
th. 
stat. 
vecto. 
. 
i. 
. 
functio. 
o. 
. 
an. 
t. 
�(x. 
t). 
Fo. 
. 
particl. 
o. 
syste. 
i. 
thre. 
dimensions. 
th. 
component. 
o. 
. 
ar. 
x. 
y. 
. 
an. 
. 
i. 
. 
functio. 
o. 
th. 
positio. 
vecto. 
. 
an. 
t. 
�(r. 
t). 
Th. 
stat. 
functio. 
i. 
single-valued. 
. 
continuou. 
functio. 
o. 
eac. 
o. 
it. 
variables. 
an. 
squar. 
o. 
quadraticall. 
integrable. 


Fo. 
. 
one-dimensiona. 
system. 
th. 
quantit. 
�(x. 
t)�(x. 
t. 
i. 
th. 
probabil. 
it. 
densit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
syste. 
a. 
positio. 
. 
a. 
tim. 
t. 
I. 
thre. 
dimensions. 
th. 
quantit. 
�(r. 
t)�(r. 
t. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
syste. 
a. 
poin. 
. 
a. 
tim. 
t. 
Fo. 
. 
multi-variabl. 
system. 
th. 
produc. 
�(q1. 
q2. 
.... 
t)�(q1. 
q2. 
.... 
t. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
tha. 
th. 
syste. 
ha. 
coordi. 
nate. 
q1. 
q2. 
... 
a. 
tim. 
t. 
W. 
sho. 
belo. 
tha. 
thi. 
interpretatio. 
o. 
�. 
follow. 
fro. 
postulat. 
3. 
W. 
usuall. 
assum. 
tha. 
th. 
stat. 
functio. 
i. 
normal. 


�(q1. 
q2. 
.... 
t)�(q1. 
q2. 
.... 
t)w(q1. 
q2. 
...)dq1dq. 
... 
.. 


o. 
i. 
Dira. 
notatio. 


h�j�i.. 
wher. 
th. 
limit. 
o. 
integratio. 
ar. 
ove. 
al. 
allowe. 
value. 
o. 
q1. 
q2. 
... 


Physica. 
quantitie. 
o. 
observable. 


Th. 
secon. 
postulat. 
state. 
tha. 
. 
physica. 
quantit. 
o. 
observabl. 
i. 
represente. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
b. 
. 
hermitia. 
operator. 
T. 
ever. 
classicall. 
de�ne. 
functio. 
A(r. 
p. 
o. 
positio. 
an. 
momentu. 
ther. 
correspond. 
. 
quantum. 


mechanica. 
linea. 
hermitia. 
operato. 
A(r,("=i)=). 
Thus. 
t. 
obtai. 
th. 
quan. 
tum-mechanica. 
operator. 
th. 
momentu. 
. 
i. 
th. 
classica. 
functio. 
i. 
replace. 


b. 
th. 
operato. 
. 
^p
. 
^p
. 
. 
. 
. 
(3:44. 
or. 
i. 
term. 
o. 
component. 


.
^p. 
. 
. 
.
^p. 
. 
. 
.
^p. 
. 


. 
@. 
. 
. 
. 
. 
@. 



3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
8. 


Fo. 
multi-particl. 
system. 
wit. 
cartesia. 
coordinate. 
r1. 
r2. 
.... 
th. 
classica. 
functio. 
A(r1. 
r2. 
.... 
p1. 
p2. 
.... 
possesse. 
th. 
correspondin. 
operato. 


A(r1. 
r2. 
...,("=i)=1,("=i)=2. 
.... 
wher. 
=. 
i. 
th. 
gradien. 
wit. 
respec. 
t. 
r. 
. 
Fo. 
non-cartesia. 
coordinates. 
th. 
constructio. 
o. 
th. 
quantum-mechanica. 
operato. 
A^i. 
mor. 
comple. 
an. 
i. 
no. 
presente. 
here. 


Th. 
classica. 
functio. 
. 
i. 
a. 
observable. 
meanin. 
tha. 
i. 
i. 
. 
physicall. 
measurabl. 
propert. 
o. 
th. 
system. 
Fo. 
example. 
fo. 
. 
one-particl. 
syste. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
correspondin. 
t. 
th. 
classica. 
Hamiltonia. 
functio. 


H(r. 
p. 
... 
(r. 


wher. 
p. 
.. 
. 
. 
. 
p. 
.p. 
.p2,i. 


. 
.. 
=. 
.V(r. 


Th. 
linea. 
operato. 
H^
i. 
easil. 
show. 
t. 
b. 
hermitian. 


Measuremen. 
o. 
observabl. 
propertie. 


Th. 
thir. 
postulat. 
relate. 
t. 
th. 
measuremen. 
o. 
observabl. 
properties. 
Ever. 
individua. 
measuremen. 
o. 
. 
physica. 
observabl. 
. 
yield. 
a. 
eigenvalu. 
�. 
o. 
th. 
operato. 
A^. 
Th. 
eigenvalue. 
ar. 
give. 
b. 


Ajii.�iji. 
(3:45. 


wher. 
ji. 
ar. 
th. 
orthonorma. 
eigenket. 
o. 
A. 
Sinc. 
. 
i. 
hermitian. 
th. 
eigenvalue. 
ar. 
al. 
real. 
I. 
i. 
essentia. 
fo. 
th. 
theor. 
tha. 
A^i. 
hermitia. 
becaus. 
an. 
measure. 
quantit. 
must. 
o. 
course. 
b. 
. 
rea. 
number. 
I. 
th. 
spectru. 
o. 
A^
i. 
discrete. 
the. 
th. 
eigenvalue. 
�. 
ar. 
discret. 
an. 
th. 
measurement. 
o. 
. 
ar. 
quantized. 
If. 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
th. 
eigenfunction. 
ji. 
for. 
. 
continuous. 
in�nit. 
set. 
the. 
th. 
eigenvalue. 
�. 
ar. 
continuou. 
an. 
th. 
measure. 
value. 
o. 


. 
ar. 
no. 
quantized. 
Th. 
se. 
o. 
eigenket. 
jiio. 
th. 
dynamica. 
operato. 
. 
ar. 
assume. 
t. 
b. 
complete. 
I. 
som. 
case. 
i. 
i. 
possibl. 
t. 
sho. 
explicitl. 
tha. 
ji. 
form. 
. 
complet. 
set. 
bu. 
i. 
othe. 
case. 
w. 
mus. 
assum. 
tha. 
property. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
mea. 
valu. 
hAio. 
th. 
physica. 
observabl. 
. 
a. 
tim. 
. 
fo. 
. 
syste. 
i. 
. 
normalize. 
stat. 
. 
i. 
give. 
b. 


hAi.h�jA^j�. 
(3:46. 


I. 
. 
i. 
no. 
normalized. 
the. 
th. 
appropriat. 
expressio. 
i. 


h�jA^j�. 


h�j�. 


Som. 
example. 
o. 
expectatio. 
value. 
ar. 
a. 
follow. 



8. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 
hxi.h�jxj�. 


hpxi. 


hri.h�jrj�. 


=. 
.. 
(r)

. 
.hHi. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
hAii. 
no. 
th. 
resul. 
o. 
. 
singl. 
measuremen. 
o. 
th. 
propert. 
A. 
bu. 
rathe. 
th. 
averag. 
o. 
. 
larg. 
numbe. 
(i. 
th. 
limit. 
a. 
in�nit. 
number. 
o. 
measurement. 
o. 
. 
o. 
systems. 
eac. 
o. 
whic. 
i. 
i. 
th. 
sam. 
stat. 
�. 
Eac. 
individua. 
measuremen. 
yield. 
on. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
�i. 
an. 
hAii. 
the. 
th. 
averag. 
o. 
th. 
observe. 
arra. 
o. 
eigenvalues. 
Fo. 
example. 
i. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
i. 
observe. 
fou. 
times. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
thre. 
times. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
once. 
an. 
n. 
othe. 
eigenvalue. 
ar. 
observed. 
the. 
th. 
expectatio. 
valu. 
hAii. 
give. 
b. 


4�. 
.3�. 
.�. 


I. 
practice. 
man. 
mor. 
tha. 
eigh. 
observation. 
woul. 
b. 
require. 
t. 
obtai. 
. 
reliabl. 
valu. 
fo. 
hAi. 
I. 
general. 
th. 
expectatio. 
valu. 
hAio. 
th. 
observabl. 
. 
ma. 
b. 
writte. 
fo. 
. 
discret. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
a. 


hAi. 
Pi�. 
(3:47. 


wher. 
P. 
i. 
th. 
probabilit. 
o. 
obtainin. 
th. 
valu. 
�i. 
I. 
th. 
stat. 
functio. 
. 
fo. 
. 
syste. 
happen. 
t. 
coincid. 
wit. 
on. 
o. 
th. 
eigenstate. 
jii. 
the. 
onl. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
woul. 
b. 
observe. 
eac. 
tim. 
. 
measuremen. 
o. 
. 
i. 
mad. 
an. 
therefor. 
th. 
expectatio. 
valu. 
hAiwoul. 
equa. 
�. 


hAi.hijA^jii.hij�ijii.�. 


I. 
i. 
importan. 
no. 
t. 
confus. 
th. 
expectatio. 
valu. 
hAiwit. 
th. 
tim. 
averag. 
o. 
. 
fo. 
. 
singl. 
system. 


Fo. 
a. 
arbitrar. 
stat. 
. 
a. 
. 
�xe. 
tim. 
t. 
th. 
ke. 
j�ima. 
b. 
expande. 
i. 


term. 
o. 
th. 
complet. 
se. 
o. 
eigenket. 
o. 
A. 
I. 
orde. 
t. 
mak. 
th. 
followin. 
discussio. 
clearer. 
w. 
no. 
introduc. 
. 
slightl. 
mor. 
complicate. 
notation. 
Eac. 
eigenvalu. 
�. 
wil. 
no. 
b. 
distinct. 
s. 
tha. 
�. 
6.. 
. 
fo. 
. 
6.j. 
W. 
le. 
g. 
b. 



3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
8. 


th. 
degenerac. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
an. 
le. 
ji�i. 
. 
.1. 
2. 
.... 
gi. 
b. 
th. 


orthonorma. 
eigenket. 
o. 
A. 
W. 
assum. 
tha. 
th. 
subse. 
o. 
ket. 
correspondin. 
t. 
eac. 
eigenvalu. 
�. 
ha. 
bee. 
mad. 
orthogona. 
b. 
th. 
Schmid. 
procedur. 
outline. 
i. 
Sectio. 
3.3. 


I. 
th. 
eigenket. 
ji�iconstitut. 
. 
discret. 
set. 
w. 
ma. 
expan. 
th. 
stat. 
vecto. 
j�ia. 


j�i. 
ci�ji�. 
(3:48. 


wher. 
th. 
expansio. 
coef�cient. 
ci. 
ar. 
ci. 
.hi�j�. 
(3:49. 


Th. 
expansio. 
o. 
th. 
br. 
vecto. 
h�jis. 
therefore. 
give. 
b. 


h�j. 
c. 
j�hj�. 
(3:50. 


wher. 
th. 
dumm. 
indice. 
. 
an. 
. 
hav. 
bee. 
replace. 
b. 
. 
an. 
�. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
i. 
obtaine. 
b. 
substitutin. 
equation. 
(3.48. 
an. 
(3.50. 
int. 
(3.46. 


gjg. 
gjg. 


hAi. 
c. 
j�ci�hj�jA^ji�i. 
c. 
j�ci��ihj�ji�. 
. 
�.. 
. 
�.. 
. 
�.. 
. 
�.. 


.jci�j2�. 
(3:51. 


wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
th. 
ket. 
ji�iar. 
orthonormal. 
s. 
tha. 


hj�ji�i.�ij��. 
. 
compariso. 
o. 
equation. 
(3.47. 
an. 
(3.51. 
relate. 
th. 
probabilit. 
P. 
t. 
th. 
expansio. 
coef�cient. 
ci. 


P. 
.jci�jjhi�j�ij(3:52. 


�.. 
�.. 


wher. 
equatio. 
(3.49. 
ha. 
als. 
bee. 
introduced. 
Fo. 
th. 
cas. 
wher. 
�. 
i. 
non. 
degenerate. 
th. 
inde. 
. 
i. 
no. 
neede. 
an. 
equatio. 
(3.52. 
reduce. 
t. 


P. 
.jcij. 
.jhij�ij

Fo. 
. 
continuou. 
spectru. 
o. 
eigenket. 
wit. 
non-degenerat. 
eigenvalues. 
i. 
i. 
mor. 
convenien. 
t. 
writ. 
th. 
eigenvalu. 
equatio. 
(3.45. 
i. 
th. 
for. 


Aj�i.�j�. 


wher. 
. 
i. 
no. 
. 
continuou. 
variabl. 
an. 
j�. 
i. 
th. 
eigenfunctio. 
whos. 
eigenvalu. 
i. 
�. 
Th. 
expansio. 
o. 
th. 
stat. 
vecto. 
. 
become. 



9. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


j�i. 
c(�)j�id. 


wher. 
c(�. 
.h�j�. 


an. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
take. 
th. 
for. 


hAi. 
jc(�)j. 
. 
d. 
(3:53. 


I. 
dP. 
i. 
th. 
probabilit. 
o. 
obtainin. 
. 
valu. 
o. 
. 
betwee. 
. 
an. 
. 
.d�. 
the. 
equatio. 
(3.47. 
i. 
replace. 
b. 


hAi. 
. 
dP. 


an. 
w. 
se. 
tha. 


dP. 
.jc(�)j2d. 
.jh�j�ij2d. 


Th. 
probabilit. 
dP. 
i. 
ofte. 
writte. 
i. 
th. 
for. 
dP. 
.r(�)d. 


wher. 
r(�)isth. 
probabilit. 
densit. 
o. 
obtainin. 
th. 
resul. 
. 
an. 
i. 
give. 
b. 


r(�. 
.jc(�)j. 
.jh�j�ij

I. 
term. 
o. 
th. 
probabilit. 
density. 
equatio. 
(3.53. 
become. 


hAi. 
�r(�)d. 
(3:54. 


I. 
som. 
application. 
t. 
physica. 
systems. 
th. 
eigenket. 
o. 
. 
posses. 
. 
partiall. 
discret. 
an. 
. 
partiall. 
continuou. 
spectrum. 
i. 
whic. 
cas. 
equation. 
(3.51. 
an. 
(3.53. 
mus. 
b. 
combined. 


Th. 
scala. 
produc. 
h�j�. 
ma. 
b. 
evaluate. 
fro. 
equation. 
(3.48. 
an. 
(3.50. 
a. 


gjg. 
g. 


h�j�i. 
c. 
j. 
ci�hj�ji�i. 
jci�j. 
. 
�.. 
. 
�.. 
. 
�.. 


. 
jhi�j�ijP. 
. 
�.. 
. 


Sinc. 
th. 
stat. 
vecto. 
. 
i. 
normalized. 
thi. 
expressio. 
give. 


Thus. 
th. 
su. 
o. 
th. 
probabilitie. 
P. 
equal. 
unit. 
a. 
i. 
mus. 
fro. 
th. 
de�nitio. 
o. 
probability. 
Fo. 
. 
continuou. 
se. 
o. 
eigenkets. 
thi. 
relationshi. 
i. 
replace. 
b. 



3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
9. 


dP. 
. 
r(�)d. 
.. 


A. 
a. 
example. 
w. 
conside. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
a. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
2.5. 
Suppos. 
tha. 
th. 
stat. 
functio. 
�(x. 
fo. 
thi. 
particl. 
i. 
time. 
independen. 
an. 
i. 
give. 
b. 


�(x. 
.. 
sin. 
,. 
. 
. 
. 
. 


wher. 
. 
i. 
. 
constan. 
whic. 
normalize. 
�(x). 
Th. 
eigenfunction. 
jn. 
an. 
eigenvalue. 
E. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
ar. 


. 
n�xn. 
h. 


jni. 
si. 
. 
E. 
. 
. 
. 
.1. 
2. 
... 


a. 
8ma. 


Obviously. 
th. 
stat. 
functio. 
�(x. 
i. 
no. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
H^
. 
Followin. 
th. 
genera. 
procedur. 
describe. 
above. 
w. 
expan. 
�(x. 
i. 
term. 
o. 
th. 
eigenfunc. 
tion. 
jni. 
Thi. 
expansio. 
i. 
th. 
sam. 
a. 
a. 
expansio. 
i. 
. 
Fourie. 
series. 
a. 
describe. 
i. 
Appendi. 
B. 
A. 
. 
shortcu. 
w. 
ma. 
us. 
equation. 
(A.39. 
an. 
(A.40. 
t. 
obtai. 
th. 
identit. 


sin5. 
. 
(1. 
si. 
. 
�. 
si. 
3. 
.si. 
5�. 


s. 
tha. 
th. 
expansio. 
o. 
�(x)i. 


. 
�. 
3�. 
5�. 


�(x. 
. 
1. 
si. 
�. 
si. 
.si. 


1. 
. 
a. 


. 
(10j1i�5j3i.j5i. 


. 
measuremen. 
o. 
th. 
energ. 
o. 
. 
particl. 
i. 
stat. 
�(x. 
yield. 
on. 
o. 
thre. 
value. 
an. 
n. 
othe. 
value. 
Th. 
value. 
an. 
thei. 
probabilitie. 
ar. 


h. 
10. 
10. 


E. 
. 
. 
P. 
. 
..0:79. 


8ma. 
10. 
.5. 
.1. 
12. 
9h. 
5. 


E. 
. 
. 
P. 
..0:19. 


8ma. 
12. 


25h. 
1. 


E. 
. 
. 
P. 
..0:00. 


8ma. 
12. 
Th. 
su. 
o. 
th. 
probabilitie. 
i. 
unity. 
P. 
.P. 
.P. 
.0:79. 
.0:19. 
.0:00. 
.. 


Th. 
interpretatio. 
tha. 
th. 
quantit. 
�(q1. 
q2. 
.... 
t)�(q1. 
q2. 
.... 
t)i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
tha. 
th. 
coordinate. 
o. 
th. 
syste. 
a. 
tim. 
. 
ar. 



9. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


q1. 
q2. 
...ma. 
b. 
show. 
b. 
comparin. 
equation. 
(3.46. 
an. 
(3.54. 
fo. 
. 
equa. 
t. 
th. 
coordinat. 
vecto. 
. 


hqi.h�jqj�i. 
�(q)�(q). 
d. 


hqi. 
r(q). 
d. 


Fo. 
thes. 
tw. 
expression. 
t. 
b. 
mutuall. 
consistent. 
w. 
mus. 
hav. 


r(q. 
.�(q)�(q. 


Thus. 
thi. 
interpretatio. 
o. 
�. 
follow. 
fro. 
postulat. 
. 
an. 
fo. 
thi. 
reaso. 
i. 
no. 
include. 
i. 
th. 
statemen. 
o. 
postulat. 
1. 


Collaps. 
o. 
th. 
stat. 
functio. 


Th. 
measuremen. 
o. 
. 
physica. 
observabl. 
. 
give. 
on. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
�. 
o. 


th. 
operato. 
A. 
A. 
state. 
b. 
th. 
fourt. 
postulate. 
. 
consequenc. 
o. 
thi. 
measuremen. 
i. 
th. 
sudde. 
chang. 
i. 
th. 
stat. 
functio. 
o. 
th. 
syste. 
fro. 
it. 
origina. 
for. 
. 
t. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
linea. 
combinatio. 
o. 
eigenfunction. 
o. 


. 
correspondin. 
t. 
�n. 


A. 
. 
�xe. 
tim. 
. 
jus. 
befor. 
th. 
measuremen. 
take. 
place. 
th. 
ke. 
j�ima. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
th. 
eigenket. 
ji�io. 
A^. 
a. 
show. 
i. 
equatio. 
(3.48). 
I. 
th. 
measuremen. 
give. 
. 
non-degenerat. 
eigenvalu. 
�n. 
the. 
immediatel. 
afte. 
th. 
measuremen. 
th. 
syste. 
i. 
i. 
stat. 
jni. 
Th. 
stat. 
functio. 
. 
i. 
sai. 
t. 
collaps. 
t. 
th. 
functio. 
jni. 
. 
secon. 
measuremen. 
o. 
. 
o. 
thi. 
sam. 
system. 
i. 
take. 
immediatel. 
afte. 
th. 
�rst. 
alway. 
yield. 
th. 
sam. 
resul. 
�n. 
I. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
i. 
degenerate. 
the. 
righ. 
afte. 
th. 
measuremen. 
th. 
stat. 
functio. 
i. 
som. 
linea. 
combinatio. 
o. 
th. 
eigenket. 
jn�i. 
. 
.1. 
2. 
.... 
gn. 
. 
second. 
immediat. 
measuremen. 
o. 
. 
stil. 
yield. 
�. 
a. 
th. 
result. 


Fro. 
postulate. 
. 
an. 
5. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
stat. 
functio. 
. 
ca. 
chang. 
wit. 
tim. 
fo. 
tw. 
differen. 
reasons. 
. 
discontinuou. 
chang. 
i. 
. 
occur. 
whe. 
som. 
propert. 
o. 
th. 
syste. 
i. 
measured. 
Th. 
stat. 
o. 
th. 
syste. 
change. 
suddenl. 
fro. 
. 
t. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
linea. 
combinatio. 
o. 
eigenfunction. 
associate. 
wit. 
th. 
observe. 
eigenvalue. 
A. 
isolate. 
system. 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
undergoe. 
. 
continuou. 
chang. 
wit. 
tim. 
i. 
accordanc. 
wit. 
th. 
time-dependen. 
Schro�. 
dinge. 
equation. 


Tim. 
evolutio. 
o. 
th. 
stat. 
functio. 


Th. 
�ft. 
postulat. 
stipulate. 
tha. 
th. 
tim. 
evolutio. 
o. 
th. 
stat. 
functio. 
. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equatio. 



3.. 
Postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
9. 


i. 
.H^
(3:55. 


wher. 
. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
o. 
th. 
syste. 
and. 
i. 
general. 
change. 
wit. 
time. 
However. 
i. 
thi. 
boo. 
w. 
onl. 
conside. 
system. 
fo. 
whic. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
time-independent. 
T. 
solv. 
th. 
time-dependen. 
Schro�. 
dinge. 
equation. 
w. 
expres. 
th. 
stat. 
functio. 
�(q. 
t. 
a. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
function. 


�(q. 
t. 
.�(q)�(t. 
(3:56. 


wher. 
�(q. 
depend. 
onl. 
o. 
th. 
spatia. 
variable. 
an. 
�(t. 
depend. 
onl. 
o. 
th. 
time. 
I. 
Sectio. 
2.. 
w. 
discus. 
th. 
procedur. 
fo. 
separatin. 
th. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
(3.55. 
int. 
tw. 
differentia. 
equations. 
on. 
involvin. 
onl. 
th. 
spatia. 
variable. 
an. 
th. 
othe. 
onl. 
th. 
time. 
Th. 
stat. 
functio. 
�(q. 
t)i. 
the. 
show. 
t. 
b. 


�(q. 
t. 
.�(q)e�. 
Et=. 
(3:57. 


wher. 
. 
i. 
th. 
separatio. 
constant. 
Sinc. 
i. 
follow. 
fro. 
equatio. 
(3.57. 
tha. 


j�(q. 
t)j. 
.j�(q)j

th. 
probabilit. 
densit. 
i. 
independen. 
o. 
th. 
tim. 
. 
an. 
�(q. 
t)is. 
stationar. 
state. 


Th. 
spatia. 
differentia. 
equation. 
know. 
a. 
th. 
time-independen. 
Schro�din. 
ge. 
equation. 
i. 


H�(q. 
.E�(q. 


Thus. 
th. 
spatia. 
functio. 
�(q. 
i. 
actuall. 
. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
�n(q. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
wit. 
eigenvalue. 
En. 
Th. 
time-independen. 
Schro�din. 
ge. 
equatio. 
take. 
th. 
for. 


H�n(q. 
.En�n(q. 
(3:58. 


an. 
th. 
genera. 
solutio. 
o. 
th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
i. 


�(q. 
t. 
. 
cn�n(q)e�iEnt=. 
(3:59. 


wher. 
c. 
ar. 
arbitrar. 
comple. 
constants. 


Th. 
appearanc. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
equatio. 
(3.55. 
a. 
stipulate. 
b. 
postulat. 
. 
give. 
tha. 
operato. 
. 
specia. 
statu. 
i. 
quantu. 
mechanics. 
Knowledg. 
o. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
. 
give. 
syste. 
i. 
suf�cien. 
t. 
determin. 
th. 
stationar. 
state. 
o. 
th. 
syste. 
an. 
th. 
expectatio. 
value. 
o. 
an. 
othe. 
dynamica. 
variables. 


W. 
nex. 
addres. 
th. 
questio. 
a. 
t. 
whethe. 
equatio. 
(3.59. 
i. 
actuall. 
th. 
mos. 
genera. 
solutio. 
o. 
th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equation. 
Ar. 
ther. 
othe. 
solution. 
tha. 
ar. 
no. 
expressibl. 
i. 
th. 
for. 
o. 
equatio. 
(3.59). 
T. 



9. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


answe. 
tha. 
question. 
w. 
assum. 
tha. 
�(q. 
t. 
i. 
an. 
arbitrar. 
solutio. 
o. 
th. 
parita. 
differentia. 
equatio. 
(3.55). 
W. 
suppos. 
furthe. 
tha. 
th. 
se. 
o. 
function. 
�n(q. 
whic. 
satisf. 
th. 
eigenvalu. 
equatio. 
(3.58. 
i. 
complete. 
The. 
w. 
can. 
i. 
general. 
expan. 
�(q. 
t. 
i. 
term. 
o. 
th. 
complet. 
se. 
�n(q. 
an. 
obtai. 


�(q. 
t. 
. 
. 
. 
an(t)�n(q. 
(3:60. 
Th. 
coef�cient. 
an(t. 
i. 
th. 
expansio. 
ar. 
give. 
b. 
an(t. 
.h�n(q)j�(q. 
t). 
(3:61. 


an. 
ar. 
function. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
bu. 
no. 
o. 
th. 
coordinate. 
q. 
W. 
substitut. 
th. 
expansio. 
(3.60. 
int. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(3.55. 
t. 
obtai. 


. 
@an(t. 
. 
@an(t. 


.an(t. 
H^
�n(q. 
..Enan(t. 
�n(q. 
.0(3:62. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 


wher. 
w. 
hav. 
als. 
note. 
tha. 
th. 
function. 
�n(q. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
H^
i. 
accordanc. 
wit. 
equatio. 
(3.58). 
W. 
nex. 
multipl. 
equatio. 
(3.62. 
b. 
�(q). 


th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
on. 
o. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
orthogona. 
set. 
an. 
integrat. 
ove. 
th. 
spatia. 
variable. 


. 
@an(t. 


.Enan(t. 
h�. 
(q)j�n(q). 


. 
@an(t. 
. 
@a. 
(t. 


..Enan(t. 
�k. 
..Eka. 
(t. 
.. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 


Replacin. 
th. 
dumm. 
inde. 
. 
b. 
n. 
w. 
obtai. 
th. 
resul. 


an(t. 
.cne�iEnt=. 
(3:63. 
wher. 
c. 
i. 
. 
constan. 
independen. 
o. 
bot. 
. 
an. 
t. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(3.63. 
int. 
(3.60. 
give. 
equatio. 
(3.59). 
showin. 
tha. 
equatio. 
(3.59. 
i. 
indee. 
th. 
mos. 
genera. 
for. 
fo. 
. 
solutio. 
o. 
th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equation. 
Al. 
solution. 
ma. 
b. 
expresse. 
a. 
th. 
su. 
ove. 
stationar. 
states. 


3.. 
Parit. 
operato. 


Th. 
parit. 
operato. 
�^i. 
de�ne. 
b. 
th. 
relatio. 


��(q. 
.�(�q. 
(3:64. 
Thus. 
th. 
parit. 
operato. 
reverse. 
th. 
sig. 
o. 
eac. 
cartesia. 
coordinate. 
Thi. 
operato. 
i. 
equivalen. 
t. 
a. 
inversio. 
o. 
th. 
coordinat. 
syste. 
throug. 
th. 
origin. 
I. 
on. 
an. 
thre. 
dimensions. 
equatio. 
(3.64. 
take. 
th. 
for. 


��(x. 
.�(�x). 
��(r. 
.�^
�(x. 
y. 
z. 
.�^
�(�x. 
�y. 
�z. 
.�(�r. 


Th. 
operato. 
�^
. 
i. 
equa. 
t. 
unit. 
sinc. 



3.. 
Parit. 
operato. 
9. 


�2�(q. 
.�^
(�^
�(q). 
.�^
�(�q. 
.�(q. 


Further. 
w. 
se. 
tha. 
^�
n�(q. 
.�(q). 
. 
eve. 
.�(�q). 
. 
od. 
o. 
^�
.1. 
. 
eve. 
. 
^�
od. 


Th. 
operato. 
. 
i. 
linea. 
an. 
hermitian. 
I. 
th. 
one-dimensiona. 
case. 
th. 
hermiticit. 
o. 
�^
i. 
demonstrate. 
a. 
follow. 


.. 
.�. 


h�j�^
j�i. 
�(x)�(�x)d. 
.. 
�(�x9)�(x9)dx. 


. 
�(x9)�^
�(x9)dx. 
.h�^
�j�. 


wher. 
. 
i. 
th. 
secon. 
integra. 
i. 
replace. 
b. 
x. 
.�. 
t. 
obtai. 
th. 
thir. 
integral. 
B. 
applyin. 
th. 
sam. 
procedur. 
t. 
eac. 
coordinate. 
w. 
ca. 
sho. 
tha. 


. 
i. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
multi-dimensiona. 
functions. 
Th. 
eigenvalue. 
. 
o. 
th. 
parit. 
operato. 
�^
ar. 
give. 
b. 


���(q. 
.���(q. 
(3:65. 
wher. 
��(q. 
ar. 
th. 
correspondin. 
eigenfunctions. 
I. 
w. 
appl. 
�^
t. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(3.65). 
w. 
obtai. 
�^
2��(q. 
.. 
^

���(q. 
.�2��(q. 
Sinc. 
�^
. 
.1. 
w. 
se. 
tha. 
�. 
.. 
an. 
tha. 
th. 
eigenvalue. 
�. 
whic. 
mus. 
b. 


rea. 
becaus. 
. 
i. 
hermitian. 
ar. 
equa. 
t. 
eithe. 
.1o. 
�1. 
T. 
�n. 
th. 
eigenfunction. 
��(q). 
w. 
not. 
tha. 
equatio. 
(3.65. 
no. 
become. 


��(�q. 
.��(q. 
Fo. 
. 
.1. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
�^
ar. 
eve. 
function. 
o. 
q. 
whil. 
fo. 
. 
.�1. 
the. 
ar. 
od. 
function. 
o. 
q. 
A. 
eve. 
functio. 
o. 
. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
o. 
eve. 
parity. 
whil. 
od. 
parit. 
refer. 
t. 
a. 
od. 
functio. 
o. 
q. 
Thus. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
�^
ar. 
an. 
well-behave. 
function. 
tha. 
ar. 
eithe. 
o. 
eve. 
o. 
od. 
parit. 
i. 
thei. 
cartesia. 
variables. 


W. 
sho. 
nex. 
tha. 
th. 
parit. 
operato. 
. 
commute. 
wit. 
th. 
Hamiltonia. 


operato. 
. 
i. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
(q. 
i. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
q. 
Th. 
kineti. 
energ. 
ter. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
give. 
b. 


". 
". 
@. 
@. 
. 
=. 
.. 
. 
.

. 


2. 
2. 
@q. 
@q. 



9. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


an. 
i. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
eac. 
qk. 
I. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
(q. 
i. 
als. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
eac. 
q. 
. 
the. 
w. 
hav. 
H^
(q. 
.H^
(�q. 
an. 


[H^
�^
(q. 
.H^
(q)�^
(q. 
��^
H^
(q. 
. 
(q. 
.H^
(q. 
. 
(�q. 
�H^
(�q. 
. 
(�q. 
.. 


Sinc. 
th. 
functio. 
. 
(q. 
i. 
arbitrary. 
th. 
commutato. 
o. 
. 
an. 
. 
vanishes. 
Thus. 
thes. 
operator. 
hav. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
fo. 
system. 
wit. 
. 
(q. 
.. 
(�q). 


I. 
th. 
potentia. 
energ. 
o. 
. 
syste. 
i. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
th. 
coordinate. 
an. 
i. 
�(q. 
i. 
. 
solutio. 
o. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equation. 
the. 
th. 
functio. 
�(�q. 
i. 
als. 
. 
solution. 
Whe. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
ar. 
non-degenerate. 
thes. 
tw. 
solution. 
ar. 
no. 
independen. 
o. 
eac. 
other. 
bu. 
ar. 
proportiona. 


�(�q. 
.c�(q. 


Thes. 
eigenfunction. 
ar. 
als. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
parit. 
operator. 
leadin. 
t. 
th. 
conclusio. 
tha. 
. 
.1. 
Consequently. 
som. 
eigenfunction. 
wil. 
b. 
o. 
eve. 
parit. 
whil. 
al. 
th. 
other. 
wil. 
b. 
o. 
od. 
parity. 


Fo. 
. 
degenerat. 
energ. 
eigenvalue. 
th. 
severa. 
correspondin. 
eigenfunc. 
tion. 
o. 
H^
ma. 
no. 
initiall. 
hav. 
. 
de�nit. 
parity. 
However. 
eac. 
eigenfunctio. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 
th. 
su. 
o. 
a. 
eve. 
par. 
�e(q. 
an. 
a. 
od. 
par. 
�o(q. 


�(q. 
.�e(q. 
.�o(q. 
wher. 
�e(q. 
.1[�(q. 
.�(�q). 
.�e(�q. 


�o(q. 
.1[�(q. 
��(�q). 
.��o(�q. 


Sinc. 
an. 
linea. 
combinatio. 
o. 
�(q. 
an. 
�(�q. 
satis�e. 
Schro�dinger'. 
equa. 
tion. 
th. 
function. 
�e(q. 
an. 
�o(q. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
H^
. 
Furthermore. 
th. 
function. 
�e(q. 
an. 
�o(q. 
ar. 
als. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
parit. 
operato. 
�^
. 
th. 
�rs. 
wit. 
eigenvalu. 
.. 
an. 
th. 
secon. 
wit. 
eigenvalu. 
�1. 


3.. 
Hellmann�Feynma. 
theore. 


. 
usefu. 
expressio. 
fo. 
evaluatin. 
expectatio. 
value. 
i. 
know. 
a. 
th. 
Hell. 
mann�Feynma. 
theorem. 
Thi. 
theore. 
i. 
base. 
o. 
th. 
observatio. 
tha. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
. 
syste. 
depend. 
o. 
a. 
leas. 
on. 
paramete. 
�. 
whic. 
ca. 
b. 
considere. 
fo. 
mathematica. 
purpose. 
t. 
b. 
. 
continuou. 
variable. 
Fo. 
example. 
dependin. 
o. 
th. 
particula. 
system. 
thi. 
paramete. 
. 
ma. 
b. 
th. 
mas. 
o. 
a. 
electro. 
o. 
. 
nucleus. 
th. 
electroni. 
charge. 
th. 
nuclea. 
charg. 
paramete. 
Z. 
. 
constan. 
i. 
th. 
potentia. 
energy. 
. 
quantu. 
number. 
o. 
eve. 
Planck'. 


constant. 
Th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
o. 
H(�. 
als. 
depen. 
o. 
thi. 



3.1. 
Tim. 
dependenc. 
o. 
th. 
expectatio. 
valu. 
9. 
parameter. 
s. 
tha. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(3.58. 
ma. 
b. 


writte. 
a. 
^H(�)�n(�. 
.En(�)�n(�. 
(3:66. 
Th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
^H(�. 
is. 
the. 
En(�. 
.h�n(�)j^H(�)j�n(�). 
(3:67. 
wher. 
w. 
assum. 
tha. 
�n(�. 
i. 
normalize. 
h�n(�)j�n(�)i.. 
(3:68. 


T. 
obtai. 
th. 
Hellmann�Feynma. 
theorem. 
w. 
differentiat. 
equatio. 
(3.67. 
wit. 
respec. 
t. 
. 


En(�. 
. 
�n(�. 


�n(�. 


�n(�. 


�n(�. 
. 
�n(�. 


�n(�. 


(3:69. 


Applyin. 
th. 
hermitia. 
propert. 
o. 
H^
(�. 
t. 
th. 
thir. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(3.69. 
an. 
the. 
applyin. 
(3.66. 
t. 
th. 
secon. 
an. 
thir. 
terms. 
w. 
obtai. 


En(�. 
. 
�n(�. 


�n(�. 


.En(�. 
�n(�. 


�n(�. 
. 
�n(�. 


�n(�. 


(3:70. 


Th. 
derivativ. 
o. 
equatio. 
(3.68. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
i. 


�n(�. 


�n(�. 
. 
�n(�. 


�n(�. 


showin. 
tha. 
th. 
las. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
(3.70. 
vanishes. 
W. 
thereb. 
obtai. 
th. 
Hellmann�Feynma. 
theore. 


En(�. 
. 
�n(�. 


�n(�. 
(3:71. 


3.1. 
Tim. 
dependenc. 
o. 
th. 
expectatio. 
valu. 


Th. 
expectatio. 
valu. 
hA. 
o. 
th. 
dynamica. 
quantit. 
o. 
observabl. 
. 
is. 
i. 
general. 
. 
functio. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
T. 
determin. 
ho. 
hAichange. 
wit. 
time. 
w. 
tak. 
th. 
tim. 
derivativ. 
o. 
equatio. 
(3.46. 



9. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


dhA. 
. 
@. 
. 
@. 
@A^. 


^^. 


.h�jA^j�i. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
�. 


d. 
d. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 


Equatio. 
(3.55. 
ma. 
b. 
substitute. 
fo. 
th. 
tim. 
derivative. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
t. 
giv. 


dhA. 
i. 
@A^. 


H�j^h�j^

.h^Aj�i. 
AH^
j�i. 
�. 


d. 
". 
. 
. 


i. 
@A^

. 
^h�j^

.h�j^Aj�i. 
AH^
j�i. 
�. 
. 


. 
@A^. 


.h�j[H^
. 
A]j�i. 
�. 


. 
H. 
A]i. 


wher. 
th. 
hermiticit. 
o. 
. 
an. 
th. 
de�nitio. 
(equatio. 
(3.3). 
o. 
th. 
commu. 
tato. 
hav. 
bee. 
used. 
I. 
th. 
operato. 
A^i. 
no. 
a. 
explici. 
functio. 
o. 
time. 
the. 
th. 
las. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
vanishe. 
an. 
w. 
hav. 


dhA. 
. 


.h. 
H^
. 
A^]. 
(3:72. 


I. 
w. 
se. 
A^equa. 
t. 
unity. 
the. 
th. 
commutato. 
. 
H^
. 
A. 
vanishe. 
an. 
equatio. 
(3.72. 
become. 


. 
h�jA^j�i. 
. 
h�j�i.. 


W. 
thereb. 
obtai. 
th. 
resul. 
i. 
Sectio. 
2.. 
tha. 
i. 
. 
i. 
normalized. 
i. 
remain. 
normalize. 
a. 
tim. 
progresses. 


I. 
th. 
operato. 
. 
i. 
equatio. 
(3.72. 
i. 
se. 
equa. 
t. 
H. 
the. 
agai. 
th. 
commutato. 
vanishe. 
an. 
w. 
hav. 
dhA. 
dhH. 
d. 


Thus. 
th. 
energ. 
. 
o. 
th. 
system. 
whic. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
Hamiltonian. 
i. 
conserve. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
doe. 
no. 
depen. 
explicitl. 
o. 
time. 


B. 
settin. 
th. 
operato. 
. 
i. 
equatio. 
(3.72. 
equa. 
�rs. 
t. 
th. 
positio. 
variabl. 
x. 
the. 
th. 
variabl. 
y. 
an. 
�nall. 
th. 
variabl. 
z. 
w. 
ca. 
sho. 
tha. 



3.1. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
9. 


dhx. 
dhy. 
dhz. 


. 
.hpxi. 
. 
.hpyi. 
. 
.hpz. 


or. 
i. 
vecto. 
notatio. 


. 
.hp. 


whic. 
i. 
on. 
o. 
th. 
Ehrenfes. 
theorem. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
2.3. 
Th. 
othe. 
Ehrenfes. 
theorem. 


.�h=. 
(r). 


ma. 
b. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(3.72. 
b. 
settin. 
. 
successivel. 
equa. 
t. 
.
^px. 
.
^py. 
an. 
.
^pz. 


3.1. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 


W. 
hav. 
show. 
i. 
Sectio. 
3.. 
tha. 
commutin. 
hermitia. 
operator. 
hav. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
and. 
therefore. 
tha. 
th. 
physica. 
quantitie. 
asso. 
ciate. 
wit. 
thos. 
operator. 
ca. 
b. 
observe. 
simultaneously. 
O. 
th. 
othe. 
hand. 


i. 
th. 
hermitia. 
operator. 
. 
an. 
. 
d. 
no. 
commute. 
the. 
th. 
physica. 
observable. 
. 
an. 
. 
canno. 
bot. 
b. 
precisel. 
determine. 
a. 
th. 
sam. 
time. 
W. 
begi. 
b. 
demonstratin. 
thi. 
conclusion. 


Suppos. 
tha. 
A^an. 
B^d. 
no. 
commute. 
Le. 
�. 
an. 
�. 
b. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
A^
an. 
B^. 
respectively. 
wit. 
correspondin. 
eigenstate. 
j�iian. 
j�i. 


Aj�ii.�ij�i. 
(3:73a. 


Bj�ii.�ij�i. 
(3:73b. 


Som. 
o. 
al. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
ma. 
b. 
degenerate. 
bu. 
eac. 
eigenfunctio. 
ha. 
. 
uniqu. 
inde. 
i. 
Suppos. 
furthe. 
tha. 
th. 
syste. 
i. 
i. 
stat. 
j�ji. 
on. 
o. 
th. 
eigenstate. 
o. 
A^. 
I. 
w. 
measur. 
th. 
physica. 
observabl. 
A. 
w. 
obtai. 
th. 
resul. 
�j. 
Wha. 
happen. 
i. 
w. 
simultaneousl. 
measur. 
th. 
physica. 
observabl. 
B?T. 
answe. 
thi. 
questio. 
w. 
nee. 
t. 
calculat. 
th. 
expectatio. 
valu. 
hBifo. 
thi. 
syste. 


hBi.h�jjB^j�j. 
(3:74. 


I. 
w. 
expan. 
th. 
stat. 
functio. 
j�jii. 
term. 
o. 
th. 
complete. 
orthonorma. 
se. 


j�ji. 
cij�i. 


wher. 
c. 
ar. 
th. 
expansio. 
coef�cients. 
an. 
substitut. 
th. 
expansio. 
int. 
equatio. 
(3.74). 
w. 
obtai. 



10. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


hBi. 
ccih�. 
jB^j�ii. 
cci�i�k. 
.jcij. 
�. 


wher. 
(3.73b. 
ha. 
bee. 
used. 
Thus. 
. 
measuremen. 
o. 
. 
yield. 
on. 
o. 
th. 
man. 
value. 
�. 
wit. 
. 
probabilit. 
jcij2. 
Ther. 
i. 
n. 
wa. 
t. 
predic. 
whic. 
o. 
th. 
value. 
�. 
wil. 
b. 
obtaine. 
and. 
therefore. 
th. 
observable. 
. 
an. 
. 
canno. 
bot. 
b. 
determine. 
concurrently. 


Fo. 
. 
syste. 
i. 
a. 
arbitrar. 
stat. 
�. 
neithe. 
o. 
th. 
physica. 
observable. 
. 
an. 
. 
ca. 
b. 
precisel. 
determine. 
simultaneousl. 
i. 
A^an. 
B^d. 
no. 
commute. 
Le. 
�. 
an. 
�. 
represen. 
th. 
widt. 
o. 
th. 
sprea. 
o. 
value. 
fo. 
. 
an. 
B. 
respectively. 
W. 
de�n. 
th. 
varianc. 
(�A). 
b. 
th. 
relatio. 


(�A). 
.h(A^�hAi)2. 
(3:75. 
tha. 
is. 
a. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
deviatio. 
o. 
. 
fro. 
it. 
mea. 
value. 
Th. 
positiv. 
squar. 
roo. 
�. 
i. 
th. 
standar. 
deviatio. 
an. 
i. 
calle. 
th. 
uncertaint. 
i. 
A. 
Notin. 
tha. 
hA. 
i. 
. 
rea. 
number. 
w. 
ca. 
obtai. 
a. 
alternativ. 
expressio. 
fo. 
(�A). 
a. 
follows. 
A. 
�2hAi^2i

(�A). 
.h(A^�hAi)2i.h^. 
.hAi

.hA^2i�2hAihAi.hAi. 
.hA^2i�hAi(3:76. 


Expression. 
analogou. 
t. 
equation. 
(3.75. 
an. 
(3.76. 
appl. 
fo. 
(�B)2. 
Sinc. 
A^an. 
B^d. 
no. 
commute. 
w. 
de�n. 
th. 
operato. 
C^b. 
th. 
relatio. 


[A^. 
B^. 
.A^B^�B^A^.iC^(3:77. 


Th. 
operato. 
. 
i. 
hermitia. 
a. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
3.3. 
s. 
tha. 
it. 
expectatio. 


valu. 
hCii. 
real. 
Th. 
commutato. 
o. 
. 
�hAian. 
B^�hBima. 
b. 
expande. 
a. 
follow. 


[A^�hAi. 
B^�hBi. 
.(A^�hAi)(B^�hBi. 
�(B^�hBi)(A^�hAi. 


.A^B^�B^A^.iC^(3:78. 


wher. 
th. 
cros. 
term. 
cance. 
sinc. 
hAian. 
hBiar. 
number. 
an. 
commut. 
wit. 
th. 
operator. 
A^an. 
B^. 
W. 
us. 
equatio. 
(3.78. 
late. 
i. 
thi. 
section. 


W. 
no. 
introduc. 
th. 
operato. 


. 
�hAi.i�(B^�hBi. 


wher. 
. 
i. 
. 
rea. 
constant. 
an. 
le. 
thi. 
operato. 
ac. 
o. 
th. 
stat. 
functio. 
. 


[A^�hAi.i�(B^�hBi)]. 


Th. 
scala. 
produc. 
o. 
th. 
resultin. 
functio. 
wit. 
itsel. 
is. 
o. 
course. 
alway. 
positive. 
s. 
tha. 


h[A^�hAi.i�(B^�hBi)]�j[A^�hAi.i�(B^�hBi)]�i. 
. 
(3:79. 
Expansio. 
o. 
thi. 
expressio. 
give. 



3.1. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
10. 


h(A^�hAi)�j(A^�hAi)�i.�2h(B^�hBi)�j(B^�hBi)�. 


.i�h(A^�hAi)�j(B^�hBi)�i�i�h(B^�hBi)�j(A^�hAi)�i. 
. 
or. 
sinc. 
A^an. 
B^ar. 
hermitia. 
h�j(A^�hAi)2j�i.�2h�j(B^�hBi)2j�. 


.i�h�j[A^�hAi. 
B^�hBi]j�i. 
. 
Applyin. 
equation. 
(3.75. 
an. 
(3.78). 
w. 
hav. 
(�A). 
.�2(�B). 
��hCi. 
. 
I. 
w. 
complet. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
term. 
involvin. 
�. 
w. 
obtai. 


hCihCi. 


(�A). 
.(�B). 
. 
�. 
. 
. 


2(�B). 
4(�B). 


Sinc. 
. 
i. 
arbitrary. 
w. 
selec. 
it. 
valu. 
s. 
a. 
t. 
eliminat. 
th. 
secon. 
ter. 


. 
. 
(3:80. 


2(�B). 
thereb. 
givin. 


(�A)2(�B). 
. 
1hCi

or. 
upo. 
takin. 
th. 
positiv. 
squar. 
root. 


�A�. 
. 
12jhCi. 


Substitutin. 
equatio. 
(3.77. 
int. 
thi. 
resul. 
yield. 


�A�. 
. 
1jh[A^. 
B^]i. 
(3:81. 


Thi. 
genera. 
expressio. 
relate. 
th. 
uncertaintie. 
i. 
th. 
simultaneou. 
measure. 


ment. 
o. 
. 
an. 
. 
t. 
th. 
commutato. 
o. 
th. 
correspondin. 
operator. 
. 
an. 
B^
an. 
i. 
. 
genera. 
statemen. 
o. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principle. 


Position�momentu. 
uncertaint. 
principl. 


W. 
no. 
conside. 
th. 
specia. 
cas. 
fo. 
whic. 
. 
i. 
th. 
variabl. 
. 
(A^.x. 
an. 
. 
i. 
th. 
momentu. 
p. 
(B^.�i. 
d=dx). 
Th. 
commutato. 
. 
A^. 
B^. 
ma. 
b. 
evaluate. 
b. 
lettin. 
i. 
operat. 
o. 
. 


. 
^A. 
^B]. 
.�i. 
. 
d. 
. 
dx. 
.i". 
d. 
d. 


s. 
tha. 
jh[A^. 
B^]ij.. 
an. 
equatio. 
(3.81. 
give. 


�x. 
p. 
. 
(3:82. 


Th. 
Heisenber. 
position�momentu. 
uncertaint. 
principl. 
(3.82. 
agree. 
wit. 
equatio. 
(2.26). 
whic. 
wa. 
derive. 
b. 
. 
different. 
bu. 
mathematicall. 



10. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


equivalen. 
procedure. 
Th. 
relatio. 
(3.82. 
i. 
consisten. 
wit. 
(1.44). 
whic. 
i. 
base. 
o. 
th. 
Fourie. 
transfor. 
propertie. 
o. 
wav. 
packets. 
Th. 
differenc. 
betwee. 
th. 
right-han. 
side. 
o. 
(1.44. 
an. 
(3.82. 
i. 
du. 
t. 
th. 
precis. 
de�nitio. 
(3.75. 
o. 
th. 
uncertaintie. 
i. 
equatio. 
(3.82). 


Simila. 
application. 
o. 
equatio. 
(3.81. 
usin. 
th. 
position�momentu. 
pair. 


y. 
.
^p
. 
an. 
z. 
.
^p
. 
yiel. 
�y. 
p. 
. 
. 
. 
. 
�z. 
p. 
. 
. 
. 


Sinc. 
. 
commute. 
wit. 
th. 
operator. 
.
^p. 
an. 
.
^pz. 
. 
commute. 
wit. 
.
^p. 
an. 
.
^pz. 
an. 
. 
commute. 
wit. 
.
^p. 
an. 
.
^py. 
th. 
relatio. 
(3.81. 
give. 


�qi. 
p. 
.0. 
. 
6
wher. 
q. 
.x. 
q. 
. 
y. 
q. 
.z. 
p. 
. 
px. 
p. 
. 
py. 
p. 
. 
pz. 
Thus. 
th. 
positio. 
coordinat. 
q. 
an. 
th. 
momentu. 
componen. 
p. 
fo. 
. 
6
ma. 
b. 
precisel. 
determine. 
simultaneously. 


Minimu. 
uncertaint. 
wav. 
packe. 


Th. 
minimu. 
valu. 
o. 
th. 
produc. 
�A�. 
occur. 
fo. 
. 
particula. 
stat. 
. 
fo. 
whic. 
th. 
relatio. 
(3.81. 
become. 
a. 
equality. 
i.e.. 
whe. 


�A�. 
.1jh[A^. 
B^]i. 
(3:83. 


Accordin. 
t. 
equatio. 
(3.79). 
thi. 
equalit. 
applie. 
whe. 


[A^�hAi.i�(B^�hBi)]. 
.. 
(3:84. 
wher. 
. 
i. 
give. 
b. 
(3.80). 
Fo. 
th. 
position�momentu. 
exampl. 
wher. 
A^.. 
an. 
B^.�i. 
d=dx. 
equatio. 
(3.84. 
take. 
th. 
for. 


�i. 
�hpx. 
. 
. 
(. 
�hxi). 


fo. 
whic. 
th. 
solutio. 
i. 
. 
.ce�(x�hxi)2=2�"eihpxix=. 


(3:85. 
wher. 
. 
i. 
. 
constan. 
o. 
integratio. 
an. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
normaliz. 
�. 
Th. 
rea. 
constan. 
. 
ma. 
b. 
show. 
fro. 
equatio. 
(3.80. 
t. 
b. 
. 
2(�x). 


2(. 
px). 
. 


wher. 
th. 
relatio. 
�x. 
p. 
."=. 
ha. 
bee. 
used. 
an. 
i. 
observe. 
t. 
b. 
positive. 
Thus. 
th. 
stat. 
functio. 
. 
i. 
equatio. 
(3.85. 
fo. 
. 
particl. 
wit. 
minimu. 
position�momentu. 
uncertaint. 
i. 
. 
wav. 
packe. 
i. 
th. 
for. 
o. 
. 
plan. 
wav. 
exp[ihpxix=". 
wit. 
wav. 
numbe. 
k. 
.hpxi=. 
multiplie. 
b. 
. 
gaussia. 
modulatin. 
functio. 
centere. 
a. 
hxi. 
Wav. 
packet. 
ar. 
discusse. 
i. 
Sectio. 



3.1. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
10. 


1.2. 
Onl. 
th. 
spatia. 
dependenc. 
o. 
. 
ha. 
bee. 
derive. 
i. 
equatio. 
(3.85). 
Th. 
stat. 
functio. 
. 
ma. 
als. 
depen. 
o. 
th. 
tim. 
throug. 
th. 
possibl. 
tim. 
dependenc. 
o. 
th. 
parameter. 
c. 
�. 
hxi. 
an. 
. 
pxi. 


Energy�tim. 
uncertaint. 
principl. 


W. 
no. 
wis. 
t. 
deriv. 
th. 
energy�tim. 
uncertaint. 
principle. 
whic. 
i. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
1.. 
an. 
expresse. 
i. 
equatio. 
(1.45). 
W. 
sho. 
i. 
Sectio. 
1.. 
tha. 
fo. 
. 
wav. 
packe. 
associate. 
wit. 
. 
fre. 
particl. 
movin. 
i. 
th. 
x. 
directio. 
th. 
produc. 
�E�. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
produc. 
�x. 
p. 
i. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
de�ne. 
appropriately. 
However. 
thi. 
derivatio. 
doe. 
no. 
appl. 
t. 
. 
particl. 
i. 
. 
potentia. 
�eld. 


Th. 
position. 
momentum. 
an. 
energ. 
ar. 
al. 
dynamica. 
quantitie. 
an. 
consequentl. 
posses. 
quantum-mechanica. 
operator. 
fro. 
whic. 
expectatio. 
value. 
a. 
an. 
give. 
tim. 
ma. 
b. 
determined. 
Time. 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
ha. 
. 
uniqu. 
rol. 
i. 
non-relativisti. 
quantu. 
theor. 
a. 
a. 
independen. 
variable. 
dynamica. 
quantitie. 
ar. 
function. 
o. 
time. 
Thus. 
th. 
`uncertainty. 
i. 
tim. 
canno. 
b. 
relate. 
t. 
. 
rang. 
o. 
expectatio. 
values. 


T. 
obtai. 
th. 
energy-tim. 
uncertaint. 
principl. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
time. 
independen. 
potentia. 
�eld. 
w. 
se. 
A^equa. 
t. 
H^
i. 
equatio. 
(3.81. 
(�E)(�B. 
. 
1jh[H^
. 
B^]i. 


wher. 
�. 
i. 
th. 
uncertaint. 
i. 
th. 
energ. 
a. 
de�ne. 
b. 
(3.75. 
wit. 
. 
. 
H^
. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(3.72. 
int. 
thi. 
expressio. 
give. 


(�E)(�B. 
. 


(3:86. 


I. 
. 
shor. 
perio. 
o. 
tim. 
�t. 
th. 
chang. 
i. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
i. 
give. 


�. 
. 
�. 


Whe. 
thi. 
expressio. 
i. 
combine. 
wit. 
equatio. 
(3.86). 
w. 
obtai. 
th. 
desire. 
resul. 


(�E)(�t. 
. 
(3:87. 


W. 
se. 
tha. 
th. 
energ. 
an. 
tim. 
obe. 
a. 
uncertaint. 
relatio. 
whe. 
�. 
i. 
de�ne. 
a. 
th. 
perio. 
o. 
tim. 
require. 
fo. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
t. 
chang. 
b. 
on. 
standar. 
deviation. 
Thi. 
de�nitio. 
depend. 
o. 
th. 
choic. 
o. 
th. 
dynamica. 
variabl. 
. 
s. 
tha. 
�. 
i. 
relativel. 
large. 
o. 
smalle. 
dependin. 
o. 
tha. 
choice. 
I. 
dhBi=d. 
i. 
smal. 
s. 
tha. 
. 
change. 
slowl. 
wit. 
time. 
the. 
th. 
perio. 
�. 
wil. 
b. 
lon. 
an. 
th. 
uncertaint. 
i. 
th. 
energ. 
wil. 
b. 
small. 



10. 
Genera. 
principle. 
o. 
quantu. 
theor. 


Conversely. 
i. 
. 
change. 
rapidl. 
wit. 
time. 
the. 
th. 
perio. 
�. 
fo. 
. 
t. 
chang. 
b. 
on. 
standar. 
deviatio. 
wil. 
b. 
shor. 
an. 
th. 
uncertaint. 
i. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
syste. 
wil. 
b. 
large. 


Problem. 
3.. 
Whic. 
o. 
th. 
followin. 
operator. 
ar. 
linear. 


(a. 
(b. 
si. 
(c. 
xD^
(d. 
D^
x. 


3.. 
Demonstrat. 
th. 
validit. 
o. 
th. 
relationship. 
(3.4a. 
an. 
(3.4b). 


3.. 
Sho. 
tha. 
. 
^^^A. 
^

A,[B^. 
C]. 
. 
[B^,[C^. 
A]. 
. 
[C^,. 
^B]. 
. 
. 
wher. 
A^. 
B^. 
an. 
C^ar. 
arbitrar. 
linea. 
operators. 
3.. 
Sho. 
tha. 
(D^
. 
. 
x)(D^
. 
. 
x. 
. 
D^
. 
. 
x. 
. 
1. 


3.. 
Sho. 
tha. 
xe�x. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
th. 
linea. 
operato. 
(D^
. 
. 
4x2). 
Wha. 
i. 


th. 
eigenvalue. 
3.. 
Sho. 
tha. 
th. 
operato. 
D^
. 
i. 
hermitian. 
I. 
th. 
operato. 
iD^
. 
. 
hermitian. 


3.. 
Sho. 
tha. 
i. 
th. 
linea. 
operator. 
. 
an. 
. 
d. 
no. 
commute. 
th. 
operator. 
(A^B^. 
B^A^. 
an. 
i[A^. 
B^. 
ar. 
hermitian. 


3.. 
I. 
th. 
rea. 
normalize. 
function. 
. 
(r. 
an. 
g(r. 
ar. 
no. 
orthogonal. 
sho. 
tha. 
thei. 
su. 
. 
(r. 
. 
g(r. 
an. 
thei. 
differenc. 
. 
(r. 
. 
g(r. 
ar. 
orthogonal. 


3.. 
Conside. 
th. 
se. 
o. 
function. 
�. 
. 
e�x=2. 
�. 
. 
xe�x=2. 
�. 
. 
x2e�x=2. 
�. 
. 
x3e�x=2. 
de�ne. 
ove. 
th. 
rang. 
. 
. 
. 
. 
1. 
Us. 
th. 
Schmid. 
orthogonalizatio. 
procedur. 
t. 
construc. 
fro. 
th. 
se. 
�. 
a. 
orthogona. 
se. 
o. 
function. 
wit. 
w(x. 
. 
1. 


3.1. 
Evaluat. 
th. 
followin. 
commutators. 
(a. 
[x. 
.
^px. 
(b. 
[x. 
.
^p2. 
(c)[x. 
H^
. 
(d. 
[.
^px. 
H^
. 


3.1. 
Evaluat. 
[x. 
.
^p3]an. 
[x2. 
.
^p2. 
usin. 
equation. 
(3.4). 


3.1. 
Usin. 
equatio. 
(3.4b). 
sho. 
b. 
iteratio. 
tha. 
[xn. 
.
^px. 
. 
i"n. 
n�. 
wher. 
. 
i. 
. 
positiv. 
intege. 
greate. 
tha. 
zero. 
3.1. 
Sho. 
tha. 
. 
. 
(x. 


. 
. 
(x). 
.
^px. 
. 
i. 


3.1. 
Calculat. 
th. 
expectatio. 
value. 
o. 
x. 
x2. 
.
^p. 
an. 
.
^p. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
one. 
dimensiona. 
bo. 
i. 
stat. 
�. 
(se. 
Sectio. 
2.5). 
3.1. 
Calculat. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
.
^p. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
i. 
stat. 
�n. 


3.1. 
. 
hermitia. 
operato. 
. 
ha. 
onl. 
thre. 
normalize. 
eigenfunction. 
�1. 
�2. 
�3. 
wit. 
correspondin. 
eigenvalue. 
a. 
. 
1. 
a. 
. 
2. 
a. 
. 
3. 
respectively. 
Fo. 
. 
particula. 
stat. 
. 
o. 
th. 
system. 
ther. 
i. 
. 
50. 
chanc. 
tha. 
. 
measur. 
o. 
. 
produce. 
a. 
an. 
equa. 
chance. 
fo. 
eithe. 
a. 
o. 
a3. 



Problem. 
10. 


(a. 
Calculat. 
hAi. 
(b. 
Expres. 
th. 
normalize. 
wav. 
functio. 
. 
o. 
th. 
syste. 
i. 
term. 
o. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
A^. 


3.1. 
Th. 
wav. 
functio. 
�(x. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
bo. 
o. 
lengt. 
. 
i. 


�(x. 
.. 
sin. 
;. 
. 
. 
. 
. 


wher. 
. 
i. 
. 
constant. 
Wha. 
ar. 
th. 
possibl. 
observe. 
value. 
fo. 
th. 
energ. 
an. 
thei. 
respectiv. 
probabilities. 
3.1. 
I. 
j�ii. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
H^
wit. 
eigenvalu. 
E. 
sho. 
tha. 
fo. 
an. 
operato. 
A^

th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
. 
H^
A. 
vanishes. 
i.e.. 


h�j. 
H^
A]j�i.. 


3.1. 
Deriv. 
bot. 
o. 
th. 
Ehrenfes. 
theorem. 
usin. 
equatio. 
(3.72). 
3.2. 
Sho. 
tha. 


�H�. 
. 
h.
^px. 



Harmoni. 
oscillato. 


I. 
thi. 
chapte. 
w. 
trea. 
i. 
detai. 
th. 
quantu. 
behavio. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
Thi. 
physica. 
syste. 
serve. 
a. 
a. 
excellen. 
exampl. 
fo. 
illustratin. 
th. 
basi. 
principle. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
tha. 
ar. 
presente. 
i. 
Chapte. 
3. 
Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
ca. 
b. 
solve. 
rigorousl. 
an. 
exactl. 
fo. 
th. 
energ. 
eigenvalue. 
an. 
eigenstates. 
Th. 
mathematica. 
proces. 
fo. 
th. 
solutio. 
i. 
neithe. 
trivial. 
a. 
i. 
th. 
cas. 
fo. 
th. 
particl. 
i. 
. 
box. 
no. 
excessivel. 
complicated. 
Moreover. 
w. 
hav. 
th. 
opportunit. 
t. 
introduc. 
th. 
ladde. 
operato. 
techniqu. 
fo. 
solvin. 
th. 
eigenvalu. 
problem. 


Th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
a. 
importan. 
syste. 
i. 
th. 
stud. 
o. 
physica. 
phenomen. 
i. 
bot. 
classica. 
an. 
quantu. 
mechanics. 
Classically. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
describe. 
th. 
mechanica. 
behavio. 
o. 
. 
sprin. 
and. 
b. 
analogy. 
othe. 
phenomen. 
suc. 
a. 
th. 
oscillation. 
o. 
charg. 
�o. 
i. 
a. 
electri. 
circuit. 
th. 
vibration. 
o. 
sound-wav. 
an. 
light-wav. 
generators. 
an. 
oscillator. 
chemica. 
reactions. 
Th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
ma. 
b. 
applie. 
t. 
th. 
vibration. 
o. 
molecula. 
bond. 
an. 
ha. 
man. 
othe. 
applica. 
tion. 
i. 
quantu. 
physic. 
an. 
�el. 
theory. 


4.. 
Classica. 
treatmen. 


Th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
a. 
idealize. 
one-dimensiona. 
physica. 
syste. 
i. 
whic. 
. 
singl. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
i. 
attracte. 
t. 
th. 
origi. 
b. 
. 
forc. 
. 
proportiona. 
t. 
th. 
displacemen. 
o. 
th. 
particl. 
fro. 
th. 
origi. 


. 
.�k. 
(4:1. 
Th. 
proportionalit. 
constan. 
. 
i. 
know. 
a. 
th. 
forc. 
constant. 
Th. 
minu. 
sig. 
i. 
equatio. 
(4.1. 
indicate. 
tha. 
th. 
forc. 
i. 
i. 
th. 
opposit. 
directio. 
t. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
displacement. 
Th. 
typica. 
experimenta. 
representatio. 
o. 
th. 
oscillato. 
consist. 
o. 
. 
sprin. 
wit. 
on. 
en. 
stationar. 
an. 
wit. 
. 
mas. 
. 



4.. 
Classica. 
treatmen. 
10. 


attache. 
t. 
th. 
othe. 
end. 
Th. 
sprin. 
i. 
assume. 
t. 
obe. 
Hooke'. 
law. 
tha. 
i. 
t. 
say. 
equatio. 
(4.1). 
Th. 
constan. 
. 
i. 
the. 
ofte. 
calle. 
th. 
sprin. 
constant. 
I. 
classica. 
mechanic. 
th. 
particl. 
obey. 
Newton'. 
secon. 
la. 
o. 
motio. 


. 
.m. 
.. 
(4:2. 


wher. 
. 
i. 
th. 
acceleratio. 
o. 
th. 
particl. 
an. 
. 
i. 
th. 
time. 
Th. 
combinatio. 
o. 
equation. 
(4.1. 
an. 
(4.2. 
give. 
th. 
differentia. 
equatio. 


fo. 
whic. 
th. 
solutio. 
i. 


. 
.. 
sin(2��. 
.b. 
.. 
sin(�. 
.b. 
(4:3. 
wher. 
th. 
amplitud. 
. 
o. 
th. 
vibratio. 
an. 
th. 
phas. 
. 
ar. 
th. 
tw. 
constant. 
o. 
integratio. 
an. 
wher. 
th. 
frequenc. 
. 
an. 
th. 
angula. 
frequenc. 
. 
o. 
vibratio. 
ar. 
relate. 
t. 
. 
an. 
. 
b. 


r���. 


. 
.2�. 
. 
(4:4. 


Accordin. 
t. 
equatio. 
(4.3). 
th. 
particl. 
oscillate. 
sinusoidall. 
abou. 
th. 
origi. 
wit. 
frequenc. 
. 
an. 
maximu. 
displacemen. 
A. 
Th. 
potentia. 
energ. 
. 
o. 
. 
particl. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
forc. 
. 
actin. 
o. 
i. 
b. 
th. 
expressio. 


Thus. 
fro. 
equation. 
(4.1. 
an. 
(4.4). 
w. 
se. 
tha. 
fo. 
. 
harmoni. 
oscillato. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
give. 
b. 


. 
.1kx. 
.1m�2x. 
(4:5. 


Th. 
tota. 
energ. 
. 
o. 
th. 
particl. 
undergoin. 
harmoni. 
motio. 
i. 
give. 
b. 
. 
.1mv. 
.. 
.1mv. 
.1m�. 
x. 


(4:6. 


wher. 
. 
i. 
th. 
instantaneou. 
velocity. 
I. 
th. 
oscillato. 
i. 
undisturbe. 
b. 
outsid. 
forces. 
th. 
energ. 
. 
remain. 
�xe. 
a. 
. 
constan. 
value. 
Whe. 
th. 
particl. 
i. 
a. 
maximu. 
displacemen. 
fro. 
th. 
origi. 
s. 
tha. 
. 
.A. 
th. 
velocit. 
. 
i. 
zer. 
an. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
. 
maximum. 
A. 
jx. 
decreases. 
th. 
potentia. 
decrease. 
an. 
th. 
velocit. 
increase. 
keepin. 
. 
constant. 
A. 
th. 
particl. 
crosse. 


p������������. 


th. 
origi. 
(. 
.0). 
th. 
velocit. 
attain. 
it. 
maximu. 
valu. 
. 
. 
2E=m. 
T. 
relat. 
th. 
maximu. 
displacemen. 
. 
t. 
th. 
constan. 
energ. 
E. 
w. 
not. 
tha. 
whe. 
. 
.A. 
equatio. 
(4.6. 
become. 
. 
.1m�. 
A. 


s. 
tha. 



10. 
Harmoni. 
oscillato. 


r�����. 


Thus. 
equatio. 
(4.3. 
take. 
th. 
for. 


r�����. 


. 
. 
sin(�. 
.b. 
(4:7. 


B. 
de�nin. 
. 
reduce. 
distanc. 
. 
a. 


r�����. 


. 
. 
. 
(4:8. 


s. 
tha. 
th. 
particl. 
oscillate. 
betwee. 
. 
.�. 
an. 
. 
.1. 
w. 
ma. 
expres. 
th. 
equatio. 
o. 
motio. 
(4.7. 
i. 
. 
universa. 
for. 
tha. 
i. 
independen. 
o. 
th. 
tota. 
energ. 
. 


y(t. 
.sin(�. 
.b. 
(4:9. 


A. 
th. 
particl. 
oscillate. 
bac. 
an. 
fort. 
betwee. 
. 
.�. 
an. 
. 
.1. 
th. 
probabilit. 
tha. 
i. 
wil. 
b. 
observe. 
betwee. 
som. 
valu. 
. 
an. 
. 
.. 
. 
i. 
P. 
y)dy. 
wher. 
P(y. 
i. 
th. 
probabilit. 
density. 
Sinc. 
th. 
probabilit. 
o. 
�ndin. 
th. 
particl. 
withi. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
. 
i. 
unit. 
(th. 
particl. 
mus. 
b. 
some. 
wher. 
i. 
tha. 
range). 
th. 
probabilit. 
densit. 
i. 
normalize. 


P. 
y). 
. 
.. 


Th. 
probabilit. 
o. 
�ndin. 
th. 
particl. 
withi. 
th. 
interva. 
. 
. 
a. 
. 
give. 
distanc. 
. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
tim. 
d. 
spen. 
i. 
tha. 
interva. 


P. 
y). 
. 
.. 
d. 
.. 
. 
. 


s. 
tha. 


P. 
y. 
.. 


wher. 
. 
i. 
th. 
proportionalit. 
constant. 
T. 
�n. 
P. 
y). 
w. 
solv. 
equatio. 
(4.9. 


t(y. 
. 
. 
[sin�1(y. 
�b. 


an. 
the. 
tak. 
th. 
derivativ. 
t. 
giv. 
. 
)�1=. 
. 
1)�1=2

P(y. 
. 
(. 
�y2(. 
�y2(4:10. 


wher. 
. 
wa. 
determine. 
b. 
th. 
normalizatio. 
requirement. 
Th. 
probabilit. 
densit. 
P(y. 
fo. 
th. 
oscillatin. 
particl. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
4.1. 



4.. 
Quantu. 
treatmen. 
10. 


P(y) 
21 y 1 

Figur. 
4.. 
Classica. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
a. 
oscillatin. 
particle. 


4.. 
Quantu. 
treatmen. 


Th. 
classica. 
Hamiltonia. 
H(x. 
p. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 


H(x. 
p. 
... 
(x. 
..1m�. 
x. 
(4:11. 


Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H(x. 
.
^p. 
i. 
obtaine. 
b. 
replacin. 
th. 
momentu. 
. 
i. 
equatio. 
(4.11. 
wit. 
th. 
momentu. 
operato. 
. 
^p.�i. 
d=d. 


.
^p. 
". 
d. 


. 
..1m�2x. 
.. 
.1m�2(4:12. 


2. 
22. 
dx22Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
is. 
the. 
". 
d2�(x. 
�.1m�. 
x2�(x. 
.E�(x. 
(4:13. 


2. 
dx22I. 
i. 
convenien. 
t. 
introduc. 
th. 
dimensionles. 
variabl. 
. 
b. 
th. 
de�nitio. 


1=. 


. 
. 
. 
(4:14. 


s. 
tha. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
become. 


. 
. 
(4:15. 


Sinc. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
writte. 
i. 
term. 
o. 
th. 
variabl. 
. 
rathe. 
tha. 
x. 
w. 
shoul. 
expres. 
th. 
eigenstate. 
i. 
term. 
o. 
. 
a. 
well. 
Accordingly. 
w. 
de�n. 
th. 
function. 
�(�. 
b. 
th. 
relatio. 


1=. 


�(�. 
. 
�(x. 
(4:16. 


I. 
th. 
function. 
�(x. 
ar. 
normalize. 
wit. 
respec. 
t. 
integratio. 
ove. 
. 



11. 
Harmoni. 
oscillato. 


j�(x)j2d. 
. 
. 


the. 
fro. 
equation. 
(4.14. 
an. 
(4.16. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
function. 
�(�. 
ar. 
normalize. 
wit. 
respec. 
t. 
integratio. 
ove. 
. 


j�(�)j2d. 
. 
. 


Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(4.13. 
the. 
take. 
th. 
for. 
d2�(�)2. 


�. 
�2�(�. 
. 
�(�. 
(4:17. 


d�. 
". 
Sinc. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
hermitian. 
th. 
energ. 
eigenvalue. 
. 
ar. 
real. 
Ther. 
ar. 
tw. 
procedure. 
availabl. 
fo. 
solvin. 
thi. 
differentia. 
equation. 
Th. 
olde. 
procedur. 
i. 
th. 
Frobeniu. 
o. 
serie. 
solutio. 
method. 
Th. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(4.17. 
b. 
thi. 
metho. 
i. 
presente. 
i. 
Appendi. 
G. 
I. 
thi. 
chapte. 
w. 
us. 
th. 
mor. 
moder. 
ladde. 
operato. 
procedure. 
Bot. 
method. 
giv. 
exactl. 
th. 
sam. 
results. 


Ladde. 
operator. 


W. 
no. 
solv. 
th. 
Schro�dinge. 
eigenvalu. 
equatio. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
b. 
th. 
so-calle. 
factorin. 
metho. 
usin. 
ladde. 
operators. 
W. 
introduc. 
th. 
tw. 
ladde. 
operator. 
. 
^aan. 
.
^a. 
b. 
th. 
de�nition. 


1=2. 
. 


m. 
i. 
^p1. 


. 
^a. 
. 
. 
.p��. 
. 
. 
(4:18a. 


2. 
m. 
2d. 


. 
. 
. 


m. 
i. 
^p1. 


.
^ay. 
. 
. 
.p��. 
. 
. 
(4:18b. 


2. 
m. 
2d. 


Applicatio. 
o. 
equatio. 
(3.33. 
reveal. 
tha. 
th. 
operato. 
.
^a. 
i. 
th. 
adjoin. 
o. 
.
^a. 
whic. 
explain. 
th. 
notation. 
Sinc. 
th. 
operato. 
. 
^ai. 
no. 
equa. 
t. 
it. 
adjoin. 
.
^ay. 
neithe. 
. 
^ano. 
.
^a. 
i. 
hermitian. 
(W. 
follo. 
her. 
th. 
commo. 
practic. 
o. 
usin. 
. 
lowe. 
cas. 
lette. 
fo. 
th. 
harmonic-oscillato. 
ladde. 
operator. 
rathe. 
tha. 
ou. 
usua. 
conventio. 
o. 
usin. 
capita. 
letter. 
fo. 
operators.. 
W. 
readil. 
observ. 
tha. 


.
^a.
^ay. 
�. 
�. 
. 
.. 
(4:19a. 


2d�. 
". 
. 


.
^ay�. 
�

. 
^a.. 
. 
.. 
(4:19b. 


2d�. 
". 
. 
fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 
th. 
commutato. 
o. 
. 
^aan. 
.
^a. 
i. 
unit. 


[.
^a. 
.
^ay. 
. 
.
^a.
^ay. 
.
^ay. 
^a. 
. 
(4:20. 


W. 
nex. 
de�n. 
th. 
numbe. 
operato. 
N^
a. 
th. 
produc. 
.
^ay. 
^a


4.. 
Quantu. 
treatmen. 
11. 


N^
.
^ay. 
^a(4:21. 
Th. 
adjoin. 
o. 
N^
ma. 
b. 
obtaine. 
a. 
follow. 


N^
y.(.
^ay.
^a)y..
^ay(.
^ay)y..
^ay. 
^a. 
^

wher. 
th. 
relation. 
(3.40. 
an. 
(3.37. 
hav. 
bee. 
used. 
W. 
not. 
tha. 
N^
i. 
self. 
adjoint. 
makin. 
i. 
hermitia. 
an. 
therefor. 
havin. 
rea. 
eigenvalues. 
Equatio. 
(4.19b. 
ma. 
no. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 


. 
."�(N^
.1. 
(4:22. 


Sinc. 
. 
an. 
. 
diffe. 
onl. 
b. 
th. 
facto. 
". 
an. 
a. 
additiv. 
constant. 
the. 
commut. 
and. 
therefore. 
hav. 
th. 
sam. 
eigenfunctions. 


I. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
. 
ar. 
represente. 
b. 
th. 
paramete. 
. 
an. 
th. 
correspondin. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
b. 
��i(�. 
or. 
usin. 
Dira. 
notation. 
b. 
j�ii. 
the. 
w. 
hav. 


Nj�ii.�j�i. 
(4:23. 


H^
j�ii."�(N^
.1)j�ii."�(. 
.1)j�ii.E�j�i. 
(4:24. 


Thus. 
th. 
energ. 
eigenvalue. 
E. 
ar. 
relate. 
t. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
N^
b. 


E. 
.(. 
.1)". 
(4:25. 


Th. 
inde. 
. 
i. 
j�i. 
take. 
o. 
intege. 
value. 
fro. 
. 
t. 
g�. 
wher. 
g. 
i. 
th. 
degenerac. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
W. 
shal. 
�n. 
shortl. 
tha. 
eac. 
eigenvalu. 
o. 
N^
i. 
non-degenerate. 
bu. 
i. 
arrivin. 
a. 
. 
genera. 
solutio. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
equation. 
w. 
mus. 
initiall. 
allo. 
fo. 
degeneracy. 


Fro. 
equation. 
(4.20. 
an. 
(4.21). 
w. 
not. 
tha. 
th. 
produc. 
o. 
N^
an. 
eithe. 
. 
^ao. 
.
^a. 
ma. 
b. 
expresse. 
a. 
follow. 


N. 
^a..
^ay.
^a. 
^a.(.
^a.
^ay�1). 
^a..
^a(.
^ay. 
^a�1. 
..
^a(N^
�1. 
(4:26a. 


N.
^a^y..
^ay.
^a.
^ay..
^ay(.
^ay. 
^a.1. 
..
^ay(N^
.1. 
(4:26b. 


Thes. 
identitie. 
ar. 
usefu. 
i. 
th. 
followin. 
discussion. 
I. 
w. 
le. 
th. 
operato. 
N^
ac. 
o. 
th. 
functio. 
.
^aj�ii. 
w. 
obtai. 


N.
^aj�ii..
^a(N^�1)j�ii..
^a(. 
�1)j�ii.(. 
�1).
^aj�i. 
(4:27. 


wher. 
equation. 
(4.23. 
an. 
(4.26a. 
hav. 
bee. 
introduced. 
Thus. 
w. 
se. 
tha. 
.
^aj�iii. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
N^
wit. 
eigenvalu. 
. 
�1. 
Th. 
operato. 
. 
^aalter. 
th. 


eigenstat. 
j�i. 
t. 
a. 
eigenstat. 
o. 
. 
correspondin. 
t. 
. 
lowe. 
valu. 
fo. 
th. 
eigenvalue. 
namel. 
. 
�1. 
Th. 
energ. 
o. 
th. 
oscillato. 
i. 
thereb. 
reduced. 
accordin. 
t. 
(4.25). 
b. 
"�. 
A. 
. 
consequence. 
th. 
operato. 
. 
^ai. 
calle. 
. 
lowerin. 
operato. 
o. 
. 
destructio. 
operator. 


Lettin. 
N^
operat. 
o. 
th. 
functio. 
.
^ayj�iigive. 



11. 
Harmoni. 
oscillato. 


N.
^ayj�ii..
^ay(N^
.1)j�ii..
^ay(. 
.1)j�ii.(. 
.1).
^ayj�i. 
(4:28. 
wher. 
equation. 
(4.23. 
an. 
(4.26b. 
hav. 
bee. 
used. 
I. 
thi. 
cas. 
w. 
se. 
tha. 
.
^ayj�iii. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
N^
wit. 
eigenvalu. 
. 
.1. 
Th. 
operato. 
.
^a. 
change. 


th. 
eigenstat. 
j�i. 
t. 
a. 
eigenstat. 
o. 
. 
wit. 
. 
highe. 
value. 
. 
.1. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
Th. 
energ. 
o. 
th. 
oscillato. 
i. 
increase. 
b. 
"�. 
Thus. 
th. 
operato. 
.
^a. 
i. 
calle. 
. 
raisin. 
operato. 
o. 
. 
creatio. 
operator. 


Quantizatio. 
o. 
th. 
energ. 


I. 
th. 
determinatio. 
o. 
th. 
energ. 
eigenvalues. 
w. 
�rs. 
sho. 
tha. 
th. 


eigenvalue. 
. 
o. 
. 
ar. 
positiv. 
(. 
. 
0). 
Sinc. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
operato. 
N^
fo. 
a. 
oscillato. 
i. 
stat. 
j�iii. 
�,wehav. 


h�ijN^
j�ii.�h�ij�ii.. 
Th. 
integra. 
h�ijN^
j�iima. 
als. 
b. 
transforme. 
i. 
th. 
followin. 
manne. 


h�ijN^
j�ii.h�ij.
^ay.
^aj�ii. 
(.
^a�)(.
^a��i)d. 
.j.
^a��ij2d. 


Th. 
integra. 
o. 
th. 
righ. 
mus. 
b. 
positive. 
s. 
tha. 
. 
i. 
positiv. 
an. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
N^
an. 
H^
canno. 
b. 
negative. 


Fo. 
th. 
conditio. 
. 
.0. 
w. 
hav. 


j.
^a��ij2d. 
.. 


whic. 
require. 
tha. 
.
^aj(. 
.0)ii.. 
(4:29. 
Fo. 
eigenvalue. 
. 
greate. 
tha. 
zero. 
th. 
quantit. 
.
^aj�iii. 
non-vanishing. 
T. 
�n. 
furthe. 
restriction. 
o. 
th. 
value. 
o. 
�. 
w. 
selec. 
. 
suitabl. 
large. 
bu. 
otherwis. 
arbitrar. 
valu. 
o. 
�,sa. 
�. 
an. 
continuall. 
appl. 
th. 
lowerin. 
operato. 
. 
^at. 
th. 
eigenstat. 
j�ii. 
thereb. 
formin. 
. 
successio. 
o. 
eigenvector. 


.
^aj�ii. 
.
^a2j�ii. 
.
^a3j�ii. 
... 
wit. 
respectiv. 
eigenvalue. 
. 
�1. 
. 
�2. 
. 
�3. 
... 
W. 
hav. 
alread. 
show. 


tha. 
i. 
j�i. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
N. 
the. 
.
^aj�iii. 
als. 
a. 
eigenfunction. 
B. 
iteration. 
i. 
.
^aj�iii. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
N^
. 
the. 
.
^a2j�iii. 
a. 
eigenfunction. 
an. 
s. 
forth. 
s. 
tha. 
th. 
member. 
o. 
th. 
sequenc. 
ar. 
al. 
eigenfunctions. 
Eventuall. 
thi. 
procedur. 
give. 
a. 
eigenfunctio. 
.
^akj�iiwit. 
eigenvalu. 
(. 
�k). 
. 
bein. 
. 
positiv. 
integer. 
suc. 
tha. 
. 
. 
(. 
�k. 
. 
1. 
Th. 
nex. 
ste. 
i. 
th. 
sequenc. 
woul. 
yiel. 
th. 
eigenfunctio. 
.
^ak.1j�iiwit. 
eigenvalu. 
. 
.(. 
�. 
�1. 
. 
0. 
whic. 
i. 
no. 
allowed. 
Thus. 
th. 
sequenc. 
mus. 
terminat. 
b. 
th. 
conditio. 


.
^ak.1j�ii..
^a[.
^a. 
j�ii. 
.. 



4.. 
Quantu. 
treatmen. 
11. 


Th. 
onl. 
circumstanc. 
i. 
whic. 
. 
^aoperatin. 
o. 
a. 
eigenvecto. 
yield. 
th. 
valu. 
zer. 
i. 
whe. 
th. 
eigenvecto. 
correspond. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
. 
.0. 
a. 
show. 
i. 
equatio. 
(4.29). 
Sinc. 
th. 
eigenvalu. 
o. 
.
^a. 
j�i. 
i. 
. 
�. 
an. 
thi. 
eigenvalu. 
equal. 
zero. 
w. 
hav. 
. 
�. 
.. 
an. 
. 
mus. 
b. 
a. 
integer. 
Th. 
minimu. 
valu. 
o. 
. 
.. 
�. 
is. 
then. 
zero. 


Beginnin. 
wit. 
. 
.0. 
w. 
ca. 
appl. 
th. 
operato. 
.
^a. 
successivel. 
t. 
j0iit. 
for. 
. 
serie. 
o. 
eigenvector. 


.
^ayj0ii. 
.
^ay2j0ii. 
.
^ay3j0ii. 
... 
wit. 
respectiv. 
eigenvalue. 
0. 
1. 
2. 
...Thus. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
th. 
operato. 
N^
ar. 
th. 
se. 
o. 
positiv. 
integers. 
s. 
tha. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
Sinc. 
th. 
valu. 
. 
wa. 
chose. 
arbitraril. 
an. 
wa. 
show. 
t. 
b. 
a. 
integer. 
thi. 
sequenc. 
generate. 
al. 


th. 
eigenfunction. 
o. 
N. 
Ther. 
ar. 
n. 
eigenfunction. 
correspondin. 
t. 
non. 
integra. 
value. 
o. 
�. 
Sinc. 
. 
i. 
no. 
know. 
t. 
b. 
a. 
intege. 
n. 
w. 
replac. 
. 
b. 
. 
i. 
th. 
remainde. 
o. 
thi. 
discussio. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 


Th. 
energ. 
eigenvalue. 
a. 
relate. 
t. 
. 
i. 
equatio. 
(4.25. 
ar. 
no. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
. 
b. 
E. 
.(. 
.1)"�. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
(4:30. 


s. 
tha. 
th. 
energ. 
i. 
quantize. 
i. 
unit. 
o. 
"�. 
Th. 
lowes. 
valu. 
o. 
th. 
energ. 
o. 
zero-poin. 
energ. 
i. 
"�=2. 
Classically. 
th. 
lowes. 
energ. 
fo. 
a. 
oscillato. 
i. 
zero. 


Non-degenerac. 
o. 
th. 
energ. 
level. 


T. 
determin. 
th. 
degenerac. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
or. 
equivalently. 
o. 
th. 


eigenvalue. 
o. 
th. 
numbe. 
operato. 
N. 
w. 
mus. 
�rs. 
obtai. 
th. 
eigenvector. 
j0iifo. 
th. 
groun. 
state. 
Thes. 
eigenvector. 
ar. 
determine. 
b. 
equatio. 
(4.29). 
Whe. 
equatio. 
(4.18a. 
i. 
substitute. 
fo. 
.
^a. 
equatio. 
(4.29. 
take. 
th. 
for. 


. 
d. 
.. 
j0ii. 
. 
d. 
.. 
�0i(�. 
.. 


.�. 
d. 


Thi. 
differentia. 
equatio. 
ma. 
b. 
integrate. 
t. 
giv. 
�0i(�. 
.ce��2=. 
.ei���1=4e��2=. 


wher. 
th. 
constan. 
o. 
integratio. 
. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
requiremen. 
tha. 
th. 
function. 
�ni(�. 
b. 
normalize. 
an. 
ei. 
i. 
. 
phas. 
factor. 
W. 
hav. 
use. 
th. 
standar. 
integra. 
(A.5. 
t. 
evaluat. 
c. 
W. 
observ. 
tha. 
al. 
th. 
solution. 
fo. 
th. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
ar. 
proportiona. 
t. 
on. 
another. 
Thus. 
ther. 
exist. 



11. 
Harmoni. 
oscillato. 


onl. 
on. 
independen. 
solutio. 
an. 
th. 
groun. 
stat. 
i. 
non-degenerate. 
I. 
w. 
arbitraril. 
se. 
. 
equa. 
t. 
zer. 
s. 
tha. 
�0(�. 
i. 
real. 
the. 
th. 
ground-stat. 
eigenvecto. 
i. 


e��2=2

j0i.��1=4(4:31. 


W. 
nex. 
sho. 
tha. 
i. 
th. 
eigenvalu. 
. 
o. 
th. 
numbe. 
operato. 
. 
i. 
non. 
degenerate. 
the. 
th. 
eigenvalu. 
. 
.. 
i. 
als. 
non-degenerate. 
W. 
begi. 
wit. 
th. 
assumptio. 
tha. 
ther. 
i. 
onl. 
on. 
eigenvecto. 
wit. 
th. 
propert. 
tha. 


Njni.njn. 
an. 
conside. 
th. 
eigenvecto. 
j(. 
.1)ii. 
whic. 
satis�e. 


Nj(. 
.1)ii.(. 
.1)j(. 
.1)i. 
I. 
w. 
operat. 
o. 
j(. 
.1)iiwit. 
th. 
lowerin. 
operato. 
.
^a. 
w. 
obtai. 
t. 
withi. 
. 
multiplicativ. 
constan. 
. 
th. 
uniqu. 
eigenfunctio. 
jni. 
.
^aj(. 
.1)ii.cjn. 
W. 
nex. 
operat. 
o. 
thi. 
expressio. 
wit. 
th. 
adjoin. 
o. 
. 
^at. 
giv. 
.
^ay.
^aj(. 
.1)ii.N^
j(. 
.1)ii.(. 
.1)j(. 
.1)ii.c.
^ayjn. 
fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 
j(. 
.1)ii. 
c
.
^ayjn. 


Thus. 
al. 
th. 
eigenvector. 
j(. 
.1)iicorrespondin. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
. 
.. 
ar. 
proportiona. 
t. 
.
^ayjn. 
an. 
are. 
therefore. 
no. 
independen. 
sinc. 
the. 
ar. 
proportiona. 
t. 
eac. 
other. 
W. 
conclud. 
the. 
tha. 
i. 
th. 
eigenvalu. 
. 
i. 
non. 
degenerate. 
the. 
th. 
eigenvalu. 
. 
.. 
i. 
non-degenerate. 


Sinc. 
w. 
hav. 
show. 
tha. 
th. 
groun. 
stat. 
i. 
non-degenerate. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
nex. 
highe. 
eigenvalu. 
. 
.. 
i. 
als. 
non-degenerate. 
Bu. 
i. 
th. 
eigenvalu. 
. 
.. 
i. 
non-degenerate. 
the. 
th. 
eigenvalu. 
. 
.. 
i. 
non-degenerate. 
B. 
iteration. 
al. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
. 
o. 
N^
ar. 
non-degenerate. 
Fro. 
equatio. 
(4.30. 
w. 
observ. 
tha. 
al. 
th. 
energ. 
level. 
E. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
ar. 
non-degenerate. 


4.. 
Eigenfunction. 


Lowerin. 
an. 
raisin. 
operation. 


Fro. 
equation. 
(4.27. 
an. 
(4.28. 
an. 
th. 
conclusion. 
tha. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
N^
ar. 
non-degenerat. 
an. 
ar. 
positiv. 
integers. 
w. 
se. 
tha. 
.
^ajnian. 
.
^ayjniar. 


eigenfunction. 
o. 
. 
wit. 
eigenvalue. 
. 
�. 
an. 
. 
.1. 
respectively. 
Accor. 
dingly. 
w. 
ma. 
writ. 


.
^ajni.cnj. 
�1. 
(4:32a. 



4.. 
Eigenfunction. 
11. 


.
^ayjni.c9nj. 
.1. 
(4:32b. 
wher. 
c. 
an. 
c9. 
ar. 
proportionalit. 
constants. 
dependen. 
o. 
th. 
valu. 
o. 
n. 
an. 
t. 
b. 
determine. 
b. 
th. 
requiremen. 
tha. 
j. 
�1i. 
jni. 
an. 
j. 
.1iar. 
normal. 
ized. 
T. 
evaluat. 
th. 
numerica. 
constant. 
c. 
an. 
c9n. 
w. 
squar. 
bot. 
side. 
o. 
equation. 
(4.32a. 
an. 
(4.32b. 
an. 
integrat. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
t. 
obtai. 


.. 
�. 
j.
^a
�nj. 
d. 
.jcnj. 
.. 
�. 
�. 
n�1�n�. 
d. 
(4:33a. 
an. 
.. 
�. 
j.
^a
y�nj. 
d. 
.jc9nj. 
.. 
�. 
�. 
n.1�n.. 
d. 
(4:33b. 


Th. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(4.33a. 
ma. 
b. 
evaluate. 
a. 
follow. 


j.
^a�njd. 
. 
(.
^a�)(.
^a�n)d. 
.hnj.
^ay.
^ajni.hnjN^
jni.. 


Similarly. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(4.33b. 
become. 


j.
^ay�njd. 
. 
(.
^ay�)(.
^ay�n)d. 
.hnj.
^a.
^ayjni.hnjN^
.1jni.. 
.. 


Sinc. 
th. 
eigenfunction. 
ar. 
normalized. 
w. 
obtai. 


jcnj. 
.n. 
jc9nj. 
.. 
.. 
Withou. 
los. 
o. 
generality. 
w. 
ma. 
le. 
c. 
an. 
c9. 
b. 
rea. 
an. 
positive. 
s. 
tha. 
equation. 
(4.32a. 
an. 
(4.32b. 
becom. 


.
^ajni. 
nj. 
�1. 
(4:34a. 


p����������. 
.
^ayjni. 
. 
.1j. 
.1. 
(4:34b. 


I. 
th. 
normalize. 
eigenvecto. 
jn. 
i. 
known. 
thes. 
relation. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
obtai. 
th. 
eigenvector. 
j. 
�1ian. 
j. 
.1i. 
bot. 
o. 
whic. 
wil. 
b. 
normalized. 


Excited-stat. 
eigenfunction. 


W. 
ar. 
no. 
read. 
t. 
obtai. 
th. 
se. 
o. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
fo. 
th. 
commutin. 
operator. 
N^an. 
H^
. 
Th. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
j0iha. 
alread. 
bee. 
determine. 
an. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.31). 
Th. 
serie. 
o. 
eigenfunction. 
j1i. 
j2i. 
...ar. 
obtaine. 
fro. 
equation. 
(4.34b. 
an. 
(4.18b). 
whic. 
giv. 


j. 
.1i.[2(. 
.1)]�1=. 
. 
. 
. 
jn. 
(4:35. 


Thus. 
th. 
eigenvecto. 
j1ii. 
obtaine. 
fro. 
j0. 



11. 
Harmoni. 
oscillato. 


d(��1=4e��2=2. 
.21=2��1=4�e��2=2

j1i.2�1=. 
. 
. 


th. 
eigenvecto. 
j2ifro. 
j1. 


j2i.. 
. 
. 
. 
(21=2��1=4�e��2=2. 
.2�1=2��1=4(2�. 
�1)e��2=. 


th. 
eigenvecto. 
j3ifro. 
j2. 


j3i.6�1=. 
. 
. 
. 
(2�1=2��1=4(2�. 
�1)e��2=2. 


.3�1=2��1=4

(2�. 
�3�)e��2=. 


an. 
s. 
forth. 
inde�nitely. 
Eac. 
o. 
th. 
eigenfunction. 
obtaine. 
b. 
thi. 
procedur. 
i. 
normalized. 


Whe. 
equatio. 
(4.18a. 
i. 
combine. 
wit. 
(4.34a). 
w. 
hav. 


j. 
�1i.(2n)�1=. 
. 
. 
. 
jn. 
(4:36. 


Jus. 
a. 
equatio. 
(4.35. 
allow. 
on. 
t. 
g. 
`u. 
th. 
ladder. 
t. 
obtai. 
j. 
.1ifro. 
jni. 
equatio. 
(4.36. 
allow. 
on. 
t. 
g. 
`dow. 
th. 
ladder. 
t. 
obtai. 
j. 
�1ifro. 
jni. 
Thi. 
lowerin. 
procedur. 
maintain. 
th. 
normalizatio. 
o. 
eac. 
o. 
th. 
eigenvectors. 


Another. 
bu. 
completel. 
equivalent. 
wa. 
o. 
determinin. 
th. 
serie. 
o. 
eigen. 
function. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
�rs. 
notin. 
tha. 
equatio. 
(4.34b. 
ma. 
b. 
writte. 
fo. 
th. 
serie. 
. 
.0. 
1. 
2. 
...a. 
follow. 


j1i..
^ayj0. 


j2i.2�1=2.
^ayj1i.2�1=2(.
^ay)2j0. 


j3i.3�1=2.
^ayj2i.(3!)�1=2(.
^ay)3j0. 


Obviously. 
th. 
expressio. 
fo. 
jnii. 


jni.(n!)�1=2(.
^ay)nj0. 


Substitutio. 
o. 
equatio. 
(4.18b. 
fo. 
.
^a. 
an. 
(4.31. 
fo. 
th. 
ground-stat. 
eigen. 
vecto. 
j0igive. 


n!)�1=2��1=. 
de��2=2

jni.(2. 
. 
. 
(4:37. 


Thi. 
equatio. 
ma. 
b. 
somewha. 
simpli�e. 
i. 
w. 
not. 
tha. 



4.. 
Eigenfunction. 
11. 


e��2=. 
. 
e�2=2e��. 
.�e��2=. 
��e�2=2e��. 
�e�2=2e��. 


.�e�2=2. 


s. 
tha. 


e�2=2e��. 


. 
. 
e��2=. 
.(�1)n(4:38. 


d. 
d. 
. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(4.38. 
int. 
(4.37. 
give. 


n!)�1=2��1=4e�2=2e��. 


jni.(�1)n(2. 
(4:39. 


whic. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
obtai. 
th. 
entir. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
o. 
N^
an. 
H^


Eigenfunction. 
i. 
term. 
o. 
Hermit. 
polynomial. 


I. 
i. 
customar. 
t. 
expres. 
th. 
eigenfunction. 
fo. 
th. 
stationar. 
state. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
term. 
o. 
th. 
Hermit. 
polynomials. 
Th. 
in�nit. 
se. 
o. 
Hermit. 
polynomial. 
Hn(�. 
i. 
de�ne. 
i. 
Appendi. 
D. 
whic. 
als. 
derive. 
man. 
o. 
th. 
propertie. 
o. 
thos. 
polynomials. 
I. 
particular. 
equatio. 
(D.3. 
relate. 
th. 
Hermit. 
polynomia. 
o. 
orde. 
. 
t. 
th. 
nth-orde. 
derivativ. 
whic. 
appear. 
i. 
equatio. 
(4.39. 


e�2e��. 


Hn(�. 
.(�1)n

Therefore. 
w. 
ma. 
expres. 
th. 
eigenvecto. 
jn. 
i. 
term. 
o. 
th. 
Hermit. 
polynomia. 
Hn(�. 
b. 
th. 
relatio. 
n!)�1=2��1=4

jni.�n(�. 
.(2. 
Hn(�)e��2=. 
(4:40. 
Th. 
eigenstate. 
�n(x. 
ar. 
relate. 
t. 
th. 
function. 
�n(�. 
b. 
equatio. 
(4.16). 
s. 
tha. 
w. 
hav. 


1=. 
�n(x. 
.(2nn!)�1=. 
m. 
Hn(�)e��2=. 


(4:41)

1=. 


Fo. 
reference. 
th. 
Hermit. 
polynomial. 
fo. 
. 
.0t. 
. 
.1. 
ar. 
liste. 
i. 
Tabl. 
4.1. 
Whe. 
needed. 
higher-orde. 
Hermit. 
polynomial. 
ar. 
mos. 
easil. 
obtaine. 
fro. 
th. 
recurrenc. 
relatio. 
(D.5). 
I. 
onl. 
. 
singl. 
Hermit. 
polynomia. 
i. 
wante. 
an. 
th. 
neighborin. 
polynomial. 
ar. 
no. 
available. 
the. 
equatio. 
(D.4. 
ma. 
b. 
used. 



11. 
Harmoni. 
oscillato. 


Tabl. 
4.1. 
Hermit. 
polynomial. 


. 
Hn(�. 


24�. 
. 
. 
38�. 
. 
12. 
416�. 
. 
48�. 
. 
1. 
532�. 
. 
160�. 
. 
120. 
664�. 
. 
480�. 
. 
720�. 
. 
12. 
7128�. 
. 
1344�. 
. 
3360�. 
. 
1680. 
8256�. 
. 
3584�. 
. 
13440�. 
. 
13440�. 
. 
168. 
9512�. 
. 
9216�. 
. 
48384�. 
. 
80640�. 
. 
30240. 


1. 
1024�1. 
. 
23040�. 
. 
161280�. 
. 
403200�. 
. 
302400�. 
. 
3024. 


Th. 
function. 
�n(�. 
i. 
equatio. 
(4.40. 
ar. 
identica. 
t. 
thos. 
de�ne. 
b. 
equatio. 
(D.15. 
and. 
therefore. 
for. 
. 
complet. 
se. 
a. 
show. 
i. 
equatio. 
(D.19). 
Substitutin. 
equatio. 
(4.16. 
int. 
(D.19. 
an. 
applyin. 
th. 
relatio. 
(C.5b). 
w. 
se. 
tha. 
th. 
function. 
�n(x. 
i. 
equatio. 
(4.41. 
for. 
. 
complet. 
set. 
s. 
tha. 


�n(x)�n(x9. 
. 
�(. 
. 
x9. 
(4:42. 


Physica. 
interpretatio. 


Th. 
�rs. 
fou. 
eigenfunction. 
�n(x. 
fo. 
. 
. 
0. 
1. 
2. 
. 
ar. 
plotte. 
i. 
Figur. 
4.. 
an. 
th. 
correspondin. 
function. 
[�n(x)]. 
i. 
Figur. 
4.3. 
Thes. 
�gure. 
als. 
sho. 
th. 
outlin. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
V(x. 
fro. 
equatio. 
(4.5. 
an. 
th. 
fou. 
correspondin. 
energ. 
level. 
fro. 
equatio. 
(4.30). 
Th. 
functio. 
[�n(x)]. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
a. 
. 
functio. 
o. 
. 
fo. 
th. 
particl. 
i. 
th. 
nt. 
quantu. 
state. 
Th. 
quantit. 
[�n(x)]. 
d. 
a. 
an. 
poin. 
. 
give. 
th. 
probabilit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
betwee. 
. 
an. 
. 
. 
dx. 


W. 
wis. 
t. 
compar. 
th. 
quantu. 
probabilit. 
distribution. 
wit. 
thos. 
obtaine. 
fro. 
th. 
classica. 
treatmen. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
a. 
th. 
sam. 
energies. 
Th. 
classica. 
probabilit. 
densit. 
P(y. 
a. 
. 
functio. 
o. 
th. 
reduce. 
distanc. 
. 
(�. 
. 
. 
. 
1. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.10. 
an. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
4.1. 
Whe. 
equation. 
(4.8). 
(4.14). 
an. 
(4.30. 
ar. 
combined. 
w. 
se. 
tha. 
th. 


maximu. 
displacemen. 
i. 
term. 
o. 
. 
fo. 
. 
classica. 
oscillato. 
wit. 
energ. 


p�������������. 
p�������������. 
p�������������. 


(. 
. 
12)". 
i. 
2. 
. 
1.Fo. 
. 
. 
. 
2. 
. 
. 
an. 
. 
. 
2. 
. 
1. 
th. 
classica. 



4.. 
Eigenfunction. 
11. 


V 

�3 

Ener

7 

h� 

n 5 3

2 

�2 

5 

h� 

n 5 2

2 

�1 

3 

h� 

n 5 1

2 

�0 

1 

h� 

n 5 0

2 

x 

Figur. 
4.. 
Wav. 
function. 
an. 
energ. 
level. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
harmoni. 
potentia. 
well. 
Th. 
outlin. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
indicate. 
b. 
shading. 


probabilit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
i. 
equa. 
t. 
zero. 
Thes. 
region. 
ar. 
shade. 
i. 
Figure. 
4.. 
an. 
4.3. 


Eac. 
o. 
th. 
quantu. 
probabilit. 
distribution. 
differ. 
fro. 
th. 
correspondin. 
classica. 
distributio. 
i. 
on. 
ver. 
signi�can. 
respect. 
I. 
th. 
quantu. 
solutio. 
ther. 
i. 
. 
non-vanishin. 
probabilit. 
o. 
�ndin. 
th. 
particl. 
outsid. 
th. 
classi. 
call. 
allowe. 
region. 
i.e.. 
i. 
. 
regio. 
wher. 
th. 
tota. 
energ. 
i. 
les. 
tha. 
th. 
potentia. 
energy. 
Sinc. 
th. 
Hermit. 
polynomia. 
Hn(�)isofdegre. 
n. 
th. 
wav. 
functio. 
�n(x. 
ha. 
. 
nodes. 
. 
nod. 
bein. 
. 
poin. 
wher. 
. 
functio. 
touche. 
o. 
crosse. 
th. 
x-axis. 
Th. 
quantu. 
probabilit. 
densit. 
[�n(x)]. 
i. 
zer. 
a. 
. 
node. 
Withi. 
th. 
classicall. 
allowe. 
region. 
th. 
wav. 
functio. 
an. 
th. 
probabilit. 
densit. 
oscillat. 
wit. 
. 
nodes. 
outsid. 
tha. 
regio. 
th. 
wav. 
functio. 
an. 
probabilit. 
densit. 
rapidl. 
approac. 
zer. 
wit. 
n. 
nodes. 


0 


12. 
Harmoni. 
oscillato. 


Ener

|�3|2 

7 

h� 

n 5 3

2 

|�2|2 

5 

h� 

n 5 2

2 

|�1|2 

3 

h� 

n 5 1

2 

|�0|2 

1 

h� 

n 5 0

2 

x 

Figur. 
4.. 
Probabilit. 
densitie. 
an. 
energ. 
level. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
harmoni. 
potentia. 
well. 
Th. 
outlin. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
indicate. 
b. 
shading. 


0 

Whil. 
th. 
classica. 
particl. 
i. 
mos. 
likel. 
t. 
b. 
foun. 
nea. 
it. 
maximu. 
displacement. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
th. 
quantu. 
particl. 
i. 
th. 
groun. 
stat. 
i. 
larges. 
a. 
th. 
origin. 
However. 
a. 
th. 
valu. 
o. 
. 
increases. 
th. 
quantu. 
probabilit. 
distributio. 
begin. 
t. 
loo. 
mor. 
an. 
mor. 
lik. 
th. 
classica. 
probabilit. 
distribution. 
I. 
Figur. 
4.. 
th. 
functio. 
[�30(x)]. 
i. 
plotte. 
alon. 
wit. 
th. 
classica. 
resul. 
fo. 
a. 
energ. 
30:. 
"�. 
Th. 
averag. 
behavio. 
o. 
th. 
rapidl. 
oscillatin. 
quantu. 
curv. 
agree. 
wel. 
wit. 
th. 
classica. 
curve. 
Thi. 
observatio. 
i. 
a. 
exampl. 
o. 
th. 
Boh. 
correspondenc. 
principle. 
mentione. 
i. 
Sectio. 
2.3. 
Accordin. 
t. 
th. 
correspondenc. 
principle. 
classica. 
mechanic. 
an. 
quantu. 
theor. 
mus. 
giv. 
th. 
sam. 
result. 
i. 
th. 
limi. 
o. 
larg. 
quantu. 
numbers. 



4.. 
Matri. 
element. 
12. 


|�30(x)|2 


x 

0 

Figur. 
4.. 
Th. 
probabilit. 
densit. 
j�30(x)j. 
fo. 
a. 
oscillatin. 
particl. 
i. 
stat. 
. 
.30. 
Th. 
dotte. 
curv. 
i. 
th. 
classica. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
. 
particl. 
wit. 
th. 
sam. 
energy. 


4.. 
Matri. 
element. 


I. 
th. 
applicatio. 
t. 
a. 
oscillato. 
o. 
som. 
quantum-mechanica. 
procedures. 
th. 
matri. 
element. 
o. 
x. 
an. 
.
^p. 
fo. 
. 
harmoni. 
oscillato. 
ar. 
needed. 
I. 
thi. 
sectio. 
w. 
deriv. 
th. 
matri. 
element. 
hn9jxjni. 
hn9jx2jni. 
hn9j.
^pjni. 
an. 
hn9j.
^p2jni. 
an. 
sho. 
ho. 
othe. 
matri. 
element. 
ma. 
b. 
determined. 


Th. 
ladde. 
operator. 
. 
^aan. 
.
^a. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(4.18. 
ma. 
b. 
solve. 
fo. 
. 
an. 
fo. 
. 
^pt. 
giv. 


1=. 


. 
. 
(.
^ay..
^a. 
(4:43a. 


1=. 


. 
^p.i(.
^ay�.
^a. 
(4:43b. 


Fro. 
equation. 
(4.34. 
an. 
th. 
orthonormalit. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 


eigenfunction. 
jni. 
w. 
�n. 
tha. 
th. 
matri. 
element. 
o. 
. 
^aan. 
.
^a. 
ar. 
p��. 
p��. 


hn9j.
^ajni. 
nhn9j. 
�1i. 
n�n9,n�. 
(4:44a. 


p����������. 
p����������. 
hn9j.
^ayjni. 
. 
.1hn9j. 
.1i. 
. 
.1�n9,n.. 
(4:44b. 


Th. 
se. 
o. 
equation. 
(4.43. 
an. 
(4.44. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
evaluat. 
th. 
matri. 
element. 
o. 
an. 
integra. 
powe. 
o. 
. 
an. 
.
^p. 


T. 
�n. 
th. 
matri. 
elemen. 
hn9jxjni. 
w. 
appl. 
equation. 
(4.43a. 
an. 
(4.44. 
t. 
obtai. 



12. 
Harmoni. 
oscillato. 
1=. 


hn9jxjni. 
(hn9j.
^ayjni.hn9j.
^ajni. 


1=2

. 
p����������. 
p��. 


. 
. 
. 
.1�n9,n.. 
. 
n�n9,n�1. 


s. 
tha. 


r����������������. 


(. 
.1). 


h. 
.1jxjni. 
(4:45a. 


r���������. 


h. 
�1jxjni. 
(4:45b. 


hn9jxjni.. 
fo. 
n. 
6.. 
.1. 
. 
�. 
(4:45c. 


I. 
w. 
replac. 
. 
b. 
. 
�. 
i. 
equatio. 
(4.45a). 
w. 
obtai. 


r���������. 


hnjxj. 
�1i. 


Fro. 
equatio. 
(4.45b. 
w. 
se. 
tha. 
h. 
�1jxjni.hnjxj. 
�1. 
Likewise. 
w. 
ca. 
sho. 
tha. 


h. 
.1jxjni.hnjxj. 
.1. 
I. 
general. 
then. 
w. 
hav. 


hn9jxjni.hnjxjn9. 


T. 
�n. 
th. 
matri. 
elemen. 
hn9j.
^pjni. 
w. 
us. 
equation. 
(4.43b. 
an. 
(4.44. 
t. 


1=. 


hn9j.
^pjni.. 
hn9j.
^ay�.
^ajn. 


1=. 


m". 
p����������. 
p��. 
.i. 
. 
.1�n9,n.. 
. 
n�n9,n�1. 


s. 
tha. 


r������������������������. 


(. 
.1)m". 


h. 
.1j.
^pjni.. 
(4:46a. 


r������������. 


h. 
�1j.
^pjni.�. 
(4:46b. 


hn9j.
^pjni.. 
fo. 
n. 
6.. 
.1. 
. 
�. 
(4:46c. 
W. 
ca. 
easil. 
sho. 
tha. 



4.. 
Matri. 
element. 
12. 


hn9j.
^pjni.�hnj.
^pjn9. 


Th. 
matri. 
elemen. 
hn9jx2jnii. 


hn9jx2jni. 
hn9j(.
^ay..
^a)2jni. 
hn9j(.
^ay). 
..
^ay. 
^a..
^a.
^ay..
^a2jn. 


2m. 
2m. 


Fro. 
equatio. 
(4.34. 
w. 
hav. 


p����������. 
p����������������������������. 
(.
^ay)2jni. 
. 
.1.
^ayj. 
.1i. 
(. 
.1)(. 
.2)j. 
.2. 


.
^ajni. 
n.
^ayj. 
�1i.njn. 
p����������. 


(4:47. 
.
^a.
^ayjni. 
. 
.1.
^aj. 
.1i.(. 
.1)jn. 
p��. 
p����������������. 
.
^a2jni. 
n.
^aj. 
�1i. 
n(. 
�1)j. 
�2. 


s. 
tha. 


p����������������������������. 


hn9jx2jni. 
. 
[(. 
.1)(. 
.2)�n9,n.. 
.(2. 
.1)�n9. 


p����������������. 


. 
n(. 
�1)�n9,n�2. 


W. 
conclud. 
tha. 


p����������������������������. 


h. 
.2jx2jni.hnjx2j. 
.2i. 
(. 
.1)(. 
.2. 
(4:48a. 


hnjx2jni. 
(. 
.1. 
(4:48b. 


p����������������. 


h. 
�2jx2jni.hnjx2j. 
�2i. 
n(. 
�1. 
(4:48c. 


hn9jx2jni.0. 
n. 
6.. 
.2. 
n. 
. 
�. 
(4:48d. 


Th. 
matri. 
elemen. 
hn9j.
^p2jnii. 
obtaine. 
fro. 
equation. 
(4.43b. 
an. 
(4.47. 


m". 
m". 


hn9j.
^p2jni.. 
hn9j(.
^ay�.
^a)2jni.. 
hn9j(.
^ay). 
�.
^ay. 
^a

�.
^a.
^ay..
^a2jn. 


p����������������������������. 


.. 
[(. 
.1)(. 
.2)�n9,n.. 
�(2. 
.1)�n9. 


p����������������. 


. 
n(. 
�1)�n9,n�2. 


s. 
tha. 



12. 
Harmoni. 
oscillato. 


p����������������������������. 


h. 
.2j.
^p2jni.hnj.
^p2j. 
.2i.. 
(. 
.1)(. 
.2. 
(4:49a. 


hnj.
^p2jni.m"�(. 
.1. 
(4:49b. 


p����������������. 


h. 
�2j.
^p2jni.hnj.
^p2j. 
�2i.. 
n(. 
�1. 
(4:49c. 


hn9j.
^p2jni.0. 
n. 
6.. 
.2. 
n. 
. 
�. 
(4:49d. 


Followin. 
thi. 
sam. 
procedur. 
usin. 
th. 
operator. 
(.
^ay.
^a). 
. 
w. 
ca. 
�n. 
th. 
matri. 
element. 
o. 
x. 
an. 
o. 
.
^p. 
fo. 
an. 
positiv. 
integra. 
powe. 
k. 
I. 
Chapter. 
. 
an. 
10. 
w. 
nee. 
th. 
matri. 
element. 
o. 
x. 
an. 
x4. 
Th. 
matri. 
element. 
hn9jx3jniar. 
a. 
follows. 


3=2

p������������������������������������������. 


h. 
.3jx3jni.hnjx3j. 
.3i. 
(. 
.1)(. 
.2)(. 
.3. 
(4:50a. 


3=. 


(. 
.1). 


h. 
.1jx3jni.hnjx3j. 
.1i.. 
(4:50b. 


3=. 


h. 
�1jx3jni.hnjx3j. 
�1i.. 
(4:50c. 


3=2

p�������������������������������. 


h. 
�3jx3jni.hnjx3j. 
�3i. 
n(. 
�1)(. 
�2. 
(4:50d. 


hn9jx3jni.0. 
n. 
6.. 
1. 
. 
. 
(4:50e. 


Th. 
matri. 
element. 
hn9jx4jniar. 
a. 
follow. 


p��������������������������������������������������������. 


h. 
.4jx4jni.hnjx4j. 
.4i. 
(. 
.1)(. 
.2)(. 
.3)(. 
.4. 


(4:51a. 


p����������������������������. 


h. 
.2jx4jni.hnjx4j. 
.2i. 
(2. 
.3. 
(. 
.1)(. 
.2. 
(4:51b. 


hnjx4jni. 
n. 
.. 
.. 
(4:51c. 


p����������������. 


h. 
�2jx4jni.hnjx4j. 
�2i. 
(2. 
�1. 
n(. 
�1. 
(4:51d. 


p���������������������������������������������. 


h. 
�4jx4jni.hnjx4j. 
�4i. 
n(. 
�1)(. 
�2)(. 
�3. 
(4:51e. 


hn9jx4jni.0. 
n. 
6.n. 
. 
2. 
. 
. 
(4:51f. 



4.. 
Three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 
12. 


4.. 
Heisenber. 
uncertaint. 
relatio. 


Usin. 
th. 
result. 
o. 
Sectio. 
4.4. 
w. 
ma. 
easil. 
verif. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
th. 
Heisenber. 
uncertaint. 
relatio. 
a. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
3.11. 
Speci�cally. 
w. 
wis. 
t. 
sho. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
tha. 


�x. 
. 
. 
12. 


wher. 


(�x). 
.h(. 
�hxi)2. 


(. 
p). 
.h(. 
^p�hpi)2. 


Th. 
expectatio. 
value. 
o. 
. 
an. 
o. 
. 
^pfo. 
. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
eigenstat. 
jniar. 
jus. 
th. 
matri. 
element. 
hnjxjnian. 
hnj.
^pjni. 
respectively. 
Thes. 
matri. 
element. 
ar. 
give. 
i. 
equation. 
(4.45c. 
an. 
(4.46c). 
W. 
se. 
tha. 
bot. 
vanish. 
s. 
tha. 
(�x). 
reduce. 
t. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
x. 
o. 
hnjx2jn. 
an. 
(. 
p). 
reduce. 
t. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
.
^p. 
o. 
hnj.
^p2jni. 
Thes. 
matri. 
element. 
ar. 
give. 
i. 
equation. 
(4.48b. 
an. 
(4.49b). 
Therefore. 
w. 
hav. 


1=. 


�. 
. 
. 
(. 
.12

. 
. 
.(m"�)1=2(. 
.1)1=. 


an. 
th. 
produc. 
�x. 
. 
i. 


�x. 
. 
.(. 
.12). 


Fo. 
th. 
groun. 
stat. 
(. 
.0). 
w. 
se. 
tha. 
th. 
produc. 
�x. 
. 
equal. 
th. 
minimu. 
allowe. 
valu. 
"=2. 
Thi. 
resul. 
i. 
consisten. 
wit. 
th. 
for. 
(equatio. 
(3.85). 
o. 
th. 
stat. 
functio. 
fo. 
minimu. 
uncertainty. 
Whe. 
th. 
ground-stat. 
harmonic-oscillato. 
value. 
o. 
kxl. 
. 
pl. 
an. 
. 
ar. 
substitute. 
int. 
equatio. 
(3.85). 
th. 
ground-stat. 
eigenvecto. 
j0. 
i. 
equatio. 
(4.31. 
i. 
obtained. 
Fo. 
excite. 
state. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
th. 
produc. 
�x. 
. 
i. 
greate. 
tha. 
th. 
minimu. 
allowe. 
value. 


4.. 
Three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 


Th. 
harmoni. 
oscillato. 
ma. 
b. 
generalize. 
t. 
thre. 
dimensions. 
i. 
whic. 
cas. 
th. 
particl. 
i. 
displace. 
fro. 
th. 
origi. 
i. 
. 
genera. 
directio. 
i. 
cartesia. 
space. 
Th. 
forc. 
constan. 
i. 
no. 
necessaril. 
th. 
sam. 
i. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
dimensions. 
s. 
tha. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 


. 
.1kxx. 
.1kyy. 
.1kzz. 
.1m(�. 
x. 
.�. 
y. 
.�. 
z2)

2222xy. 



12. 
Harmoni. 
oscillato. 


wher. 
kx. 
ky. 
k. 
ar. 
th. 
respectiv. 
forc. 
constant. 
an. 
�x. 
. 
y. 
�. 
ar. 
th. 
respectiv. 
classica. 
angula. 
frequencie. 
o. 
vibration. 


Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
thi. 
three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 


". 
@2. 
@2. 
@2. 
. 
... 
. 
m(�. 
x. 
. 
�. 
y. 
. 
�2z2). 
. 
E. 


2. 
@x. 
. 
y. 
@z. 


wher. 
�(x. 
y. 
z. 
i. 
th. 
wav. 
function. 
T. 
solv. 
thi. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
o. 
thre. 
variables. 
w. 
separat. 
variable. 
b. 
makin. 
th. 
substitutio. 


�(x. 
y. 
z. 
. 
. 
(x). 
. 
y)Z(z. 
(4:52. 


wher. 
. 
(x. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
x. 
. 
(y. 
onl. 
o. 
y. 
an. 
Z(z. 
onl. 
o. 
z. 
Afte. 
divisio. 
b. 
��(x. 
y. 
z). 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
take. 
th. 
for. 


". 
2m. 
d. 
. 
dx. 
. 
. 
2m�. 
. 
x. 
. 
". 
2m. 
d. 
. 
. 
y. 
. 
. 
2m�. 
. 
y. 
. 
. 
. 
". 
2m. 
d. 
. 
dz. 
. 
. 
2m�. 
. 
z. 
. 
. 


Th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
. 
an. 
remain. 
constan. 
whe. 
. 
an. 
. 
chang. 
bu. 
. 
doe. 
not. 
Similarly. 
th. 
secon. 
ter. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
. 
an. 
doe. 
no. 
chang. 
i. 
valu. 
whe. 
. 
an. 
. 
chang. 
bu. 
. 
doe. 
not. 
Th. 
thir. 
ter. 
depend. 
onl. 
o. 
. 
an. 
keep. 
. 
constan. 
valu. 
whe. 
onl. 
. 
an. 
. 
change. 
However. 
th. 
su. 
o. 
thes. 
thre. 
term. 
i. 
alway. 
equa. 
t. 
th. 
constan. 
energ. 
. 
fo. 
al. 
choice. 
o. 
x. 
y. 
z. 
Thus. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
independen. 
term. 
mus. 
b. 
equa. 
t. 
. 
constan. 


". 
d. 
. 


. 
1m�2x. 
. 
Ex2m. 
dx22. 


". 
d. 
. 


. 
1m�. 
y. 
. 
Ey2m. 
dy22. 


". 
d. 
. 


. 
1m�2z. 
. 
Ez

2m. 
dz. 
wher. 
th. 
thre. 
separatio. 
constant. 
Ex. 
Ey. 
E. 
satisf. 
th. 
relatio. 
E. 
. 
E. 
. 
E. 
. 
. 
(4:53. 


Th. 
differentia. 
equatio. 
fo. 
. 
(x. 
i. 
exactl. 
o. 
th. 
for. 
give. 
b. 
(4.13. 
fo. 
. 
one-dimensiona. 
harmoni. 
oscillator. 
Thus. 
th. 
eigenvalue. 
E. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.30. 


En. 
. 
(n. 
. 
1)"�x. 
n. 
. 
0. 
1. 
2. 
... 


an. 
th. 
eigenfunction. 
ar. 
give. 
b. 
(4.41. 



4.. 
Three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 
12. 


Xn. 
(x. 
. 
(2n. 
nx!)�1=. 
m�. 
Hn. 
(�)e��2=. 


Similarly. 
th. 
eigenvalue. 
fo. 
th. 
differentia. 
equation. 
fo. 
. 
. 
y. 
an. 
Z(z. 
are. 
respectivel. 


En. 
. 
(n. 
. 
1)"�y. 
n. 
. 
0. 
1. 
2. 
... 


En. 
. 
(n. 
. 
1)"�z. 
n. 
. 
0. 
1. 
2. 
... 


an. 
th. 
correspondin. 
eigenfunction. 
ar. 


Yn. 
(y. 
. 
(2n. 
ny!)�1=. 
m. 
. 
Hn. 
(�)e��2=. 


Zn. 
(z. 
. 
(2n. 
nz!)�1=. 
m�. 
Hn. 
(�)e��2=. 


Th. 
energ. 
level. 
fo. 
th. 
three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 
are. 
then. 
give. 
b. 
th. 
su. 
(equatio. 
(4.53). 
Enx,ny,n. 
. 
(n. 
. 
1)"�. 
. 
(n. 
. 
1)". 
. 
. 
(n. 
. 
1)"�. 
(4:54. 


Th. 
tota. 
wav. 
function. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.52. 


�nx,ny,n. 
(x. 
y. 
z. 
. 
(2nx.ny.n. 
nx!ny!nz!)�1=2(�x�y�z)1=. 


. 
Hn. 
(�. 
Hn. 
(�)Hn. 
(�)e�(�2.�2.�2)=. 
(4:55. 


A. 
isotropi. 
oscillato. 
i. 
on. 
fo. 
whic. 
th. 
restorin. 
forc. 
i. 
independen. 
o. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
displacemen. 
an. 
depend. 
onl. 
o. 
it. 
magnitude. 
Fo. 
suc. 
a. 
oscillator. 
th. 
directiona. 
forc. 
constant. 
ar. 
equa. 
t. 
on. 
anothe. 


k. 
. 
k. 
. 
k. 
. 
. 


and. 
a. 
. 
result. 
th. 
angula. 
frequencie. 
ar. 
al. 
th. 
sam. 


�. 
. 
. 
. 
. 
�. 
. 
. 


I. 
thi. 
case. 
th. 
tota. 
energie. 
ar. 



12. 
Harmoni. 
oscillato. 


Enx,ny,n. 
. 
(n. 
. 
n. 
. 
n. 
. 
3)". 
. 
(. 
. 
3)". 
(4:56. 


wher. 
. 
i. 
calle. 
th. 
tota. 
quantu. 
number. 
Al. 
th. 
energ. 
level. 
fo. 
th. 
isotropi. 
three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillator. 
excep. 
fo. 
th. 
lowes. 
level. 
ar. 
degenerate. 
Th. 
degenerac. 
o. 
th. 
energ. 
leve. 
E. 
i. 
(. 
. 
1)(. 
. 
2)=2. 


Problem. 


4.. 
Conside. 
. 
classica. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
i. 
. 
paraboli. 
potentia. 
well. 
A. 
tim. 
. 
th. 
displacemen. 
. 
o. 
th. 
particl. 
fro. 
th. 
origi. 
i. 
give. 
b. 


. 
. 
. 
sin(�. 
. 
b. 
wher. 
. 
i. 
. 
constan. 
an. 
. 
i. 
th. 
angula. 
frequenc. 
o. 
th. 
vibration. 
Fro. 
thi. 
expressio. 
�n. 
th. 
kineti. 
an. 
potentia. 
energie. 
a. 
function. 
o. 
tim. 
an. 
sho. 
tha. 
th. 
tota. 
energ. 
remain. 
constan. 
throughou. 
th. 
motion. 


4.. 
Evaluat. 
th. 
constan. 
. 
i. 
equatio. 
(4.10). 
(T. 
evaluat. 
th. 
integral. 
le. 
. 
. 
co. 
�.. 
4.. 
Sho. 
tha. 
. 
^aan. 
.
^a. 
i. 
equation. 
(4.18. 
ar. 
no. 
hermitia. 
an. 
tha. 
.
^a. 
i. 
th. 
adjoin. 


4.. 
Th. 
operato. 
N^
. 
.
^ay. 
^ai. 
hermitian. 
I. 
th. 
operato. 
.
^a.
^a. 
hermitian. 
4.. 
Evaluat. 
th. 
commutator. 
[H^
. 
.
^a. 
an. 
. 
H^
. 
.
^ay]. 
4.. 
Calculat. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
x. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
th. 
. 
. 
. 


state. 


4.. 
Conside. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
i. 
. 
paraboli. 
potentia. 
well. 
Calculat. 
th. 
probabilit. 
o. 
�ndin. 
th. 
particl. 
i. 
th. 
classicall. 
allowe. 
regio. 
whe. 
th. 
particl. 
i. 
i. 
it. 
groun. 
state. 


4.. 
Conside. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
potentia. 
wel. 
suc. 
tha. 
. 
(x. 
. 
1m�. 
x2. 
. 
. 
. 


.1. 
. 
. 
. 
Wha. 
ar. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalues. 
4.. 
Wha. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
a. 
. 
functio. 
o. 
th. 
momentu. 
. 
o. 
a. 
oscillatin. 
particl. 
i. 
it. 
groun. 
stat. 
i. 
. 
paraboli. 
potentia. 
well. 
(Firs. 
�n. 
th. 
momentum-spac. 
wav. 
function.. 
4.1. 
Sho. 
tha. 
th. 
wav. 
function. 
An. 
�. 
i. 
momentu. 
spac. 
correspondin. 
t. 
�n(�. 
i. 
equatio. 
(4.40. 
fo. 
. 
linea. 
harmoni. 
oscillato. 
ar. 


An. 
�. 
. 
(2�)�1=. 
�n(�)e�. 
�. 
d. 


n!�1=2)�1=2e. 
�2=2

. 
i�n(2. 
Hn. 
�. 
wher. 
. 
. 
(m�=")1=. 
. 
an. 
. 
. 
(m"�)�1=. 
p. 
(Us. 
th. 
generatin. 
functio. 
(D.1. 
t. 
evaluat. 
th. 
Fourie. 
integral.. 



Problem. 
12. 


4.1. 
Usin. 
onl. 
equatio. 
(4.43b. 
an. 
th. 
fac. 
tha. 
.
^a. 
i. 
th. 
adjoin. 
o. 
.
^a. 
prov. 
tha. 


hn9j.
^pjni.�hnj.
^pjn9. 
4.1. 
Deriv. 
th. 
relation. 
(4.50. 
fo. 
th. 
matri. 
element. 
hn9jx3jni. 
4.1. 
Deriv. 
th. 
relation. 
(4.51. 
fo. 
th. 
matri. 
element. 
hn9jx4jni. 


4.1. 
Deriv. 
th. 
resul. 
tha. 
th. 
degenerac. 
o. 
th. 
energ. 
leve. 
E. 
fo. 
a. 
isotropi. 
three-dimensiona. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
(. 
.1)(. 
.2)=2. 



Angula. 
momentu. 


Angula. 
momentu. 
play. 
a. 
importan. 
rol. 
i. 
bot. 
classica. 
an. 
quantu. 
mechanics. 
I. 
isolate. 
classica. 
system. 
th. 
tota. 
angula. 
momentu. 
i. 
. 
constan. 
o. 
motion. 
I. 
quantu. 
system. 
th. 
angula. 
momentu. 
i. 
importan. 
i. 
studie. 
o. 
atomic. 
molecular. 
an. 
nuclea. 
structur. 
an. 
spectr. 
an. 
i. 
studie. 
o. 
spi. 
i. 
elementar. 
particle. 
an. 
i. 
magnetism. 


5.. 
Orbita. 
angula. 
momentu. 


W. 
�rs. 
conside. 
. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
movin. 
accordin. 
t. 
th. 
law. 
o. 
classica. 
mechanics. 
Th. 
angula. 
momentu. 
. 
o. 
th. 
particl. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
origi. 
o. 
th. 
coordinat. 
syste. 
i. 
de�ne. 
b. 
th. 
relatio. 


. 
. 
. 
. 
. 
(5:1. 
wher. 
. 
i. 
th. 
positio. 
vecto. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.60. 
an. 
. 
i. 
th. 
linea. 
momentu. 
give. 
b. 
equatio. 
(2.61). 
Whe. 
expresse. 
a. 
. 
determinant. 
th. 
angula. 
momentu. 
. 
i. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
p. 
p. 
p. 


Th. 
component. 
Lx. 
Ly. 
L. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
ar. 
L. 
. 
yp. 
. 
zp. 
L. 
. 
zp. 
. 
xp. 
(5:2. 
L. 
. 
xp. 
. 
yp. 


Th. 
squar. 
o. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
i. 
give. 
i. 
term. 
o. 
thes. 
component. 
b. 
L. 
. 
. 
. 
. 
. 
L. 
. 
L. 
. 
L. 
(5:3. 



5.. 
Orbita. 
angula. 
momentu. 
13. 


I. 
. 
forc. 
. 
act. 
o. 
th. 
particle. 
the. 
th. 
torqu. 
. 
o. 
th. 
particl. 
i. 
de�ne. 
a. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
(5:4. 


wher. 
Newton'. 
secon. 
la. 
tha. 
th. 
forc. 
equal. 
th. 
rat. 
o. 
chang. 
o. 
linea. 
momentum. 
. 
. 
dp=dt. 
ha. 
bee. 
introduced. 
I. 
w. 
tak. 
th. 
tim. 
derivativ. 
o. 
equatio. 
(5.1). 
w. 
obtai. 


d. 
d. 
d. 
d. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
(5:5. 


sinc. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 


Combinin. 
equation. 
(5.4. 
an. 
(5.5). 
w. 
�n. 
tha. 


. 
. 
(5:6. 


I. 
ther. 
i. 
n. 
forc. 
actin. 
o. 
th. 
particle. 
th. 
torqu. 
i. 
zero. 
Consequently. 
th. 
rat. 
o. 
chang. 
o. 
th. 
angula. 
momentu. 
i. 
zer. 
an. 
th. 
angula. 
momentu. 
i. 
conserved. 
Th. 
quantum-mechanica. 
operator. 
fo. 
th. 
component. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
ar. 
obtaine. 
b. 
replacin. 
px. 
py. 
p. 
i. 
th. 
classica. 
expression. 
(5.2. 
b. 
thei. 
correspondin. 
quantu. 
operators. 


.
^L. 
. 
y.
^p. 
. 
z.
^p. 
. 
. 
. 
. 
(5:7a. 


. 
@. 
. 
. 


.
^L. 
. 
z.
^p. 
. 
x.
^p. 
. 
. 
. 
. 
(5:7b. 


. 
@. 
@. 


.
^L. 
. 
x.
^p. 
. 
y.
^p. 
. 
. 
. 
. 
(5:7c. 


. 
. 
. 
@. 


Sinc. 
. 
commute. 
wit. 
.
^p. 
an. 
. 
commute. 
wit. 
.
^py. 
ther. 
i. 
n. 
ambiguit. 
regardin. 
th. 
orde. 
o. 
. 
an. 
.
^p. 
an. 
o. 
. 
an. 
.
^p. 
i. 
constructin. 
.
^Lx. 
Simila. 
remark. 
appl. 
t. 
.
^L. 
an. 
.
^Lz. 
Th. 
quantum-mechanica. 
operato. 
fo. 
. 
i. 


. 
. 
i.
^L. 
. 
j.
^L. 
. 
k.
^L. 
(5:8. 


an. 
fo. 
L. 
i. 


.
^L. 
. 
L^
. 
L^
. 
.
^L. 
. 
. 
.
^L. 
. 
. 
.
^L. 
(5:9. 


Th. 
operator. 
.
^Lx. 
.
^Ly. 
.
^L. 
ca. 
easil. 
b. 
show. 
t. 
b. 
hermitia. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
se. 
o. 
function. 
o. 
x. 
y. 
. 
tha. 
vanis. 
a. 
1. 
A. 
. 
consequence. 
L^
an. 
.
^L. 
ar. 
als. 
hermitian. 



13. 
Angula. 
momentu. 


Commutatio. 
relation. 


Th. 
commutato. 
[.
^Lx. 
.
^Ly. 
ma. 
b. 
evaluate. 
a. 
follow. 
[.
^Lx. 
.
^Ly. 
. 
[y.
^p. 
. 
z.
^py. 
z.
^p. 
. 
x.
^pz. 


. 
[y.
^pz. 
z.
^px. 
. 
[z.
^py. 
x.
^pz. 
. 
[y.
^pz. 
x.
^pz. 
. 
[z.
^py. 
z.
^px. 
Th. 
las. 
tw. 
term. 
vanis. 
becaus. 
y.
^p. 
commute. 
wit. 
x.
^p. 
an. 
becaus. 
z.
^p. 
commute. 
wit. 
z.
^px. 
I. 
w. 
expan. 
th. 
remainin. 
terms. 
w. 
obtai. 
[.
^Lx. 
.
^Ly. 
. 
y.
^p. 
.
^pz. 
. 
y.
^pxz.
^p. 
. 
x.
^pyz.
^p. 
. 
x.
^p. 
.
^pz. 
. 
(x.
^p. 
. 
y.
^px)[z. 
.
^pz. 
Introducin. 
equation. 
(3.44. 
an. 
(5.7c). 
w. 
hav. 
[.
^Lx. 
.
^Ly. 
. 
i".
^L. 
(5:10a. 
B. 
. 
cycli. 
permutatio. 
o. 
x. 
y. 
an. 
. 
i. 
equatio. 
(5.10a). 
w. 
obtai. 
th. 


commutatio. 
relation. 
fo. 
th. 
othe. 
tw. 
pair. 
o. 
operator. 
[.
^L
y. 
.
^L
z. 
. 
i".
^L
. 
(5:10b. 
[.
^L
z. 
.
^L
x. 
. 
i".
^L
. 
(5:10c. 
Equation. 
(5.10. 
ma. 
b. 
writte. 
i. 
a. 
equivalen. 
for. 
a. 
^. 
. 
^. 
. 
i"^. 
(5:11. 
whic. 
ma. 
b. 
demonstrate. 
b. 
expansio. 
o. 
th. 
left-han. 
side. 


5.. 
Generalize. 
angula. 
momentu. 


I. 
quantu. 
mechanic. 
w. 
nee. 
t. 
conside. 
no. 
onl. 
orbita. 
angula. 
momen. 
tum. 
bu. 
spi. 
angula. 
momentu. 
a. 
well. 
Wherea. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
i. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 
x. 
y. 
. 
coordinate. 
an. 
thei. 
conjugat. 
angula. 
momenta. 
spi. 
angula. 
momentu. 
i. 
intrinsi. 
t. 
th. 
particl. 
an. 
i. 
no. 
expressibl. 
i. 
term. 
o. 
. 
coordinat. 
system. 
However. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
bot. 
type. 
o. 
angula. 
moment. 
hav. 
commo. 
mathematica. 
propertie. 
tha. 
ar. 
no. 
dependen. 
o. 
. 
coordinat. 
representation. 
Fo. 
thi. 
reaso. 
w. 
introduc. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
an. 
develo. 
it. 
mathematica. 
propertie. 
accordin. 
t. 
th. 
procedure. 
o. 
quantu. 
theory. 


Base. 
o. 
a. 
analog. 
wit. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
w. 
de�n. 
. 
general. 
ize. 
angular-momentu. 
operato. 
. 
^Jwit. 
component. 
J^x. 
J^y. 
J^. 
. 
^J
. 
iJ^. 
. 
jJ^. 
. 
kJ^. 


Th. 
operato. 
. 
^Ji. 
an. 
hermitia. 
operato. 
whic. 
obey. 
th. 
relatio. 


. 
^J
. 
. 
^J
. 
i". 
^J(5:12. 
o. 
equivalentl. 



5.. 
Generalize. 
angula. 
momentu. 
13. 


[J^x. 
J^y. 
.i"J^. 
(5:13a. 


[J^y. 
J^z. 
.i"J^. 
(5:13b. 


[J^z. 
J^x. 
.i"J^. 
(5:13c. 


Th. 
squar. 
o. 
th. 
angular-momentu. 
operato. 
i. 
de�ne. 
b. 


^. 
. 
. 
. 
. 
2

. 
. 
.. 
^J
^J
^. 
^. 
^(5:14. 


an. 
i. 
hermitia. 
sinc. 
J^x. 
J^y. 
an. 
J^. 
ar. 
hermitian. 
Th. 
operato. 
J^. 
commute. 


wit. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
operator. 
Jx. 
Jy. 
Jz. 
W. 
�rs. 
evaluat. 
th. 
commutato. 
[J^2. 
J^z. 


[J^2. 
J^z. 
.[J^2. 
J^z. 
.[J^2. 
J^z. 
.[J^2. 
^

xyzJz. 


.J^x[J^x. 
J^z. 
.[J^x. 
J^z]J^. 
.J^y[J^y. 
J^z. 
.[J^y. 
J^z]J^. 


.�i"J^xJ^. 
�i"J^yJ^. 
.i"J^yJ^. 
.i"J^xJ^. 


.. 
(5:15a. 


wher. 
th. 
fac. 
tha. 
J. 
commute. 
wit. 
itsel. 
an. 
equation. 
(3.4b. 
an. 
(5.13. 
hav. 
bee. 
used. 
B. 
simila. 
expansions. 
w. 
ma. 
als. 
sho. 
tha. 


[J^2. 
J^x. 
.. 
(5:15b. 


[J^2. 
J^y. 
.. 
(5:15c. 


Sinc. 
th. 
operato. 
J^. 
commute. 
wit. 
eac. 
o. 
th. 
component. 
J^x. 
J^y. 
J^. 
o. 
.
^J
. 
bu. 
th. 
thre. 
component. 
d. 
no. 
commut. 
wit. 
eac. 
other. 
w. 
ca. 
obtai. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
J^. 
an. 
one. 
bu. 
onl. 
one. 
o. 
th. 
thre. 
compo. 
nent. 
o. 
.
^J
. 
Followin. 
th. 
usua. 
convention. 
w. 
arbitraril. 
selec. 
J^. 
an. 
see. 
th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
J^. 
an. 
J^z. 
Sinc. 
angula. 
momentu. 
ha. 
th. 


sam. 
dimension. 
a. 
". 
w. 
represen. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
b. 
�". 
an. 
th. 


eigenvalue. 
o. 
J. 
b. 
m". 
wher. 
. 
an. 
. 
ar. 
dimensionles. 
an. 
ar. 
rea. 
becaus. 
J^. 
an. 
J^. 
ar. 
hermitian. 
I. 
th. 
correspondin. 
orthonorma. 
eigenfunc. 
tion. 
ar. 
denote. 
i. 
Dira. 
notatio. 
b. 
j�mi. 
the. 
w. 
hav. 


. 
2j�mi.�"2j�m. 
(5:16a. 


J^zj�mi.m"2j�m. 
(5:16b. 


W. 
implicitl. 
assum. 
tha. 
thes. 
eigenfunction. 
ar. 
uniquel. 
determine. 
b. 
onl. 
th. 
tw. 
parameter. 
. 
an. 
m. 


Th. 
expectatio. 
value. 
o. 
J^. 
an. 
J^. 
are. 
accordin. 
t. 
(3.46). 
an. 
(5.16. 


hJ^2i.h�mjJ^2j�mi.�". 


h^i.h�mj^j�mi.m2". 



13. 
Angula. 
momentu. 


sinc. 
th. 
eigenfunction. 
j�miar. 
normalized. 
Usin. 
equatio. 
(5.14. 
w. 
ma. 
als. 
writ. 


hJ^2i.h^i.h^i.h^. 


^^J^. 
J^2

Sinc. 
J. 
an. 
J. 
ar. 
hermitian. 
th. 
expectatio. 
value. 
o. 
. 
an. 
ar. 
rea. 


an. 
positive. 
s. 
tha. 


hJ^2i. 
h^. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 
. 
. 
m. 
. 
. 
(5:17. 


Ladde. 
operator. 


W. 
hav. 
alread. 
introduce. 
th. 
us. 
o. 
ladde. 
operator. 
i. 
Chapte. 
. 
t. 
�n. 
th. 
eigenvalue. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
W. 
emplo. 
th. 
sam. 
techniqu. 
her. 
t. 
obtai. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
J^. 
an. 
J^z. 
Th. 
requisit. 
ladde. 
operator. 
J^
. 
an. 
J^
. 
ar. 
de�ne. 
b. 
th. 
relation. 


J^
.J^. 
.iJ^. 
(5:18a. 


J^
�J^. 
�iJ^. 
(5:18b. 
Neithe. 
J^
. 
no. 
J^
. 
i. 
hermitian. 
Applicatio. 
o. 
equatio. 
(3.33. 
show. 
tha. 
the. 


ar. 
adjoint. 
o. 
eac. 
other. 
Usin. 
th. 
de�nition. 
(5.18. 
an. 
(5.14. 
an. 
th. 
commutatio. 
relation. 
(5.13. 
an. 
(5.15). 
w. 
ca. 
readil. 
prov. 
th. 
followin. 
relationship. 


[J^z. 
J^
.. 
."J^
. 
(5:19a. 


[J^z. 
J^
�. 
.�"J^
. 
(5:19b. 


[J^2. 
J^
.. 
.. 
(5:19c. 


[J^2. 
J^
�. 
.. 
(5:19d. 


[J^
.. 
J^
�. 
.2"J^. 
(5:19e. 


^J^
�.J^. 
�J^. 
.. 
^(5:19f. 


. 
.. 
J. 
J^
�J^
..J^. 
�J^. 
. 
�"J^. 
(5:19g. 


I. 
w. 
le. 
th. 
operato. 
ac. 
o. 
th. 
functio. 
. 
.j�m. 
an. 
observ. 
that. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(5.19c). 
J^. 
an. 
J^
. 
commute. 
w. 
obtai. 
J^. 
J^
.j�mi.J^
.J^2j�mi.�". 
J^
.j�m. 


wher. 
(5.16a. 
wa. 
als. 
used. 
W. 
not. 
tha. 
. 
.j�mii. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
wit. 
eigenvalu. 
�"2. 
Thus. 
th. 
operato. 
J^
. 
ha. 
n. 
effec. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
o. 



5.. 
Generalize. 
angula. 
momentu. 
13. 


J^. 
J^. 
^^

becaus. 
an. 
. 
. 
commute. 
However. 
i. 
th. 
operato. 
J. 
act. 
o. 
th. 
functio. 
J^
.j�mi,wehav. 


J^zJ^
.j�mi.J^
.J^zj�mi."J^
.j�mi.m"J^
.j�mi."J^
.j�m. 


.(. 
.1)"J^
.j�m. 
(5:20. 


wher. 
equation. 
(5.19a. 
an. 
(5.16b. 
wer. 
used. 
Thus. 
th. 
functio. 
. 
.j�mii. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
J^. 
wit. 
eigenvalu. 
(. 
.1)". 
Writin. 
equatio. 
(5.16b. 
a. 


Jzj�. 
. 
.1i.(. 
.1)"j�. 
. 
.1. 
w. 
se. 
fro. 
equatio. 
(5.20. 
tha. 
J^
.j�mii. 
proportiona. 
t. 
j�. 
. 
.1. 


. 
.j�mi.c.j�. 
. 
.1. 
(5:21. 


wher. 
c. 
i. 
th. 
proportionalit. 
constant. 
Th. 
operato. 
. 
. 
is. 
therefore. 
. 
raisin. 
operator. 
whic. 
alter. 
th. 
eigenfunctio. 
j�mifo. 
th. 
eigenvalu. 
m. 
t. 
th. 
eigenfunctio. 
fo. 
(. 
.1)". 


Th. 
proportionalit. 
constan. 
c. 
i. 
equatio. 
(5.21. 
ma. 
b. 
evaluate. 
b. 
squarin. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(5.21. 
t. 
giv. 


h�mjJ^
�J^
.j�mi.jc.j2h�. 
. 
.1j�. 
. 
.1. 
sinc. 
th. 
br. 
h�mjJ^
. 
i. 
th. 
adjoin. 
o. 
th. 
ke. 
J^
.j�mi. 
Usin. 
equation. 
(5.16. 
an. 
(5.19g. 
an. 
th. 
normalit. 
o. 
th. 
eigenfunctions. 
w. 
hav. 


jc.j. 
.h�mjJ^. 
�J^. 
�"J^zj�mi.(. 
�m. 
�m)". 


an. 
equatio. 
(5.21. 
become. 


p���������������������������. 


. 
.j�mi. 
. 
�m(. 
.1. 
"j�. 
. 
.1. 
(5:22. 
I. 
equatio. 
(5.22. 
w. 
hav. 
arbitraril. 
take. 
c. 
t. 
b. 
rea. 
an. 
positive. 
W. 
nex. 
le. 
th. 
operator. 
J^. 
an. 
J^. 
ac. 
o. 
th. 
functio. 
J^
�j�mit. 
giv. 


J^. 
J^
�j�mi.J^
�J^2j�mi.�". 
J^
�j�m. 


J^zJ^
�j�mi.J^
�J^zj�mi�"J^
�j�mi.(. 
�1)"J^
�j�m. 


wher. 
w. 
hav. 
use. 
equation. 
(5.16). 
(5.19b). 
an. 
(5.19d). 
Th. 
functio. 
J^
�j�mii. 
. 
simultaneou. 
eigenfunctio. 
o. 
J^. 
an. 
J^. 
wit. 
eigenvalue. 
�". 
an. 


(. 
�1)". 
respectively. 
Accordingly. 
th. 
functio. 
. 
�j�m. 
i. 
proportiona. 
t. 
j�. 
. 
�1. 


. 
�j�mi.c�j�. 
. 
�1. 
(5:23. 


wher. 
c. 
i. 
th. 
proportionalit. 
constant. 
Th. 
operato. 
. 
. 
change. 
th. 
eigen. 
functio. 
j�mit. 
th. 
eigenfunctio. 
j�. 
. 
�1ifo. 
. 
lowe. 
valu. 
o. 
th. 
eigen. 
valu. 
o. 
J^. 
an. 
is. 
therefore. 
. 
lowerin. 
operator. 


T. 
evaluat. 
th. 
proportionalit. 
constan. 
c. 
i. 
equatio. 
(5.23). 
w. 
squar. 
bot. 
side. 
o. 
(5.23. 
an. 
not. 
tha. 
th. 
br. 
h�mjJ^
. 
i. 
th. 
adjoin. 
o. 
th. 
ke. 


. 
�j�mi. 
givin. 



13. 
Angula. 
momentu. 


jc�j. 
.h�mjJ^
.J^
�j�mi.h�mjJ^. 
�J^. 
. 
."J^zj�mi.(. 
�m. 
.m)". 


wher. 
equatio. 
(5.19f. 
wa. 
als. 
used. 
Equatio. 
(5.23. 
the. 
become. 


p���������������������������. 


. 
�j�mi. 
. 
�m(. 
�1. 
"j�. 
. 
�1. 
(5:24. 


wher. 
w. 
hav. 
take. 
c. 
t. 
b. 
rea. 
an. 
positive. 
Thi. 
choic. 
i. 
consisten. 
wit. 
th. 
selectio. 
abov. 
o. 
c. 
a. 
rea. 
an. 
positive. 


Determinatio. 
o. 
th. 
eigenvalue. 


W. 
no. 
appl. 
th. 
raisin. 
an. 
lowerin. 
operator. 
t. 
�n. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
J^. 
an. 
J^z. 
Equatio. 
(5.17. 
tell. 
u. 
tha. 
fo. 
. 
give. 
valu. 
o. 
�. 
th. 
paramete. 
. 
ha. 
. 
maximu. 
an. 
. 
minimu. 
value. 
th. 
maximu. 
valu. 
bein. 
positiv. 
an. 
th. 
minimu. 
valu. 
bein. 
negative. 
Fo. 
th. 
specia. 
cas. 
i. 
whic. 
. 
equal. 
zero. 
th. 
paramete. 
. 
must. 
o. 
course. 
b. 
zer. 
a. 
well. 


W. 
selec. 
arbitrar. 
value. 
fo. 
�,sa. 
�. 
an. 
fo. 
m,sa. 
�. 
wher. 
. 
. 
�. 
. 
. 


s. 
tha. 
(5.17. 
i. 
satis�ed. 
Applicatio. 
o. 
th. 
raisin. 
operato. 
. 
. 
t. 
th. 
correspondin. 
ke. 
j��igive. 
th. 
ke. 
j�. 
. 
.1i. 
Successiv. 
application. 
o. 
J^
. 
giv. 
j�. 
. 
.2i. 
j�. 
. 
.3i. 
etc. 
Afte. 
. 
suc. 
applications. 
w. 
obtai. 
th. 
ke. 
j. 
ji. 
wher. 
. 
.. 
.. 
an. 
j. 
. 
�. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
i. 
suc. 
tha. 
a. 
additiona. 
applicatio. 
o. 
J^
. 
produce. 
th. 
ke. 
j�. 
. 
.1iwit. 
. 
. 
.1). 
. 
. 
(tha. 
i. 
t. 
say. 
i. 
produce. 
. 
ke. 
j�m. 
wit. 
m. 
. 
�). 
whic. 
i. 
no. 
possible. 
Accordingly. 
th. 


sequenc. 
mus. 
terminat. 
b. 
th. 
conditio. 
. 
.j�ji.0. 
Fro. 
equatio. 
(5.22). 
thi. 
conditio. 
i. 
give. 
b. 


p�����������������������. 


. 
.j�ji. 
. 
�j(. 
.1. 
"j�. 
. 
.1i.. 


whic. 
i. 
vali. 
onl. 
i. 
th. 
coef�cien. 
o. 
j�. 
. 
.1ivanishes. 
s. 
tha. 
w. 
hav. 
. 
.j(. 
.1). 


W. 
no. 
appl. 
th. 
lowerin. 
operato. 
. 
. 
t. 
th. 
ke. 
j�j. 
successivel. 
t. 
construc. 
th. 
serie. 
o. 
ket. 
j�. 
. 
�1i. 
j�. 
. 
�2i. 
etc. 
Afte. 
. 
tota. 
o. 
. 


application. 
o. 
. 
�. 
w. 
obtai. 
th. 
ke. 
j. 
j9i. 
wher. 
j. 
.. 
�. 
i. 
th. 
minimu. 
valu. 
o. 
. 
allowe. 
b. 
equatio. 
(5.17). 
Therefore. 
thi. 
lowerin. 
sequenc. 
mus. 
terminat. 
b. 
th. 
conditio. 


p��������������������������. 


. 
�j�j9i. 
. 
�j9(j. 
�1. 
"j�. 
j. 
�1i.. 


wher. 
equatio. 
(5.24. 
ha. 
bee. 
introduced. 
Thi. 
conditio. 
i. 
vali. 
onl. 
i. 
th. 
coef�cien. 
o. 
j�. 
j. 
�1ivanishes. 
givin. 
. 
.j9. 
j. 
�1). 


Th. 
paramete. 
. 
ha. 
tw. 
condition. 
impose. 
upo. 
i. 


. 
.j. 
. 
.1. 


. 
.j9(j. 
�1. 


givin. 
th. 
relatio. 



5.. 
Generalize. 
angula. 
momentu. 
13. 


j(. 
.1. 
.j9(j. 
�1. 


Th. 
solutio. 
t. 
thi. 
quadrati. 
equatio. 
give. 
j. 
.�j. 
Th. 
othe. 
solution. 


j. 
.. 
.1. 
i. 
no. 
physicall. 
meaningfu. 
becaus. 
j. 
mus. 
b. 
les. 
tha. 
j.W. 
hav. 
shown. 
therefore. 
tha. 
th. 
paramete. 
. 
range. 
fro. 
�. 
t. 
. 


�. 
. 
. 
. 
. 


I. 
w. 
combin. 
th. 
conclusio. 
tha. 
j. 
.�. 
wit. 
th. 
relatio. 
j. 
.. 
�n. 
w. 
se. 
tha. 
. 
.n=2. 
wher. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
Thus. 
th. 
allowe. 
value. 
o. 
. 
ar. 
th. 
integer. 
0. 
1. 
2. 
... 
(i. 
. 
i. 
even. 
an. 
th. 
half-integer. 
12. 
23. 
25. 
... 
(i. 
. 
i. 
odd. 
an. 
th. 
allowe. 
value. 
o. 
. 
ar. 
�j. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
j. 


W. 
bega. 
thi. 
analysi. 
wit. 
a. 
arbitrar. 
valu. 
fo. 
�. 
namel. 
. 
.�. 
an. 
a. 
arbitrar. 
valu. 
fo. 
m. 
namel. 
. 
.�. 
W. 
showe. 
that. 
i. 
orde. 
t. 
satisf. 
requiremen. 
(5.17). 
th. 
paramete. 
. 
mus. 
satisf. 
. 
.j(. 
.1). 
wher. 
. 
i. 
restricte. 
t. 
integra. 
o. 
half-integra. 
values. 
Sinc. 
th. 
valu. 
. 
wa. 
chose. 
arbitrarily. 
w. 
conclud. 
tha. 
th. 
onl. 
allowe. 
value. 
fo. 
. 
ar. 


. 
.j(. 
.1. 
(5:25. 


Th. 
paramete. 
. 
i. 
relate. 
t. 
. 
b. 
. 
.. 
.k. 
wher. 
. 
i. 
th. 
numbe. 
o. 
successiv. 
application. 
o. 
J^
. 
unti. 
j��ii. 
transforme. 
int. 
j�ji. 
Sinc. 
. 
mus. 
b. 
. 
positiv. 
integer. 
th. 
paramete. 
. 
mus. 
b. 
restricte. 
t. 
integra. 
o. 
half. 
integra. 
values. 
However. 
th. 
valu. 
. 
wa. 
chose. 
arbitrarily. 
leadin. 
t. 
th. 
conclusio. 
tha. 
th. 
onl. 
allowe. 
value. 
o. 
. 
ar. 
. 
.�j. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
j. 
Thus. 
w. 
hav. 
foun. 
al. 
o. 
th. 
allowe. 
value. 
fo. 
. 
an. 
fo. 
. 
and. 
therefore. 
al. 
o. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
J^. 
an. 
J^z. 


I. 
vie. 
o. 
equatio. 
(5.25). 
w. 
no. 
denot. 
th. 
eigenket. 
j�m. 
b. 
jjmi. 
Equation. 
(5.16. 
ma. 
no. 
b. 
writte. 
a. 


. 
2jjmi.j. 
. 
.1)"2jjmi. 
. 
.0. 
1,1. 
3,2. 
... 
(5:26a. 


Jzjjmi.m"jjmi. 
. 
.�j. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
. 
(5:26b. 


Eac. 
eigenvalu. 
o. 
J^. 
i. 
(. 
. 
.1)-fol. 
degenerate. 
becaus. 
ther. 
ar. 
(2. 
.1. 
value. 
o. 
. 
fo. 
. 
give. 
valu. 
o. 
j. 
Equation. 
(5.22. 
an. 
(5.24. 
becom. 


p����������������������������������������. 


. 
.jjmi. 
j(. 
.1. 
�m(. 
.1. 
"jj. 
. 
.1. 


p�������������������������������������. 


. 
(. 
�m). 
. 
.. 
.1. 
"jj. 
. 
.1. 
(5:27a. 


p����������������������������������������. 


. 
�jjmi. 
j(. 
.1. 
�m(. 
�1. 
"jj. 
. 
�1. 


p�������������������������������������. 


. 
(. 
.m). 
. 
�. 
.1. 
"jj. 
. 
�1. 
(5:27b. 



13. 
Angula. 
momentu. 


5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 


W. 
no. 
appl. 
th. 
result. 
o. 
th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
t. 
th. 
cas. 
o. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
Th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
operato. 
L^
de�ne. 
i. 
Sectio. 
5.1. 
i. 
identi�e. 
wit. 
th. 
operato. 
. 
^Jo. 
Sectio. 
5.2. 
Likewise. 
th. 
operator. 
.
^L2. 
.
^Lx. 
.
^Ly. 
an. 
.
^L. 
ar. 
identi�e. 
wit. 
J^2. 
J^x. 
J^y. 
an. 
J^z. 
respectively. 
Th. 
paramete. 
. 
o. 
Sectio. 
5.. 
i. 
denote. 
b. 
. 
whe. 
applie. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
Th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
.
^L. 
an. 
.
^L. 
ar. 
denote. 
b. 
jlmi. 
s. 
tha. 
w. 
hav. 


.
^L2jlmi.l(. 
.1)"2jlm. 
(5:28a. 


.
^Lzjlmi.m"jlmi. 
. 
.�l. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
. 
(5:28b. 


Ou. 
nex. 
objectiv. 
i. 
t. 
�n. 
th. 
analytica. 
form. 
fo. 
thes. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
Fo. 
tha. 
purpose. 
i. 
i. 
mor. 
convenien. 
t. 
expres. 
th. 
operator. 
.
^Lx. 
.
^Ly. 
.
^Lz. 
an. 
.
^L. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
r. 
�. 
. 
rathe. 
tha. 
i. 
cartesia. 
coordinate. 
x. 
y. 
z. 
Th. 
relationship. 
betwee. 
r. 
�. 
. 
an. 
x. 
y. 
. 
ar. 
show. 
i. 


Figur. 
5.1. 
Th. 
transformatio. 
equation. 
ar. 
. 
.. 
si. 
. 
co. 
. 
(5:29a. 
. 
.. 
si. 
. 
si. 
. 
(5:29b. 
. 
.. 
co. 
. 
(5:29c. 
. 
.(x. 
.y. 
.z2)1=. 
(5:29d. 
. 
.cos�1(z=(x. 
.y. 
.z2)1=2. 
(5:29e. 
. 
.tan�1. 
y=x. 
(5:29f. 


z 

x 
y 
r 
� 
j 
Figur. 
5.. 
Spherica. 
pola. 
coordinat. 
system. 



5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
13. 


Thes. 
coordinate. 
ar. 
de�ne. 
ove. 
th. 
followin. 
interval. 


�. 
. 
x. 
y. 
. 
. 
1,. 
. 
. 
. 
1,. 
. 
. 
. 
�,. 
. 
. 
. 
2. 
Th. 
volum. 
elemen. 
d. 
. 
d. 
. 
. 
d. 
become. 
d. 
. 
r. 
si. 
. 
d. 
. 
. 
d. 
i. 
spheri. 
ca. 
pola. 
coordinates. 


T. 
transfor. 
th. 
partia. 
derivative. 
@=@x. 
@=@y. 
@=@z. 
whic. 
appea. 
i. 
th. 
operator. 
.
^Lx. 
.
^Ly. 
.
^L. 
o. 
equation. 
(5.7). 
w. 
us. 
th. 
expression. 


. 
. 


@@. 
@@. 
@@. 
. 


@. 
@xy,. 
@. 
@xy,. 
@. 
@xy,. 
@. 


. 
co. 
. 
co. 
. 
. 
si. 
. 
. 


. 
si. 
. 
co. 
. 
.. 
(5:30a. 


@r. 
@. 
. 
si. 
. 
@. 


. 
. 


@@. 
@@. 
@@. 
. 


@. 
. 
. 
@. 
@. 
@. 
. 
. 
@j

x,zx,zx,. 


. 
co. 
. 
si. 
. 
. 
co. 
. 
. 


. 
si. 
. 
si. 
. 
.. 
(5:30b. 


@r. 
@. 
. 
si. 
. 
@. 


. 
. 


@@. 
@@. 
@@. 
. 


@. 
@. 
@. 
@. 
@. 
@. 
@j

x. 
yx. 
yx. 
. 


. 
si. 
. 
. 


. 
co. 
. 
. 
(5:30c. 


@r. 
@. 


Substitutio. 
o. 
thes. 
thre. 
expression. 
int. 
equation. 
(5.7. 
give. 


.
^L. 
.�si. 
. 
. 
co. 
. 
co. 
. 
(5:31a. 


. 
@. 
@. 


.
^L. 
. 
co. 
. 
. 
co. 
. 
si. 
. 
(5:31b. 


. 
@. 
@. 


.
^L. 
. 
(5:31c. 


B. 
squarin. 
eac. 
o. 
th. 
operator. 
.
^Lx. 
.
^Ly. 
.
^L. 
an. 
adding. 
w. 
�n. 
tha. 
.
^L. 
i. 
give. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
b. 


. 
. 
. 
. 
.
^L
. 
.�". 
. 
si. 
. 
. 
@. 
si. 
. 
. 
@. 
. 
. 
sin. 
. 
@. 
@j. 
(5:32. 


Sinc. 
th. 
variabl. 
. 
doe. 
no. 
appea. 
i. 
an. 
o. 
thes. 
operators. 
thei. 
eigen. 
function. 
ar. 
independen. 
o. 
. 
an. 
ar. 
function. 
onl. 
o. 
th. 
variable. 
. 
an. 
j. 
Th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
jlm. 
o. 
.
^L. 
an. 
.
^L. 
wil. 
no. 
b. 
denote. 
b. 
th. 
functio. 
Ylm(�. 
j. 
s. 
a. 
t. 
acknowledg. 
explicitl. 
thei. 
dependenc. 
o. 
th. 
angle. 
. 
an. 
j. 



14. 
Angula. 
momentu. 


Th. 
eigenvalu. 
equatio. 
fo. 
.
^L. 
i. 


.
^LzYlm(�. 
j. 
. 
Ylm(�. 
j. 
. 
m"Ylm(�. 
j. 
(5:33. 


wher. 
equation. 
(5.28b. 
an. 
(5.31c. 
hav. 
bee. 
combined. 
Equatio. 
(5.33. 
ma. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 
dYlm(�. 
j. 


. 
i. 
d. 
(. 
hel. 
constant. 


Ylm(�. 
j. 
th. 
solutio. 
o. 
whic. 
i. 


Ylm(�. 
j. 
. 
�lm(�)eim. 
(5:34. 
wher. 
�lm(�. 
i. 
th. 
`constan. 
o. 
integration. 
an. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
�. 
Thus. 
w. 
hav. 
show. 
tha. 
Ylm(�. 
j. 
i. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
functions. 
on. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
�. 
th. 
othe. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
. 


Ylm(�. 
j. 
. 
�lm(�)�m(j. 
(5:35. 
W. 
hav. 
als. 
show. 
tha. 
th. 
functio. 
�m(j. 
involve. 
onl. 
th. 
paramete. 
. 
an. 
no. 
th. 
paramete. 
l. 
Th. 
functio. 
�m(j. 
mus. 
b. 
single-value. 
an. 
continuou. 
a. 
al. 
point. 
i. 
spac. 
i. 
orde. 
fo. 
Ylm(�. 
j. 
t. 
b. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
.
^L. 
an. 
.
^Lz.I. 
�m(j. 
an. 
henc. 
Ylm(�. 
j. 
ar. 
no. 
single-value. 
an. 
continuou. 
a. 
som. 
poin. 
j0. 
the. 
th. 
derivativ. 
o. 
Ylm(�. 
j. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
woul. 
produc. 
. 
delt. 
functio. 
a. 
th. 
poin. 
j. 
an. 
equatio. 
(5.33. 
woul. 
no. 
b. 
satis�ed. 
Accordingly. 
w. 
requir. 
tha. 


�m(j. 
. 
�m(. 
. 
2�. 


eim. 
. 
eim(j.2�. 
s. 
tha. 


e2im. 
. 
. 


Thi. 
equatio. 
i. 
vali. 
onl. 
i. 
. 
i. 
a. 
integer. 
positiv. 
o. 
negativ. 
. 
. 
0. 
1. 
2. 
... 
W. 
showe. 
i. 
Sectio. 
5.. 
tha. 
th. 
paramete. 
. 
fo. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
ca. 
equa. 
eithe. 
a. 
intege. 
o. 
. 
half-integer. 
However. 
i. 
th. 
cas. 
o. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
th. 
paramete. 
. 
ca. 
onl. 
b. 
a. 
integer. 
th. 
half. 
intege. 
value. 
fo. 
. 
ar. 
no. 
allowed. 
Sinc. 
th. 
permitte. 
value. 
o. 
. 
ar. 
�l. 
�. 
. 
1. 
.... 
. 
. 
1. 
l. 
th. 
paramete. 
. 
ca. 
hav. 
onl. 
intege. 
value. 
i. 
th. 
cas. 
o. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
half-intege. 
value. 
fo. 
. 
ar. 
als. 
no. 
allowed. 


Ladde. 
operator. 


Th. 
ladde. 
operator. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
ar. 



5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
14. 
.
^L..
^L. 
.i.
^L. 


(5:36. 


.
^L�.
^L. 
�i.
^L. 


an. 
ar. 
identi�e. 
wit. 
th. 
ladde. 
operator. 
J^
. 
an. 
J^
. 
o. 
Sectio. 
5.2. 
Substi. 
tutio. 
o. 
(5.31a. 
an. 
(5.31b. 
int. 
(5.36. 
yield. 


. 
. 
.
^L
. 
."ei. 
. 
@. 
.. 
co. 
. 
. 
@. 
(5:37a. 
. 
. 
.
^L
. 
."e�i. 
. 
. 
@. 
.. 
co. 
. 
. 
@. 
(5:37b. 
wher. 
equatio. 
(A.31. 
ha. 
bee. 
used. 
Whe. 
applie. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
equation. 
(5.27. 
tak. 
th. 
for. 
��������������������������������������. 
.
^L
.Ylm(�. 
j. 
. 
(. 
�m)(. 
.. 
.1. 
"Yl,m.1(�. 
j. 
(5:38a. 
��������������������������������������. 
.
^L
�Ylm(�. 
j. 
. 
(. 
.m)(. 
�. 
.1. 
"Yl. 
m�1(�. 
j. 
(5:38b. 


Fo. 
th. 
cas. 
wher. 
. 
i. 
equa. 
t. 
it. 
minimu. 
value. 
. 
.�l. 
equatio. 
(5.38b. 
become. 


.
^L�Yl,�l(�. 
j. 
.. 


�.. 
co. 
. 
Yl,�l(�. 
j. 
.. 


whe. 
equatio. 
(5.37b. 
i. 
introduced. 
Substitutio. 
o. 
Yl,�l(�. 
j. 
fro. 
equatio. 
(5.34. 
give. 


�.. 
co. 
. 
�l,�l(�)e�il. 
.. 
.. 
co. 
. 
�l,�l(�)e�il. 
.. 


@. 
@. 
@. 


Dividin. 
b. 
e�ilj. 
w. 
obtai. 
th. 
differentia. 
equatio. 
. 
co. 
. 
. 


dl. 
�l,�l(�. 
.. 
co. 
. 
d. 
. 
d. 
. 
. 
si. 
. 
.. 
. 
l. 
si. 
. 


si. 
. 
si. 
. 
whic. 
ha. 
th. 
solutio. 


�l,�l(�. 
.A. 
sin. 
. 
(5:39. 


wher. 
A. 
i. 
th. 
constan. 
o. 
integration. 


Normalizatio. 
o. 
Yl,�l(�. 
j. 
Followin. 
th. 
usua. 
custom. 
w. 
requir. 
tha. 
th. 
eigenfunction. 
Ylm(�. 
j)b. 
normalized. 
s. 
tha. 



14. 
Angula. 
momentu. 
.2�.. 


. 
(�. 
j)Ylm(�. 
�. 
si. 
. 
d. 
d. 


.. 
.2. 


. 
�(�)�lm(�. 
si. 
. 
d. 
�(j)�m(j)d. 
.. 


wher. 
th. 
�. 
an. 
j-dependen. 
part. 
o. 
th. 
volum. 
elemen. 
d. 
ar. 
include. 
i. 
th. 
integration. 
Fo. 
convenience. 
w. 
requir. 
tha. 
eac. 
o. 
th. 
tw. 
factor. 
�lm(�. 
an. 
�m(j. 
b. 
normalized. 
Writin. 
�m(j)a. 


�m(j. 
.Aeim. 


w. 
�n. 
tha. 


.2. 
.2. 


(Aeimj(Aeimj2

))d. 
.jAjd. 
.. 
. 
p�����. 
. 
. 
.ei�. 
2. 
givin. 
. 
eimj

�m(j. 
.p�����. 
(5:40. 


wher. 
w. 
hav. 
arbitraril. 
se. 
. 
equa. 
t. 
zer. 
i. 
th. 
phas. 
facto. 
ei. 
associate. 
wit. 
th. 
normalizatio. 
constant. 
Th. 
functio. 
�l,�l(�. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(5.39. 
an. 
th. 
valu. 
o. 
th. 
constan. 
o. 
integratio. 
A. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
normalizatio. 
conditio. 


[�l,�l(�)]�l,�l(�. 
si. 
. 
d. 
.jAljsin2l.1. 
d. 
.. 
(5:41. 


W. 
nee. 
t. 
evaluat. 
th. 
integra. 
I. 


.. 
.�. 
.. 


I. 
. 
sin2l.1. 
d. 
.. 
(. 
��2). 
d. 
. 
(. 
��2). 
d. 


wher. 
w. 
hav. 
de�ne. 
th. 
variabl. 
. 
b. 
th. 
relatio. 
. 
co. 
. 
(5:42. 
s. 
tha. 


. 
��. 
.sin2�,d. 
.�si. 
. 
d. 


Th. 
integra. 
I. 
ma. 
b. 
transforme. 
a. 
follow. 


)l�1)l�. 
�2)l

I. 
. 
(. 
��2d. 
. 
(. 
��2d. 
.Il�. 
. 
d(. 
��2

(. 
��2). 
. 


.Il�. 
. 
d. 
.Il�. 
. 
I. 


wher. 
w. 
hav. 
integrate. 
b. 
part. 
an. 
note. 
tha. 
th. 
integrate. 
ter. 
vanishes. 
Solvin. 
fo. 
Il. 
w. 
obtai. 
. 
recurrenc. 
relatio. 
fo. 
th. 
integra. 



5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
14. 


I. 
. 
Il�. 
(5:43. 


Sinc. 
I. 
i. 
give. 
b. 


I. 
. 
d. 
.. 


w. 
ca. 
obtai. 
I. 
b. 
repeate. 
applicatio. 
o. 
equatio. 
(5.43. 
startin. 
wit. 
I. 
(2l)(2. 
�2)(2. 
�4. 
... 
. 
22l.1(l!). 


I. 
. 
I. 
. 


(2. 
.1)(2. 
�1)(2. 
�3. 
... 
. 
(2. 
.1). 
wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 


(2l)(2. 
�2. 
... 
. 
.2ll. 
(2. 
.1)(2. 
�1)(2. 
�3. 
... 
. 


(2. 
.1)(2l)(2. 
�1)(2. 
�2)(2. 
�3. 
... 
. 
. 
. 
. 
. 
(2. 
.1). 


(2l)(2. 
�2. 
... 
. 
2ll. 


Substitutin. 
thi. 
resul. 
int. 
equatio. 
(5.41). 
w. 
�n. 
tha. 


r����������������. 


. 
(2. 
.1). 


jAlj. 


2ll. 
. 
I. 
i. 
customar. 
t. 
le. 
. 
equa. 
zer. 
i. 
th. 
phas. 
facto. 
ei. 
fo. 
�l,�l(�). 
s. 
tha. 


r����������������. 


. 
(2. 
.1). 


�l,�l(�. 
. 
sin. 
. 
(5:44. 


2ll. 
. 
Combinin. 
equation. 
(5.35). 
(5.40. 
an. 
(5.44). 
w. 
obtai. 
th. 
normalize. 
eigenfunctio. 


r����������������. 


. 
(2. 
.1). 


Yl,�l(�. 
j. 
. 
sin. 
. 
e�il. 
(5:45. 


2ll. 
4. 


Spherica. 
harmonic. 


Th. 
function. 
Ylm(�. 
j. 
ar. 
know. 
a. 
spherica. 
harmonic. 
an. 
ma. 
b. 
obtaine. 
fro. 
Yl,�l(�. 
j. 
b. 
repeate. 
applicatio. 
o. 
th. 
raisin. 
operato. 
.
^L. 
accordin. 
t. 
(5.38a). 
B. 
thi. 
procedure. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Yl,�l.1(�. 
j). 
Yl,�l.2(�. 
j). 
.... 
Yl,�1(�. 
j). 
Yl0(�. 
j). 
Yl1(�. 
j). 
.... 
Yll(�. 
j)ma. 
b. 
determined. 
Sinc. 
th. 
startin. 
functio. 
Yl,�l(�. 
j. 
i. 
normalized. 
eac. 
o. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
generate. 
fro. 
equatio. 
(5.38a. 
wil. 
als. 
b. 
normalized. 


W. 
ma. 
readil. 
deriv. 
. 
genera. 
expressio. 
fo. 
th. 
spherica. 
harmoni. 
Ylm(�. 
j. 
whic. 
result. 
fro. 
th. 
repeate. 
applicatio. 
o. 
.
^L. 
t. 
Yl,�l(�. 
j). 
W. 
begi. 
wit. 
equatio. 
(5.38a. 
wit. 
. 
se. 
equa. 
t. 
�. 


Yl,�l.. 
.. 
����. 
.
^L.Yl,�. 
(5:46. 



14. 
Angula. 
momentu. 


Fo. 
. 
equa. 
t. 
�. 
.1. 
equatio. 
(5.38a. 
give. 


Yl,�l.. 
.p������������������. 
.
^L.Yl,�l.. 
.p�������������������������. 
.
^L.
. 
Yl,�. 
2(2. 
�1. 
. 
2(2l)(2. 
�1. 
". 


wher. 
equatio. 
(5.46. 
ha. 
bee. 
introduce. 
i. 
th. 
las. 
term. 
I. 
w. 
continu. 
i. 
th. 
sam. 
pattern. 
w. 
�n. 


p������������������. 
p����������������������������������������������. 
.
^L3

Yl,�l.. 
. 
.
^L.Yl,�l.. 
..Yl,�. 


3(2. 
�2. 
. 
. 
. 
3(2l)(2. 
�1)(2. 
�2. 
". 


s�����������������. 


(2. 
�k). 
. 


Yl,�l.. 
..Yl,�l

k!(2l). 
". 


wher. 
. 
i. 
th. 
numbe. 
o. 
step. 
i. 
thi. 
sequence. 
W. 
no. 
se. 
. 
.. 
.. 
i. 
th. 
las. 
expressio. 
t. 
obtai. 


s������������������������. 


(. 
�m). 
. 


Yl. 
.. 
Yl,�. 
(5:47. 


(. 
.m)!(2l). 


I. 
th. 
numbe. 
o. 
step. 
. 
i. 
les. 
tha. 
th. 
valu. 
o. 
l. 
the. 
th. 
intege. 
. 
i. 
negative. 
i. 
. 
equal. 
l. 
the. 
. 
i. 
zero. 
i. 
. 
i. 
greate. 
tha. 
l. 
the. 
. 
i. 
positive. 
an. 
�nall. 
i. 
. 
equal. 
2l. 
the. 
. 
equal. 
it. 
larges. 
valu. 
o. 
l. 


Th. 
nex. 
ste. 
i. 
thi. 
derivatio. 
i. 
th. 
evaluatio. 
o. 
.
^L. 
l.mYl,�. 
usin. 
equatio. 
(5.37a). 
I. 
th. 
operato. 
.
^L. 
i. 
(5.37a. 
act. 
o. 
Yl,�l(�. 
j. 
a. 
give. 
i. 
(5.45). 
w. 


.
^L.Yl,�. 
.cl"ei. 
. 
.. 
co. 
. 
. 
sinl. 
e�il. 


.cl"e�i(l�1). 
. 


.. 
co. 
. 
sinl. 


. 
si. 
2l. 


.cl"e�i(l�1). 


.. 
co. 
. 


d. 
sinl. 


.cl"e�i(l�1). 
1. 


sin2l. 
�. 
sinl�1. 
co. 
. 
.. 
sinl�. 
. 
co. 
. 


sinl. 
d. 


.�cl"e�i(l�1). 
1. 


sin2l. 


sinl�1. 
d(co. 
�. 
wher. 
fo. 
brevit. 
w. 
hav. 
de�ne. 
c. 
a. 


r����������������. 


. 
(2. 
.1). 


c. 
. 
(5:48. 


2ll. 
4. 



5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
14. 


W. 
the. 
operat. 
o. 
thi. 
resul. 
wit. 
.
^L. 
t. 
obtai. 


e�i(l�1). 


.
^L. 
ei. 


.Yl,�. 
.�cl"2.. 
co. 
. 
sin2l. 


@. 
@. 
sinl�1. 
d(co. 
�. 


e�i(l�2)j). 
. 


.�cl"2.(. 
�1. 
co. 
. 
. 
si. 
2l. 


d. 
sinl�1. 
d(co. 
�. 


e�i(l�2). 
. 
d. 


.cl"2si. 
2l. 


sinl�2. 
d(co. 
�). 


Afte. 
. 
suc. 
application. 
o. 
.
^L. 
t. 
th. 
functio. 
Yl,�l(�. 
j). 
w. 
hav. 


.
^L. 
c. 
e�i(l�k). 
1d. 


.Yl,�. 
.(�"). 
sin2l. 


sinl�. 
. 
d(co. 
�). 


I. 
w. 
se. 
. 
.. 
.. 
i. 
thi. 
expression. 
w. 
obtai. 
th. 
desire. 
resul. 


.
^Ll.. 
c. 
eim. 


. 
Yl,�. 
.(�")l.. 
sinm. 
sin2l. 
(5:49. 


d(co. 
�)l.. 


Th. 
genera. 
expressio. 
fo. 
Ylm(�. 
j. 
i. 
obtaine. 
b. 
substitutin. 
equatio. 
(5.49. 
int. 
(5.47. 
wit. 
c. 
give. 
b. 
equatio. 
(5.48. 


s��������������������������������. 


(�1)l.. 
(2. 
.1. 
(. 
�m). 


Ylm(�. 
j. 
. 
sinm. 
sin2l. 


2ll. 
4. 
(. 
.m). 
d(co. 
�)l.. 


(5:50. 
Whe. 
Ylm(�. 
j. 
i. 
decompose. 
int. 
it. 
tw. 
normalize. 
factor. 
accordin. 
t. 
equation. 
(5.35. 
an. 
(5.40). 
w. 
hav. 


s��������������������������������. 


(�1)l.. 
(2. 
.1. 
(. 
�m). 


�lm(�. 
. 
sinm. 
sin2l. 
(5:51. 


2ll. 
2(. 
.m). 
d(co. 
. 
)l.. 


. 
eimj

�m(j. 
.p�����. 
(5:52. 


Th. 
spherica. 
harmonic. 
fo. 
. 
.0. 
1. 
2. 
. 
ar. 
liste. 
i. 
Tabl. 
5.1. 
W. 
not. 
tha. 
th. 
functio. 
�l,�m(�. 
i. 
relate. 
t. 
�lm(�)b. 
�l,�m(�. 
.(�1)m�lm(�. 
(5:53. 


an. 
tha. 
th. 
comple. 
conjugat. 
. 
(�. 
j. 
i. 
relate. 
t. 
Ylm(�. 
j)b. 


. 
(�. 
j. 
.(�1). 
(5:54)

lmYl,�. 
Becaus. 
bot. 
.
^L. 
an. 
.
^L. 
ar. 
hermitian. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
for. 
a. 
orthogona. 
set. 
s. 
tha. 


.2�.. 


. 
. 
l. 
m9(�. 
j)Ylm(�. 
j. 
si. 
. 
d. 
d. 
.�ll9�mm. 
(5:55. 



14. 
Angula. 
momentu. 
Tabl. 
5.1. 
Spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
fo. 
. 
.0. 
1. 
2. 
. 




1=21=. 


Y0. 
. 
Y3. 
. 
(. 
cos3. 
�. 
co. 
�. 


4. 
16. 




1=21=. 


Y1. 
. 
. 
co. 
. 
Y3,. 
.. 
2. 
si. 
�(. 
cos. 
. 
�1)ei. 


4. 
64. 




1=21=. 


i. 
2ij

Y1,. 
.. 
si. 
. 
eY3,. 
. 
sin2. 
co. 
. 
e

8. 
32. 




1=21=. 


Y2. 
. 
. 
(. 
cos. 
. 
�1. 
Y3,. 
.. 
3. 
sin3. 
e3i. 


16. 
64. 


Y2,. 
.. 
1. 
si. 
. 
co. 
. 
ei. 




Y2,. 
. 
1. 
sin. 
. 
e2i. 


I. 
w. 
introduc. 
equatio. 
(5.35. 
int. 
(5.55). 
w. 
hav. 


�. 
l9m9(�)�lm(�. 
si. 
. 
d. 
�. 
m9(j)�m(j)d. 
.�ll9�mm. 


Th. 
integra. 
ove. 
th. 
angl. 
. 
i. 


1e�im9jeim. 
. 
ei(m�m9)j

�. 
m9(j)�m(j)d. 
. 
d. 
. 
d. 


wher. 
equatio. 
(5.52. 
ha. 
bee. 
introduced. 
Sinc. 
. 
an. 
m. 
ar. 
integers. 
thi. 
integra. 
vanishe. 
unles. 
. 
.m9. 
s. 
tha. 


�. 
m9(j)�m(j)d. 
.�mm. 
(5:56. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


�. 
(�)�lm(�. 
si. 
. 
d. 
.�ll. 
(5:57. 


Not. 
tha. 
i. 
equatio. 
(5.57. 
th. 
sam. 
valu. 
fo. 
. 
appear. 
i. 
bot. 
�. 
(�. 
an. 


�lm(�). 
Thus. 
th. 
function. 
�lm(�. 
an. 
�l9m(�. 
fo. 
. 
6.l. 
ar. 
orthogonal. 
bu. 
th. 
function. 
�lm(�. 
an. 
�l9m9(�. 
ar. 
no. 
orthogonal. 
However. 
fo. 
. 
6.m9. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
an. 
Yl9m9(�. 
j. 
ar. 
orthogona. 
becaus. 
o. 
equatio. 
(5.56). 



5.. 
Applicatio. 
t. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
14. 


Relationshi. 
o. 
spherica. 
harmonic. 
t. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 


Th. 
function. 
�lm(�. 
an. 
consequentl. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
ar. 
relate. 
t. 
th. 
associate. 
Legendr. 
polynomials. 
whos. 
de�nitio. 
an. 
propertie. 
ar. 
presente. 
i. 
Appendi. 
E. 
T. 
sho. 
thi. 
relationship. 
w. 
mak. 
th. 
substitu. 
tio. 
o. 
equatio. 
(5.42. 
fo. 
co. 
. 
i. 
equatio. 
(5.51. 
an. 
obtai. 


s��������������������������������. 


(�1). 
(2. 
.1. 
(. 
�m). 


�l. 
. 
(. 
��2)m=2(�. 
�1). 
(5:58. 


2ll. 
2(. 
.m). 
d�l.. 


Equatio. 
(E.13. 
relate. 
th. 
associate. 
Legendr. 
polynomia. 
Pm(�. 
t. 
th. 


(. 
.m)th-orde. 
derivativ. 
i. 
equatio. 
(5.58. 


P. 
)m=2

(�. 
. 
(. 
��2(�. 
�1). 


. 
d�l.. 


wher. 
. 
an. 
. 
ar. 
positiv. 
integer. 
(l. 
. 
. 
0. 
suc. 
tha. 
. 
. 
l. 
Thus. 
fo. 
positiv. 
. 
w. 
hav. 
th. 
relatio. 


s���������������������������������. 


(2. 
.1. 
(. 
�m). 


�lm(�. 
.(�1). 
(co. 
�). 
. 
. 
. 


2(. 
.m). 
. 


Fo. 
negativ. 
m. 
w. 
ma. 
writ. 
. 
.�jmjan. 
not. 
tha. 
equatio. 
(5.53. 
state. 


�l,�jmj(�. 
.(�1)m�l,jmj(�. 
s. 
tha. 
w. 
hav. 


s����������������������������������. 


(2. 
.1. 
(. 
�jmj). 


�l,�jmj(�. 
. 
P. 
(co. 
�. 


2(. 
.jmj). 


Thes. 
tw. 
result. 
ma. 
b. 
combine. 
a. 


s����������������������������������. 


(2. 
.1. 
(. 
�jmj). 


�lm(�. 
.. 
Pjmj(co. 
�. 


2(. 
.jmj). 
. 


wher. 
. 
.(�1). 
fo. 
. 
. 
. 
an. 
. 
.. 
fo. 
. 
. 
0. 
Accordingly. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
ar. 
relate. 
t. 
th. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
b. 


s����������������������������������. 


(2. 
.1. 
(. 
�jmj). 


Ylm(�. 
j. 
.. 
P. 
(co. 
�)eim. 


4. 
(. 
.jmj). 


. 
.(�1)m. 
. 
. 
. 
(5:59. 


.1. 
. 
. 
. 


Th. 
eigenvalue. 
an. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
operato. 
.
^L. 
ma. 
als. 
b. 
obtaine. 
b. 
solvin. 
th. 
differentia. 
equatio. 
.
^L2. 
.�"2. 
usin. 
th. 
Frobeniu. 
o. 
serie. 
solutio. 
method. 
Th. 
applicatio. 
o. 
thi. 
metho. 
i. 
presente. 
i. 
Appendi. 
. 
and. 
o. 
course. 
give. 
th. 
sam. 
result. 



14. 
Angula. 
momentu. 


a. 
th. 
procedur. 
usin. 
ladde. 
operators. 
However. 
th. 
Frobeniu. 
metho. 
ma. 
no. 
b. 
use. 
t. 
obtai. 
th. 
eigenvalue. 
an. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
operator. 
.
^J
an. 
J^. 
becaus. 
thei. 
eigenfunction. 
d. 
no. 
hav. 
. 
spatia. 
representation. 


5.. 
Th. 
rigi. 
roto. 


Th. 
motio. 
o. 
. 
rigi. 
diatomi. 
molecul. 
serve. 
a. 
a. 
applicatio. 
o. 
th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
angula. 
momentu. 
t. 
. 
chemica. 
system. 
. 
rigi. 
diatomi. 
molecul. 
consist. 
o. 
tw. 
particle. 
o. 
masse. 
m. 
an. 
m. 
whic. 
rotat. 
abou. 
thei. 
cente. 
o. 
mas. 
whil. 
keepin. 
th. 
distanc. 
betwee. 
the. 
�xe. 
a. 
. 
valu. 
R. 
Althoug. 
. 
diatomi. 
molecul. 
als. 
undergoe. 
vibrationa. 
motio. 
i. 
whic. 
th. 
interparticl. 
distanc. 
oscillate. 
abou. 
som. 
equilibriu. 
value. 
tha. 
typ. 
o. 
motio. 
i. 
neglecte. 
i. 
th. 
mode. 
bein. 
considere. 
here. 
th. 
interparti. 
cl. 
distanc. 
i. 
froze. 
a. 
it. 
equilibriu. 
valu. 
R. 
Suc. 
. 
rotatin. 
syste. 
i. 
calle. 
. 
rigi. 
rotor. 


W. 
begi. 
wit. 
. 
consideratio. 
o. 
. 
classica. 
particl. 
. 
wit. 
mas. 
m. 
rotatin. 
i. 
. 
plan. 
a. 
. 
constan. 
distanc. 
r. 
fro. 
. 
�xe. 
cente. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
5.2. 
Th. 
tim. 
. 
fo. 
th. 
particl. 
t. 
mak. 
. 
complet. 
revolutio. 
o. 
it. 
circula. 
pat. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
distanc. 
travele. 
divide. 
b. 
it. 
linea. 
velocit. 
v. 


. 
. 
(5:60. 


Th. 
reciproca. 
o. 
. 
give. 
th. 
numbe. 
o. 
cycle. 
pe. 
uni. 
time. 
whic. 
i. 
th. 
frequenc. 
. 
o. 
th. 
rotation. 
Th. 
velocit. 
v. 
ma. 
the. 
b. 
expresse. 
a. 


v. 
.. 
2��r. 
. 
�r. 
(5:61. 


wher. 
. 
. 
2�. 
i. 
th. 
angula. 
velocity. 
Accordin. 
t. 
equatio. 
(5.1). 
th. 
angula. 
momentu. 
L. 
o. 
particl. 
. 
i. 


L. 
. 
r. 
. 
p. 
. 
mi(r. 
. 
vi. 
(5:62. 
Sinc. 
th. 
linea. 
velocit. 
vecto. 
v. 
i. 
perpendicula. 
t. 
th. 
radiu. 
vecto. 
ri. 
th. 
magnitud. 
L. 
o. 
th. 
angula. 
momentu. 
i. 


vi 
mi 

ri 
Figur. 
5.. 
Motio. 
o. 
. 
rotatin. 
particle. 



5.. 
Th. 
rigi. 
roto. 
14. 
L. 
. 
miriv. 
si. 
(�=2. 
. 
miriv. 
. 
�mir. 
. 
(5:63. 
wher. 
equatio. 
(5.61. 
ha. 
bee. 
introduced. 


W. 
nex. 
appl. 
thes. 
classica. 
relationship. 
t. 
th. 
rigi. 
diatomi. 
molecule. 
Sinc. 
th. 
molecul. 
i. 
rotatin. 
freel. 
abou. 
it. 
cente. 
o. 
mass. 
th. 
potentia. 
energ. 
i. 
zer. 
an. 
th. 
classical-mechanica. 
Hamiltonia. 
functio. 
. 
i. 
jus. 
th. 
kineti. 
energ. 
o. 
th. 
tw. 
particles. 


. 
... 
1m1v. 
. 
1m2v. 
(5:64. 


2m12m. 


I. 
w. 
substitut. 
equatio. 
(5.61. 
fo. 
eac. 
particl. 
int. 
(5.64. 
whil. 
notin. 
tha. 


th. 
angula. 
velocit. 
. 
mus. 
b. 
th. 
sam. 
fo. 
bot. 
particles. 
w. 
obtai. 
. 
. 
. 
2�2(m. 
r. 
. 
. 
m. 
r. 
2. 
. 
. 
2I�. 
(5:65. 
wher. 
w. 
hav. 
de�ne. 
th. 
momen. 
o. 
inerti. 
. 
b. 
. 
. 
m. 
r. 
. 
. 
m. 
r. 
. 
(5:66. 


I. 
general. 
moment. 
o. 
inerti. 
ar. 
determine. 
relativ. 
t. 
a. 
axi. 
o. 
rotation. 
I. 
thi. 
cas. 
th. 
axi. 
i. 
perpendicula. 
t. 
th. 
interparticl. 
distanc. 
. 
an. 
passe. 
throug. 
th. 
cente. 
o. 
mass. 
Thus. 
w. 
hav. 


r. 
. 
r. 
. 
. 


m. 
r. 
. 
m. 
r. 


or. 
upo. 
inversio. 


m. 
. 
m. 


(5:67. 


m. 
. 
m. 


Substitutio. 
o. 
equation. 
(5.67. 
int. 
(5.66. 
give. 


. 
. 
�R. 
(5:68. 


wher. 
th. 
reduce. 
mas. 
. 
i. 
de�ne. 
b. 


. 
. 
(5:69. 


m. 
. 
m. 
Th. 
tota. 
angula. 
momentu. 
. 
fo. 
th. 
two-particl. 
syste. 
i. 
give. 
b. 


. 
. 
L. 
. 
L. 
. 
�(m. 
r. 
. 
m. 
r2. 
. 
I. 
(5:70. 


wher. 
equation. 
(5.63. 
an. 
(5.66. 
ar. 
used. 
. 
compariso. 
o. 
equation. 
(5.65. 
an. 
(5.70. 
show. 
tha. 


. 
. 
(5:71. 



15. 
Angula. 
momentu. 


Accordingly. 
th. 
quantum-mechanica. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
fo. 
thi. 
syste. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
angula. 
momentu. 
operato. 
.
^L. 


. 
. 
(5:72. 


Thus. 
th. 
operator. 
. 
an. 
hav. 
th. 
sam. 
eigenfunctions. 
namely. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
YJm(�. 
j. 
a. 
give. 
i. 
equatio. 
(5.50). 
I. 
i. 
customar. 
i. 
discussion. 
o. 
th. 
rigi. 
roto. 
t. 
replac. 
th. 
quantu. 
numbe. 
. 
b. 
th. 
inde. 
. 
i. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalues. 


Th. 
eigenvalue. 
o. 
H^
ar. 
obtaine. 
b. 
notin. 
tha. 


. 
J(. 
. 
1)". 


HYJm(�. 
j. 
. 
YJm(�. 
j. 
. 
YJm(�. 
j. 
(5:73. 


wher. 
. 
i. 
replace. 
b. 
. 
i. 
equatio. 
(5.28a). 
Thus. 
th. 
energ. 
level. 
E. 
fo. 
th. 
rigi. 
roto. 
ar. 
give. 
b. 


E. 
. 
J(. 
. 
1. 
. 
J(. 
. 
1)B. 
. 
. 
0. 
1. 
2. 
... 
(5:74. 


wher. 
. 
. 
"2=2. 
i. 
th. 
rotationa. 
constan. 
fo. 
th. 
diatomi. 
molecule. 
Th. 
energ. 
level. 
E. 
ar. 
show. 
i. 
Figur. 
5.3. 
W. 
observ. 
tha. 
a. 
. 
increases. 
th. 
differenc. 
betwee. 
successiv. 
level. 
als. 
increases. 


Energy 

J 5 4, g4 5 9 
20B 

J 5 3, g3 5 7 

12B 

J 5 2, g2 5 5 
6B 

J 5 1, g1 5 3 
2B 

J 5 0, g0 5 1 

0 

Figure5.3Energylevelsofarigidrotor.



5.. 
Magneti. 
momen. 
15. 


T. 
�n. 
th. 
degenerac. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
E. 
. 
w. 
not. 
tha. 
fo. 
. 
give. 
valu. 
o. 
J. 
th. 
quantu. 
numbe. 
. 
ha. 
value. 
. 
.0. 
1. 
2. 
.... 
J. 
Accordingly. 
ther. 
ar. 
(2. 
.1. 
spherica. 
harmonic. 
fo. 
eac. 
valu. 
o. 
. 
an. 
th. 
energ. 
leve. 
E. 
i. 
(2. 
.1)-fol. 
degenerate. 
Th. 
ground-stat. 
energ. 
leve. 
E. 
i. 
non. 
degenerate. 


5.. 
Magneti. 
momen. 


Atom. 
ar. 
observe. 
t. 
hav. 
magneti. 
moments. 
T. 
understan. 
ho. 
a. 
electro. 
circulatin. 
abou. 
. 
nuclea. 
cor. 
ca. 
giv. 
ris. 
t. 
. 
magneti. 
moment. 
w. 
ma. 
appl. 
classica. 
theory. 
W. 
conside. 
a. 
electro. 
o. 
mas. 
m. 
an. 
charg. 
�. 
boun. 
t. 
. 
�xe. 
nucleu. 
o. 
charg. 
Z. 
b. 
. 
centra. 
coulombi. 
forc. 
F(r. 
wit. 
potentia. 
. 
(r. 


d. 
(r. 
�Ze. 


F(r. 
.. 
. 
(5:75. 


d. 
4��. 
r. 


. 
(r. 
. 
(5:76. 


4��. 
. 
Equatio. 
(5.75. 
i. 
Coulomb'. 
la. 
fo. 
th. 
forc. 
betwee. 
tw. 
charge. 
particle. 
separate. 
b. 
. 
distanc. 
r. 
I. 
S. 
units. 
th. 
charg. 
. 
i. 
expresse. 
i. 
coulomb. 
(C). 
whil. 
�. 
i. 
th. 
permittivit. 
o. 
fre. 
spac. 
wit. 
th. 
valu. 
�. 
.8:85. 
1. 
. 
10�1. 
J�. 
C. 
m�. 
Accordin. 
t. 
classica. 
mechanics. 
. 
stabl. 
circula. 
orbi. 
o. 
radiu. 
. 
an. 
angula. 
velocit. 
. 
i. 
establishe. 
fo. 
th. 
electro. 
i. 
th. 
centrifuga. 
forc. 
m. 
r�. 
balance. 
th. 
attractiv. 
coulombi. 
forc. 


m. 
r�. 
. 


4��. 
r. 
Thi. 
assumptio. 
i. 
th. 
basi. 
o. 
th. 
Boh. 
mode. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
Whe. 
solve. 
fo. 
�. 
thi. 
balancin. 
equatio. 
i. 


1=. 


. 
. 
(5:77. 


4��. 
m. 
r. 
A. 
electro. 
i. 
. 
circula. 
orbi. 
wit. 
a. 
angula. 
velocit. 
. 
passe. 
eac. 
poin. 
i. 
th. 
orbi. 
�=2. 
time. 
pe. 
second. 
Thi. 
electroni. 
motio. 
constitute. 
a. 
electri. 
curren. 
I. 
de�ne. 
a. 
th. 
amoun. 
o. 
charg. 
passin. 
. 
give. 
poin. 
pe. 
second. 
s. 
tha. 


. 
. 
(5:78. 


Fro. 
th. 
de�nitio. 
o. 
th. 
magneti. 
momen. 
i. 
electrodynamics. 
. 
circulat. 



15. 
Angula. 
momentu. 


in. 
curren. 
. 
enclosin. 
. 
smal. 
are. 
. 
give. 
ris. 
t. 
. 
magneti. 
momen. 
. 
o. 
magnitud. 
. 
give. 
b. 


. 
. 
I. 
(5:79. 
Th. 
are. 
. 
enclose. 
b. 
th. 
circula. 
electroni. 
orbi. 
o. 
radiu. 
. 
i. 
�r2. 
Fro. 
equatio. 
(5.63. 
w. 
hav. 
th. 
relatio. 
. 
. 
me�r2. 
Thus. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
magneti. 
momen. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
magnitud. 
. 
o. 
th. 
angula. 
momentu. 
b. 


. 
. 
(5:80. 


Th. 
directio. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
i. 
determine. 
b. 
equatio. 
(5.62). 
B. 
convention. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
curren. 
. 
i. 
opposit. 
t. 
th. 
directio. 
o. 
rotatio. 
o. 
th. 
negativel. 
charge. 
electron. 
i.e.. 
opposit. 
t. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
vecto. 
v. 
Consequently. 
th. 
vecto. 
. 
point. 
i. 
th. 
opposit. 
directio. 
fro. 
. 
(se. 
Figur. 
5.4. 
an. 
equatio. 
(5.80. 
i. 
vecto. 
for. 
i. 


�. 
��B

. 
. 
. 
. 
. 
(5:81. 


Sinc. 
th. 
unit. 
o. 
. 
ar. 
thos. 
o. 
". 
w. 
hav. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(5.81. 
th. 
Boh. 
magneto. 
�. 
a. 


�. 
. 
e. 
. 
9:27. 
0. 
. 
10�2. 
JT�. 
(5:82. 


Th. 
relationshi. 
(equatio. 
(5.81). 
betwee. 
. 
an. 
. 
depend. 
onl. 
o. 
fundamenta. 
constants. 
th. 
electroni. 
mas. 
an. 
charge. 
an. 
doe. 
no. 
depen. 
o. 
an. 
o. 
th. 
variable. 
use. 
i. 
th. 
derivation. 
Althoug. 
thi. 
equatio. 
wa. 
obtaine. 
b. 
applyin. 
classica. 
theor. 
t. 
. 
circula. 
orbit. 
i. 
i. 
mor. 
generall. 
valid. 
I. 
applie. 
t. 
elliptica. 
orbit. 
a. 
wel. 
a. 
t. 
classica. 
motio. 
wit. 
attractiv. 
force. 
othe. 
tha. 
r�. 
dependence. 
Fo. 
an. 
orbi. 
i. 
an. 
centra. 
forc. 
�eld. 
th. 
angula. 


A 
L 
I 
r 
M 
v 
Figur. 
5.. 
Th. 
magneti. 
momen. 
. 
an. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
. 
o. 
a. 
electro. 
i. 
. 
circula. 
orbit. 



5.. 
Magneti. 
momen. 
15. 


momentu. 
i. 
conserve. 
and. 
sinc. 
equatio. 
(5.81. 
applies. 
th. 
magneti. 
momen. 
i. 
constan. 
i. 
bot. 
magnitud. 
an. 
direction. 
Moreover. 
equatio. 
(5.81. 
i. 
als. 
vali. 
fo. 
orbita. 
motio. 
i. 
quantu. 
mechanics. 


Interactio. 
wit. 
. 
magneti. 
�el. 


Th. 
potentia. 
energ. 
. 
o. 
a. 
ato. 
wit. 
. 
magneti. 
momen. 
. 
i. 
. 
magneti. 
�el. 
. 
i. 


. 
.�. 
. 
. 
.�M. 
co. 
. 
(5:83. 
wher. 
. 
i. 
th. 
angl. 
betwee. 
. 
an. 
B. 
Th. 
forc. 
. 
actin. 
o. 
th. 
ato. 
du. 
t. 
th. 
magneti. 
�el. 
i. 


. 
.�=. 


F. 
.�. 
. 
.�. 
co. 
. 


F. 
.�. 
. 
.�. 
co. 
. 
(5:84. 


F. 
.�. 
. 
.�. 
co. 
. 


I. 
th. 
magneti. 
�el. 
i. 
uniform. 
the. 
th. 
partia. 
derivative. 
o. 
. 
vanis. 
an. 
th. 
forc. 
o. 
th. 
ato. 
i. 
zero. 


Accordin. 
t. 
electrodynamics. 
th. 
forc. 
. 
fo. 
. 
non-unifor. 
magneti. 
�el. 
produce. 
o. 
th. 
ato. 
. 
torqu. 
. 
give. 
b. 


. 
.. 
. 
. 
.. 
. 
. 
. 
(5:85. 


wher. 
equatio. 
(5.81. 
ha. 
bee. 
introduce. 
a. 
well. 
Fro. 
th. 
relatio. 
. 
. 


dL=d. 
i. 
equatio. 
(5.6). 
w. 
hav. 
d. 
.. 
�. 
. 
. 
. 
(5:86. 
d. 
. 


Thus. 
th. 
torqu. 
change. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
angula. 
momentu. 
vecto. 
. 
an. 
th. 
vecto. 
dL=d. 
i. 
perpendicula. 
t. 
bot. 
. 
an. 
B. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
5.5. 
A. 
. 
resul. 
o. 
thi. 
torque. 
th. 
vecto. 
. 
precesse. 
aroun. 
th. 
directio. 
o. 
th. 
magneti. 
�el. 
. 
wit. 
. 
constan. 
angula. 
velocit. 
�L. 
Thi. 
motio. 
i. 
know. 
a. 
Larmo. 
precessio. 
an. 
th. 
angula. 
velocit. 
�. 
i. 
calle. 
th. 
Larmo. 
frequency. 
Sinc. 
th. 
magneti. 
momen. 
. 
i. 
antiparalle. 
t. 
th. 
angula. 
momen. 
L. 
i. 
als. 
precesse. 
abou. 
th. 
magneti. 
�el. 
vecto. 
B. 


Fro. 
equatio. 
(5.61). 
th. 
Larmo. 
angula. 
frequenc. 
o. 
velocit. 
�. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
velocit. 
o. 
th. 
en. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
divide. 
b. 
th. 
radiu. 
o. 
th. 
circula. 
pat. 
show. 
i. 
Figur. 
5.. 



15. 
Angula. 
momentu. 


dL 


B 
L 
Lsin� 
� 
r 
I 
M 
v 
dt 

Figur. 
5.. 
Th. 
motio. 
i. 
. 
magneti. 
�el. 
. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
vecto. 
L. 
jdL=dt. 


. 
si. 
. 
Th. 
magnitud. 
o. 
th. 
vecto. 
dL=d. 
i. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(5.86. 
a. 


d. 
�. 


L. 
si. 
�

. 
d. 
. 
. 
. 


s. 
tha. 


�. 
. 
(5:87. 


I. 
w. 
tak. 
th. 
z-axi. 
o. 
th. 
coordinat. 
syste. 
paralle. 
t. 
th. 
magneti. 
�el. 
vecto. 
B. 
the. 
th. 
projectio. 
o. 
. 
o. 
. 
i. 
L. 
an. 
co. 
. 
i. 
equatio. 
(5.83. 
i. 


co. 
. 
. 


p���������������. 


I. 
quantu. 
mechanics. 
th. 
onl. 
allowe. 
value. 
o. 
. 
ar. 
l(. 
. 
1. 
. 
wit. 
. 
. 
0. 
1. 
... 
an. 
th. 
onl. 
allowe. 
value. 
o. 
L. 
ar. 
m. 
wit. 
. 
. 
0. 
1. 
.... 
l. 
Accordingly. 
th. 
angl. 
. 
i. 
quantized. 
bein. 
restricte. 
t. 
value. 
fo. 
whic. 


co. 
. 
. 
���������������. 
. 
. 
. 
. 
0. 
1. 
2. 
.... 
. 
. 
0. 
1. 
.... 
. 
(5:88. 
l(. 
. 
1. 
Th. 
possibl. 
orientation. 
o. 
. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
fo. 
th. 
cas. 
. 
. 
. 
ar. 


illustrate. 
i. 
Figur. 
5.6. 
Classically. 
al. 
value. 
betwee. 
. 
an. 
. 
ar. 
allowe. 
fo. 
th. 
angl. 
�. 
Whe. 
equation. 
(5.81. 
an. 
(5.88. 
ar. 
substitute. 
int. 
(5.83). 
w. 
�n. 
tha. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
i. 
als. 
quantize. 


. 
. 
m�. 
B. 
. 
. 
0. 
1. 
.... 
. 
(5:89. 



Problem. 
15. 


B 
m 5 3 
m 5 2 
m 5 1 
m 5 0 
m 5 21 
m 5 22 
m 5 23 
Figur. 
5.. 
Possibl. 
orientation. 
i. 
. 
magneti. 
�el. 
. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
vecto. 
. 
fo. 
th. 
cas. 
. 
.. 


Problem. 


5.. 
Sho. 
tha. 
eac. 
o. 
th. 
operator. 
.
^Lx. 
.
^Ly. 
.
^L. 
i. 
hermitian. 
5.. 
Evaluat. 
th. 
followin. 
commutators. 
(a. 
[.
^Lx. 
x. 
(b. 
[.
^Lx. 
.
^px. 
(c. 
[.
^Lx. 
y. 
(d. 
[^Lx. 
.
^py. 
5.. 
Usin. 
th. 
commutatio. 
relatio. 
(5.10b). 
�n. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
.
^L. 
fo. 
. 
syste. 
i. 
stat. 
jlmi. 
5.. 
Appl. 
th. 
uncertaint. 
principl. 
t. 
th. 
operator. 
.
^L. 
an. 
.
^L. 
t. 
obtai. 
a. 
expres. 


sio. 
fo. 
�.
^Lx�.
^Ly. 
Evaluat. 
th. 
expressio. 
fo. 
. 
syste. 
i. 
stat. 
jlmi. 
5.. 
Sho. 
tha. 
th. 
operato. 
J^. 
commute. 
wit. 
J^. 
an. 
wit. 
J^y. 
5.. 
Sho. 
tha. 
J^
. 
an. 
J^
. 
a. 
de�ne. 
b. 
equation. 
(5.18. 
ar. 
adjoint. 
o. 
eac. 
other. 
5.. 
Prov. 
th. 
relationship. 
(5.19a)�(5.19g). 
5.. 
Sho. 
tha. 
th. 
choic. 
fo. 
c. 
i. 
equatio. 
(5.24. 
i. 
consisten. 
wit. 
c. 
i. 
equatio. 


(5.22). 
5.. 
Usin. 
th. 
raisin. 
an. 
lowerin. 
operator. 
J^
. 
an. 
J^
�. 
sho. 
tha. 
hjmjJ^xjjmi.hjmjJ^yjjmi.. 


5.1. 
Sho. 
tha. 
hjmjJ^. 
xjjmi.hjmjJ^. 
yjjmi.12. 
j. 
. 
.1. 
�m2]". 
5.1. 
Sho. 
tha. 
jj. 
m. 
ar. 
eigenfunction. 
o. 
[J^x. 
J^
.. 
an. 
o. 
[J^y. 
J^
.]. 
Fin. 
th. 
eigenvalue. 
o. 
eac. 
o. 
thes. 
commutators. 



Th. 
hydroge. 
ato. 


. 
theoretica. 
understandin. 
o. 
th. 
structur. 
an. 
behavio. 
o. 
th. 
hydroge. 
ato. 
i. 
essentia. 
t. 
th. 
�eld. 
o. 
physic. 
an. 
chemistry. 
A. 
th. 
simples. 
atomi. 
system. 
hydroge. 
mus. 
b. 
understoo. 
befor. 
on. 
ca. 
procee. 
t. 
th. 
treatmen. 
o. 
mor. 
comple. 
atoms. 
molecules. 
an. 
atomi. 
an. 
molecula. 
aggregates. 
Th. 
hydroge. 
ato. 
i. 
on. 
o. 
th. 
fe. 
example. 
fo. 
whic. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
ca. 
b. 
solve. 
exactl. 
t. 
obtai. 
it. 
wav. 
function. 
an. 
energ. 
levels. 
Th. 
resultin. 
agreemen. 
betwee. 
theoreticall. 
derive. 
an. 
experimenta. 
quantitie. 
serve. 
a. 
con�rmatio. 
o. 
th. 
applicabilit. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
t. 
. 
rea. 
chemica. 
system. 
Further. 
th. 
result. 
o. 
th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
atomi. 
hydroge. 
ar. 
ofte. 
use. 
a. 
th. 
basi. 
fo. 
approximat. 
treatment. 
o. 
mor. 
comple. 
atom. 
an. 
molecules. 
fo. 
whic. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
canno. 
b. 
solved. 


Th. 
stud. 
o. 
th. 
hydroge. 
ato. 
als. 
playe. 
a. 
importan. 
rol. 
i. 
th. 
developmen. 
o. 
quantu. 
theory. 
Th. 
Lyman. 
Balmer. 
an. 
Pasche. 
serie. 
o. 
spectra. 
line. 
observe. 
i. 
incandescen. 
atomi. 
hydroge. 
wer. 
foun. 
t. 
obe. 


th. 
empirica. 
equatio. 
. 
. 
. 
. 
R. 
. 
n. 
. 
. 
. 
n. 
. 
. 
n. 
. 
n. 


wher. 
. 
i. 
th. 
frequenc. 
o. 
. 
spectra. 
line. 
. 
i. 
th. 
spee. 
o. 
light. 
n. 
. 
1. 
2. 
. 
fo. 
th. 
Lyman. 
Balmer. 
an. 
Pasche. 
series. 
respectively. 
n. 
i. 
a. 
intege. 
determinin. 
th. 
variou. 
line. 
i. 
. 
give. 
series. 
an. 
. 
i. 
th. 
so-calle. 
Rydber. 
constant. 
whic. 
ha. 
th. 
sam. 
valu. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
series. 
Neithe. 
th. 
existenc. 
o. 
thes. 
spectra. 
line. 
no. 
th. 
formul. 
whic. 
describe. 
the. 
coul. 
b. 
explaine. 
b. 
classica. 
theory. 
I. 
1913. 
N. 
Boh. 
postulate. 
tha. 
th. 
electro. 
i. 
. 
hydroge. 
ato. 
revolve. 
abou. 
th. 
nucleu. 
i. 
. 
circula. 
orbi. 
wit. 
a. 
angula. 
momentu. 
tha. 
i. 
quantized. 
H. 
the. 
applie. 
Newtonia. 
mechanic. 
t. 
th. 
electroni. 
motio. 
an. 
obtaine. 
quantize. 
energ. 
level. 
an. 
quantize. 
orbita. 
radii. 
Fro. 



6.. 
Two-particl. 
proble. 
15. 


th. 
Planc. 
relatio. 
�. 
. 
En. 
. 
En. 
. 
h�. 
Boh. 
wa. 
abl. 
t. 
reproduc. 
th. 
experimenta. 
spectra. 
line. 
an. 
obtai. 
. 
theoretica. 
valu. 
fo. 
th. 
Rydber. 
constan. 
tha. 
agree. 
exactl. 
wit. 
th. 
experimentall. 
determine. 
value. 
Furthe. 
investigations. 
however. 
showe. 
tha. 
th. 
Boh. 
mode. 
i. 
no. 
a. 
accurat. 
representatio. 
o. 
th. 
hydrogen-ato. 
structure. 
eve. 
thoug. 
i. 
give. 
th. 
correc. 
formul. 
fo. 
th. 
energ. 
levels. 
an. 
le. 
eventuall. 
t. 
Schro�dinger'. 
wav. 
mech. 
anics. 
Schro�dinge. 
als. 
use. 
th. 
hydroge. 
ato. 
t. 
illustrat. 
hi. 
ne. 
theory. 


6.. 
Two-particl. 
proble. 


I. 
orde. 
t. 
appl. 
quantum-mechanica. 
theor. 
t. 
th. 
hydroge. 
atom. 
w. 
�rs. 
nee. 
t. 
�n. 
th. 
appropriat. 
Hamiltonia. 
operato. 
an. 
Schro�dinge. 
equation. 
A. 
preparatio. 
fo. 
establishin. 
th. 
Hamiltonia. 
operator. 
w. 
conside. 
. 
classica. 
syste. 
o. 
tw. 
interactin. 
poin. 
particle. 
wit. 
masse. 
m. 
an. 
m. 
an. 
instantaneou. 
position. 
r. 
an. 
r. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
6.1. 
I. 
term. 
o. 
thei. 
cartesia. 
components. 
thes. 
positio. 
vector. 
ar. 


r. 
. 
ix. 
. 
. 
y. 
. 
kz. 


r. 
. 
ix. 
. 
. 
y. 
. 
kz. 
Th. 
vecto. 
distanc. 
betwee. 
th. 
particle. 
i. 
designate. 
b. 
. 
. 
. 
r. 
. 
r. 
. 
i. 
. 
. 
. 
. 
k. 
(6:1. 
wher. 
. 
. 
x. 
. 
x1. 
. 
. 
y. 
. 
y1. 
. 
. 
z. 
. 
z. 
Th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
two-particl. 
syste. 
i. 
locate. 
b. 
th. 
vecto. 
. 
wit. 
cartesia. 
components. 
X. 
Y. 
. 


R 
r2 
r1 
CM 
2 
1 
y 
x 
z 
Figur. 
6.. 
Th. 
cente. 
o. 
mas. 
(CM. 
o. 
. 
two-particl. 
system. 



15. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


. 
. 
i. 
. 
j. 
. 
. 
. 
B. 
de�nition. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
i. 
relate. 
t. 
r. 
an. 
r. 
b. 
m1r. 
. 
m2r. 


. 
. 
(6:2. 


wher. 
. 
. 
m. 
. 
m. 
i. 
th. 
tota. 
mas. 
o. 
th. 
system. 
W. 
ma. 
expres. 
r. 
an. 
r. 
i. 
term. 
o. 
. 
an. 
. 
usin. 
equation. 
(6.1. 
an. 
(6.2. 


r. 
. 
. 
. 
. 


(6:3. 


r. 
. 
. 
. 
. 


I. 
w. 
restric. 
ou. 
interes. 
t. 
system. 
fo. 
whic. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
i. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
relativ. 
positio. 
vecto. 
r. 
the. 
th. 
classica. 
Hamiltonia. 
functio. 
. 
i. 
give. 
b. 


jp1j. 
jp2j. 


. 
... 
. 
(r. 
(6:4. 


2m12m. 
wher. 
th. 
moment. 
p. 
an. 
p. 
fo. 
th. 
tw. 
particle. 
ar. 
dr1dr2

p. 
. 
m1. 
p. 
. 
m. 


Thes. 
moment. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 
tim. 
derivative. 
o. 
. 
an. 
. 
b. 
substitutio. 
o. 
equatio. 
(6.3. 


d. 
m2d. 


p. 
. 
m. 
. 


dt. 
d. 


(6:5. 


d. 
m1d. 


p. 
. 
m. 
. 


dt. 
d. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(6.5. 
int. 
(6.4. 
yield. 


. 
. 
(r. 
(6:6. 


wher. 
th. 
cros. 
term. 
hav. 
cancele. 
ou. 
an. 
w. 
hav. 
de�ne. 
th. 
reduce. 
mas. 


. 
b. 
. 
. 
m. 
m. 
. 
m. 
m. 
(6:7. 
m. 
. 
m. 
. 


Th. 
moment. 
p. 
an. 
pr. 
correspondin. 
t. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
positio. 
. 
an. 
th. 
relativ. 
positio. 
variabl. 
r. 
respectively. 
ma. 
b. 
de�ne. 
a. 


p. 
. 
. 
. 
p. 
. 
. 


I. 
term. 
o. 
thes. 
momenta. 
th. 
classica. 
Hamiltonia. 
become. 



6.. 
Two-particl. 
proble. 
15. 


jpRj. 
jprj. 


. 
. 
.. 
V(r. 
(6:8. 


W. 
se. 
tha. 
th. 
kineti. 
energ. 
contributio. 
t. 
th. 
Hamiltonia. 
i. 
th. 
su. 
o. 
tw. 
parts. 
th. 
kineti. 
energ. 
du. 
t. 
th. 
translationa. 
motio. 
o. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
syste. 
a. 
. 
whol. 
an. 
th. 
kineti. 
energ. 
du. 
t. 
th. 
relativ. 
motio. 
o. 
th. 
tw. 
particles. 
Sinc. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
(r. 
i. 
assume. 
t. 
b. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
relativ. 
positio. 
coordinat. 
r. 
th. 
motio. 
o. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
syste. 
i. 
unaffecte. 
b. 
th. 
potentia. 
energy. 


Th. 
quantum-mechanica. 
Hamiltonia. 
operato. 
. 
i. 
obtaine. 
b. 
replacin. 
jpRj. 
an. 
jprj. 
i. 
equatio. 
(6.8. 
b. 
th. 
operator. 
�"2=. 
an. 
�"2=2. 
respec. 


tively. 
wher. 


. 
.. 
(6:9a)

. 
. 
. 
. 
. 
Z. 


... 
(6:9b)

. 
@x. 
. 
y. 
@z. 


Th. 
resultin. 
Schro�dinge. 
equatio. 
is. 
then. 


. 
�. 
V(r. 
�(R. 
r. 
. 
E�(R. 
r. 
(6:10. 


2M. 
2. 
. 


Thi. 
partia. 
differentia. 
equatio. 
ma. 
b. 
readil. 
separate. 
b. 
writin. 
th. 
wav. 
functio. 
�(R. 
r. 
a. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
functions. 
on. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
variable. 
X. 
Y. 
. 
an. 
th. 
othe. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
th. 
relativ. 
coordinate. 
x. 
y. 
. 


�(R. 
r. 
. 
�(. 
. 
. 
. 
Z)�(x. 
y. 
z. 
. 
�(R)�(r. 


Wit. 
thi. 
substitution. 
equatio. 
(6.10. 
separate. 
int. 
tw. 
independen. 
partia. 
differentia. 
equation. 


. 
=. 
R�(R. 
. 
ER�(R. 
(6:11. 


. 
�(r. 
. 
V(r)�(r. 
. 
Er�(r. 
(6:12. 


wher. 


. 
. 
E. 
. 
E. 


Equatio. 
(6.11. 
i. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
translationa. 
motio. 
o. 
. 
fre. 
particl. 
o. 
mas. 
M. 
whil. 
equatio. 
(6.12. 
i. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
. 
hypothetica. 
particl. 
o. 
mas. 
. 
movin. 
i. 
. 
potentia. 
�el. 
. 
(r). 
Sinc. 
th. 
energ. 
E. 
o. 
th. 
translationa. 
motio. 
i. 
. 
positiv. 
constan. 
(E. 
. 
0). 
th. 
solution. 
o. 
equatio. 
(6.11. 
ar. 
no. 
relevan. 
t. 
th. 
structur. 
o. 
th. 
two-particl. 
syste. 
an. 
w. 
d. 
no. 
conside. 
thi. 
equatio. 
an. 
further. 



16. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


6.. 
Th. 
hydrogen-lik. 
ato. 


Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(6.12. 
fo. 
th. 
relativ. 
motio. 
o. 
. 
two-particl. 
syste. 
i. 
applicabl. 
t. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
whic. 
consist. 
o. 
. 
nucleu. 
o. 
charg. 
.Z. 
an. 
a. 
electro. 
o. 
charg. 
�e. 
Th. 
differentia. 
equatio. 
applie. 
t. 
. 
fo. 
. 
.1. 
He. 
fo. 
. 
.2. 
Li2. 
fo. 
. 
.3. 
an. 
s. 
forth. 
Th. 
potentia. 
energ. 
. 
(r. 
o. 
th. 
interactio. 
betwee. 
th. 
nucleu. 
an. 
th. 
electro. 
i. 
. 
functio. 
o. 
thei. 
separatio. 
distanc. 
. 
.jrj.(x. 
.y. 
.z2)1=. 
an. 
i. 
give. 
b. 
Coulomb'. 
la. 
(equatio. 
(5.76)). 
whic. 
i. 
S. 
unit. 
i. 


. 
(r. 
.. 


4��. 
. 
wher. 
mete. 
i. 
th. 
uni. 
o. 
length. 
joul. 
i. 
th. 
uni. 
o. 
energy. 
coulom. 
i. 
th. 
uni. 
o. 
charge. 
an. 
�. 
i. 
th. 
permittivit. 
o. 
fre. 
space. 
Anothe. 
syste. 
o. 
units. 
use. 
ofte. 
i. 
th. 
olde. 
literatur. 
an. 
occasionall. 
i. 
recen. 
literature. 
i. 
th. 
CG. 
gaussia. 
system. 
i. 
whic. 
Coulomb'. 
la. 
i. 
writte. 
a. 


V(r. 
.. 


I. 
thi. 
system. 
centimete. 
i. 
th. 
uni. 
o. 
length. 
er. 
i. 
th. 
uni. 
o. 
energy. 
an. 
statcoulom. 
(als. 
calle. 
th. 
electrostati. 
uni. 
o. 
esu. 
i. 
th. 
uni. 
o. 
charge. 
I. 
thi. 
boo. 
w. 
accommodat. 
bot. 
system. 
o. 
unit. 
an. 
writ. 
Coulomb'. 
la. 
i. 
th. 
for. 


V(r. 
.. 
(6:13. 


wher. 
e. 
.. 
fo. 
CG. 
unit. 
o. 
e. 
.e=(4��0)1=. 
fo. 
S. 
units. 


Equatio. 
(6.12. 
canno. 
b. 
solve. 
analyticall. 
whe. 
expresse. 
i. 
th. 
cartesia. 
coordinate. 
x. 
y. 
z. 
bu. 
ca. 
b. 
solve. 
whe. 
expresse. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
r. 
�. 
j. 
b. 
mean. 
o. 
th. 
transformatio. 
equation. 
(5.29). 
Th. 
laplacia. 
operato. 
=. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(A.61. 


an. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
substitutin. 
equation. 
(5.30. 
int. 
(6.9b. 
t. 
yiel. 


. 
@. 
1. 
@. 
. 
@. 


=. 
. 
. 
r. 
. 
si. 
. 
. 


r. 
. 
. 
. 
rr. 
si. 
. 
@. 
@. 
sin. 
. 
@j. 
I. 
thi. 
expressio. 
i. 
compare. 
wit. 
equatio. 
(5.32). 
w. 
se. 
tha. 


=. 
r. 
.
^L. 


r. 
. 
. 
. 
. 
". 
r. 
wher. 
.
^L. 
i. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
operator. 
Wit. 
th. 
laplacia. 
operato. 
=. 
expresse. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinates. 
th. 
Schro�dinge. 


equatio. 
(6.12. 
become. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
16. 


H�(r. 
�. 
j. 
.E�(r. 
�. 
j. 


^. 
.. 
". 
2�r. 
. 
. 
. 
r. 
. 
. 
. 
. 
. 
2�r. 
.
^L
. 
.V(r. 
(6:14. 


Th. 
operato. 
.
^L. 
i. 
equatio. 
(5.32. 
commute. 
wit. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 


. 
i. 
(6.14. 
becaus. 
.
^L. 
commute. 
wit. 
itsel. 
an. 
doe. 
no. 
involv. 
th. 
variabl. 


r. 
Likewise. 
th. 
operato. 
.
^L. 
i. 
equatio. 
(5.31c. 
commute. 
wit. 
. 
becaus. 
i. 
commute. 
wit. 
.
^L. 
a. 
show. 
i. 
(5.15a. 
an. 
als. 
doe. 
no. 
involv. 
th. 
variabl. 
r. 
Thus. 
w. 
hav. 


. 
H^
^L2. 
.0. 
. 
H^
^Lz. 
.0. 
[.
^L2. 
.
^Lz. 
.. 
an. 
th. 
operator. 
H^
^L2. 
an. 
.
^L. 
hav. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 


H�(r. 
�. 
j. 
.E�(r. 
�. 
j. 
(6:15a. 


.
^L2�(r. 
�. 
j. 
.l(. 
.1)"2�(r. 
�. 
j). 
. 
.0. 
1,2. 
... 
(6:15b. 


.
^Lz�(r. 
�. 
j. 
.m"�(r. 
�. 
j). 
. 
.�l. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
. 
(6:15c. 


Th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
.
^L. 
an. 
.
^L. 
ar. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
give. 
b. 
equation. 
(5.50. 
an. 
(5.59). 
Sinc. 
neithe. 
.
^L. 
no. 
.
^L. 
involv. 
th. 
variabl. 
r. 
an. 
speci�. 
spherica. 
harmoni. 
ma. 
b. 
multiplie. 
b. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
o. 
. 
an. 
th. 
resul. 
i. 
stil. 
a. 
eigenfunction. 
Thus. 
w. 
ma. 
writ. 
�(r. 
�. 
j)a. 


�(r. 
�. 
j. 
.R(r)Ylm(�. 
j. 
(6:16. 
Substitutio. 
o. 
equation. 
(6.13). 
(6.14). 
(6.15b). 
an. 
(6.16. 
int. 
(6.15a. 
give. 


HlR(r. 
.ER(r. 
(6:17. 


wher. 


"2. 
. 
Ze9. 


H. 
.. 
�l(. 
.1. 
. 
(6:18. 


2�r2d. 
dr. 


an. 
wher. 
th. 
commo. 
facto. 
Ylm(�. 
j. 
ha. 
bee. 
divide. 
out. 


6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 


Ou. 
nex. 
tas. 
i. 
t. 
solv. 
th. 
radia. 
equatio. 
(6.17. 
t. 
obtai. 
th. 
radia. 
functio. 
R(r. 
an. 
th. 
energ. 
E. 
Th. 
man. 
solution. 
o. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(6.17. 
depen. 
no. 
onl. 
o. 
th. 
valu. 
o. 
l. 
bu. 
als. 
o. 
th. 
valu. 
o. 
E. 
Therefore. 
th. 
solution. 
ar. 
designate. 
a. 
REl(r). 
Sinc. 
th. 
potentia. 
energ. 
�Ze92=. 
i. 
alway. 
negative. 
w. 
ar. 
intereste. 
i. 
solution. 
wit. 
negativ. 
tota. 
energy. 
i.e.. 
wher. 
. 
. 
0. 
I. 
i. 
customar. 
t. 
requir. 
tha. 
th. 
function. 
REl(r. 
b. 
normal. 



16. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


ized. 
Sinc. 
th. 
radia. 
par. 
o. 
th. 
volum. 
elemen. 
i. 
spherica. 
coordinate. 
i. 
r2dr. 
th. 
normalizatio. 
criterio. 
i. 


[REl(r)]. 
r2d. 
.. 
(6:19. 


Throug. 
a. 
explici. 
integratio. 
b. 
parts. 
w. 
ca. 
sho. 
tha. 


REl(r)[H^
RE. 
l(r)]r2d. 
. 
RE9l(r). 
H^
REl(r)]r2d. 


Thus. 
th. 
operato. 
H^
i. 
hermitia. 
an. 
th. 
radia. 
function. 
REl(r. 
constitut. 
a. 
orthonorma. 
se. 
wit. 
. 
weightin. 
functio. 
w(r. 
equa. 
t. 
r. 


REl(r)RE9l(r)r2d. 
.�EE. 
(6:20. 


wher. 
�EE. 
i. 
th. 
Kronecke. 
delt. 
an. 
equatio. 
(6.19. 
ha. 
bee. 
included. 
W. 
nex. 
mak. 
th. 
followin. 
conventiona. 
chang. 
o. 
variable. 


. 
Ze9. 


. 
. 
(6:21. 


"(�2�E)1=. 


2(�2�E)1=. 
. 
2�Ze9. 
. 
2Z. 


. 
. 
.. 
(6:22. 


. 
�". 
�a. 


wher. 
a. 
."2=�e92. 
W. 
als. 
mak. 
th. 
substitutio. 


3=. 


REl(r. 
. 
S�l(r. 
(6:23. 


Equation. 
(6.17. 
an. 
(6.18. 
no. 
tak. 
th. 
for. 


d. 
. 
r. 


.2. 
.�. 
. 
S�. 
.l(. 
.1)S�. 
(6:24. 


dr2d. 
. 


wher. 
th. 
�rs. 
ter. 
ha. 
bee. 
expande. 
an. 
th. 
entir. 
expressio. 
ha. 
bee. 
multiplie. 
b. 
r2. 


T. 
b. 
. 
suitabl. 
wav. 
function. 
S�l(r. 
mus. 
b. 
well-behaved. 
i.e.. 
i. 
mus. 
b. 
continuous. 
single-valued. 
an. 
quadraticall. 
integrable. 
Thus. 
rS�. 
vanishe. 
whe. 
. 
!. 
becaus. 
S�. 
mus. 
vanis. 
suf�cientl. 
fast. 
Sinc. 
S�. 
i. 
�nit. 
everywhere. 
rS�. 
als. 
vanishe. 
a. 
. 
.0. 
Substitutio. 
o. 
equation. 
(6.22. 
an. 
(6.23. 
int. 
(6.19. 
show. 
tha. 
S�l(r. 
i. 
normalize. 
wit. 
. 
weightin. 
functio. 
w(r. 
equa. 
t. 
r. 


[S�l(r)]2r2d. 
.. 
(6:25. 


Equatio. 
(6.24. 
ma. 
b. 
solve. 
b. 
th. 
Frobeniu. 
o. 
serie. 
solutio. 
metho. 
a. 
presente. 
i. 
Appendi. 
G. 
However. 
i. 
thi. 
chapte. 
w. 
emplo. 
th. 
newe. 
procedur. 
usin. 
ladde. 
operators. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
16. 


Ladde. 
operator. 


W. 
no. 
solv. 
equatio. 
(6.24. 
b. 
mean. 
o. 
ladde. 
operators. 
analogou. 
t. 
th. 
metho. 
use. 
i. 
Chapte. 
. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
an. 
i. 
Chapte. 
. 
fo. 
th. 
angula. 
momentum.. 
W. 
de�n. 
th. 
operator. 
A^. 
an. 
B^
a. 


A. 
�. 
�.. 
�. 
(6:26a. 


B. 
. 
�.. 
(6:26b. 


W. 
no. 
sho. 
tha. 
th. 
operato. 
A^. 
i. 
th. 
adjoin. 
o. 
B^
an. 
vic. 
versa. 
Thus. 
neithe. 
A^. 
no. 
B^
i. 
hermitian. 
Fo. 
an. 
arbitrar. 
well-behave. 
function. 
. 
(r. 
an. 
g(r). 
w. 
conside. 
th. 
integra. 


.. 
.. 
.. 
. 


. 
(r)[A^. 
g(r). 
d. 
.. 
. 
. 
d. 
d. 
. 
. 
. 
. 
.. 
�. 
. 
d. 


wher. 
(6.26a. 
ha. 
bee. 
used. 
Integratio. 
b. 
part. 
o. 
th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
right. 
han. 
sid. 
wit. 
th. 
realizatio. 
tha. 
th. 
integrate. 
par. 
vanishe. 
yield. 


.. 
.. 
.. 
. 


fA^. 
. 
d. 
. 
. 
d(. 
. 
)d. 
. 
. 
. 
. 
.. 
�. 
. 
d. 


. 
. 
. 
�.. 
. 
d. 


Substitutio. 
o. 
(6.26b. 
give. 


. 
(r)[A^. 
g(r). 
d. 
. 
g(r)[B^
. 
. 
(r). 
d. 
(6:27. 


showin. 
that. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(3.33. 


A^. 
.B^
�. 
B^
. 
.A^. 


W. 
readil. 
observ. 
fro. 
(6.26a. 
an. 
(6.26b. 
tha. 
d. 
. 
r. 


B^
�A^. 
.�r. 
�2. 
��. 
..�(. 
�1. 
(6:28a. 


dr2d. 
. 
d. 
. 
r. 


A^. 
B^
. 
.�r. 
�2. 
�(. 
�1). 
..�(. 
�1. 
(6:28b. 


dr2d. 
. 
Equatio. 
(6.24. 
ca. 
the. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 


B�A. 
S�. 
.[�(. 
�1. 
�l(. 
.1)]S�. 
(6:29. 


showin. 
tha. 
th. 
function. 
S�l(r. 
ar. 
als. 
eigenfunction. 
o. 
B�A�. 
Fro. 
equatio. 
(6.28b. 
w. 
obtai. 


W. 
follo. 
her. 
th. 
treatmen. 
b. 
D. 
D. 
Fitt. 
(1995. 
J. 
Chem. 
Educ. 
72. 
1066. 
However. 
th. 
de�nition. 
o. 
th. 
lowerin. 
operato. 
an. 
th. 
constant. 
a�. 
an. 
b�. 
hav. 
bee. 
changed. 



16. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


A. 
B. 
S��1,. 
. 
[�(. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1)]S��1,. 
(6:30. 


whe. 
. 
i. 
replace. 
b. 
. 
. 
. 
i. 
equatio. 
(6.24). 


I. 
w. 
operat. 
o. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(6.29. 
wit. 
th. 
operato. 
A�,w. 
obtai. 


A^. 
B^
�A^. 
S�. 
. 
[�(. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1)]A^. 
S�. 
(6:31. 
Compariso. 
o. 
thi. 
resul. 
wit. 
equatio. 
(6.30. 
lead. 
t. 
th. 
conclusio. 
tha. 


A. 
S�. 
an. 
S��1,. 
are. 
excep. 
fo. 
. 
multiplicativ. 
constant. 
th. 
sam. 
function. 
W. 
implicitl. 
assum. 
her. 
tha. 
S�. 
i. 
uniquel. 
determine. 
b. 
onl. 
tw. 
parameters. 
. 
an. 
l. 
Accordingly. 
w. 
ma. 
writ. 


A�S�. 
. 
a�lS��1,. 
(6:32. 
wher. 
a�. 
i. 
. 
numerica. 
constant. 
dependen. 
i. 
genera. 
o. 
th. 
value. 
o. 
. 
an. 
l. 
t. 
b. 
determine. 
b. 
th. 
requiremen. 
tha. 
S�. 
an. 
S��1,. 
b. 
normalized. 
Withou. 
los. 
o. 
generality. 
w. 
ca. 
tak. 
a�. 
t. 
b. 
real. 
Th. 
functio. 
A^. 
S�. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
th. 
operato. 
i. 
equatio. 
(6.24. 
wit. 
eigenvalu. 
decrease. 
b. 
one. 
Thus. 
th. 
operato. 
A^. 
transform. 
th. 
eigenfunctio. 
S�. 
determine. 
b. 
�. 
. 
int. 
th. 
eigenfunctio. 
S��1,. 
determine. 
b. 
. 
. 
1. 
l. 
Fo. 
thi. 
reaso. 
th. 
operato. 
A^. 
i. 
. 
lowerin. 
ladde. 
operator. 


Followin. 
a. 
analogou. 
procedure. 
w. 
no. 
operat. 
o. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(6.30. 
wit. 
th. 
operato. 
B^
. 
t. 
obtai. 


B^
�A^. 
B^
. 
S��1,. 
. 
[�(. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1)]B^
�S��1,. 
(6:33. 


Comparin. 
equation. 
(6.29. 
an. 
(6.33. 
show. 
tha. 
B. 
S��1,. 
an. 
S�. 
ar. 
proportiona. 
t. 
eac. 
othe. 


B. 
S��1,. 
. 
b�lS�. 
(6:34. 
wher. 
b�. 
i. 
th. 
proportionalit. 
constant. 
assume. 
real. 
t. 
b. 
determine. 
b. 
th. 
requiremen. 
tha. 
S��1,. 
an. 
S�. 
b. 
normalized. 
Th. 
operato. 
B^
. 
transform. 
th. 
eigenfunctio. 
S��1,. 
int. 
th. 
eigenfunctio. 
S�. 
wit. 
eigenvalu. 
. 
increase. 
b. 
one. 
Accordingly. 
th. 
operato. 
B^. 
i. 
. 
raisin. 
ladde. 
operator. 


Th. 
nex. 
ste. 
i. 
t. 
evaluat. 
th. 
numerica. 
constant. 
a�. 
an. 
b�l. 
I. 
orde. 
t. 
accomplis. 
thes. 
evaluations. 
w. 
mus. 
�rs. 
investigat. 
som. 
mathematica. 
propertie. 
o. 
th. 
eigenfunction. 
S�l(r). 


Orthonorma. 
propertie. 
o. 
S�l(r. 
Althoug. 
th. 
function. 
Rnl(r. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(6.20. 
for. 
a. 
orthogona. 
se. 
wit. 
w(r. 
. 
r2. 
th. 
orthogona. 
relationship. 
d. 
no. 
appl. 
t. 
th. 
se. 
o. 
function. 
S�l(r. 
wit. 
w(r. 
. 
r2. 
Sinc. 
th. 
variabl. 
. 
introduce. 
i. 
equatio. 
(6.22. 
depend. 
no. 
onl. 
o. 
r. 
bu. 
als. 
o. 
th. 
eigenvalu. 
E. 
o. 
equivalentl. 
o. 
�. 
th. 
situatio. 
i. 
mor. 
complex. 
T. 
determin. 
th. 
prope. 
orthogona. 
relation. 
ship. 
fo. 
S�l(r). 
w. 
expres. 
equatio. 
(6.24. 
i. 
th. 
for. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
16. 


H9lS�. 
.��S�. 
(6:35. 


wher. 
H^
9. 
i. 
de�ne. 
b. 


d2. 
. 
l(. 
.1. 


H9. 
.. 
.. 
�. 
(6:36. 


dr2d. 
. 
. 


B. 
mean. 
o. 
integratio. 
b. 
parts. 
w. 
ca. 
readil. 
sho. 
tha. 
thi. 
operato. 
H^
9. 
i. 
hermitia. 
fo. 
. 
weightin. 
functio. 
w(r. 
equa. 
t. 
r. 
thereb. 
implyin. 
th. 
orthogona. 
relationship. 


S�l(r)S�9l(r). 
d. 
.. 
fo. 
. 
6.�. 
(6:37. 


I. 
orde. 
t. 
complet. 
th. 
characterizatio. 
o. 
integral. 
o. 
S�l(r). 
w. 
nee. 
t. 
conside. 
th. 
cas. 
wher. 
. 
.�. 
fo. 
w(r. 
.r. 
Recal. 
tha. 
th. 
function. 
S�l(r. 
ar. 
normalize. 
fo. 
w(r. 
.r. 
a. 
expresse. 
i. 
equatio. 
(6.25). 
Th. 
sam. 
resul. 
doe. 
no. 
appl. 
fo. 
w(r. 
.r. 
W. 
begi. 
b. 
expressin. 
th. 
desire. 
integra. 
i. 
. 
slightl. 
differen. 
for. 


[S�l(r)]2. 
d. 
.1[S�l(r)]. 
d(r2. 


Integratio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
b. 
part. 
give. 


.. 
. 
.. 
. 


[S�l(r)]2. 
d. 
.. 
r2[S�l(r)]. 
. 
r. 
S�. 
. 
S�. 
d. 


I. 
S. 
l(r. 
i. 
well-behaved. 
th. 
integrate. 
ter. 
vanishes. 
Fro. 
equatio. 
(6.26a. 


w. 
ma. 
writ. 
. 
. 
d. 
.�^A. 
. 
. 
. 
.. 
�. 
s. 
tha. 
. 


S. 
. 
.�A^. 
S�. 
�1

rrS�. 
.(. 
�1)S�. 


.�a�lS��1,. 
�1rS�. 
.(. 
�1)S�. 


wher. 
equatio. 
(6.32. 
ha. 
bee. 
introduced. 
Th. 
integra. 
the. 
take. 
th. 
for. 


[S�l(r)]2. 
d. 
.a�lS�lS��1,l. 
d. 
.1[S�l]2r2d. 


�(. 
�1. 
[S�l]2. 
d. 


Sinc. 
th. 
�rs. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
vanishe. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(6.37. 
an. 
th. 
secon. 
integra. 
equal. 
unit. 
accordin. 
t. 
(6.25). 
th. 
resul. 
i. 



16. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


0[S�l(r)]2. 
d. 
. 
2
. 
. 
(6:38. 


Combinin. 
equatio. 
(6.38. 
wit. 
(6.37). 
w. 
obtai. 


S�l(r)S�9l(r). 
d. 
. 
���. 
(6:39. 


Evaluatio. 
o. 
th. 
constant. 
a�. 
an. 
b�. 
T. 
evaluat. 
th. 
numerica. 
constan. 
a�l. 
whic. 
i. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(6.32). 
w. 
squar. 
bot. 
side. 
o. 
(6.32). 
multipl. 
throug. 
b. 
r. 
an. 
integrat. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
t. 
obtai. 


r(A^�S�l)(A^. 
S�l)d. 
.a2(S��1,l)2. 
d. 
(6:40. 


Applicatio. 
o. 
equatio. 
(6.27. 
wit. 
. 
.rA^. 
S�. 
an. 
. 
.S�. 
t. 
th. 
left-han. 
sid. 
an. 
substitutio. 
o. 
equatio. 
(6.38. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
giv. 


S�lB^
�(rA^. 
S�l)d. 
.a. 
=2(. 
�1. 
(6:41. 


Th. 
expressio. 
B^
�(rA^�S�l. 
ma. 
b. 
simpli�e. 
a. 
follow. 


B^
�(rA^�S�l. 
.. 
d(rA^. 
S�l. 
.. 
. 
.. 
rA^�S�. 


.rA^�S�. 
.r2d(A^�S�l. 
.. 
. 
. 
.. 
A^. 
S�. 


. 
^r^^

.A�S�. 
.B�A. 
S�. 


.ra�lS��1,. 
.[�(. 
�1. 
�l(. 
.1)]rS�. 


wher. 
equation. 
(6.26b). 
(6.32). 
an. 
(6.29. 
hav. 
bee. 
used. 
Whe. 
thi. 
resul. 
i. 
substitute. 
bac. 
int. 
(6.41). 
w. 
hav. 


a�lS�lS��[�(. 
�1. 
�l(. 
.1). 
. 
d. 
.=2(. 
�1. 
(6:42)

1,l. 
d. 
.�l�l

Accordin. 
t. 
equatio. 
(6.39). 
th. 
�rs. 
integra. 
vanishe. 
an. 
th. 
secon. 
integra. 
equal. 
(2�)�1. 
givin. 
th. 
resul. 


. 
[�(. 
�1. 
�l(. 
.1). 


. 
(. 
.l)(. 
�. 
�1. 
(6:43. 


Substitutio. 
int. 
(6.32. 
give. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
16. 
. 
1=. 


A. 
S. 
. 
. 
(. 
. 
l)(. 
. 
. 
. 
1. 
S��1,. 
(6:44. 


wher. 
w. 
hav. 
arbitraril. 
take. 
th. 
positiv. 
squar. 
root. 


Th. 
numerica. 
constan. 
b�l. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(6.34). 
ma. 
b. 
determine. 
b. 
a. 
analogou. 
procedure. 
beginnin. 
wit. 
th. 
squar. 
o. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(6.34. 
an. 
usin. 
equation. 
(6.27). 
(6.26a). 
(6.34). 
(6.30). 
an. 
(6.39). 
W. 
obtai. 


. 
[�(. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1). 
. 
(. 
. 
l)(. 
. 
. 
. 
1. 
(6:45. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 


s. 
tha. 
equatio. 
(6.34. 
become. 


. 
1=. 


.
^B
S��1,. 
. 
(. 
. 
l)(. 
. 
. 
. 
1. 
S�,. 
(6:46. 


Takin. 
th. 
positiv. 
squar. 
roo. 
her. 
wil. 
tur. 
ou. 
t. 
b. 
consisten. 
wit. 
th. 
choic. 
i. 
equatio. 
(6.44). 


Quantizatio. 
o. 
th. 
energ. 


Th. 
paramete. 
. 
i. 
positive. 
sinc. 
otherwis. 
th. 
radia. 
variabl. 
r. 
whic. 
i. 
inversel. 
proportiona. 
t. 
�. 
woul. 
b. 
negative. 
Furthermore. 
th. 
paramete. 
. 
canno. 
b. 
zer. 
i. 
th. 
transformation. 
i. 
equation. 
(6.21). 
(6.22). 
an. 
(6.23. 
ar. 
t. 
remai. 
valid. 
T. 
�n. 
furthe. 
restriction. 
o. 
. 
w. 
mus. 
conside. 
separatel. 
th. 
case. 
wher. 
. 
. 
. 
an. 
wher. 
. 
. 
1. 


Fo. 
. 
. 
0. 
equatio. 
(6.44. 
take. 
th. 
for. 


A�S�. 
. 
(. 
. 
1)S��1,. 
(6:47. 
Suppos. 
w. 
begi. 
wit. 
. 
suitabl. 
larg. 
valu. 
o. 
�,sa. 
�. 
an. 
continuall. 
appl. 
th. 
lowerin. 
operato. 
t. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(6.47. 
wit. 
. 
. 
. 


A��1A. 
S�. 
. 
(. 
. 
1)(. 
. 
2)S��2,. 


A��2A��1A�S�. 
. 
(. 
. 
1)(. 
. 
2)(. 
. 
3)S��3,. 


Eventuall. 
thi. 
procedur. 
produce. 
a. 
eigenfunctio. 
S��k,0. 
. 
bein. 
. 
positiv. 
integer. 
suc. 
tha. 
. 
,(. 
. 
k. 
. 
1. 
Th. 
nex. 
ste. 
i. 
th. 
sequenc. 
woul. 
giv. 
. 
functio. 
S��k�1,. 
o. 
S�. 
wit. 
. 
. 
(. 
. 
. 
. 
1. 
. 
0. 
whic. 
i. 
no. 
allowed. 
Thus. 
th. 
sequenc. 
mus. 
terminat. 
wit. 
th. 
conditio. 


A��kS��k,. 
. 
(. 
. 
. 
. 
1)S��k�1,. 
. 
. 
whic. 
ca. 
onl. 
occu. 
i. 
(. 
. 
k. 
. 
1. 
Thus. 
. 
mus. 
b. 
a. 
intege. 
an. 
th. 
minimu. 
valu. 
o. 
. 
fo. 
. 
. 
0i. 
. 
. 
1. 
Fo. 
th. 
situation. 
i. 
whic. 
. 
. 
1. 
w. 
not. 
tha. 
th. 
quantitie. 
a. 
�. 
i. 
equatio. 



16. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


(6.43. 
an. 
b. 
�. 
i. 
equatio. 
(6.45). 
bein. 
square. 
o. 
rea. 
numbers. 
mus. 
b. 
positive. 
Consequently. 
th. 
facto. 
(. 
�. 
�1. 
mus. 
b. 
positive. 
s. 
tha. 
. 
. 
(. 
.1). 


W. 
no. 
selec. 
som. 
appropriatel. 
larg. 
valu. 
. 
o. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
equatio. 
(6.44. 
an. 
continuall. 
appl. 
th. 
lowerin. 
operato. 
t. 
bot. 
side. 
o. 
th. 
equatio. 
i. 
th. 
sam. 
manne. 
a. 
i. 
th. 
. 
.. 
case. 
Eventuall. 
w. 
obtai. 
S��k,. 
suc. 
tha. 
(. 
.1. 
. 
(. 
�k. 
. 
(. 
.2). 
Th. 
nex. 
ste. 
i. 
th. 
sequenc. 
woul. 
giv. 
S��k�1,. 
o. 
S�. 
wit. 
. 
.(. 
�. 
�1. 
. 
(. 
.1). 
whic. 
i. 
no. 
allowed. 
s. 
tha. 
th. 
sequenc. 
mus. 
b. 
terminate. 
accordin. 
t. 


A��kS��k,. 
.a��k,lS��k�1,. 


. 
1=2

. 
�. 
�. 


. 
(. 
�. 
.l)(. 
�. 
�. 
�1. 
S��k�1,. 


fo. 
som. 
valu. 
o. 
k. 
Thus. 
. 
mus. 
b. 
a. 
intege. 
fo. 
a��k,. 
t. 
vanish. 
A. 
. 
increase. 
durin. 
th. 
sequence. 
th. 
constan. 
a��k,. 
vanishe. 
whe. 
. 
.(. 
�. 
�1. 
or(. 
�k. 
.(. 
.1). 
Th. 
minimu. 
valu. 
o. 
. 
i. 
the. 
. 
.1. 
Combinin. 
th. 
conclusion. 
o. 
bot. 
cases. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
minimu. 
valu. 
o. 
. 
i. 
. 
.. 
fo. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
Beginnin. 
wit. 
th. 
valu. 
. 
.. 
.1. 
w. 
ca. 
appl. 
equatio. 
(6.46. 
t. 
yiel. 
a. 
in�nit. 
progressio. 
o. 
eigenfunction. 
Snl(r. 
fo. 
eac. 
valu. 
o. 
. 
(. 
.0. 
1. 
2. 
...). 
wher. 
. 
ca. 
tak. 
o. 
onl. 
integra. 
values. 
. 
.. 
.. 
.1. 
. 
.2. 
. 
.3. 
... 
Sinc. 
. 
i. 
bot. 
case. 
wa. 
chose. 
arbitraril. 
an. 
wa. 
show. 
t. 
b. 
a. 
integer. 
equatio. 
(6.46. 
generate. 
al. 
o. 
th. 
eigenfunc. 
tion. 
S�l(r. 
fo. 
eac. 
valu. 
o. 
l. 
Ther. 
ar. 
n. 
eigenfunction. 
correspondin. 
t. 
non-integra. 
value. 
o. 
�. 
Sinc. 
. 
i. 
no. 
show. 
t. 
b. 
a. 
intege. 
n. 
i. 
th. 
remainde. 
o. 
thi. 
presentatio. 
w. 
replac. 
. 
b. 
n. 
Solvin. 
equatio. 
(6.21. 
fo. 
th. 
energ. 
. 
an. 
replacin. 
. 
b. 
n. 
w. 
obtai. 
th. 
quantize. 
energ. 
level. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 


. 
Z2e9. 
Z2e9. 


E. 
.. 
.. 
. 
. 
.1,2. 
3. 
... 
(6:48. 


2". 
n22a. 
n. 


Thes. 
energ. 
level. 
agre. 
wit. 
th. 
value. 
obtaine. 
i. 
th. 
earlie. 
Boh. 
theory. 


Electroni. 
energie. 
ar. 
ofte. 
expresse. 
i. 
th. 
uni. 
electro. 
vol. 
(eV). 
A. 
electro. 
vol. 
i. 
de�ne. 
a. 
th. 
kineti. 
energ. 
o. 
a. 
electro. 
accelerate. 
throug. 
. 
potentia. 
differenc. 
o. 
. 
volt. 
Thus. 
w. 
hav. 


1e. 
.(1:60. 
17. 
. 
10�1. 
C. 
. 
(1:00. 
00. 
V. 
.1:60. 
17. 
. 
10�1. 
. 
Th. 
ground-stat. 
energ. 
E. 
o. 
. 
hydroge. 
ato. 
(. 
.1. 
a. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.48. 
i. 
E. 
.�2:17. 
6. 
. 
10�1. 
. 
.�13:59. 
e. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
16. 


Thi. 
i. 
th. 
energ. 
require. 
t. 
remov. 
th. 
electro. 
fro. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
. 
hydroge. 
ato. 
t. 
. 
stat. 
o. 
zer. 
kineti. 
energ. 
a. 
in�nit. 
an. 
i. 
als. 
know. 
a. 
th. 
ionizatio. 
potentia. 
o. 
th. 
hydroge. 
atom. 


Determinatio. 
o. 
th. 
eigenfunction. 


Equatio. 
(6.47. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
obtai. 
th. 
groun. 
stat. 
(. 
.1. 
. 
.0. 
eigen. 
functio. 
S10(r). 
Introducin. 
th. 
de�nitio. 
o. 
A^. 
i. 
equatio. 
(6.26a). 
w. 
hav. 


A. 
S1. 
.. 
. 
. 
S1. 
.. 


dS1. 
S1. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 
e�r=2

S1. 
.ce�r=. 
.2�1=2wher. 
th. 
constan. 
. 
o. 
integratio. 
wa. 
evaluate. 
b. 
applyin. 
equation. 
(6.25). 
(A.26). 
an. 
(A.28). 
Th. 
serie. 
o. 
eigenfunction. 
S20. 
S30. 
...ar. 
readil. 
obtaine. 
fro. 
equation. 
(6.46. 
an. 
(6.26b. 
wit. 
. 
.n. 
. 
.. 


BnSn�1,. 
. 
. 
�.. 
Sn�1,. 
.nSn. 


Thus. 
S2. 
i. 


2�1=2e�r=2

S2. 
. 
. 
�.. 


.. 
. 
��. 
(. 
�r)e�r=. 


an. 
S3. 
i. 


S3. 
. 
. 
�.. 
p��. 
(. 
�r)e�r=. 


3d. 
. 
2. 


.. 
. 
��. 
(. 
�6. 
.r2)e�r=. 


an. 
s. 
fort. 
a. 
in�nitum. 
Eac. 
eigenfunctio. 
i. 
normalized. 
Th. 
eigenfunction. 
fo. 
. 
. 
. 
ar. 
determine. 
i. 
. 
simila. 
manner. 
. 
genera. 
formul. 
fo. 
th. 
eigenfunctio. 
Sl.1,l. 
whic. 
i. 
th. 
startin. 
functio. 
fo. 
evaluat. 
in. 
th. 
serie. 
Sn. 
wit. 
�xe. 
l. 
i. 
obtaine. 
fro. 
equation. 
(6.44. 
an. 
(6.26a. 
wit. 
. 
.. 
.. 
.. 



17. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


Al.. 
Sl.1,. 
.. 
. 
... 
Sl.1,. 
.. 


dSl.1,. 
. 


. 
. 
. 
. 
Sl.1,. 


Integratio. 
give. 


Sl.1,. 
.[(2. 
.2)!]�1=2rle�r=. 
(6:49. 


wher. 
th. 
integratio. 
constan. 
wa. 
evaluate. 
usin. 
equation. 
(6.25). 
(A.26). 
an. 
(A.28). 
Th. 
eigenfunctio. 
S2. 
fro. 
equatio. 
(6.49. 
i. 
. 
. 
re�r=2

S2. 
. 
��. 


an. 
equation. 
(6.46. 
an. 
(6.26b. 
fo. 
. 
.1giv. 


S3. 
.p��. 
. 
�.. 
p��. 
re�r=. 


6d. 
. 
2. 


. 
. 
(. 
�r)re�r=. 


r����. 


S4. 
. 
. 
�.. 
(. 
�r)re�r=. 


4. 
d. 
. 
1. 


1)re�r=2

.p����. 
(2. 
�10. 
.r2

Th. 
function. 
S31. 
S41. 
... 
ar. 
automaticall. 
normalize. 
a. 
speci�e. 
b. 
equatio. 
(6.25). 
Th. 
normalize. 
eigenfunction. 
Snl(r. 
fo. 
. 
.2. 
3. 
4. 
... 
wit. 
. 
. 
(. 
.1. 
ar. 
obtaine. 
b. 
th. 
sam. 
procedure. 


. 
genera. 
formul. 
fo. 
Sn. 
involve. 
th. 
repeate. 
applicatio. 
o. 
B. 
fo. 
. 
. 
. 
.2. 
. 
.3. 
.... 
. 
�1. 
. 
t. 
Sl.1,. 
i. 
equatio. 
(6.49). 
Th. 
raisin. 
operato. 
mus. 
b. 
applie. 
(. 
�. 
�1. 
times. 
Th. 
resul. 
i. 


Sn. 
.(bnl)�1(bn�1,l)�. 
...(bl.2,l)�. 
B^
nB^
n�. 
... 
B^
l.2Sl.1,. 
1=2. 


(. 
.1)(2. 
.1). 
. 
. 


. 
. 
�.. 


n(. 
.l)!(. 
�. 
�1)!(2. 
.2). 
d. 
. 


. 
. 
�.. 
�. 


. 
. 
�.. 
.. 
rle�r=. 
(6:50. 


d. 
2d. 
. 


Jus. 
a. 
equatio. 
(6.46. 
ca. 
b. 
use. 
t. 
g. 
`u. 
th. 
ladder. 
t. 
obtai. 
Sn,. 
fro. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
17. 


Sn�1,l. 
equatio. 
(6.44. 
allow. 
on. 
t. 
g. 
`dow. 
th. 
ladder. 
an. 
obtai. 
Sn�1,. 
fro. 
Snl. 
Takin. 
th. 
positiv. 
squar. 
roo. 
i. 
goin. 
fro. 
equatio. 
(6.43. 
t. 
(6.44. 
i. 
consisten. 
wit. 
takin. 
th. 
positiv. 
squar. 
roo. 
i. 
goin. 
fro. 
equatio. 
(6.45. 
t. 
(6.46). 
th. 
sign. 
o. 
th. 
function. 
Sn. 
ar. 
maintaine. 
i. 
th. 
raisin. 
an. 
lowerin. 
operations. 
I. 
al. 
case. 
th. 
ladde. 
operator. 
yiel. 
normalize. 
eigen. 
function. 
i. 
th. 
startin. 
eigenfunctio. 
i. 
normalized. 


Th. 
radia. 
factor. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
tota. 
wav. 
function. 
�(r. 
�. 
j. 
ar. 
relate. 
t. 
th. 
function. 
Snl(r. 
b. 
equatio. 
(6.23). 
Thus. 
w. 
hav. 


3=2

. 
e�r=2

R1. 
. 
. 


3=. 
R2. 
.. 
. 
��. 
. 
(. 
. 
r)e�r=. 


3=. 
R3. 
.. 
. 
��. 
. 
(. 
. 
6. 
. 
r2)e�r=. 


3=2

. 
. 
re�r=2

R2. 
.p��. 


3=. 
R3. 
.. 
. 
��. 
. 
(. 
. 
r)re�r=. 


3=. 
R4. 
.. 
. 
����. 
. 
(2. 
. 
10. 
. 
r2)re�r=. 


3. 
1. 
a. 


an. 
s. 
forth. 
. 
mor. 
extensiv. 
listin. 
appear. 
i. 
Tabl. 
6.1. 


Radia. 
function. 
i. 
term. 
o. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 


Th. 
radia. 
function. 
Snl(r. 
an. 
Rnl(r. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 


associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
L. 
(r). 
whos. 
de�nitio. 
an. 
mathematica. 
propertie. 
ar. 
discusse. 
i. 
Appendi. 
F. 
On. 
metho. 
fo. 
establishin. 
th. 


relationshi. 
betwee. 
Snl(r. 
an. 
L(r. 
i. 
t. 
relat. 
Snl(r. 
i. 
equatio. 
(6.50. 
t. 


th. 
polynomia. 
L. 
(r. 
i. 
equatio. 
(F.15). 
Tha. 
process. 
however. 
i. 
lon. 
an. 
tedious. 
Instead. 
w. 
sho. 
tha. 
bot. 
quantitie. 
ar. 
solution. 
o. 
th. 
sam. 
differentia. 
equation. 



17. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


Tabl. 
6.1. 
Radia. 
function. 
Rn. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
fo. 
. 
. 
. 
t. 
6. 
Th. 
variabl. 
. 
i. 
give. 
b. 
. 
. 
. 
Zr=na. 


R1. 
. 
2. 
Z=a�)3=2e�r=. 


. 
Z=a�)3=. 


. 
Z=a�)3=. 


. 
Z=a�)3=. 


. 
Z=a�)3=. 


. 
Z=a�)3=. 


p����. 


. 
Z=a�)3=. 
. 
Z=a�)3=. 


p����. 


. 
Z=a�)3=. 


. 
Z=a�)3=. 


p����. 


. 
Z=a�)3=. 


. 
Z=a�)3=. 


p����. 


15. 
3. 
. 
Z=a�)3=. 


p����. 


15. 
7. 
. 
Z=a�)3=. 


p����. 


30. 
7. 
. 
Z=a�)3=. 


p����. 


90. 
7. 


(. 
. 
r)e�r=. 
re�r=. 


(. 
. 
6. 
. 
r2)e�r=. 
(. 
. 
r). 
e�r=. 
r2e�r=. 


(2. 
. 
36. 
. 
12r. 
. 
r3)e�r=. 
(2. 
. 
10. 
. 
r2). 
e�r=. 
(. 
. 
r)r2e�r=. 


r3e�r=. 


(12. 
. 
240. 
. 
120r. 
. 
20r. 
. 
r4)e�r=. 
(12. 
. 
90. 
. 
18r. 
. 
r3). 
e�r=. 
(4. 
. 
14. 
. 
r2)r2e�r=. 


e�r=2

(. 
. 
r)r. 
r4e�r=. 


. 
Z=a�)3=. 


R6. 
.p��. 
(72. 
. 
1800. 
. 
1200r. 
. 
300r. 
. 
30r. 
. 
r5)e�r=. 


216. 
. 



6.. 
Th. 
radia. 
equatio. 
17. 
Tabl. 
6.1. 
(cont.. 


. 
Z=a�)3=. 


R6. 
.p�������. 
(84. 
. 
840. 
. 
252r. 
. 
28r. 
. 
r4). 
e�r=. 


43. 
21. 
. 
Z=a�)3=. 


R6. 
.p�������. 
(33. 
. 
168. 
. 
24r. 
. 
r3)r2e�r=. 


86. 
10. 
. 
Z=a�)3=. 


e�r=2

R6. 
.p����. 
(7. 
. 
18. 
. 
r2)r. 


259. 
3. 
. 
Z=a�)3=. 


e�r=2

R6. 
.p��. 
(1. 
. 
r)r. 


1296. 
. 
(Z=a�)3=. 


r5e�r=2

R6. 
.p����. 


1. 
96. 
7. 


W. 
observ. 
tha. 
th. 
solution. 
Snl(r. 
o. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(6.24. 
contai. 
th. 
facto. 
rle�r=2. 
Therefore. 
w. 
de�n. 
th. 
functio. 
Fnl(r)b. 
e�r=2

Snl(r. 
. 
Fnl(r)rlan. 
substitut. 
thi. 
expressio. 
int. 
equatio. 
(6.24. 
wit. 
. 
. 
. 
t. 
obtai. 
d. 
Fn. 
dFnl

. 
. 
(2. 
. 
. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
. 
. 
1)Fn. 
. 
. 
(6:51. 


dr2d. 
wher. 
w. 
hav. 
als. 
divide. 
th. 
equatio. 
b. 
th. 
commo. 
facto. 
r. 
Th. 
differentia. 
equatio. 
satis�e. 
b. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(F.16. 
a. 


d. 
Ld. 


. 
. 
. 
(. 
. 
. 
. 
r. 
. 
. 
(. 
. 
j)L. 
. 


dr2d. 
. 


I. 
w. 
le. 
. 
. 
. 
. 
. 
an. 
. 
. 
2. 
. 
1. 
the. 
thi. 
equatio. 
take. 
th. 
for. 


d. 
L2l.1dL2l.. 


n.ln.l

. 
. 
(2. 
. 
. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
. 
. 
1)L2l.. 
. 
. 
(6:52. 


dr2d. 
n.. 


W. 
hav. 
alread. 
foun. 
tha. 
th. 
se. 
o. 
function. 
Snl(r. 
contain. 
al. 
th. 
solution. 
t. 
(6.24). 
Therefore. 
. 
compariso. 
o. 
equation. 
(6.51. 
an. 
(6.52. 
show. 
tha. 
Fn. 
i. 
proportiona. 
t. 
L2l.1. 
Thus. 
th. 
functio. 
Snl(r. 
i. 
relate. 
t. 


th. 
polynomia. 
L2l.1(r)b. 


L2l.1

Snl(r. 
. 
cnlrle�r=2(r. 
(6:53. 


Th. 
proportionalit. 
constant. 
cn. 
i. 
equatio. 
(6.53. 
ar. 
determine. 
b. 
th. 
normalizatio. 
conditio. 
(6.25). 
Whe. 
equatio. 
(6.53. 
i. 
substitute. 
int. 
(6.25). 
w. 
hav. 



17. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


c. 
r2l.1e�r[L2l.1d. 
.1

n. 
n.. 
(r)]. 


Th. 
valu. 
o. 
th. 
integra. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(F.25. 
wit. 
. 
.. 
.. 
an. 
. 
.2. 
.1. 
s. 
tha. 
2n[(. 
.l)!]. 


(. 
�. 
�1). 
an. 
Snl(r. 
i. 
equatio. 
(6.53. 
become. 


1=2

(. 
�. 
�1). 


rle�r=. 
L2l.1

Snl(r. 
.. 
n.. 
(r. 
(6:54. 


2n[(. 
.l)!]. 


Takin. 
th. 
negativ. 
squar. 
roo. 
maintain. 
th. 
sig. 
o. 
Snl(r). 


Equation. 
(6.39. 
an. 
(F.22). 
wit. 
Snl(r. 
an. 
. 
(r. 
relate. 
b. 
(6.54). 
ar. 


identical. 
Fro. 
equation. 
(F.23. 
an. 
(F.24). 
w. 
�n. 


s�����������������������������������. 


1(. 
�l)(. 
.. 
.1. 


Snl(r)Sn1,l(r)r2d. 
.�

. 
n(. 
.1. 


Snl(r)Sn9,l(r)r2d. 
.0. 
n. 
6.n. 
. 
. 


Th. 
normalize. 
radia. 
function. 
Rnl(r. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
b. 
combinin. 
equation. 
(6.22). 
(6.23). 
an. 
(6.54. 


s�������������������������������. 


4(. 
�. 
�1). 
Z32Z. 


e�Zr=na. 
L2l.1

Rnl(r. 
.. 
n.. 
(2Zr=na�. 
(6:55. 


n4[(. 
.l)!]. 
a. 
. 
na. 


Solutio. 
fo. 
positiv. 
energie. 


Ther. 
ar. 
als. 
solution. 
t. 
th. 
radia. 
differentia. 
equatio. 
(6.17. 
fo. 
positiv. 
value. 
o. 
th. 
energ. 
E. 
whic. 
correspon. 
t. 
th. 
ionizatio. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
I. 
th. 
limi. 
. 
!1. 
equation. 
(6.17. 
an. 
(6.18. 
fo. 
positiv. 
. 
becom. 


d. 
R(r)2�. 


. 
R(r. 
.. 


dr. 
". 
fo. 
whic. 
th. 
solutio. 
i. 


R(r. 
.cei(2�E)1=. 
r=. 


wher. 
. 
i. 
. 
constan. 
o. 
integration. 
Thi. 
solutio. 
ha. 
oscillator. 
behavio. 
a. 
in�nit. 
an. 
lead. 
t. 
a. 
acceptable. 
well-behave. 
eigenfunctio. 
o. 
equatio. 
(6.17. 
fo. 
al. 
positiv. 
eigenvalue. 
E. 
Thus. 
th. 
radia. 
equatio. 
(6.17. 
ha. 
. 
continuou. 
rang. 
o. 
positiv. 
eigenvalue. 
a. 
wel. 
a. 
th. 
discret. 
se. 
(equatio. 
(6.48). 
o. 
negativ. 
eigenvalues. 
Th. 
correspondin. 
eigenfunction. 
represen. 



6.. 
Atomi. 
orbital. 
17. 


unboun. 
o. 
scatterin. 
state. 
an. 
ar. 
usefu. 
i. 
th. 
stud. 
o. 
electron�io. 
collision. 
an. 
scatterin. 
phenomena. 
I. 
vie. 
o. 
th. 
complexit. 
o. 
th. 
analysi. 
fo. 
obtainin. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
o. 
equatio. 
(6.17. 
fo. 
positiv. 
. 
an. 
th. 
unimportanc. 
o. 
thes. 
quantitie. 
i. 
mos. 
problem. 
o. 
chemica. 
interest. 
w. 
d. 
no. 
conside. 
thi. 
cas. 
an. 
further. 


In�nit. 
nuclea. 
mas. 


Th. 
energ. 
level. 
E. 
an. 
th. 
radia. 
function. 
Rnl(r. 
depen. 
o. 
th. 
reduce. 
mas. 
. 
o. 
th. 
two-particl. 
syste. 


mNm. 
m. 


m. 
.m. 
m. 


wher. 
m. 
i. 
th. 
nuclea. 
mas. 
an. 
m. 
i. 
th. 
electroni. 
mass. 
Th. 
valu. 
o. 
m. 
i. 
9:10. 
3. 
. 
10�3. 
kg. 
Fo. 
hydrogen. 
th. 
nuclea. 
mas. 
i. 
th. 
protoni. 
mass. 
1:67. 
6. 
. 
10�2. 
kg. 
s. 
tha. 
. 
i. 
9:104. 
. 
10�3. 
kg. 
Fo. 
heavie. 
hydrogen-lik. 
atoms. 
th. 
nuclea. 
mas. 
is. 
o. 
course. 
greate. 
tha. 
th. 
protoni. 
mass. 
I. 
th. 
limi. 
m. 
!1. 
th. 
reduce. 
mas. 
an. 
th. 
electroni. 
mas. 
ar. 
th. 
same. 
I. 
th. 
classica. 
two-particl. 
proble. 
o. 
Sectio. 
6.1. 
thi. 
limi. 
correspond. 
t. 
th. 
nucleu. 
remainin. 
a. 
. 
�xe. 
poin. 
i. 
space. 


I. 
mos. 
applications. 
th. 
reduce. 
mas. 
i. 
suf�cientl. 
clos. 
i. 
valu. 
t. 
th. 
electroni. 
mas. 
m. 
tha. 
i. 
i. 
customar. 
t. 
replac. 
. 
i. 
th. 
expression. 
fo. 
th. 
energ. 
level. 
an. 
wav. 
function. 
b. 
me. 
Th. 
paramete. 
a. 
."2=�e9. 
i. 
thereb. 
replace. 
b. 
a. 
."2=mee92. 
Th. 
quantit. 
a. 
is. 
accordin. 
t. 
th. 
earlie. 
Boh. 
theory. 
th. 
radiu. 
o. 
th. 
circula. 
orbi. 
o. 
th. 
electro. 
i. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
th. 
hydroge. 
ato. 
(. 
.1. 
wit. 
. 
stationar. 
nucleus. 
Excep. 
i. 
Sectio. 
6.5. 
wher. 
thi. 
substitutio. 
i. 
no. 
appropriate. 
w. 
replac. 
. 
b. 
m. 
an. 
a. 
b. 
a. 
i. 
th. 
remainde. 
o. 
thi. 
book. 


6.. 
Atomi. 
orbital. 


W. 
hav. 
show. 
tha. 
th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
�(r. 
�. 
j. 
o. 
th. 
opera. 
tor. 
H^
. 
.
^L2. 
an. 
.
^L. 
hav. 
th. 
for. 


�nlm(r. 
�. 
j. 
.jnlmi.Rnl(r)Ylm(�. 
j. 
(6:56. 
wher. 
fo. 
convenienc. 
w. 
hav. 
introduce. 
th. 
Dira. 
notation. 
Th. 
radia. 
function. 
Rnl(r. 
an. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j. 
ar. 
liste. 
i. 
Table. 
6.. 
an. 
5.1. 
respectively. 
Thes. 
eigenfunction. 
depen. 
o. 
th. 
thre. 
quantu. 
number. 
n. 
l. 
an. 
m. 
Th. 
intege. 
. 
i. 
calle. 
th. 
principa. 
o. 
tota. 
quantu. 
numbe. 
an. 
determine. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
atom. 
Th. 
azimutha. 
quantu. 
numbe. 
. 
determine. 
th. 
tota. 
angula. 
momentu. 
o. 
th. 
electron. 
whil. 
th. 



17. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


magneti. 
quantu. 
numbe. 
. 
determine. 
th. 
z-componen. 
o. 
th. 
angula. 
momentum. 
W. 
hav. 
foun. 
tha. 
th. 
allowe. 
value. 
o. 
n. 
l. 
an. 
. 
ar. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
. 
.jmj. 
jmj.1. 
jmj.2. 
... 
. 
.. 
.1. 
. 
.2. 
. 
.3. 
... 
Thi. 
se. 
o. 
relationship. 
ma. 
b. 
inverte. 
t. 
giv. 
. 
.1,2. 
3. 
... 


. 
.0,1. 
2. 
.... 
. 
�. 


. 
.�l. 
�. 
.1. 
.... 
�1. 
0. 
1. 
.... 
. 
�1. 
. 
Thes. 
eigenfunction. 
for. 
a. 
orthonorma. 
set. 
s. 
tha. 


hn9l9m9jnlmi.�nn9�ll9�mm. 


Th. 
energ. 
level. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
depen. 
onl. 
o. 
th. 
principa. 
quantu. 
numbe. 
. 
an. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.48). 
wit. 
a. 
replace. 
b. 
a0,a. 
Z. 
e9. 


E. 
.. 
. 
. 
.1. 
2. 
3. 
... 
(6:57. 


2a. 
n. 
T. 
�n. 
th. 
degenerac. 
g. 
o. 
En. 
w. 
not. 
tha. 
fo. 
. 
speci�. 
valu. 
o. 
. 
ther. 
ar. 
. 
differen. 
value. 
o. 
l. 
Fo. 
eac. 
valu. 
o. 
l. 
ther. 
ar. 
(2. 
.1. 
differen. 
value. 
o. 
m. 
givin. 
(2. 
.1. 
eigenfunctions. 
Thus. 
th. 
numbe. 
o. 
wav. 
function. 
corre. 
spondin. 
t. 
. 
i. 
give. 
b. 


n�. 
n�. 
n�. 
g. 
. 
(2. 
.1. 
.. 
. 
. 
. 


l.. 
l.. 
l.. 


Th. 
�rs. 
summatio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
i. 
th. 
su. 
o. 
integer. 
fro. 
. 
t. 
(. 
�1. 
an. 
i. 
equa. 
t. 
n(. 
�1)=2(. 
term. 
multiplie. 
b. 
th. 
averag. 
valu. 
o. 
eac. 
term). 
Th. 
secon. 
summatio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
ha. 
. 
terms. 
eac. 
equa. 
t. 
unity. 
Thus. 
w. 
obtai. 


g. 
.n(. 
�1. 
.. 
.n. 
showin. 
tha. 
eac. 
energ. 
leve. 
i. 
n2-fol. 
degenerate. 
Th. 
ground-stat. 
energ. 
leve. 
E. 
i. 
non-degenerate. 
Th. 
wav. 
function. 
jnlmifo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
ar. 
ofte. 
calle. 
atomi. 
orbitals. 
I. 
i. 
customar. 
t. 
indicat. 
th. 
value. 
0. 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
... 
o. 
th. 
azimutha. 
quantu. 
numbe. 
. 
b. 
th. 
letter. 
s. 
p. 
d. 
f. 
g. 
h. 
i. 
k. 
.... 
respectively. 
Thus. 
th. 
ground-stat. 
wav. 
functio. 
j100. 
i. 
calle. 
th. 
1. 
atomi. 
orbital. 
j200ii. 
calle. 
th. 
2. 
orbital. 
j210i. 
j211i. 
an. 
|2. 
�1. 
ar. 
calle. 
2. 
orbitals. 
an. 
s. 
forth. 
Th. 
�rs. 
fou. 
letters. 
standin. 
fo. 
sharp. 
principal. 
diffuse. 
an. 



6.. 
Atomi. 
orbital. 
17. 


fundamental. 
originat. 
fro. 
a. 
outdate. 
descriptio. 
o. 
spectra. 
lines. 
Th. 
letter. 
whic. 
follo. 
ar. 
i. 
alphabetica. 
orde. 
wit. 
. 
omitted. 


. 
orbital. 


Th. 
1. 
atomi. 
orbita. 
j1sii. 


3=2. 
. 
e�Zr=a0

j1si.j100i.R10(r)Y00(�. 
j. 
. 
(6:58. 


wher. 
R10(r. 
an. 
Y00(0. 
j. 
ar. 
obtaine. 
fro. 
Table. 
6.. 
an. 
5.1. 
Likewise. 
th. 
orbita. 
j2sii. 


. 
Z=a0)3=. 
Z. 


e�Zr=2a0

j2si.j200i. 
p�����. 
. 
. 
(6:59. 


42. 
a. 


an. 
s. 
fort. 
fo. 
highe. 
value. 
o. 
th. 
quantu. 
numbe. 
n. 
Th. 
expression. 
fo. 
jnsifo. 
. 
.1. 
2. 
an. 
. 
ar. 
liste. 
i. 
Tabl. 
6.2. 


Al. 
th. 
. 
orbital. 
hav. 
th. 
spherica. 
harmoni. 
Y00(�. 
j. 
a. 
. 
factor. 
Thi. 
spherica. 
harmoni. 
i. 
independen. 
o. 
th. 
angle. 
. 
an. 
j. 
havin. 
. 
valu. 


(. 
�)�1. 
Thus. 
th. 
. 
orbital. 
depen. 
onl. 
o. 
th. 
radia. 
variabl. 
. 
an. 
ar. 
sphericall. 
symmetri. 
abou. 
th. 
origin. 
Likewise. 
th. 
electroni. 
probabilit. 
densit. 
j�j. 
i. 
sphericall. 
symmetri. 
fo. 
. 
orbitals. 


. 
orbital. 


Th. 
wav. 
function. 
fo. 
. 
.2. 
. 
.. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(6.56. 
ar. 
a. 
follows. 


(Z=a0)5=. 


j2p0i.j210i. 
p�����. 
re�Zr=2a. 
co. 
. 
(6:60a. 


5=. 
j2p1i.j211i. 
. 
Zre�Zr=2a. 
si. 
. 
ei. 
(6:60b. 


8�1=. 


5=. 
j2p�1i.j2. 
�1i. 
. 
Zre�Zr=2a. 
si. 
. 
e�i. 
(6:60c. 


8�1=. 


Th. 
2. 
an. 
2p. 
orbital. 
ar. 
real. 
bu. 
th. 
2p. 
an. 
2p�. 
orbital. 
ar. 
complex. 
Sinc. 
th. 
fou. 
orbital. 
hav. 
th. 
sam. 
eigenvalu. 
E2. 
an. 
linea. 
combinatio. 
o. 
the. 
als. 
satis�e. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(6.12. 
wit. 
eigenvalu. 
E2. 
Thus. 
w. 
ma. 
replac. 
th. 
tw. 
comple. 
orbital. 
b. 
th. 
followin. 
linea. 
combination. 
t. 
obtai. 
tw. 
ne. 
rea. 
orbital. 



17. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


Tabl. 
6.2. 
Rea. 
wav. 
function. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
Th. 
paramete. 
a. 
ha. 
bee. 
replace. 
b. 
a. 


Stat. 
Wav. 
functio. 


Spherica. 
coordinate. 
Cartesia. 
coordinate. 


3dx2. 
y. 


. 
Z=a0)3=. 


e. 
Zr=a. 


. 
Z=a0)3=. 
Z. 


e. 
Zr=2a0

p�����. 
. 
. 
42. 
a. 


. 
Z=a0)5=. 


p�����. 
re. 
Zr=2a. 
co. 
. 


. 
Z=a0)5=. 


p�����. 
re. 
Zr=2a. 
si. 
. 
co. 
. 


. 
Z=a0)5=. 


p�����. 
re. 
Zr=2a. 
si. 
. 
si. 
. 


. 
Z=a0)3=. 
Z. 
Z. 
r. 


e. 
Zr=3a0

p����. 
��2. 
. 
1. 
. 
. 


8. 
3. 
a0. 


2(Z=a0)5=. 
Z. 


p�����. 
. 
. 
re. 
Zr=3a. 
co. 
. 


8. 
2. 
a. 


2(Z=a0)5=. 
Z. 


p�����. 
. 
. 
re. 
Zr=3a. 
si. 
. 
co. 
. 


8. 
2. 
a. 


2(Z=a0)5=. 
Z. 


p�����. 
. 
. 
re. 
Zr=3a. 
si. 
. 
si. 
. 


8. 
2. 
a. 
. 
Z=a0)7=. 


p����. 
��r2e. 
Zr=3a0(. 
cos2. 
. 
1. 


2(Z=a0)7=. 


p�����. 
r2e. 
Zr=3a. 
si. 
. 
co. 
. 
co. 
. 


2(Z=a0)7=. 


p�����. 
r2e. 
Zr=3a. 
si. 
. 
co. 
. 
si. 
. 


. 
Z=a0)7=. 


p����. 
��r2e. 
Zr=3a. 
sin2. 
co. 
2. 


. 
Z=a0)7=. 


p����. 
��r2e. 
Zr=3a. 
sin2. 
si. 
2. 


. 
Z=a0)5=. 


ze. 
Zr=2a0

p�����. 


. 
Z=a0)5=. 


xe. 
Zr=2a0

p�����. 


. 
Z=a0)5=. 


ye. 
Zr=2a0

p�����. 


2. 
Z=a0)5=. 
Z. 


ze. 
Zr=3a0

p�����. 
. 
. 


8. 
2. 
a. 


2. 
Z=a0)5=. 
Z. 


xe. 
Zr=3a0

p�����. 
. 
. 


8. 
2. 
a. 


2. 
Z=a0)5=. 
Z. 


ye. 
Zr=3a0

p�����. 
. 
. 
8. 
2. 
a. 


. 
Z=a0)7=. 


p�����. 
(3z. 
. 
r2)e. 
Zr=3a. 


2. 
Z=a0)7=. 


p�����. 
xze. 
Zr=3a. 


2. 
Z=a0)7=. 


p�����. 
yze. 
Zr=3a. 


. 
Z=a0)7=. 


p�����. 
(x. 
. 
y2)e. 
Zr=3a. 


2. 
Z=a0)7=. 


p�����. 
xye. 
Zr=3a. 



6.. 
Atomi. 
orbital. 
17. 
5=. 
j2pxi2�1=2(j2p1i.j2p�1i. 
. 
. 
Zre�Zr=2a. 
si. 
. 
co. 
. 
(6:61a. 


4(2�)1=. 
a. 
5=. 
j2pyi�i2�1=2(j. 
p1i�j2p�1i. 
. 
. 
Zre�Zr=2a. 
si. 
. 
si. 
. 


4(2�)1=. 
a. 


(6:61b. 


wher. 
equation. 
(A.32. 
an. 
(A.33. 
hav. 
bee. 
used. 
Thes. 
ne. 
orbital. 
j2px. 
an. 
j2py. 
ar. 
orthogona. 
t. 
eac. 
othe. 
an. 
t. 
al. 
th. 
othe. 
eigenfunction. 
jnlmi. 
Th. 
facto. 
2�1=. 
ensure. 
tha. 
the. 
ar. 
normalize. 
a. 
well. 
Althoug. 
thes. 
ne. 
orbital. 
ar. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
an. 
o. 
th. 
operato. 
.
^L2. 
the. 
ar. 
no. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
operato. 
.
^Lz. 


I. 
w. 
no. 
substitut. 
equation. 
(5.29a). 
(5.29b). 
an. 
(5.29c. 
int. 
(6.61a). 
(6.61b). 
an. 
(6.60a). 
respectively. 
w. 
obtai. 
fo. 
th. 
se. 
o. 
thre. 
rea. 
2. 
orbital. 


5=. 


j2pxi. 
. 
4(2�)1=. 
. 
a. 
xe�Zr=2a. 
(6:62a. 
j2pyi. 
. 
4(2�)1=. 
. 
a. 
5=. 
ye�Zr=2a. 
(6:62b. 
j2pzi. 
. 
�1=. 
. 
2a. 
. 
5=. 
ze�Zr=2a. 
(6:62c. 


Th. 
subscrip. 
x. 
y,o. 
. 
o. 
. 
2. 
orbita. 
indicate. 
tha. 
th. 
angula. 
par. 
o. 
th. 
orbita. 
ha. 
it. 
maximu. 
valu. 
alon. 
tha. 
axis. 
Graph. 
o. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
angula. 
par. 
o. 
thes. 
thre. 
function. 
ar. 
presente. 
i. 
Figur. 
6.2. 
Th. 
mathema. 
tica. 
expression. 
fo. 
th. 
rea. 
2. 
an. 
3. 
atomi. 
orbital. 
ar. 
give. 
i. 
Tabl. 
6.2. 


. 
orbital. 


Th. 
�v. 
wav. 
function. 
fo. 
. 
.3. 
. 
.. 
ar. 


7=2. 
. 
e�. 
Zr=3a0)

j3d0i.j320i. 
p�����. 
r2(. 
cos. 
. 
�1. 
(6:63a. 


8. 
6. 
a. 
7=2. 
. 
e�. 
Zr=3a0)

j3d1i.j3. 
1i. 
p��. 
r2si. 
. 
co. 
. 
ei. 
(6:63b. 


8. 
. 
a. 
7=2. 
. 
e�. 
Zr=3a0)

j3d2i.j3. 
2i. 
p��. 
r2sin2. 
ei2. 
(6:63c. 


16. 
. 
a. 
Th. 
orbita. 
j3d0ii. 
real. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(5.29c. 
int. 
(6.63a. 
an. 
. 
chang. 
i. 
notatio. 
fo. 
th. 
subscrip. 
giv. 



18. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


z 

any axis . 
z-axis 

2pz 

any axis . 
any axis . 
y-axis 

12 
x-axis 
2px 
x 
y 

2py 

Figur. 
6.. 
Pola. 
graph. 
o. 
th. 
hydroge. 
2. 
atomi. 
orbitals. 
Region. 
o. 
positiv. 
an. 
negativ. 
value. 
o. 
th. 
orbital. 
ar. 
indicate. 
b. 
. 
an. 
. 
signs. 
respectively. 
Th. 
distanc. 
o. 
th. 
curv. 
fro. 
th. 
origi. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
angula. 
par. 
o. 
th. 
atomi. 
orbital. 


7=2

. 
. 
)e�. 
Zr=3a0)

j3dz. 
i. 
p�����. 
(3z. 
�r2(6:64a. 


8. 
6. 
a. 


Fro. 
th. 
fou. 
comple. 
orbital. 
j3d1i. 
j3d�1i. 
j3d2i. 
an. 
j3d�2i. 
w. 
construc. 
fou. 
equivalen. 
rea. 
orbital. 
b. 
th. 
relation. 


7=2

21=. 
. 
xze�. 
Zr=3a0)

j3dxzi2�1=2(j3d1i.j3d�1i. 
. 
(6:64b. 


81�1=. 
a. 
7=. 


j3. 
yzi�i2�1=2(j3d1i�j3d�1i. 
. 
. 
yze�. 
Zr=3a0. 
(6:64c. 


81�1=. 
a. 



6.. 
Atomi. 
orbital. 
18. 


j3dx2�y. 
i2�1=2(j3d2i.j3d�2i. 
. 
. 
81(2�)1=. 
. 
a. 
7=. 
(x. 
�y2)e�. 
Zr=3a0. 
(6:64d. 


21=27=. 
j3dxyi�i2�1=2(j3d2i�j3d�2i. 
. 
. 
xye�. 
Zr=3a0. 
(6:64e. 


81�1=. 
a. 


I. 
formin. 
j3dx2�y. 
ian. 
j3dxyi. 
equation. 
(A.37. 
an. 
(A.38. 
wer. 
used. 
Graph. 
o. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
angula. 
par. 
o. 
thes. 
�v. 
rea. 
function. 
ar. 
show. 
i. 
Figur. 
6.. 
an. 
th. 
mathematica. 
expression. 
ar. 
liste. 
i. 
Tabl. 
6.2. 


Radia. 
function. 
an. 
expectatio. 
value. 


Th. 
radia. 
function. 
Rnl(r. 
fo. 
th. 
1s. 
2s. 
2p. 
3s. 
3p. 
an. 
3. 
atomi. 
orbital. 
ar. 
show. 
i. 
Figur. 
6.4. 
Fo. 
state. 
wit. 
. 
6.0. 
th. 
radia. 
function. 
vanis. 
a. 
th. 
origin. 
Fo. 
state. 
wit. 
n. 
angula. 
momentu. 
(. 
.0). 
however. 
th. 
radia. 
functio. 
Rn0(r. 
ha. 
. 
non-zer. 
valu. 
a. 
th. 
origin. 
Th. 
functio. 
Rnl(r. 
ha. 
(. 
�. 
�1. 
node. 
betwee. 
. 
an. 
1. 
i.e.. 
th. 
functio. 
crosse. 
th. 
r-axi. 
(. 
�. 
�1. 
times. 
no. 
countin. 
th. 
origin. 


Th. 
probabilit. 
o. 
�ndin. 
th. 
electro. 
i. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
wit. 
th. 
distanc. 
. 
fro. 
th. 
nucleu. 
betwee. 
. 
an. 
. 
.dr. 
wit. 
angl. 
. 
betwee. 
. 
an. 
. 
.d�. 
an. 
wit. 
th. 
angl. 
. 
betwee. 
. 
an. 
. 
.d. 
i. 


j�nlmj2d. 
.[Rnl(r)]2jYlm(�. 
j)jr. 
si. 
. 
d. 
d. 
d. 


T. 
�n. 
th. 
probabilit. 
Dnl(r)d. 
tha. 
th. 
electro. 
i. 
betwee. 
. 
an. 
. 
.d. 
regardles. 
o. 
th. 
direction. 
w. 
integrat. 
ove. 
th. 
angle. 
. 
an. 
. 
t. 
obtai. 


Dnl(r)d. 
. 
r2[Rnl(r)]. 
d. 
jYlm(�. 
j)jsi. 
. 
d. 
d. 
. 
r2[Rnl(r)]. 
d. 


(6:65. 


Sinc. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
ar. 
normalized. 
th. 
valu. 
o. 
th. 
doubl. 
integra. 
i. 
unity. 


Th. 
radia. 
distributio. 
functio. 
Dnl(r. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
th. 
electro. 
bein. 
i. 
. 
spherica. 
shel. 
wit. 
inne. 
radiu. 
. 
an. 
oute. 
radiu. 
. 
.dr. 
Fo. 
th. 
1s. 
2s. 
an. 
2. 
states. 
thes. 
function. 
ar. 



18. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


zz 

2 1 
1 2 
x 
3dxz 
2 1 
1 2 
y 
3dyz 
y 

2 1 
1 2 
x 
3dxy 
z 

2 
2 
1 1 
y 
x 
3dx22y2 
1 
1 
3dz2 
any axis '
z-axis 
2 2 
Figur. 
6.. 
Pola. 
graph. 
o. 
th. 
hydroge. 
3. 
atomi. 
orbitals. 
Region. 
o. 
positiv. 
an. 
negativ. 
value. 
o. 
th. 
orbital. 
ar. 
indicate. 
b. 
. 
an. 
. 
signs. 
respectively. 
Th. 
distanc. 
o. 
th. 
curv. 
fro. 
th. 
origi. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
angula. 
par. 
o. 
th. 
atomi. 
orbital. 



6.. 
Atomi. 
orbital. 
18. 


3/2R10

a� 2 

1.5 

1 

0.5 

0 

r/a�

012345 

3/2R2l

a� 0.8 

0.6 
0.4 
0.2 
0 
20.2 


r/a� 


l 5 0 
l 5 1 
0 2 4 6 810 


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
r/a� 
a� 
3/2R3l 
20.1 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
l 5 0 
l 5 1 
l 5 2 
Figur. 
6.. 
Th. 
radia. 
function. 
Rnl(r. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 



18. 
Th. 
hydroge. 
ato. 
Zr2e�. 
Zr=a0

D10(r. 
. 
. 


. 
. 


e. 
Zr=a0

D20(r. 
. 
. 
. 
(6:66. 


. 
a. 
a. 
. 
Zr4e. 
Zr=a0

D21(r. 
. 


Higher-orde. 
function. 
ar. 
readil. 
determine. 
fro. 
Tabl. 
6.1. 
Th. 
radia. 
distributio. 
function. 
fo. 
th. 
1s. 
2s. 
2p. 
3s. 
3p. 
an. 
3. 
state. 
ar. 
show. 
i. 
Figur. 
6.5. 


Th. 
mos. 
probabl. 
valu. 
rm. 
o. 
. 
fo. 
th. 
1. 
stat. 
i. 
foun. 
b. 
settin. 
th. 
derivativ. 
o. 
D10(r. 
equa. 
t. 
zer. 


. 
. 


dD10(r. 
. 
Z. 
e�. 
Zr=a0

. 
. 
. 
. 
�. 
. 


dra. 
a. 


whic. 
give. 
rm. 
. 
a0=. 
(6:67. 


Thus. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
. 
. 
. 
1. 
th. 
mos. 
probabl. 
distanc. 
o. 
th. 
electro. 
fro. 
th. 
nucleu. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
radiu. 
o. 
th. 
�rs. 
Boh. 
orbit. 


Th. 
radia. 
distributio. 
function. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
calculat. 
expectatio. 
value. 
o. 
function. 
o. 
th. 
radia. 
variabl. 
r. 
Fo. 
example. 
th. 
averag. 
distanc. 
o. 
th. 
electro. 
fro. 
th. 
nucleu. 
fo. 
th. 
1. 
stat. 
i. 
give. 
b. 


.3.

Zr3e�. 
Zr=a0d. 
. 
3a0

hri1. 
. 
rD10(r)d. 
. 
. 
(6:68. 


. 
a0. 
. 
. 


wher. 
equation. 
(A.26. 
an. 
(A.28. 
wer. 
use. 
t. 
evaluat. 
th. 
integral. 
B. 
th. 
sam. 
method. 
w. 
�n. 


6a05a0

hri2. 
. 
. 
hri2. 
. 


Th. 
expectatio. 
value. 
o. 
power. 
an. 
invers. 
power. 
o. 
. 
fo. 
an. 
arbitrar. 
stat. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
ar. 
de�ne. 
b. 


hrkin. 
. 
rkDnl(r)d. 
. 
r. 
[Rnl(r)]. 
r2d. 
(6:69. 


I. 
Appendi. 
. 
w. 
sho. 
tha. 
thes. 
expectatio. 
value. 
obe. 
th. 
recurrenc. 
relatio. 


. 
. 
. 
a0. 
. 
k. 
a. 


hrkin. 
. 
(2. 
. 
1. 
hrk�1in. 
. 
kl(. 
. 
1. 
.hrk�2in. 
. 
. 


n. 
. 
. 
Z. 
(6:70. 



D30 D30 
6.. 
Atomi. 
orbital. 
18. 


a0D10 0.60 

0.50 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.00 

r/a0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 


a0D2l 0.20 

0.15 

0.10 

0.05 

0.10 

0.00 

r/a0 

D21 
D20 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 


a0D3l 0.12 

0.10 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 
D31 
D32 
0.00 

r/a0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Figur. 
6.. 
Th. 
radia. 
distributio. 
function. 
Dnl(r. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 



18. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


Fo. 
. 
.0. 
equatio. 
(6.70. 
give. 


hr�1in. 
. 
n2Za. 
(6:71. 


Fo. 
. 
.1. 
equatio. 
(6.70. 
give. 


hrin. 
�.l(. 
.1. 
hr�1in. 
.. 


n. 
ZZ. 


hrin. 
. 
[3n. 
�l(. 
.1). 
(6:72. 


Fo. 
. 
.2. 
equatio. 
(6.70. 
give. 
35a. 
a. 


hr2in. 
�hrin. 
.2[l(. 
.1. 
�3. 
.. 


hr2in. 
. 
[5n. 
�3l(. 
.1. 
.1. 
(6:73. 


Fo. 
highe. 
value. 
o. 
k. 
equatio. 
(6.70. 
lead. 
t. 
hr3inl. 
hr4inl. 
... 
Fo. 
. 
.�1. 
equatio. 
(6.70. 
relate. 
hr�3in. 
t. 
hr�2in. 


hr�3in. 
. 
. 
hr�2in. 
(6:74. 


l(. 
.1)a. 
Fo. 
. 
.�2. 
�3. 
.... 
equatio. 
(6.70. 
give. 
successivel. 
hr�4inl. 
hr�5inl. 
... 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
hr�2inl. 
Althoug. 
th. 
expectatio. 
valu. 
hr�2in. 
canno. 
b. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(6.70). 
i. 
ca. 
b. 
evaluate. 
b. 
regardin. 
th. 
azimutha. 
quantu. 
numbe. 
. 
a. 
th. 
paramete. 
i. 
th. 
Hellmann�Feynma. 
theore. 
(equatio. 
(3.71)). 
Thus. 
w. 


. 
E. 
. 
H^
l

. 
(6:75. 


wher. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.18. 
an. 
th. 
energ. 
level. 
E. 
b. 
equatio. 
(6.57). 
Th. 
derivativ. 
. 
H^
l=. 
. 
i. 
jus. 


. 
H^
. 
". 


. 
(2. 
.1. 
(6:76. 


. 
. 
2�r. 
I. 
th. 
derivatio. 
o. 
(6.57). 
th. 
quantu. 
numbe. 
. 
i. 
show. 
t. 
b. 
th. 
valu. 
o. 
. 
plu. 
. 
positiv. 
integer. 
Accordingly. 
w. 
hav. 
. 
n=. 
. 
.. 
an. 
. 
E. 
Z. 
e9. 
. 
Z. 
e9. 
. 
. 
. 
Z2". 


n�. 
. 
n�3

.. 
n�. 
.. 
(6:77. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
�a2

2a02a0. 
wher. 
a. 
."2=�e9. 
ha. 
bee. 
replace. 
b. 
a. 
."2=m. 
e92. 
Substitutio. 
o. 
equation. 
(6.76. 
an. 
(6.77. 
int. 
(6.75. 
give. 
th. 
desire. 
resul. 



6.. 
Spectr. 
18. 
hr�2in. 
. 
Z. 
n3(. 
.. 
2)a. 
. 
(6:78. 


Expressio. 
(6.71. 
fo. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
r�. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
calculat. 
th. 
averag. 
potentia. 
energ. 
o. 
th. 
electro. 
i. 
th. 
stat. 
jnlmi. 
Th. 
potentia. 
energ. 
. 
(r. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.13). 
It. 
expectatio. 
valu. 
i. 


Z. 
e9. 


h. 
in. 
.�Ze92hr�1in. 
.. 
(6:79. 


Th. 
resul. 
depend. 
onl. 
o. 
th. 
principa. 
quantu. 
numbe. 
n. 
s. 
w. 
ma. 
dro. 
th. 
subscrip. 
l. 
. 
compariso. 
wit. 
equatio. 
(6.57. 
show. 
tha. 
th. 
tota. 
energ. 
i. 
equa. 
t. 
one-hal. 
o. 
th. 
averag. 
potentia. 
energ. 
E. 
.1hVi. 
(6:80. 


Sinc. 
th. 
tota. 
energ. 
i. 
th. 
su. 
o. 
th. 
kineti. 
energ. 
. 
an. 
th. 
potentia. 
energ. 
V. 
w. 
als. 
hav. 
th. 
expressio. 


Z. 
e9. 


T. 
.�E. 
. 
(6:81. 


2a. 
n. 
Th. 
relationshi. 
E. 
.�T. 
.(Vn=2. 
i. 
a. 
exampl. 
o. 
th. 
quantum-mechani. 
ca. 
viria. 
theorem. 


6.. 
Spectr. 


Th. 
theoretica. 
result. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
ma. 
b. 
relate. 
t. 
experimen. 
tall. 
measure. 
spectra. 
Observe. 
spectra. 
line. 
aris. 
fro. 
transition. 
o. 
th. 
ato. 
fro. 
on. 
electroni. 
energ. 
leve. 
t. 
another. 
Th. 
frequenc. 
. 
o. 
an. 
give. 
spectra. 
lin. 
i. 
give. 
b. 
th. 
Planc. 
relatio. 


. 
.(E. 
�E1)=. 
wher. 
E. 
i. 
th. 
lowe. 
energ. 
leve. 
an. 
E. 
th. 
highe. 
one. 
I. 
a. 
absorptio. 
spectrum. 
th. 
ato. 
absorb. 
. 
photo. 
o. 
frequenc. 
. 
an. 
undergoe. 
. 
transitio. 
fro. 
. 
lowe. 
t. 
. 
highe. 
energ. 
leve. 
(E. 
!E2). 
I. 
a. 
emissio. 
spectrum. 
th. 
proces. 
i. 
reversed. 
th. 
transitio. 
i. 
fro. 
. 
highe. 
t. 
. 
lowe. 
energ. 
leve. 
(E. 
!E1. 
an. 
. 
photo. 
i. 
emitted. 
. 
spectra. 
lin. 
i. 
usuall. 
expresse. 
a. 
. 
wav. 
numbe. 
.
~�. 
de�ne. 
a. 
th. 
reciproca. 
o. 
th. 
wavelengt. 
. 


. 
. 
jE. 
�E1. 


. 
~�.. 
(6:82. 


Th. 
hydrogen-lik. 
atomi. 
energ. 
level. 
ar. 
give. 
i. 
equatio. 
(6.48). 
I. 
n. 
an. 
n. 
ar. 
th. 
principa. 
quantu. 
number. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
E. 
an. 
E2. 
respectively. 
the. 
th. 
wav. 
numbe. 
o. 
th. 
spectra. 
lin. 
i. 



18. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


Tabl. 
6.3. 
Rydber. 
constan. 
fo. 
hydrogen-lik. 
atom. 


Ato. 
. 
(cm�1. 


1. 
10. 
677.5. 
2. 
(D. 
10. 
707.4. 
4He. 
10. 
722.2. 
7Li2. 
10. 
728.7. 
9Be3. 
10. 
730.6. 
. 
10. 
737.3. 


. 
~�. 
RZ2. 
. 
1
. 
n. 
. 
n. 
(6:83. 


wher. 
th. 
Rydber. 
constan. 
. 
i. 
give. 
b. 


. 
. 
(6:84. 


4�". 
. 
Th. 
valu. 
o. 
th. 
Rydber. 
constan. 
varie. 
fro. 
on. 
hydrogen-lik. 
ato. 
t. 
anothe. 
becaus. 
th. 
reduce. 
mas. 
. 
i. 
. 
factor. 
I. 
i. 
no. 
appropriat. 
her. 
t. 
replac. 
th. 
reduce. 
mas. 
. 
b. 
th. 
electroni. 
mas. 
m. 
becaus. 
th. 
error. 
cause. 
b. 
thi. 
substitutio. 
ar. 
large. 
tha. 
th. 
uncertaintie. 
i. 
th. 
experimenta. 
data. 
Th. 
measure. 
value. 
o. 
th. 
Rydber. 
constant. 
fo. 
th. 
atom. 
1H. 
4He.. 
7Li2.. 
an. 
9Be3. 
ar. 
liste. 
i. 
Tabl. 
6.3. 
Followin. 
th. 
custo. 
o. 
th. 
�el. 
o. 
spectroscopy. 
w. 
expres. 
th. 
wav. 
number. 
i. 
th. 
uni. 
cm�. 
rathe. 
tha. 
th. 
S. 
uni. 
m�1. 
Als. 
liste. 
i. 
Tabl. 
6.. 
i. 
th. 
extrapolate. 
valu. 
o. 
. 
fo. 
in�nit. 
nuclea. 
mass. 
Th. 
calculate. 
value. 
fro. 
equatio. 
(6.84. 
ar. 
i. 
agreemen. 
wit. 
th. 
experimenta. 
value. 
withi. 
th. 
know. 
numbe. 
o. 
signi�can. 
�gure. 
fo. 
th. 
fundamenta. 
constant. 
me. 
e9. 
an. 
. 
an. 
th. 
nuclea. 
masse. 
m. 
. 
Th. 
measure. 
value. 
o. 
. 
hav. 
mor. 
signi�can. 
�gure. 
tha. 
an. 
o. 
th. 
quantitie. 
i. 
equatio. 
(6.84. 
excep. 
th. 
spee. 
o. 
ligh. 
c. 
Th. 
spectru. 
o. 
hydroge. 
(. 
. 
1. 
i. 
divide. 
int. 
. 
numbe. 
o. 
serie. 
o. 
spectra. 
lines. 
eac. 
serie. 
havin. 
. 
particula. 
valu. 
fo. 
n1. 
A. 
man. 
a. 
si. 
differen. 
serie. 
hav. 
bee. 
observed. 


n. 
. 
1. 
Lyma. 
serie. 
ultraviole. 
n. 
. 
2. 
Balme. 
serie. 
visibl. 
n. 
. 
3. 
Pasche. 
serie. 
infrare. 
n. 
. 
4. 
Bracket. 
serie. 
infrare. 
n. 
. 
5. 
Pfun. 
serie. 
fa. 
infrare. 
n. 
. 
6. 
Humphrey. 
serie. 
ver. 
fa. 
infrare. 



6.. 
Spectr. 
18. 


Pfund 
seriesBrackett 
seriesPaschen 
series 
Balmer 
series 
Lyman 
series 
Energy (eV)
Continuum 
n 5 � 
n 5 6 

0 

n 5 5 

n 5 4 

n 5 3 
22 


n 5 2 

24 

26 

28 

210 

212 

n 5 1 
214 


Figur. 
6.. 
Energ. 
level. 
fo. 
th. 
hydroge. 
atom. 


Thus. 
transition. 
fro. 
th. 
lowes. 
energ. 
leve. 
n. 
. 
. 
t. 
th. 
highe. 
energ. 
level. 
n. 
. 
2. 
3. 
4. 
... 
giv. 
th. 
Lyma. 
series. 
transition. 
fro. 
n. 
. 
2t. 
n. 
. 
3. 
4. 
5. 
... 
giv. 
th. 
Balme. 
series. 
an. 
s. 
forth. 
A. 
energ. 
leve. 
diagra. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
6.6. 
Th. 
transition. 
correspondin. 
t. 
th. 
spectra. 
line. 
i. 
th. 
variou. 
serie. 
ar. 
show. 
a. 
vertica. 
line. 
betwee. 
th. 
energ. 
levels. 



19. 
Th. 
hydroge. 
ato. 



~ 

� � 

Figur. 
6.. 
. 
typica. 
serie. 
o. 
spectra. 
line. 
fo. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 
show. 
i. 
term. 
o. 
th. 
wav. 
numbe. 
.
~�. 


. 
typica. 
serie. 
o. 
spectra. 
line. 
i. 
show. 
schematicall. 
i. 
Figur. 
6.7. 
Th. 
lin. 
a. 
th. 
lowes. 
valu. 
o. 
th. 
wav. 
numbe. 
. 
~�correspond. 
t. 
th. 
transitio. 
n. 
!(n. 
.n. 
.1). 
th. 
nex. 
lin. 
t. 
n. 
!(n. 
.n. 
.2). 
an. 
s. 
forth. 
Thes. 
spectra. 
line. 
ar. 
situate. 
close. 
an. 
close. 
togethe. 
a. 
n. 
increase. 
an. 
converg. 
t. 
th. 
serie. 
limit. 
correspondin. 
t. 
n. 
.1. 
Accordin. 
t. 
equatio. 
(6.83). 
th. 
serie. 
limi. 
i. 
give. 
b. 


. 
~�.R=n. 
(6:85. 


Beyon. 
th. 
serie. 
limi. 
i. 
. 
continuou. 
spectru. 
correspondin. 
t. 
transition. 
fro. 
th. 
energ. 
leve. 
n. 
t. 
th. 
continuou. 
rang. 
o. 
positiv. 
energie. 
fo. 
th. 
atom. 


Th. 
reduce. 
mas. 
o. 
th. 
hydroge. 
isotop. 
2H. 
know. 
a. 
deuterium. 
slightl. 
differ. 
fro. 
tha. 
o. 
ordinar. 
hydroge. 
1H. 
Accordingly. 
th. 
Rydber. 
constant. 
fo. 
hydroge. 
an. 
fo. 
deuteriu. 
diffe. 
slightl. 
a. 
well. 
Sinc. 
naturall. 
occurrin. 
hydroge. 
contain. 
abou. 
0.02. 
deuterium. 
eac. 
observe. 
spectra. 
lin. 
i. 
hydroge. 
i. 
actuall. 
. 
double. 
o. 
closel. 
space. 
lines. 
th. 
on. 
fo. 
deuteriu. 
muc. 
weake. 
i. 
intensit. 
tha. 
th. 
other. 
Thi. 
effec. 
o. 
nuclea. 
mas. 
o. 
spectra. 
line. 
wa. 
use. 
b. 
Ure. 
(1932. 
t. 
prov. 
th. 
existenc. 
o. 
deuterium. 


Pseudo-Zeema. 
effec. 


Th. 
in�uenc. 
o. 
a. 
externa. 
magneti. 
�el. 
o. 
th. 
spectru. 
o. 
a. 
ato. 
i. 
know. 
a. 
th. 
Zeema. 
effect. 
Th. 
magneti. 
�el. 
interact. 
wit. 
th. 
magneti. 
moment. 
withi. 
th. 
ato. 
an. 
cause. 
th. 
atomi. 
spectra. 
line. 
t. 
spli. 
int. 
. 
numbe. 
o. 
closel. 
space. 
lines. 
I. 
additio. 
t. 
. 
magneti. 
momen. 
du. 
t. 
it. 
orbita. 
motion. 
a. 
electro. 
als. 
possesse. 
. 
magneti. 
momen. 
du. 
t. 
a. 
intrinsi. 
angula. 
momentu. 
calle. 
spin. 
Th. 
concep. 
o. 
spi. 
i. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
7. 
I. 
th. 
discussio. 
here. 
w. 
conside. 
onl. 
th. 
interactio. 
o. 
th. 
externa. 
magneti. 
�el. 
wit. 
th. 
magneti. 
momen. 
du. 
t. 
th. 
electroni. 
orbita. 
motio. 
an. 
neglec. 
th. 
effect. 
o. 
electro. 
spin. 
Thus. 
th. 
followin. 
analysi. 



6.. 
Spectr. 
19. 


doe. 
no. 
giv. 
result. 
tha. 
correspon. 
t. 
actua. 
observations. 
Fo. 
thi. 
reason. 
w. 
refe. 
t. 
thi. 
treatmen. 
a. 
th. 
pseudo-Zeema. 
effect. 


Whe. 
. 
magneti. 
�el. 
. 
i. 
applie. 
t. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 
wit. 
magneti. 
momen. 
M. 
th. 
resultin. 
potentia. 
energ. 
. 
i. 
give. 
b. 
th. 
classica. 
expressio. 


. 
.�. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
(6:86. 


wher. 
equatio. 
(5.81. 
ha. 
bee. 
introduced. 
I. 
th. 
z-axi. 
i. 
selecte. 
t. 
b. 
paralle. 
t. 
th. 
vecto. 
B. 
the. 
w. 
hav. 


. 
.�. 
BLz=. 
(6:87. 


I. 
w. 
replac. 
th. 
z-componen. 
o. 
th. 
classica. 
angula. 
momentu. 
i. 
equatio. 
(6.87. 
b. 
it. 
quantum-mechanica. 
operator. 
the. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
i. 
. 
magneti. 
�el. 
. 
become. 


H^
. 
.H^
. 
.
^L. 
(6:88. 


wher. 
H^
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
(6.14. 
fo. 
th. 
ato. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
th. 
magneti. 
�eld. 
Sinc. 
th. 
atomi. 
orbital. 
�nl. 
i. 
equatio. 
(6.56. 
ar. 
simultan. 


eou. 
eigenfunction. 
o. 
H. 
.
^L2. 
an. 
.
^Lz. 
the. 
ar. 
als. 
eigenfunction. 
o. 
th. 
operato. 
H^
B. 
Accordingly. 
w. 
hav. 


HB�nl. 
. 
. 
. 
.
^L. 
�nl. 
.(E. 
.m�. 
B)�nl. 
(6:89. 


wher. 
E. 
i. 
give. 
b. 
(6.48. 
an. 
equatio. 
(6.15c. 
ha. 
bee. 
used. 
Thus. 
th. 
energ. 
level. 
o. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 
i. 
a. 
externa. 
magneti. 
�el. 
depen. 
o. 
th. 
quantu. 
number. 
. 
an. 
. 
an. 
ar. 
give. 
b. 


Z. 
e9. 


En. 
.. 
.m�. 
B. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
.0. 
1. 
.... 
(. 
�1. 


2a. 
n. 


(6:90. 


Thi. 
dependenc. 
o. 
. 
i. 
th. 
reaso. 
wh. 
. 
i. 
calle. 
th. 
magneti. 
quantu. 
number. 


Th. 
degenerat. 
energ. 
level. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
a. 
externa. 
magneti. 
�el. 
ar. 
spli. 
b. 
th. 
magneti. 
�el. 
int. 
. 
serie. 
o. 
closel. 
space. 
levels. 
som. 
o. 
whic. 
ar. 
non-degenerat. 
whil. 
other. 
ar. 
stil. 
degenerate. 
Fo. 
example. 
th. 
energ. 
leve. 
E. 
fo. 
. 
.. 
i. 
nine-fol. 
degenerat. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
. 
magneti. 
�eld. 
I. 
th. 
magneti. 
�eld. 
thi. 
energ. 
leve. 
i. 
spli. 
int. 
�v. 
levels. 
E. 
(tripl. 
degenerate). 
E. 
.�. 
. 
(doubl. 
degenerate). 
E. 
��. 
. 
(doubl. 
degenerate). 
E. 
.2�. 
. 
(non-degenerate). 
an. 
E. 
�2�. 
. 
(non-degenerate). 
Energ. 
level. 
fo. 
. 
orbital. 
(. 
.0. 
ar. 
no. 
affecte. 
b. 
th. 
applicatio. 
o. 
th. 
magneti. 
�eld. 
Energie. 
fo. 
. 
orbital. 
(. 
.1. 
ar. 
spli. 
b. 
th. 



19. 
Th. 
hydroge. 
ato. 


magneti. 
�el. 
int. 
thre. 
levels. 
Fo. 
. 
orbital. 
(. 
.2). 
th. 
energie. 
ar. 
spli. 
int. 
�v. 
levels. 


Thi. 
splittin. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
b. 
th. 
magneti. 
�el. 
lead. 
t. 
th. 
splittin. 
o. 
th. 
line. 
i. 
th. 
atomi. 
spectrum. 
Th. 
wav. 
numbe. 
. 
~�o. 
th. 
spectra. 
lin. 
correspondin. 
t. 
. 
transitio. 
betwee. 
th. 
stat. 
jn. 
l. 
m1ian. 
th. 
stat. 
jn. 
l. 
m2. 


j�E. 
1. 
�. 
. 


. 
~�... 
Z. 
�. 
(m. 
�m1). 
n. 
. 
n. 
(6:91. 


h. 
n2
. 
n2
. 
h. 


Transition. 
betwee. 
state. 
ar. 
subjec. 
t. 
certai. 
restriction. 
calle. 
selectio. 
rules. 
Th. 
conservatio. 
o. 
angula. 
momentu. 
an. 
th. 
parit. 
o. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
limi. 
transition. 
fo. 
hydrogen-lik. 
atom. 
t. 
thos. 
fo. 
whic. 
�. 
.. 
an. 
fo. 
whic. 
�. 
.0. 
1. 
Thus. 
a. 
observe. 
spectra. 
lin. 
.
~�. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
th. 
magneti. 
�eld. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.83). 
i. 
spli. 
int. 
thre. 
line. 
wit. 
wav. 
number. 
.
~�. 
.(�. 
B=hc). 
.
~�0. 
an. 
.
~�. 
�(�. 
B=hc). 


Problem. 


6.. 
Obtai. 
equation. 
(6.28. 
fro. 
equation. 
(6.26). 
6.. 
Evaluat. 
th. 
commutato. 
[A^�. 
B^
�. 
wher. 
th. 
operator. 
A^. 
an. 
B^
. 
ar. 
thos. 
i. 
equation. 
(6.26). 
6.. 
Sho. 
explicitl. 
b. 
mean. 
o. 
integratio. 
b. 
part. 
tha. 
th. 
operato. 
H^
. 
i. 
equatio. 
(6.18. 
i. 
hermitia. 
fo. 
. 
weightin. 
functio. 
equa. 
t. 
r2. 


6.. 
Demonstrat. 
b. 
mean. 
o. 
integratio. 
b. 
part. 
tha. 
th. 
operato. 
H9. 
i. 
equatio. 


(6.36. 
i. 
hermitia. 
fo. 
. 
weightin. 
functio. 
w(r. 
.r. 
6.. 
Sho. 
tha. 
(A^. 
.1)S�.1,. 
.a�.1. 
lS. 
. 
an. 
tha. 
(B^
. 
.1)S�. 
.b�.1. 
lS�.1. 
l. 
6.. 
Deriv. 
equatio. 
(6.45. 
fro. 
equatio. 
(6.34). 
6.. 
Deriv. 
th. 
relationshi. 


an. 
SnlSn�1. 
lr2d. 
�bn.1,. 
SnlSn.1. 
lr2d. 
.. 


6.. 
Evaluat. 
hr�1in. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
usin. 
th. 
propertie. 
o. 
associate. 
Laguerr. 
polynomials. 
Firs. 
substitut. 
equation. 
(6.22. 
an. 
(6.55. 
int. 
(6.69. 
fo. 
. 
.�1. 
The. 
appl. 
equation. 
(F.22. 
t. 
obtai. 
(6.71). 


6.. 
Fro. 
equatio. 
(F.19. 
wit. 
. 
.2. 
sho. 
tha. 


2[3n. 
�l(. 
.1)][(. 
.l)!]. 


r. 
l.3e�r[L. 
l.. 


n.. 
(r)]. 
d. 
. 


0(. 
�. 
�1). 
The. 
sho. 
tha. 
hrin. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.72). 
6.1. 
Sho. 
tha. 
hri2. 
.6a0. 
. 
usin. 
th. 
appropriat. 
radia. 
distributio. 
functio. 
i. 
equation. 
(6.66). 
6.1. 
Se. 
. 
.e. 
i. 
th. 
Hellmann�Feynma. 
theore. 
(3.71. 
t. 
obtai. 
hr�1in. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
Not. 
tha. 
a. 
depend. 
o. 
e9. 



Problem. 
19. 


6.1. 
Sho. 
explicitl. 
fo. 
. 
hydroge. 
ato. 
i. 
th. 
1. 
stat. 
tha. 
th. 
tota. 
energ. 
E. 
i. 
equa. 
t. 
one-hal. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
potentia. 
energ. 
o. 
interactio. 
betwee. 
th. 
electro. 
an. 
th. 
nucleus. 
Thi. 
resul. 
i. 
a. 
exampl. 
o. 
th. 
quantum. 
mechanica. 
viria. 
theorem. 


6.1. 
Calculat. 
th. 
frequency. 
wavelength. 
an. 
wav. 
numbe. 
fo. 
th. 
serie. 
limi. 
o. 
th. 
Balme. 
serie. 
o. 
th. 
hydrogen-ato. 
spectra. 
lines. 


6.1. 
Th. 
atomi. 
spectru. 
o. 
singl. 
ionize. 
heliu. 
He. 
wit. 
n. 
. 
4. 
n. 
. 
5. 
6. 
...i. 
know. 
a. 
th. 
Pickerin. 
series. 
Calculat. 
th. 
energ. 
differences. 
wav. 
numbers. 
an. 
wavelength. 
fo. 
th. 
�rs. 
thre. 
line. 
i. 
thi. 
spectru. 
an. 
fo. 
th. 
serie. 
limit. 


6.1. 
Calculat. 
th. 
frequency. 
wavelength. 
an. 
wav. 
numbe. 
o. 
th. 
radiatio. 
emitte. 
fro. 
a. 
electroni. 
transitio. 
fro. 
th. 
thir. 
t. 
th. 
�rs. 
electroni. 
leve. 
o. 
Li2.. 
Calculat. 
th. 
ionizatio. 
potentia. 
o. 
Li2. 
i. 
electro. 
volts. 


6.1. 
Deriv. 
a. 
expressio. 
i. 
term. 
o. 
R. 
fo. 
th. 
differenc. 
i. 
wavelength. 
�. 
. 
�. 
. 
�D. 
betwee. 
th. 
�rs. 
lin. 
o. 
th. 
Balme. 
serie. 
(n. 
. 
2. 
fo. 
. 
hydroge. 
ato. 
an. 
th. 
correspondin. 
lin. 
fo. 
. 
deuteriu. 
atom. 
Assum. 
tha. 
th. 
masse. 
o. 
th. 
proto. 
an. 
th. 
neutro. 
ar. 
th. 
same. 



7.. 
Electro. 
spi. 


I. 
ou. 
developmen. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
t. 
thi. 
point. 
th. 
behavio. 
o. 
. 
particle. 
usuall. 
a. 
electron. 
i. 
governe. 
b. 
. 
wav. 
functio. 
tha. 
i. 
dependen. 
onl. 
o. 
th. 
cartesia. 
coordinate. 
x. 
y. 
. 
or. 
equivalently. 
o. 
th. 
spherica. 
coordinate. 
r. 
�. 
j. 
Ther. 
are. 
however. 
experimenta. 
observation. 
tha. 
canno. 
b. 
explaine. 
b. 
. 
wav. 
functio. 
whic. 
depend. 
o. 
cartesia. 
coordinate. 
alone. 


I. 
. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
a. 
alkal. 
meta. 
atom. 
th. 
lon. 
valenc. 
electro. 
ma. 
b. 
considere. 
a. 
movin. 
i. 
th. 
combine. 
�el. 
o. 
th. 
nucleu. 
an. 
th. 
cor. 
electrons. 
I. 
contras. 
t. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
th. 
energ. 
level. 
o. 
thi. 
valenc. 
electro. 
ar. 
foun. 
t. 
depen. 
o. 
bot. 
th. 
principa. 
an. 
th. 
azimutha. 
quantu. 
numbers. 
Th. 
experimenta. 
spectra. 
lin. 
patter. 
corre. 
spondin. 
t. 
transition. 
betwee. 
thes. 
energ. 
levels. 
althoug. 
mor. 
comple. 
tha. 
th. 
patter. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
i. 
readil. 
explained. 
However. 
i. 
. 
highl. 
resolve. 
spectrum. 
a. 
additiona. 
complexit. 
i. 
observed. 
mos. 
o. 
th. 
spectra. 
line. 
ar. 
actuall. 
compose. 
o. 
tw. 
line. 
wit. 
nearl. 
identica. 
wav. 
numbers. 
I. 
a. 
alkaline-eart. 
meta. 
atom. 
whic. 
ha. 
tw. 
valenc. 
electrons. 
man. 
o. 
th. 
line. 
i. 
. 
highl. 
resolve. 
spectru. 
ar. 
spli. 
int. 
thre. 
closel. 
space. 
lines. 
Th. 
spectra. 
line. 
fo. 
th. 
hydroge. 
atom. 
a. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
6.5. 
ar. 
agai. 
observe. 
t. 
b. 
compose. 
o. 
severa. 
ver. 
closel. 
space. 
lines. 
wit. 
equatio. 
(6.83. 
givin. 
th. 
averag. 
wav. 
numbe. 
o. 
eac. 
grouping. 
Th. 
splittin. 
o. 
th. 
spectra. 
line. 
i. 
th. 
alkal. 
an. 
alkaline-eart. 
meta. 
atom. 
an. 
i. 
hydroge. 
canno. 
b. 
explaine. 
i. 
term. 
o. 
th. 
quantum-mechanica. 
postulate. 
tha. 
ar. 
presente. 
i. 
Sectio. 
3.7. 
i.e.. 
the. 
canno. 
b. 
explaine. 
i. 
term. 
o. 
. 
wav. 
functio. 
tha. 
i. 
dependen. 
onl. 
o. 
cartesia. 
coordinates. 


G. 
E. 
Uhlenbec. 
an. 
S. 
Goudsmi. 
(1925. 
explaine. 
th. 
splittin. 
o. 
atomi. 
spectra. 
line. 
b. 
postulatin. 
tha. 
th. 
electro. 
possesse. 
a. 
intrinsi. 
angula. 
momentum. 
whic. 
i. 
calle. 
spin. 
Th. 
componen. 
o. 
th. 
spi. 
angula. 
momen. 



7.. 
Electro. 
spi. 
19. 


tu. 
i. 
an. 
directio. 
ha. 
onl. 
th. 
valu. 
"=2o. 
�"=2. 
Thi. 
spi. 
angula. 
momentu. 
i. 
i. 
additio. 
t. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
o. 
th. 
electroni. 
motio. 
abou. 
th. 
nucleus. 
The. 
furthe. 
assume. 
tha. 
th. 
spi. 
impart. 
t. 
th. 
electro. 
. 
magneti. 
momen. 
o. 
magnitud. 
e"=2me. 
wher. 
�. 
an. 
m. 
ar. 
th. 
electroni. 
charg. 
an. 
mass. 
Th. 
interactio. 
o. 
a. 
electron'. 
magneti. 
momen. 
wit. 
it. 
orbita. 
motio. 
account. 
fo. 
th. 
splittin. 
o. 
th. 
spectra. 
line. 
i. 
th. 
alkal. 
an. 
alkaline-eart. 
meta. 
atoms. 
. 
combinatio. 
o. 
spi. 
an. 
relativisti. 
effect. 
i. 
neede. 
t. 
explai. 
th. 
�n. 
structur. 
o. 
th. 
hydrogen-ato. 
spectrum. 


Th. 
concep. 
o. 
spi. 
a. 
introduce. 
b. 
Uhlenbec. 
an. 
Goudsmi. 
ma. 
als. 
b. 
applie. 
t. 
th. 
Stern�Gerlac. 
experiment. 
whic. 
i. 
describe. 
i. 
detai. 
i. 
Sectio. 
1.7. 
Th. 
explanatio. 
fo. 
th. 
splittin. 
o. 
th. 
bea. 
o. 
silve. 
atom. 
int. 
tw. 
separat. 
beam. 
b. 
th. 
externa. 
inhomogeneou. 
magneti. 
�el. 
require. 
th. 
introductio. 
o. 
a. 
additiona. 
paramete. 
t. 
describ. 
th. 
behavio. 
o. 
th. 
od. 
electron. 
Thus. 
th. 
magneti. 
momen. 
o. 
th. 
silve. 
ato. 
i. 
attribute. 
t. 
th. 
od. 
electro. 
possessin. 
a. 
intrinsi. 
angula. 
momentu. 
whic. 
ca. 
hav. 
on. 
o. 
onl. 
tw. 
distinc. 
values. 


Followin. 
th. 
hypothesi. 
o. 
electro. 
spi. 
b. 
Uhlenbec. 
an. 
Goudsmit. 
P. 
A. 
M. 
Dira. 
(1928. 
develope. 
. 
quantu. 
mechanic. 
base. 
o. 
th. 
theor. 
o. 
relativit. 
rathe. 
tha. 
o. 
Newtonia. 
mechanic. 
an. 
applie. 
i. 
t. 
th. 
electron. 
H. 
foun. 
tha. 
th. 
spi. 
angula. 
momentu. 
an. 
th. 
spi. 
magneti. 
momen. 
o. 
th. 
electro. 
ar. 
obtaine. 
automaticall. 
fro. 
th. 
solutio. 
o. 
hi. 
relativisti. 
wav. 
equatio. 
withou. 
an. 
furthe. 
postulates. 
Thus. 
spi. 
angula. 
momentu. 
i. 
a. 
intrinsi. 
propert. 
o. 
a. 
electro. 
(an. 
o. 
othe. 
elementar. 
particle. 
a. 
well. 
jus. 
a. 
ar. 
th. 
charg. 
an. 
res. 
mass. 


I. 
classica. 
mechanics. 
. 
spher. 
movin. 
unde. 
th. 
in�uenc. 
o. 
. 
centra. 
forc. 
ha. 
tw. 
type. 
o. 
angula. 
momentum. 
orbita. 
an. 
spin. 
Orbita. 
angula. 
momentu. 
i. 
associate. 
wit. 
th. 
motio. 
o. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
spher. 
abou. 
th. 
origi. 
o. 
th. 
centra. 
force. 
Spi. 
angula. 
momentu. 
refer. 
t. 
th. 
motio. 
o. 
th. 
spher. 
abou. 
a. 
axi. 
throug. 
it. 
cente. 
o. 
mass. 
I. 
i. 
temptin. 
t. 
appl. 
th. 
sam. 
interpretatio. 
t. 
th. 
motio. 
o. 
a. 
electro. 
an. 
regar. 
th. 
spi. 
a. 
th. 
angula. 
momentu. 
associate. 
wit. 
th. 
electro. 
revolvin. 
o. 
it. 
axis. 
However. 
a. 
Dirac'. 
relativisti. 
quantu. 
theor. 
shows. 
th. 
spi. 
angula. 
momentu. 
i. 
a. 
intrinsi. 
propert. 
o. 
th. 
electron. 
no. 
. 
propert. 
arisin. 
fro. 
an. 
kin. 
o. 
motion. 
Th. 
electro. 
i. 
. 
structureles. 
poin. 
particle. 
incapabl. 
o. 
`spinning. 
o. 
a. 
axis. 
I. 
thi. 
regard. 
th. 
ter. 
`spin. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
ca. 
b. 
misleading. 
bu. 
it. 
us. 
i. 
well-establishe. 
an. 
universal. 


Prio. 
t. 
Dirac'. 
relativisti. 
quantu. 
theory. 
W. 
Paul. 
(1927. 
showe. 
ho. 
spi. 
coul. 
b. 
incorporate. 
int. 
non-relativisti. 
quantu. 
mechanics. 
Sinc. 
th. 
subjec. 
o. 
relativisti. 
quantu. 
mechanic. 
i. 
beyon. 
th. 
scop. 
o. 
thi. 
book. 
w. 
presen. 
i. 
thi. 
chapte. 
Pauli'. 
modi�catio. 
o. 
th. 
wave-functio. 
descriptio. 
s. 



19. 
Spi. 


a. 
t. 
includ. 
spin. 
Hi. 
treatmen. 
i. 
equivalen. 
t. 
Dirac'. 
relativisti. 
theor. 
i. 
th. 
limi. 
o. 
smal. 
electro. 
velocitie. 
(v=. 
!0). 


7.. 
Spi. 
angula. 
momentu. 


Th. 
postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
3.. 
ar. 
incomplete. 
I. 
orde. 
t. 
explai. 
certai. 
experimenta. 
observations. 
Uhlenbec. 
an. 
Goudsmi. 
introduce. 
th. 
concep. 
o. 
spi. 
angula. 
momentu. 
fo. 
th. 
electron. 
Thi. 
concep. 
i. 
no. 
containe. 
i. 
ou. 
previou. 
se. 
o. 
postulates. 
a. 
additiona. 
postulat. 
i. 
needed. 
Further. 
ther. 
i. 
n. 
reaso. 
wh. 
th. 
propert. 
o. 
spi. 
shoul. 
b. 
con�ne. 
t. 
th. 
electron. 
A. 
i. 
turn. 
out. 
othe. 
particle. 
posses. 
a. 
intrinsi. 
angula. 
momentu. 
a. 
well. 
Accordingly. 
w. 
no. 
ad. 
. 
sixt. 
postulat. 
t. 
th. 
previou. 
lis. 
o. 
quantu. 
principles. 


6. 
. 
particl. 
possesse. 
a. 
intrinsi. 
angula. 
momentu. 
. 
an. 
a. 
associate. 
magneti. 
momen. 
Ms. 
Thi. 
spi. 
angula. 
momentu. 
i. 
represente. 
b. 
. 
hermitia. 
operato. 
S^
whic. 
obey. 
th. 
relatio. 
. 
^S
. 
S^
.i".
^S
. 
Eac. 
typ. 
o. 
particl. 
ha. 
. 
�xe. 
spi. 
quantu. 
numbe. 
o. 
spi. 
. 
fro. 
th. 
se. 
o. 
value. 
. 
.0. 
12,1. 
32,2. 
... 
Th. 
spi. 
. 
fo. 
th. 
electron. 
th. 
proton. 
o. 
th. 
neutro. 
ha. 
. 
valu. 
12. 
Th. 
spi. 
magneti. 
momen. 
fo. 
th. 
electro. 
i. 
give. 
b. 
M. 
.�eS=me. 


A. 
note. 
i. 
th. 
previou. 
section. 
spi. 
i. 
. 
purel. 
quantum-mechanica. 
concept. 
ther. 
i. 
n. 
classical-mechanica. 
analog. 


Th. 
spi. 
magneti. 
momen. 
M. 
o. 
a. 
electro. 
i. 
proportiona. 
t. 
th. 
spi. 
angula. 
momentu. 
S. 


gseg. 
�B

M. 
.. 
. 
.. 
. 
(7:1. 


wher. 
g. 
i. 
th. 
electro. 
spi. 
gyromagneti. 
rati. 
an. 
th. 
Boh. 
magneto. 
�. 
i. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(5.82). 
Th. 
experimenta. 
valu. 
o. 
g. 
i. 
2.00. 
31. 
30. 
an. 
th. 
valu. 
predicte. 
b. 
Dirac'. 
relativisti. 
quantu. 
theor. 
i. 
exactl. 
2. 
Th. 
discrepanc. 
i. 
remove. 
whe. 
th. 
theor. 
o. 
quantu. 
electrodynamic. 
i. 
applied. 
W. 
adop. 
th. 
valu. 
g. 
.. 
here. 
. 
compariso. 
o. 
equation. 
(5.81. 
an. 
(7.1. 
show. 
tha. 
th. 
proportionalit. 
constan. 
betwee. 
magneti. 
momen. 
an. 
angula. 
momentu. 
i. 
twic. 
a. 
larg. 
i. 
th. 
cas. 
o. 
spin. 
Thus. 
th. 
spi. 
gyromagneti. 
rati. 
fo. 
th. 
electro. 
i. 
twic. 
th. 
orbita. 
gyromagneti. 
ratio. 
Th. 
spi. 
gyromagneti. 
ratio. 
fo. 
th. 
proto. 
an. 
th. 
neutro. 
diffe. 
fro. 
tha. 
o. 
th. 
electron. 


Th. 
hermitia. 
spi. 
operato. 
S^
associate. 
wit. 
th. 
spi. 
angula. 
momentu. 
. 
ha. 
component. 
S^x. 
.
^Sy. 
S^z. 
s. 
tha. 



7.. 
Spi. 
angula. 
momentu. 
19. 


. 
^S.i.
^S. 
.j.
^S. 
.k.
^S. 


^S. 
S. 
S2

S. 
.^.^.^

Thes. 
component. 
obe. 
th. 
commutatio. 
relation. 


[S^x. 
S^y. 
.i"S^z,[S^y. 
S^z. 
.i"^Sx,[S^z. 
S^x. 
.i"S^. 
(7:2. 


or. 
equivalentl. 


. 
.i"S^
(7:3. 


Thus. 
th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
presente. 
i. 
Sectio. 
5.. 
ma. 
b. 
applie. 
t. 
spi. 
angula. 
momentum. 
Th. 
spi. 
operato. 
S^
i. 
identi�e. 
wit. 
th. 
operato. 
. 
^Jan. 
it. 
component. 
.
^Sx. 
S^y. 
S^. 
wit. 
J^x. 
J^y. 
J^z. 
Equation. 
(5.26. 
whe. 
applie. 
t. 
spi. 
angula. 
momentu. 
ar. 


.
^S2jsmsi.s(. 
.1)"2jsmsi. 
. 
.0. 
1,1. 
3,2. 
... 
(7:4. 


Szjsmsi.ms"jsmsi. 
m. 
.�. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
. 
(7:5. 


wher. 
th. 
quantu. 
number. 
. 
an. 
. 
ar. 
no. 
denote. 
b. 
. 
an. 
ms. 
Th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
jsms. 
o. 
th. 
hermitia. 
operator. 
.
^S. 
an. 
^S. 
ar. 
orthonorma. 


hs9m9sjsmsi.�ss9�m. 
m9. 
(7:6. 


Th. 
raisin. 
an. 
lowerin. 
operator. 
fo. 
spi. 
angula. 
momentu. 
a. 
de�ne. 
b. 
equation. 
(5.18. 
ar. 


S^
.S^. 
.i.
^S. 
(7:7a. 


S^
�S^. 
�i.
^S. 
(7:7b. 


an. 
equation. 
(5.27. 
tak. 
th. 
for. 


p����������������������������������������. 


.
^S.jsmsi. 
(. 
�ms)(. 
.m. 
.1. 
"js. 
m. 
.1. 
(7:8a. 


p����������������������������������������. 


.
^S�jsmsi. 
(. 
.ms)(. 
�m. 
.1. 
"js. 
m. 
�1. 
(7:8b. 


I. 
general. 
th. 
spi. 
quantu. 
number. 
. 
an. 
m. 
ca. 
hav. 
intege. 
an. 
half. 
intege. 
values. 
Althoug. 
th. 
correspondin. 
orbita. 
angular-momentu. 
quan. 
tu. 
number. 
. 
an. 
. 
ar. 
restricte. 
t. 
intege. 
values. 
ther. 
i. 
n. 
reaso. 
fo. 
suc. 
. 
restrictio. 
o. 
. 
an. 
ms. 


Ever. 
typ. 
o. 
particl. 
ha. 
. 
speci�. 
uniqu. 
valu. 
o. 
s. 
whic. 
i. 
calle. 
th. 
spi. 
o. 
tha. 
particle. 
Th. 
particl. 
ma. 
b. 
elementary. 
suc. 
a. 
a. 
electron. 
o. 
composit. 
bu. 
behavin. 
a. 
a. 
elementar. 
particle. 
suc. 
a. 
a. 
atomi. 
nucleus. 
Al. 
4H. 
nuclei. 
fo. 
example. 
hav. 
spi. 
0. 
al. 
electrons. 
protons. 
an. 
neutron. 
hav. 
spi. 
12. 
al. 
photon. 
an. 
deuteron. 
(2. 
nuclei. 
hav. 
spi. 
1. 
etc. 
Particle. 


wit. 
spin. 
0. 
1. 
2. 
... 
ar. 
calle. 
boson. 
an. 
thos. 
wit. 
spin. 
. 
. 
... 
ar. 


fermions. 
. 
man. 
particl. 
syste. 
o. 
boson. 
behave. 
differentl. 
fro. 
. 
man. 



19. 
Spi. 


particl. 
syste. 
o. 
fermions. 
Thi. 
quantu. 
phenomeno. 
i. 
discusse. 
i. 
Chap. 
te. 
8. 


Th. 
stat. 
o. 
. 
particl. 
wit. 
zer. 
spi. 
(. 
. 
0. 
ma. 
b. 
represente. 
b. 
. 
stat. 
functio. 
�(r. 
t. 
o. 
th. 
spatia. 
coordinate. 
. 
an. 
th. 
tim. 
t. 
However. 
th. 
stat. 
o. 
. 
particl. 
havin. 
spi. 
. 
(. 
6
0. 
mus. 
als. 
depen. 
o. 
som. 
spi. 
variable. 
W. 
selec. 
fo. 
thi. 
spi. 
variabl. 
th. 
componen. 
o. 
th. 
spi. 
angula. 
momentu. 
alon. 
th. 
z-axi. 
an. 
us. 
th. 
quantu. 
numbe. 
m. 
t. 
designat. 
th. 
state. 
Thus. 
fo. 
. 
particl. 
i. 
. 
speci�. 
spi. 
state. 
th. 
stat. 
functio. 
i. 
denote. 
b. 
�(r. 
ms. 
t). 
wher. 
m. 
ha. 
onl. 
th. 
(2. 
. 
1. 
possibl. 
value. 
�s",(�. 
. 
1)". 
...,(. 
. 
1)". 
s". 
Whil. 
th. 
variable. 
. 
an. 
. 
hav. 
. 
continuou. 
rang. 
o. 
values. 
th. 
spi. 
variabl. 
m. 
ha. 
. 
�nit. 
numbe. 
o. 
discret. 
values. 


Fo. 
. 
particl. 
tha. 
i. 
no. 
i. 
. 
speci�. 
spi. 
state. 
w. 
denot. 
th. 
spi. 
variabl. 
b. 
�. 
. 
genera. 
stat. 
functio. 
�(r. 
. 
. 
t. 
fo. 
. 
particl. 
wit. 
spi. 
. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
th. 
spi. 
eigenfunction. 
jsmsi. 


�(r. 
. 
. 
t. 
. 
�(r. 
ms. 
t)jsms. 
(7:9. 


ms.�. 


I. 
�(r. 
. 
. 
t. 
i. 
normalized. 
the. 
w. 
hav. 


h�j�i. 
X. 
ms.�. 
j�(r. 
ms. 
t)j. 
d. 
. 
. 
wher. 
th. 
orthonorma. 
relation. 
(7.6. 
hav. 
bee. 
used. 
Th. 
quantit. 


j�(r. 
ms. 
t)j. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
a. 
. 
a. 
tim. 
. 


wit. 
th. 
z-componen. 
o. 
it. 
spi. 
equa. 
t. 
ms". 
Th. 
integra. 
j�(r. 
ms. 
t)j2d. 
i. 
th. 
probabilit. 
tha. 
a. 
tim. 
. 
th. 
particl. 
ha. 
th. 
valu. 
ms. 
fo. 
th. 
z. 
componen. 
o. 
it. 
spi. 
angula. 
momentum. 


7.. 
Spi. 
one-hal. 


Sinc. 
electrons. 
protons. 
an. 
neutron. 
ar. 
th. 
fundamenta. 
constituent. 
o. 
atom. 
an. 
molecule. 
an. 
al. 
thre. 
elementar. 
particle. 
hav. 
spi. 
one-half. 
th. 
cas. 
. 
. 
1
. 
i. 
th. 
mos. 
importan. 
fo. 
studyin. 
chemica. 
systems. 
Fo. 
. 
. 
1
. 
ther. 
ar. 
onl. 
tw. 
eigenfunctions. 
j1. 
1. 
an. 
j1. 
�1i. 
Fo. 
convenience. 
th. 
stat. 
. 
. 
1. 


m. 
. 
. 
i. 
ofte. 
calle. 
spi. 
u. 
an. 
th. 
ke. 
j1. 
1. 
i. 
writte. 
a. 
j". 
o. 
a. 
j�i. 


Likewise. 
th. 
stat. 
. 
. 
1. 
m. 
.�. 
i. 
calle. 
spi. 
dow. 
wit. 
th. 
ke. 
j1. 
�1. 


ofte. 
expresse. 
a. 
j#. 
o. 
j�i. 
Equatio. 
(7.6. 
give. 
h�j�i.h�j�i. 
1. 
h�j�i. 
. 
(7:10. 
Th. 
mos. 
genera. 
spi. 
stat. 
j�. 
fo. 
. 
particl. 
wit. 
. 
. 
1
. 
i. 
. 
linea. 
com. 
binatio. 
o. 
j�. 
an. 
j�. 



7.. 
Spi. 
one-hal. 
19. 
j�i.c�j�i.c�j�. 
(7:11. 
wher. 
c. 
an. 
c. 
ar. 
comple. 
constants. 
I. 
th. 
ke. 
j�. 
i. 
normalized. 
the. 


equatio. 
(7.10. 
give. 
jc�j. 
.jc�j. 
.. 
Th. 
ke. 
j�ima. 
als. 
b. 
expresse. 
a. 
. 
colum. 
matrix. 
know. 
a. 
. 
spino. 


. 
. 


j�i. 
.c. 
.c. 
(7:12. 


wher. 
th. 
eigenfunction. 
j�ian. 
j�ii. 
spino. 
notatio. 
ar. 


j�i. 
. 
j�i. 
(7:13. 


Equation. 
(7.4). 
(7.5). 
an. 
(7.8. 
fo. 
th. 
. 
.1
. 
cas. 
ar. 
.
^S2j�i.3"2j�i. 
.
^S2j�i.3"2j�. 
(7:14. 


Szj�i.1"j�i. 
Szj�i.�"j�. 
(7:15. 


S.j�i.0. 
S�j�i.. 
(7:16a. 


S.j�i."j�i. 
S�j�i."j�. 
(7:16b. 
Equation. 
(7.16. 
illustrat. 
th. 
behavio. 
o. 
.
^S. 
an. 
.
^S. 
a. 
ladde. 
operators. 
Th. 
operato. 
S^
. 
`raises. 
th. 
stat. 
j�it. 
stat. 
j�i. 
bu. 
canno. 
rais. 
j�ian. 
further. 
whil. 
S^
. 
`lowers. 
j�it. 
j�i. 
bu. 
canno. 
lowe. 
j�i. 
Fro. 
equation. 
(7.7. 
an. 
(7.16). 
w. 
obtai. 
th. 
additiona. 
relation. 


.
^Sxj�i.1"j�i. 
S^xj�i.1"j�. 
(7:17a. 


S^yj�i.i"j�i. 
S^yj�i.�. 
"j�. 
(7:17b. 


W. 
nex. 
introduc. 
thre. 
operator. 
. 
x. 
. 
y. 
. 
. 
whic. 
satisf. 
th. 
relation. 
.
^S. 
.1". 
x. 
S^. 
.1". 
y. 
S^. 
.1". 
. 
(7:18. 


Fro. 
equation. 
(7.15. 
an. 
(7.17). 
w. 
�n. 
tha. 
th. 
onl. 
eigenvalu. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
operator. 
. 
2. 
. 
2. 
. 
. 
i. 
1. 
Thus. 
eac. 
square. 
operato. 
i. 
jus. 
th. 
identit. 


operato. 
. 
. 
.. 
. 
.. 
. 
.. 
(7:19. 


Accordin. 
t. 
equation. 
(7.2. 
an. 
(7.18). 
th. 
commutatio. 
rule. 
fo. 
. 
x. 
. 
y. 
. 
. 
[. 
x. 
. 
y. 
.2i. 
z,[. 
y. 
. 
z. 
.2i. 
x,[. 
z. 
. 
x. 
.2i. 
. 
(7:20. 
Th. 
se. 
o. 
operator. 
. 
x. 
. 
y. 
. 
. 
anticommute. 
. 
propert. 
whic. 
w. 
demon. 
strat. 
fo. 
th. 
pai. 
. 
x. 
. 
. 
a. 
follow. 



20. 
Spi. 


2i(. 
x. 
. 
.. 
y. 
x. 
.(2i. 
x). 
. 
.. 
y(2i. 
x. 


.(. 
y. 
. 
�. 
z. 
y). 
. 
.. 
y(. 
y. 
. 
�. 
z. 
y. 


.�. 
z. 
. 
.. 
. 
. 
. 


wher. 
th. 
secon. 
o. 
equation. 
(7.20. 
an. 
equatio. 
(7.19. 
hav. 
bee. 
used. 
Th. 
sam. 
procedur. 
ma. 
b. 
applie. 
t. 
th. 
pair. 
. 
y. 
. 
. 
an. 
. 
x. 
. 
z. 
givin. 
(. 
x. 
. 
.. 
y. 
x. 
.(. 
y. 
. 
.. 
z. 
y. 
.(. 
z. 
. 
.. 
x. 
z. 
.. 
(7:21. 
Combinin. 
equation. 
(7.20. 
an. 
(7.21). 
w. 
als. 
hav. 
. 
x. 
. 
.i. 
z. 
. 
y. 
. 
.i. 
x. 
. 
z. 
. 
.i. 
. 
(7:22. 


Paul. 
spi. 
matrice. 


A. 
explici. 
se. 
o. 
operator. 
. 
x. 
. 
y. 
. 
. 
wit. 
th. 
foregoin. 
propertie. 
ca. 
b. 
forme. 
usin. 
. 
. 
. 
matrices. 
Th. 
propertie. 
o. 
matrice. 
ar. 
discusse. 
i. 
Appendi. 
I. 
I. 
matri. 
notation. 
equatio. 
(7.19. 
i. 


. 
. 
. 
.. 
. 
. 
.. 
. 
. 
. 
0. 
(7:23. 


W. 
le. 
. 
. 
b. 
represente. 
b. 
th. 
simples. 
. 
. 
. 
matri. 
wit. 
eigenvalue. 
. 
an. 


. 
. 
. 
(7:24. 


T. 
�n. 
. 
. 
an. 
. 
y. 
w. 
not. 
tha. 


a. 
1. 
. 
�. 


c. 
. 
�. 
. 
�. 


1. 
a. 
a. 


. 
�. 
c. 
�. 
�. 
Sinc. 
. 
. 
an. 
. 
. 
anticommut. 
wit. 
. 
. 
a. 
represente. 
i. 
(7.24). 
w. 
mus. 
hav. 


. 
�. 
�. 
�. 


. 
�. 
c. 
s. 
tha. 
. 
.. 
.. 
an. 
bot. 
. 
. 
an. 
. 
. 
hav. 
th. 
for. 


Further. 
w. 
hav. 
fro. 
(7.23. 


. 
. 
. 
. 
b. 
. 
1. 


.. 
. 
. 
.. 


. 
. 
. 
0. 
b. 
0. 



7.. 
Spin�orbi. 
interactio. 
20. 


givin. 
th. 
relatio. 
b. 
.1. 
I. 
w. 
selec. 
. 
.. 
.. 
fo. 
. 
x. 
the. 
w. 
hav. 


Th. 
thir. 
o. 
equation. 
(7.22. 
determine. 
tha. 
. 
. 
mus. 
b. 


I. 
summary. 
th. 
thre. 
matrice. 
ar. 


0. 
. 
�. 
10

. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
(7:25. 


10i. 
. 
�. 


an. 
ar. 
know. 
a. 
th. 
Paul. 
spi. 
matrices. 
Th. 
trace. 
o. 
th. 
Paul. 
spi. 
matrice. 
vanis. 
T. 
. 
. 
.T. 
. 
. 
.T. 
. 
. 
.. 
an. 
thei. 
determinant. 
equa. 
�. 
de. 
. 
. 
.de. 
. 
. 
.de. 
. 
. 
.�. 
Th. 
uni. 
matri. 
. 


an. 
th. 
thre. 
Paul. 
spi. 
matrice. 
i. 
equatio. 
(7.25. 
for. 
. 
complet. 
se. 
o. 
. 
. 
. 
matrices. 
An. 
arbitrar. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
ca. 
alway. 
b. 
expresse. 
a. 
th. 
linea. 
combinatio. 


. 
.c1. 
.c2. 
. 
.c3. 
. 
.c4. 
. 
wher. 
c1. 
c2. 
c3. 
c. 
ar. 
comple. 
constants. 


7.. 
Spin�orbi. 
interactio. 


Th. 
spi. 
magneti. 
momen. 
M. 
o. 
a. 
electro. 
interact. 
wit. 
it. 
orbita. 
magneti. 
momen. 
t. 
produc. 
a. 
additiona. 
ter. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
and. 
therefore. 
i. 
th. 
energy. 
I. 
thi. 
section. 
w. 
deriv. 
th. 
mathematica. 
expressio. 
fo. 
thi. 
spin�orbi. 
interactio. 
an. 
appl. 
i. 
t. 
th. 
hydroge. 
atom. 


Wit. 
respec. 
t. 
. 
coordinat. 
syste. 
wit. 
th. 
nucleu. 
a. 
th. 
origin. 
th. 
electro. 
revolve. 
abou. 
th. 
�xe. 
nucleu. 
wit. 
angula. 
momentu. 
L. 
However. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
coordinat. 
syste. 
wit. 
th. 
electro. 
a. 
th. 
origin. 
th. 
nucleu. 
revolve. 
aroun. 
th. 
�xe. 
electron. 
Sinc. 
th. 
revolvin. 
nucleu. 
ha. 
a. 
electri. 
charge. 
i. 
produce. 
a. 
th. 
positio. 
o. 
th. 
electro. 
. 
magneti. 
�el. 
. 
paralle. 
t. 
L. 
Th. 
interactio. 
o. 
th. 
spi. 
magneti. 
momen. 
M. 
o. 
th. 
electro. 
wit. 
thi. 
magneti. 
�el. 
. 
give. 
ris. 
t. 
th. 
spin�orbi. 
couplin. 
wit. 
energ. 
�M. 
. 
B. 



20. 
Spi. 


Accordin. 
t. 
th. 
Bio. 
an. 
Savar. 
la. 
o. 
electromagneti. 
theory,. 
th. 
magneti. 
�el. 
. 
a. 
th. 
`�xed. 
electro. 
du. 
t. 
th. 
revolvin. 
positivel. 
charge. 
nucleu. 
i. 
give. 
i. 
S. 
unit. 
t. 
�rs. 
orde. 
i. 
v=. 
b. 


. 
. 
(. 
. 
vn. 
(7:26. 


wher. 
. 
i. 
th. 
electri. 
�el. 
du. 
t. 
th. 
revolvin. 
nucleus. 
v. 
i. 
th. 
velocit. 
o. 
th. 
nucleu. 
relativ. 
t. 
th. 
electron. 
an. 
. 
i. 
th. 
spee. 
o. 
light. 
Th. 
electri. 
forc. 
. 
i. 
relate. 
t. 
. 
an. 
th. 
potentia. 
energ. 
V(r. 
o. 
interactio. 
betwee. 
th. 
nucleu. 
an. 
th. 
electro. 
b. 


. 
.�e. 
.�=. 


Thus. 
th. 
electri. 
�el. 
a. 
th. 
electro. 
i. 
rnd. 
(r. 


. 
. 
(7:27. 


wher. 
r. 
i. 
th. 
vecto. 
distanc. 
o. 
th. 
nucleu. 
fro. 
th. 
electron. 
Th. 
vecto. 
. 
fro. 
nucleu. 
t. 
electro. 
i. 
�r. 
an. 
th. 
velocit. 
. 
o. 
th. 
electro. 
relativ. 
t. 
th. 


nucleu. 
i. 
�vn. 
Accordingly. 
th. 
angula. 
momentu. 
. 
o. 
th. 
electro. 
i. 
. 
.. 
. 
. 
.me(. 
. 
v. 
.me(r. 
. 
vn. 
(7:28. 
Combinin. 
equation. 
(7.26). 
(7.27). 
an. 
(7.28). 
w. 
hav. 
. 
d. 
(r. 
. 
. 
em. 
c. 
. 
d. 
. 
(7:29. 


Th. 
spin�orbi. 
energ. 
�M. 
. 
. 
ma. 
b. 
relate. 
t. 
th. 
spi. 
an. 
orbita. 
angula. 
moment. 
throug. 
equation. 
(7.1. 
an. 
(7.29. 
1dV(r. 


�M. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 


m2
. 
c. 
. 
d. 
Thi. 
expressio. 
i. 
no. 
quit. 
correct. 
however. 
becaus. 
o. 
. 
relativisti. 
effec. 
i. 
changin. 
fro. 
th. 
perspectiv. 
o. 
th. 
electro. 
t. 
th. 
perspectiv. 
o. 
th. 
nucleus. 
Th. 
correction,. 
know. 
a. 
th. 
Thoma. 
precession. 
introduce. 
th. 
facto. 
1
. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
t. 
giv. 
1d. 
(r. 


�M. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 


2m. 
c. 
. 
d. 


Th. 
correspondin. 
spin�orbi. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
s. 
is. 
then. 


1dV(r)

^L^
. 
^

Hs. 
. 
. 
(7:30. 


2m2
. 
c. 
. 
d. 


R. 
P. 
Feyman. 
R. 
B. 
Leighton. 
an. 
M. 
Sand. 
(1964. 
Th. 
Feynma. 
Lecture. 
o. 
Physics. 
Vol. 
I. 
(Addison. 
Wesley. 
Reading. 
MA. 
sectio. 
14-7. 


J. 
D. 
Jackso. 
(1975. 
Classica. 
Electrodynamics. 
2n. 
editio. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York. 
pp. 
541�2. 



7.. 
Spin�orbi. 
interactio. 
20. 


Fo. 
. 
hydroge. 
atom. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
(r. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.13. 
wit. 
. 
. 
. 
an. 
H^
s. 
become. 


H^
s. 
. 
�(r)L^
S^
(7:31. 


wher. 


�(r. 
. 
(7:32. 


8��. 
m. 
c. 
r. 


Thus. 
th. 
tota. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
fo. 
. 
hydroge. 
ato. 
includin. 
spin. 
orbi. 
couplin. 
i. 


H^
H^
H^
s. 
. 
H^
�(r)L^
S^
(7:33. 


wher. 
H. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
withou. 
th. 
inclusio. 
o. 
spin. 
a. 
give. 
i. 
equatio. 
(6.14). 


Th. 
effec. 
o. 
th. 
spin�orbi. 
interactio. 
ter. 
o. 
th. 
tota. 
energ. 
i. 
easil. 
show. 
t. 
b. 
small. 
Th. 
angula. 
moment. 
jL. 
an. 
jS. 
ar. 
eac. 
o. 
th. 
orde. 
o. 
. 
an. 
th. 
distanc. 
. 
i. 
o. 
th. 
orde. 
o. 
th. 
radiu. 
a. 
o. 
th. 
�rs. 
Boh. 
orbit. 
I. 
w. 
als. 
neglec. 
th. 
smal. 
differenc. 
betwee. 
th. 
electroni. 
mas. 
m. 
an. 
th. 
reduce. 
mas. 
�. 
th. 
spin�orbi. 
energ. 
i. 
o. 
th. 
orde. 
o. 


. 
�2jE1. 


8��. 
m. 
c2a. 


wher. 
jE1. 
i. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
wit. 
Hamiltonia. 


operato. 
H. 
a. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.57. 
an. 
. 
i. 
th. 
�n. 
structur. 
constant. 
de�ne. 
b. 


4��0"cmeca. 
137:03. 
Thus. 
th. 
spin�orbi. 
interactio. 
energ. 
i. 
abou. 
. 
. 
10�. 
time. 
smalle. 
tha. 
jE1j. 
Whil. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
i. 
th. 
absenc. 
o. 
th. 
spin�orbi. 
couplin. 
ter. 
commute. 
wit. 
L^
an. 
wit. 
S^
. 
th. 
tota. 
Hamilto. 


nia. 
operato. 
. 
i. 
equatio. 
(7.33. 
doe. 
no. 
commut. 
wit. 
eithe. 
L^
o. 
S^
becaus. 
o. 
th. 
presenc. 
o. 
th. 
scala. 
produc. 
L^
. 
S^
. 
T. 
illustrat. 
thi. 
feature. 
w. 
conside. 
th. 
commutator. 
[L^
z. 
L^
. 
S^
. 
an. 
[S^z. 
L^
. 
S^
]. 


[.
^Lz. 
L^
. 
.
^S
. 
. 
[.
^Lz,(.
^Lx.
^S. 
. 
.
^LyS^. 
. 
.
^Lz.
^Sz). 
. 
[.
^Lz. 
.
^Lx]S^. 
. 
[.
^Lz. 
.
^Ly]S^. 
. 
. 


. 
i"(.
^LyS. 
. 
.
^Lx. 
y. 
6
(7:34. 


[S^z. 
L^
. 
.
^S
. 
. 
[S^z. 
S^x].
^L. 
. 
[S^z. 
.
^Sy].
^L. 
. 
i"(.
^LxS^. 
. 
.
^LyS^x. 
6
(7:35. 


wher. 
equation. 
(5.10. 
an. 
(7.2. 
hav. 
bee. 
used. 
Simila. 
expression. 
appl. 
t. 
th. 
othe. 
component. 
o. 
L^
an. 
S^
. 
Thus. 
th. 
vector. 
. 
an. 
. 
ar. 
n. 
longe. 



20. 
Spi. 


constant. 
o. 
motion. 
However. 
th. 
operator. 
.
^L. 
an. 
S^. 
d. 
commut. 
wit. 
L^
S^
whic. 
follow. 
fro. 
equation. 
(5.15). 
s. 
tha. 
th. 
quantitie. 
L. 
an. 
S. 
ar. 
stil. 
constant. 
o. 
motion. 


W. 
no. 
introduc. 
th. 
tota. 
angula. 
momentu. 
J. 
whic. 
i. 
th. 
su. 
o. 
. 


. 
. 
. 
. 
. 
(7:36. 


Th. 
operator. 
. 
^Jan. 
J^. 
commut. 
wit. 
H^
0. 
Th. 
additio. 
o. 
equation. 
(7.34. 
an. 
(7.35. 
give. 


[J^z. 
L^
. 
S^
. 
. 
[.
^Lz. 
L^
. 
S^
. 
. 
[S^z. 
L^
. 
S^
. 
. 
. 


Th. 
additio. 
o. 
simila. 
relation. 
fo. 
th. 
x. 
an. 
y-component. 
o. 
thes. 
angula. 
momentu. 
vector. 
lead. 
t. 
th. 
resul. 
tha. 
[.
^J
. 
L^
. 
S^
. 
. 
0. 
s. 
tha. 
. 
^Jan. 
L^
. 
S^
J^. 
. 
. 
^

commute. 
Furthermore. 
w. 
ma. 
easil. 
sho. 
tha. 
commute. 
wit. 
^. 
J^. 
. 
.
^L. 
. 
.
^S. 
. 
2L^
. 
^. 
. 
^

becaus. 
eac. 
ter. 
i. 
. 
commute. 
wit. 
^S. 
Thus. 
. 
^J

an. 
commut. 
wit. 
. 
i. 
equatio. 
(7.33. 
an. 
. 
an. 
J. 
ar. 
constant. 
o. 
motion. 


Tha. 
th. 
quantitie. 
L2. 
S2. 
J2. 
an. 
. 
ar. 
constant. 
o. 
motion. 
bu. 
. 
an. 
. 
ar. 
not. 
i. 
illustrate. 
i. 
Figur. 
7.1. 
Th. 
spi. 
magneti. 
momen. 
Ms. 
whic. 
i. 
antiparalle. 
t. 
S. 
exert. 
. 
torqu. 
o. 
th. 
orbita. 
magneti. 
momen. 
M. 
whic. 
i. 
antiparalle. 
t. 
L. 
an. 
alter. 
it. 
direction. 
bu. 
no. 
it. 
magnitude. 
Thus. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
vecto. 
. 
precesse. 
abou. 
. 
an. 
. 
i. 
no. 
. 
constan. 
o. 
motion. 
However. 
sinc. 
th. 
magnitud. 
o. 
. 
doe. 
no. 
change. 
th. 
quantit. 
L. 
i. 
. 
constan. 
o. 
motion. 
Likewise. 
th. 
orbita. 
magneti. 
momen. 
. 
exert. 
. 
torqu. 
o. 
Ms. 
causin. 
. 
t. 
preces. 
abou. 
J. 
Th. 
vecto. 
. 
is. 
then. 
no. 
. 
constan. 
o. 


S 
J 
L 
Figur. 
7.. 
Precessio. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
vecto. 
. 
an. 
th. 
spi. 
angula. 
momentu. 
vecto. 
. 
abou. 
thei. 
vecto. 
su. 
J. 



7.. 
Spin�orbi. 
interactio. 
20. 


motion. 
bu. 
S. 
is. 
Sinc. 
. 
i. 
�xe. 
i. 
directio. 
an. 
magnitude. 
bot. 
. 
an. 
J. 
ar. 
constant. 
o. 
motion. 


I. 
w. 
for. 
th. 
cros. 
produc. 
. 
^J
^Jan. 
substitut. 
equation. 
(7.36). 
(5.11). 
an. 
(7.3). 
w. 
obtai. 


. 
^J
^J
.(L^
..
^S
(L^
.S^
.(L^
L^
.(S^
S^
.i"L^
.i"S^
.i". 
^J

wher. 
th. 
cros. 
term. 
(L^
^S
an. 
(S^
L^
cance. 
eac. 
other. 
Thus. 
th. 
operato. 
. 
^Jobey. 
equatio. 
(5.12. 
an. 
th. 
quantum-mechanica. 
treatmen. 
o. 
Sectio. 
5.. 
applie. 
t. 
th. 
tota. 
angula. 
momentum. 
Sinc. 
J^x. 
J^y. 
an. 
J^. 
eac. 
commut. 
wit. 
J^. 
bu. 
d. 
no. 
commut. 
wit. 
on. 
another. 
w. 
selec. 
J^. 
an. 
see. 
th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
jnlsj. 
j. 
o. 
th. 
se. 
o. 
mutuall. 
commutin. 
operator. 
H^
L2. 
S2. 
J2. 
an. 
J^. 


Hjnlsjmji.Enjnlsjmj. 
(7:37a. 


.
^L2jnlsjmji.l(. 
.1)"2jnlsjmj. 
(7:37b. 


S2jnlsjmji.s(. 
.1)"2jnlsjmj. 
(7:37c. 


J^2jnlsjmji.j(. 
.1)"2jnlsjmj. 
(7:37d. 


Jzjnlsjmji.mj"jnlsjmji. 
m. 
.�j. 
�. 
.1. 
.... 
. 
�1. 
. 
(7:37e. 


Fro. 
th. 
expressio. 


J^zjnlsjmji.(.
^L. 
.S^z)jnlsjmji.(. 
.ms)"jnlsjmj. 


obtaine. 
fro. 
(7.36). 
(5.28b). 
an. 
(7.5). 
w. 
se. 
tha. 
m. 
.. 
.m. 
(7:38. 


Th. 
quantu. 
numbe. 
. 
take. 
o. 
th. 
value. 


. 
.s. 
. 
.. 
�1. 
. 
.. 
�2. 
.... 
j. 
�s. 
Th. 
argumen. 
leadin. 
t. 
thi. 
conclusio. 
i. 
somewha. 
complicate. 
an. 
ma. 
b. 
foun. 
elsewhere.. 
I. 
th. 
applicatio. 
bein. 
considere. 
here. 
th. 
spi. 
. 
equal. 
1
. 
an. 
th. 
quantu. 
numbe. 
. 
ca. 
hav. 
onl. 
tw. 
value. 


. 
.. 
. 
(7:39. 


Th. 
resultin. 
vector. 
. 
ar. 
show. 
i. 
Figur. 
7.2. 
Th. 
scala. 
produc. 
L^
. 
S^
i. 
equatio. 
(7.33. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
operator. 
tha. 
commut. 
wit. 
H^
b. 


L^
. 
S^
.1(L^
.S^. 
. 
(L^
..
^S
. 
�1L^
. 
L^
�1. 
. 
S^
.1(J^. 
�.
^L. 
�S^2. 
(7:40. 


B. 
H. 
Brandse. 
an. 
C. 
J. 
Joachai. 
(1989. 
Introductio. 
t. 
Quantu. 
Mechanic. 
(Addiso. 
Wesle. 
Longman. 
Harlow. 
Essex). 
pp. 
299. 
301. 
R. 
N. 
Zar. 
(1988. 
Angula. 
Momentu. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 
pp. 
45�8. 



20. 
Spi. 


S 


S 

J 

L

L 

J 


1 
1

j 5 l . 
j 5 l 2

2 
2 

Figur. 
7.. 
Th. 
tota. 
angula. 
momentu. 
vector. 
. 
obtaine. 
fro. 
th. 
su. 
o. 
. 
an. 
. 


fo. 
. 
.. 
an. 
. 
.�. 


s. 
tha. 
H^
become. 


H^
.H^
. 
.1�(r)(J^. 
�.
^L. 
�.
^S2. 
(7:41. 


Equatio. 
(7.37a. 
the. 
take. 
th. 
for. 


fH^
. 
.1"2�(r). 
j(. 
.1. 
�l(. 
.1. 
�s(. 
.1)]gjnlsjmji.Enjnlsjmj. 
(7:42. 


H^
. 
. 
�(r. 
jn. 
l. 
1. 
. 
.1. 
mji.Enjn. 
l. 
1. 
. 
.1. 
mjii. 
. 
.. 
.. 


(7:43a. 


(. 
.1)"2
. 
1

H^
. 
. 
�(r. 
jn. 
l. 
�. 
. 
�1. 
mji.Enjn. 
l. 
�. 
. 
�1. 
mj. 


i. 
. 
.. 
�1
. 
(7:43b. 


wher. 
equation. 
(7.37b). 
(7.37c). 
(7.37d). 
an. 
(7.39. 
hav. 
als. 
bee. 
intro. 
duced. 


Sinc. 
th. 
spin�orbi. 
interactio. 
energ. 
i. 
small. 
th. 
solutio. 
o. 
equation. 
(7.43. 
t. 
obtai. 
E. 
i. 
mos. 
easil. 
accomplishe. 
b. 
mean. 
o. 
perturbatio. 
theory. 
. 
techniqu. 
whic. 
i. 
presente. 
i. 
Chapte. 
9. 
Th. 
evaluatio. 
o. 
E. 
i. 
lef. 
a. 
. 
proble. 
a. 
th. 
en. 
o. 
Chapte. 
9. 


Problem. 


7.. 
Determin. 
th. 
angl. 
betwee. 
th. 
spi. 
vecto. 
. 
an. 
th. 
z-axi. 
fo. 
a. 
electro. 
i. 
spi. 
stat. 
j�i. 


7.. 
Prov. 
equatio. 
(7.19. 
fro. 
equation. 
(7.15. 
an. 
(7.17). 



Problem. 
20. 


7.. 
Sho. 
tha. 
th. 
pai. 
o. 
operator. 
. 
y. 
. 
. 
anticommute. 


7.. 
Usin. 
th. 
Paul. 
spi. 
matrice. 
i. 
equatio. 
(7.25. 
an. 
th. 
spinor. 
i. 
(7.13). 
(a. 
construc. 
th. 
operator. 
�. 
an. 
�. 
correspondin. 
t. 
S^
. 
an. 
S^
. 
(b. 
operat. 
o. 
j�. 
an. 
o. 
j�. 
wit. 
. 
2. 
. 
z. 
�.. 
��. 
. 
x. 
an. 
. 
. 
an. 
compar. 
th. 
result. 
wit. 
equation. 
(7.14). 
(7.15). 
(7.16). 
an. 
(7.17). 


7.. 
Usin. 
th. 
Paul. 
spi. 
matrice. 
i. 
equatio. 
(7.25). 
verif. 
th. 
relationship. 
i. 
(7.19. 
an. 
(7.22). 



System. 
o. 
identica. 
particle. 


Th. 
postulate. 
. 
t. 
. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
a. 
state. 
i. 
Section. 
3.. 
an. 
7.. 
appl. 
t. 
multi-particl. 
system. 
provide. 
tha. 
eac. 
o. 
th. 
particle. 
i. 
distin. 
guishabl. 
fro. 
th. 
others. 
Fo. 
example. 
th. 
nucleu. 
an. 
th. 
electro. 
i. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 
ar. 
readil. 
distinguishabl. 
b. 
thei. 
differin. 
masse. 
an. 
charges. 
Whe. 
. 
syste. 
contain. 
tw. 
o. 
mor. 
identica. 
particles. 
however. 
postulate. 
. 
t. 
. 
ar. 
no. 
suf�cien. 
t. 
predic. 
th. 
propertie. 
o. 
th. 
system. 
Thes. 
postulate. 
mus. 
b. 
augmente. 
b. 
a. 
additiona. 
postulate. 
Thi. 
chapte. 
intro. 
duce. 
thi. 
ne. 
postulat. 
an. 
discusse. 
it. 
consequences. 


8.. 
Permutation. 
o. 
identica. 
particle. 


Particle. 
ar. 
identica. 
i. 
the. 
canno. 
b. 
distinguishe. 
on. 
fro. 
anothe. 
b. 
an. 
intrinsi. 
property. 
suc. 
a. 
mass. 
charge. 
o. 
spin. 
Ther. 
doe. 
no. 
exist. 
i. 
fac. 
an. 
i. 
principle. 
an. 
experimenta. 
procedur. 
whic. 
ca. 
identif. 
an. 
on. 
o. 
th. 
particles. 
I. 
classica. 
mechanics. 
eve. 
thoug. 
al. 
particle. 
i. 
th. 
syste. 
ma. 
hav. 
th. 
sam. 
intrinsi. 
properties. 
eac. 
ma. 
b. 
identi�ed. 
a. 
leas. 
i. 
principle. 
b. 
it. 
precis. 
trajector. 
a. 
governe. 
b. 
Newton'. 
law. 
o. 
motion. 
Thi. 
identi�catio. 
i. 
no. 
possibl. 
i. 
quantu. 
theor. 
becaus. 
eac. 
particl. 
doe. 
no. 
posses. 
. 
trajectory. 
instead. 
th. 
wav. 
functio. 
give. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
�ndin. 
th. 
particl. 
a. 
eac. 
poin. 
i. 
space. 
Whe. 
. 
particl. 
i. 
foun. 
t. 
b. 
i. 
som. 
smal. 
region. 
ther. 
i. 
n. 
wa. 
o. 
determinin. 
eithe. 
theoreticall. 
o. 
experimentall. 
whic. 
particl. 
i. 
is. 
Thus. 
al. 
electron. 
ar. 
identica. 
an. 
there. 
for. 
indistinguishable. 
a. 
ar. 
al. 
protons. 
al. 
neutrons. 
al. 
hydroge. 
atom. 
wit. 
1. 
nuclei. 
al. 
hydroge. 
atom. 
wit. 
2. 
nuclei. 
al. 
heliu. 
atom. 
wit. 
4H. 
nuclei. 
al. 
heliu. 
atom. 
wit. 
3H. 
nuclei. 
etc. 


Two-particl. 
system. 


Fo. 
simplicity. 
w. 
�rs. 
conside. 
. 
syste. 
compose. 
o. 
tw. 
identica. 
particle. 



8.. 
Permutation. 
o. 
identica. 
particle. 
20. 


o. 
mas. 
m. 
I. 
w. 
labe. 
on. 
o. 
th. 
particle. 
a. 
particl. 
. 
an. 
th. 
othe. 
a. 
particl. 
2. 
the. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
(1. 
2. 
fo. 
th. 
syste. 
i. 


H(1. 
2. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
(q1. 
q2. 
(8:1. 


wher. 
q. 
(. 
. 
1. 
2. 
represent. 
th. 
three-dimensiona. 
(continuous. 
spatia. 
coordinate. 
r. 
an. 
th. 
(discrete. 
spi. 
coordinat. 
. 
. 
o. 
particl. 
i. 
I. 
orde. 
fo. 
thes. 
tw. 
identica. 
particle. 
t. 
b. 
indistinguishabl. 
fro. 
eac. 
other. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
mus. 
b. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
interchange. 
i.e.. 
i. 
th. 
coordinate. 
(bot. 
spatia. 
an. 
spin. 
o. 
th. 
particle. 
ar. 
interchanged. 


H(1. 
2. 
mus. 
remai. 
invarian. 


H(1. 
2. 
. 
H^
(2. 
1. 


I. 
H(1. 
2. 
an. 
H(2. 
1. 
wer. 
t. 
differ. 
the. 
th. 
correspondin. 
Schro�dinge. 
equation. 
an. 
thei. 
solution. 
woul. 
als. 
diffe. 
an. 
thi. 
differenc. 
coul. 
b. 
use. 
t. 
distinguis. 
betwee. 
th. 
tw. 
particles. 


Th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
two-particl. 
syste. 
i. 


H(1. 
2)��(1. 
2. 
. 
E���(1. 
2. 
(8:2. 


wher. 
. 
delineate. 
th. 
variou. 
states. 
Th. 
notatio. 
��(1. 
2. 
indicate. 
tha. 
th. 
�rs. 
particl. 
ha. 
coordinate. 
q. 
an. 
th. 
secon. 
particl. 
ha. 
coordinate. 
q2.I. 
w. 
exchang. 
th. 
tw. 
particle. 
s. 
tha. 
particle. 
. 
an. 
. 
no. 
hav. 
coordinate. 
q. 
an. 
q1. 
respectively. 
the. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(8.2. 
become. 


H^
(2. 
1)��(2. 
1. 
. 
H^
(1. 
2)��(2. 
1. 
. 
E���(2. 
1. 
(8:3. 


wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
H(1. 
2. 
i. 
symmetric. 
Equatio. 
(8.3. 
show. 
tha. 
��(2. 
1. 
i. 
als. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
H^
(1. 
2. 
belongin. 
t. 
th. 
sam. 
eigenvalu. 
E�. 
Thus. 
an. 
linea. 
combinatio. 
o. 
��(1. 
2. 
an. 
��(2. 
1. 
i. 
als. 
a. 
eigen. 


functio. 
o. 
H(1. 
2. 
wit. 
eigenvalu. 
E�. 
Fo. 
simplicit. 
o. 
notatio. 
i. 
th. 
followin. 
presentation. 
w. 
omi. 
th. 
inde. 
. 
whe. 
i. 
i. 
clea. 
tha. 
w. 
ar. 
referrin. 
t. 
. 
singl. 
quantu. 
state. 


Th. 
eigenfunctio. 
�(1. 
2. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
. 
wav. 
i. 
six-dimensiona. 
space. 
Th. 
quantit. 
�(1. 
2)�(1,2. 
dr1dr. 
i. 
th. 
probabilit. 
tha. 
particl. 
. 
wit. 
spi. 
functio. 
�. 
i. 
i. 
th. 
volum. 
elemen. 
dr. 
centere. 
a. 
r. 
an. 
simultaneousl. 
particl. 
. 
wit. 
spi. 
functio. 
�. 
i. 
i. 
th. 
volum. 
elemen. 
dr. 
a. 
r2. 
Th. 
produc. 
�(1. 
2)�(1. 
2. 
is. 
then. 
th. 
probabilit. 
density. 
Th. 
eigenfunctio. 
�(2. 
1. 
als. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
. 
six-dimensiona. 
wave. 
Th. 
quantit. 
�(2. 
1)�(2. 
1. 
i. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
particl. 
. 
bein. 
a. 
r. 
wit. 
spi. 
functio. 
�. 
an. 
simultaneousl. 
particl. 
. 
bein. 
a. 
r. 
wit. 
spi. 
functio. 
�2. 
I. 
general. 
th. 
tw. 
eigenfunction. 
�(1. 
2. 
an. 
�(2. 
1. 
ar. 
no. 
identical. 
A. 
a. 
example. 
i. 
�(1. 
2. 
i. 



21. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


�(1. 
2. 
.e�ar1e�br2(br. 
�1. 


wher. 
r. 
.jr1jan. 
r. 
.jr2j. 
the. 
�(2. 
1. 
woul. 
b. 


�(2. 
1. 
.e�ar2e�br1(br. 
�1. 
6.�(1. 
2. 


Thus. 
th. 
probabilit. 
densit. 
o. 
th. 
pai. 
o. 
particle. 
depend. 
o. 
ho. 
w. 
labe. 
th. 
tw. 
particles. 
Sinc. 
th. 
tw. 
particle. 
ar. 
indistinguishable. 
w. 
conclud. 
tha. 
neithe. 
�(1. 
2. 
no. 
�(2. 
1. 
ar. 
desirabl. 
wav. 
functions. 
W. 
see. 
. 
wav. 
functio. 
tha. 
doe. 
no. 
mak. 
. 
distinctio. 
betwee. 
th. 
tw. 
particle. 
and. 
therefore. 
doe. 
no. 
designat. 
whic. 
particl. 
i. 
a. 
r. 
an. 
whic. 
i. 
a. 
r2. 


T. 
tha. 
end. 
w. 
no. 
introduc. 
th. 
linea. 
hermitia. 
exchang. 
operato. 
P^
whic. 
ha. 
th. 
propert. 


P. 
(1. 
2. 
. 
. 
(2. 
1. 
(8:4. 


wher. 
. 
(1. 
2. 
i. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
o. 
q. 
an. 
q2.I. 
. 
operate. 
o. 


H(1. 
2)�(1. 
2). 
w. 
hav. 


H(1. 
2)�(1. 
2). 
.H^
(2. 
1)�(2. 
1. 
.H^
(1. 
2)�(2. 
1. 
.H^
(1. 
2)P^
�(1. 
2. 


(8:5. 
wher. 
w. 
hav. 
use. 
th. 
fac. 
tha. 
H^
(1. 
2. 
i. 
symmetric. 
Fro. 
equatio. 
(8.5. 
w. 
se. 
tha. 
P^
an. 
H^
(1. 
2. 
commut. 
[P^
. 
H^
(1. 
2). 
.0. 
(8:6. 


Consequently. 
th. 
operator. 
P^
an. 
H^
(1. 
2. 
hav. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
I. 
�(1. 
2. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
o. 
P^
. 
th. 
correspondin. 
eigenvalu. 
. 
i. 
give. 


b. 
^P
�(1. 
2. 
.��(1. 
2. 
(8:7. 
W. 
the. 
hav. 
^P2�(1. 
2. 
.^P[^P
�(1. 
2). 
.^P[��(1. 
2). 
.�^P
�(1. 
2. 
.�2�(1. 
2. 
(8:8. 


Moreover. 
operatin. 
o. 
�(1. 
2. 
twic. 
i. 
successio. 
b. 
. 
return. 
th. 
tw. 
particle. 
t. 
thei. 
origina. 
order. 
s. 
tha. 


P2�(1. 
2. 
.P^
�(2. 
1. 
.�(1. 
2. 
(8:9. 
Fro. 
equation. 
(8.8. 
an. 
(8.9). 
w. 
se. 
tha. 
P^
. 
.. 
an. 
tha. 
�. 
.1. 
Sinc. 
P^
i. 
hermitian. 
th. 
eigenvalu. 
. 
i. 
rea. 
an. 
w. 
obtai. 
. 
.1. 
Ther. 
ar. 
onl. 
tw. 
function. 
whic. 
ar. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 


H(1. 
2. 
an. 
P^wit. 
respectiv. 
eigenvalue. 
. 
an. 
1. 
Thes. 
function. 
ar. 
th. 
combination. 
�. 
.2�1=2[�(1. 
2. 
.�(2. 
1). 
(8:10a. 
�. 
.2�1=2[�(1. 
2. 
��(2. 
1). 
(8:10b. 
whic. 
satisf. 
th. 
relation. 



8.. 
Permutation. 
o. 
identica. 
particle. 
21. 
^P
�. 
.�. 
(8:11a. 
^P
�. 
.��. 
(8:11b. 
Th. 
facto. 
2�1=. 
i. 
equation. 
(8.10. 
normalize. 
�. 
an. 
�. 
i. 
�(1. 
2. 
i. 


normalized. 
Th. 
combinatio. 
�. 
i. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
interchang. 
becaus. 
i. 
remain. 
unchange. 
whe. 
th. 
tw. 
particle. 
ar. 
ex. 
changed. 
Th. 
functio. 
�A. 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
i. 
antisymmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
interchang. 
becaus. 
i. 
change. 
sign. 
bu. 
i. 
otherwis. 
unchanged. 
whe. 
th. 
particle. 
ar. 
exchanged. 


Th. 
function. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
orthogonal. 
T. 
demonstrat. 
thi. 
property. 
w. 
not. 
tha. 
th. 
integra. 
ove. 
al. 
spac. 
o. 
. 
functio. 
o. 
tw. 
o. 
mor. 
variable. 
mus. 
b. 
independen. 
o. 
th. 
labelin. 
o. 
thos. 
variable. 




. 
. 
(x1. 
.... 
x. 
)dx. 
... 
dx. 
. 


. 
. 
(y1. 
.... 
y. 
)dy. 
.... 
y. 
(8:12. 


I. 
particular. 
w. 
hav. 


. 
(1. 
2)dq1dq. 
. 
. 
(2. 
1)dq1dq. 


h�(1. 
2)j�(2. 
1)i.h�(2. 
1)j�(1. 
2). 
(8:13. 
wher. 
. 
(1. 
2. 
.�(1. 
2)�(2. 
1). 
Applicatio. 
o. 
equatio. 
(8.13. 
t. 
h�. 
j�A. 
give. 
h�. 
j�Ai.hP^
�. 
jP^
�A. 
(8:14. 
Applyin. 
equation. 
(8.11. 
t. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
(8.14). 
w. 
obtai. 


h�Sj�Ai.�h�. 
j�A. 
Thus. 
th. 
scala. 
produc. 
h�Sj�Aimus. 
vanish. 
showin. 
tha. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
orthogonal. 
I. 
th. 
wav. 
functio. 
fo. 
th. 
syste. 
i. 
initiall. 
symmetri. 
(antisymmetric). 
the. 
i. 
remain. 
symmetri. 
(antisymmetric. 
a. 
tim. 
progresses. 
Thi. 
propert. 
follow. 
fro. 
th. 
time-dependen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
@�(1. 
2. 


i. 
.H^
(1. 
2)�(1. 
2. 
(8:15. 


Sinc. 
H^
(1. 
2. 
i. 
symmetric. 
th. 
tim. 
derivativ. 
@�=. 
. 
ha. 
th. 
sam. 
symmetr. 
a. 
�. 
Durin. 
. 
smal. 
tim. 
interva. 
�t. 
therefore. 
th. 
symmetr. 
o. 
. 
doe. 
no. 
change. 
B. 
repetitio. 
o. 
thi. 
argument. 
th. 
symmetr. 
remain. 
th. 
sam. 
ove. 
. 
successio. 
o. 
smal. 
tim. 
intervals. 
an. 
b. 
extensio. 
ove. 
al. 
time. 


Sinc. 
�. 
doe. 
no. 
chang. 
an. 
onl. 
th. 
sig. 
o. 
�. 
change. 
i. 
particle. 
. 
an. 
. 
ar. 
interchanged. 
th. 
respectiv. 
probabilit. 
densitie. 
��. 
an. 
��. 
ar. 


independen. 
o. 
ho. 
th. 
particle. 
ar. 
labeled. 
Neithe. 
speci�e. 
whic. 
particl. 



21. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


ha. 
coordinate. 
q. 
an. 
whic. 
q2. 
Thus. 
onl. 
th. 
linea. 
combination. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
suitabl. 
wav. 
function. 
fo. 
th. 
two-identical-particl. 
system. 
W. 
not. 
i. 
passin. 
tha. 
th. 
tw. 
probabilit. 
densitie. 
ar. 
no. 
equal. 
eve. 
thoug. 
�. 
an. 
�. 
correspon. 
t. 
th. 
sam. 
energ. 
valu. 
E. 
W. 
conclud. 
tha. 
i. 
orde. 
t. 
incorporat. 
int. 
quantu. 
theor. 
th. 
indistinguishabilit. 
o. 
th. 
tw. 
identica. 
particles. 
w. 
mus. 
restric. 
th. 
allowabl. 
wav. 
function. 
t. 
thos. 
tha. 
ar. 
symmetri. 
an. 
antisymmetric. 
i.e.. 
t. 
thos. 
tha. 
ar. 
simultaneou. 
eigenfunc. 
tion. 
o. 
H^
(1. 
2. 
an. 
P^


Three-particl. 
system. 


Th. 
treatmen. 
o. 
. 
three-particl. 
syste. 
introduce. 
. 
ne. 
featur. 
no. 
presen. 
i. 
. 
two-particl. 
system. 
Wherea. 
ther. 
ar. 
onl. 
tw. 
possibl. 
permutation. 
an. 
therefor. 
onl. 
on. 
exchang. 
o. 
permutatio. 
operato. 
fo. 
tw. 
particles. 
th. 
three-particl. 
syste. 
require. 
severa. 
permutatio. 
operators. 


W. 
�rs. 
labe. 
th. 
particl. 
wit. 
coordinate. 
q. 
a. 
particl. 
1. 
th. 
on. 
wit. 
coordinate. 
q. 
a. 
particl. 
2. 
an. 
th. 
on. 
wit. 
coordinate. 
q. 
a. 
particl. 
3. 
Th. 


Hamiltonia. 
operato. 
H(1. 
2. 
3. 
i. 
dependen. 
o. 
th. 
positions. 
momentu. 
operators. 
an. 
perhap. 
spi. 
coordinate. 
o. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
particles. 
Fo. 
identica. 
particles. 
thi. 
operato. 
mus. 
b. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
interchang. 


H(1. 
2. 
3. 
. 
H^
(1. 
3. 
2. 
. 
H^
(2. 
3. 
1. 
. 
H^
(2. 
1. 
3. 
. 
H^
(3. 
1. 
2. 
. 
H^
(3. 
2. 
1. 
I. 
�(1. 
2. 
3. 
i. 
. 
solutio. 
o. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 


H(1. 
2. 
3)�(1. 
2. 
3. 
. 
E�(1,2,3. 
(8:16. 
the. 
�(1. 
3. 
2). 
�(2. 
3. 
1). 
etc.. 
an. 
an. 
linea. 
combination. 
o. 
thes. 
wav. 
function. 
ar. 
als. 
solution. 
wit. 
th. 
sam. 
eigenvalu. 
E. 
Th. 
notatio. 
�(i. 
j. 
k. 
indicate. 
tha. 
particl. 
. 
ha. 
coordinate. 
q1. 
particl. 
. 
ha. 
coordinate. 
q2. 
an. 
particl. 
. 
ha. 
coordinate. 
q3. 
A. 
i. 
th. 
two-particl. 
case. 
w. 
see. 
eigenfunction. 
o. 
H^
(1. 
2. 
3. 
tha. 
d. 
no. 
specif. 
whic. 
particl. 
ha. 
coordinate. 
qi. 
. 
. 
1. 
2,3. 
W. 
de�n. 
th. 
si. 
permutatio. 
operator. 
P^
��. 
fo. 
. 
6
6
1. 
2,3byth. 
relation. 


P123�(i. 
j. 
k. 
. 
�(i. 
j. 
k. 


P132�(i. 
j. 
k. 
. 
�(i. 
k. 
j. 


P231�(i. 
j. 
k. 
. 
�(j. 
k. 
i. 


. 
6
6
1,2,. 
(8:17. 


P213�(i. 
j. 
k. 
. 
�(j. 
i. 
k. 


P312�(i. 
j. 
k. 
. 
�(k. 
i. 
j. 


P321�(i. 
j. 
k. 
. 
�(k. 
j. 
i. 


Th. 
operato. 
P^
��. 
replace. 
th. 
particl. 
wit. 
coordinate. 
q. 
(th. 
�rs. 
position. 



8.. 
Permutation. 
o. 
identica. 
particle. 
21. 


b. 
th. 
particl. 
wit. 
coordinate. 
q�. 
th. 
particl. 
wit. 
coordinate. 
q. 
(th. 
secon. 
position. 
b. 
tha. 
wit. 
q�. 
an. 
th. 
particl. 
wit. 
coordinate. 
q. 
(th. 
thir. 
position. 
b. 
tha. 
wit. 
q�. 
Fo. 
example. 
w. 
hav. 


P213�(1. 
2. 
3. 
. 
�(2,1,3. 
(8:18a. 


P213�(2. 
1. 
3. 
. 
�(1,2,3. 
(8:18b. 


P213�(3. 
2. 
1. 
. 
�(2,3,1. 
(8:18c. 


P231�(1. 
2. 
3. 
. 
�(2,3,1. 
(8:18d. 


P231�(2. 
3. 
1. 
. 
�(3,1,2. 
(8:18e. 


Th. 
permutatio. 
operato. 
P^
12. 
i. 
a. 
identit. 
operato. 
becaus. 
i. 
leave. 
th. 
functio. 
�(i. 
j. 
k. 
unchanged. 
Fro. 
(8.18a. 
an. 
(8.18b). 
w. 
obtai. 


213�(1. 
2. 
3. 
. 
�(1. 
2. 
3. 


s. 
tha. 
P^
. 
equal. 
unity. 
Th. 
sam. 
relationshi. 
ca. 
b. 
demonstrate. 
t. 
appl. 


t. 
th. 
operator. 
P^
13. 
an. 
P^
321. 
a. 
wel. 
a. 
t. 
th. 
identit. 
operato. 
P^
123. 
givin. 
P^
. 
. 
P^
. 
. 
P^
. 
P. 
. 
^

. 
^(8:19)

21. 
13. 
32. 
12. 
P12. 
. 
. 


An. 
permutatio. 
correspondin. 
t. 
on. 
o. 
th. 
operator. 
.
^P
��. 
othe. 
tha. 
.
^P12. 
i. 
equivalen. 
t. 
on. 
o. 
tw. 
pairwis. 
exchanges. 
Accordingly. 
w. 
introduc. 
th. 
linea. 
hermitia. 
exchang. 
operator. 
P^
12. 
P^
23. 
an. 
P^
3. 
wit. 
th. 
propertie. 


P12�(i. 
j. 
k. 
. 
�(j. 
i. 
k. 
. 
^. 
6
6
1,2,. 
(8:20)

P23�(i. 
j. 
k. 
. 
�(i. 
k. 
j. 


P31�(i. 
j. 
k. 
. 
�(k. 
j. 
i. 
Th. 
exchang. 
operato. 
P^
�. 
interchange. 
th. 
particle. 
wit. 
coordinate. 
q. 
an. 
q�. 
I. 
i. 
obviou. 
tha. 
th. 
orde. 
o. 
th. 
subscript. 
i. 
P^
�. 
i. 
immaterial. 
s. 
tha. 
P^
�. 
. 
P^
��. 
Th. 
permutation. 
fro. 
P^
213. 
P^
132. 
an. 
P^
32. 
ar. 
th. 
sam. 
a. 
thos. 
fro. 
P^
12. 
P^
23. 
an. 
P^
31. 
respectively. 
givin. 


P^
21. 
. 
P^
12. 
P^
13. 
. 
P^23. 
P^
32. 
. 
P^
3. 
Th. 
permutatio. 
fro. 
P^
23. 
ma. 
als. 
b. 
obtaine. 
b. 
�rs. 
applyin. 
th. 
exchang. 
operato. 
P^
1. 
an. 
the. 
th. 
operato. 
P^
23. 
Alternatively. 
th. 
sam. 
resul. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
�rs. 
applyin. 
P^
2. 
followe. 
b. 
P^
3. 
o. 
b. 
�rs. 
applyin. 
P^
3. 
followe. 
b. 
P^
12. 
Thi. 
observatio. 
lead. 
t. 
th. 
identitie. 


P^
23. 
. 
P^
2. 
P^
1. 
. 
P^
3. 
P^
2. 
. 
P^
1. 
P^
3. 
(8:21. 
. 
simila. 
argumen. 
yield. 


P^
31. 
. 
P^
3. 
P^
1. 
. 
P^
2. 
P^
3. 
. 
P^
1. 
P^
2. 
(8:22. 


Thes. 
permutation. 
o. 
th. 
thre. 
particle. 
ar. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 
minimu. 
numbe. 
o. 
pairwis. 
exchang. 
operators. 
Les. 
ef�cien. 
route. 
ca. 
als. 
b. 
visualized. 
Fo. 
example. 
th. 
permutatio. 
operator. 
P^
13. 
an. 
P^
23. 
ma. 
als. 
b. 
expresse. 
a. 



21. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


P^
13. 
. 
P^
3. 
P^
2. 
.
^P1. 
. 
P^
1. 
P^
2. 
P^
3. 


P23. 
. 
P^
1. 
P2. 
P3. 
P1. 
. 
P^
3. 
P1. 
P3. 
P1. 


However. 
th. 
numbe. 
o. 
pairwis. 
exchange. 
fo. 
. 
give. 
permutatio. 
i. 
alway. 
eithe. 
od. 
o. 
even. 
s. 
tha. 
P^
123. 
P^
231. 
P^
31. 
ar. 
eve. 
permutation. 
an. 
P^
132. 
P^
213. 
P^
32. 
ar. 
od. 
permutations. 


Applyin. 
th. 
sam. 
argument. 
regardin. 
th. 
exchang. 
operato. 
P^
fo. 
th. 
two-particl. 
system. 
w. 
�n. 
tha. 


P^
P^
P^


1. 
2. 
3. 
. 
. 
givin. 
rea. 
eigenvalue. 
. 
fo. 
eac. 
operator. 
W. 
als. 
�n. 
tha. 
eac. 
exchang. 
operato. 
commute. 
wit. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^

[P^
12. 
H^
. 
. 
[P^
23. 
H^
. 
. 
[P^
31. 
H^
. 
. 
. 
(8:23. 


s. 
tha. 
P^
1. 
an. 
. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
P^
2. 
an. 
. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
an. 
P^
3. 
an. 
H^
posses. 
simultaneou. 
eigenfunc. 
tions. 
However. 
th. 
operator. 
P^
12. 
P^
23. 
P^
3. 
d. 
no. 
commut. 
wit. 
eac. 
other. 
Fo. 
example. 
i. 
w. 
operat. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
�(1. 
2. 
3. 
�rs. 
wit. 
th. 
produc. 
P^
3. 
P^
1. 
an. 
the. 
wit. 
th. 
produc. 
P^
1. 
P^
31. 
w. 
obtai. 


P^
3. 
P^
12�(1. 
2. 
3. 
. 
P^
31�(2. 
1. 
3. 
. 
�(3. 
1. 
2. 


P^
1. 
P^
31�(1. 
2. 
3. 
. 
P^
12�(3. 
2. 
1. 
. 
�(2. 
3. 
1. 


Th. 
wav. 
functio. 
�(3. 
1. 
2. 
i. 
no. 
th. 
sam. 
a. 
�(2,3,1). 
leadin. 
t. 
th. 
conclusio. 
tha. 


^P^
1. 
6
^^

P3. 
P1. 
P3. 
Thus. 
. 
se. 
o. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
H^
(1. 
2. 
3. 
an. 
P^
1. 
andaseto. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
H^
(1. 
2. 
3. 
an. 
P^
3. 
ar. 
not. 
i. 
general. 
th. 
sam. 


set. 
Likewise. 
neithe. 
se. 
ar. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
H(1. 
2. 
3. 
an. 


Ther. 
are. 
however. 
tw. 
eigenfunction. 
o. 
H^
(1. 
2. 
3. 
whic. 
ar. 
als. 
simul. 
taneou. 
eigenfunction. 
o. 
al. 
thre. 
pai. 
exchang. 
operator. 
P^
12. 
P^
23. 
an. 
P^
31. 
Thes. 
eigenfunction. 
ar. 
�. 
an. 
�A. 
whic. 
hav. 
th. 
propert. 


P���. 
. 
�. 
. 
. 
6
1,. 
(8:24a. 


.
^P
���. 
.��A. 
. 
6
1,. 
(8:24b. 


T. 
demonstrat. 
thi. 
feature. 
w. 
assum. 
tha. 
�(1. 
2. 
3. 
i. 
. 
simultaneou. 
eigenfunctio. 
no. 
onl. 
o. 
H^
(1. 
2. 
3). 
bu. 
als. 
o. 
P^
12. 
P^
23. 
an. 
P^
31. 
Therefore. 
w. 
hav. 


P12�(1. 
2. 
3. 
. 
�1�(1. 
2. 
3. 


P23�(1. 
2. 
3. 
. 
�2�(1,2,3. 
(8:25. 



8.. 
Permutation. 
o. 
identica. 
particle. 
21. 


P31�(1. 
2. 
3. 
.�3�(1. 
2. 
3. 


wher. 
�. 
.1. 
�. 
.1. 
�. 
.. 
ar. 
th. 
respectiv. 
eigenvalues. 
Fro. 
equa. 
tion. 
(8.21. 
an. 
(8.25). 
w. 
obtai. 


P^
231�(1. 
2. 
3. 
.P^
2. 
P^
12�(1. 
2. 
3. 
.P^
3. 
P^
23�(1. 
2. 
3. 
.P^
1. 
P^
31�(1. 
2. 
3. 


.�(2. 
3. 
1. 


�2�1�(1. 
2. 
3. 
.�3�2�(1. 
2. 
3. 
.�1�3�(1. 
2. 
3. 
fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


�. 
.�. 
.�. 


Thus. 
th. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
�(1. 
2. 
3. 
ar. 
eithe. 
symmetri. 
(�. 
.�. 
.�. 
.1. 
o. 
antisymmetri. 
(�. 
.�. 
.�. 
.�1). 


Th. 
symmetri. 
�. 
o. 
antisymmetri. 
�. 
eigenfunction. 
ma. 
b. 
constructe. 
fro. 
�(1. 
2. 
3. 
b. 
th. 
relation. 


�. 
.6�1=2[�(1. 
2. 
3. 
.�(1. 
3. 
2. 
.�(2. 
3. 
1. 
.�(2. 
1. 
3. 
.�(3. 
1. 
2. 


.�(3. 
2. 
1). 
(8:26a. 


�. 
.6�1=2[�(1. 
2. 
3. 
��(1. 
3. 
2. 
.�(2. 
3. 
1. 
��(2. 
1. 
3. 
.�(3. 
1. 
2. 


��(3. 
2. 
1). 
(8:26b. 


wher. 
th. 
facto. 
6�1=. 
normalize. 
�. 
an. 
�. 
i. 
�(1. 
2. 
3. 
i. 
normalized. 
A. 
i. 
th. 
two-particl. 
case. 
th. 
function. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
orthogonal. 
Moreover. 
. 
wav. 
functio. 
whic. 
i. 
initiall. 
symmetri. 
(antisymmetric. 
remain. 
symmetri. 
(antisymmetric. 
ove. 
time. 
Th. 
probabilit. 
densitie. 
��. 
an. 
��. 
ar. 


independen. 
o. 
ho. 
th. 
thre. 
particle. 
ar. 
labeled. 
Th. 
tw. 
function. 
�. 
an. 
�. 
are. 
therefore. 
th. 
eigenfunction. 
o. 
H^
(1. 
2. 
3. 
tha. 
w. 
ar. 
seeking. 
Equation. 
(8.26. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
another. 
equivalen. 
way. 
I. 
w. 
le. 
P^
b. 
an. 
on. 
o. 
th. 
permutatio. 
operator. 
P^��. 
i. 
equatio. 
(8.17). 
the. 
w. 
ma. 
writ. 


�S,. 
.6�1=. 
�P.
^P
�(1,2,3. 
(8:27. 


wher. 
th. 
summatio. 
i. 
take. 
ove. 
th. 
si. 
differen. 
operator. 
P^
���. 
an. 
�. 
i. 
eithe. 
.1o. 
�1. 
Fo. 
th. 
symmetri. 
wav. 
functio. 
�S. 
�. 
i. 
alway. 
.1. 
bu. 
fo. 
th. 
antisymmetri. 
wav. 
functio. 
�A. 
�. 
i. 
.1(�1. 
i. 
th. 
permutatio. 
operato. 
P^
involve. 
th. 
exchang. 
o. 
a. 
eve. 
(odd. 
numbe. 
o. 
pair. 
o. 
particles. 
Thus. 
�. 
i. 
�. 
fo. 
P^
132. 
P^
21. 
an. 
P^
321. 


N-particl. 
system. 


Th. 
treatmen. 
o. 
. 
three-particl. 
syste. 
ma. 
b. 
generalize. 
t. 
a. 
N-particl. 



21. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


system. 
W. 
begi. 
b. 
labelin. 
th. 
. 
particles. 
wit. 
eac. 
particl. 
. 
havin. 
coordinate. 
qi. 
Fo. 
identica. 
particles. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
mus. 
b. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
permutation. 


H(1. 
2. 
.... 
N. 
. 
H^
(2. 
1. 
.... 
N. 
. 
H^
(N,2. 
...,1. 
. 


. 
Ther. 
ar. 
N. 
possibl. 
permutation. 
o. 
th. 
. 
particles. 
I. 
�(1. 
2. 
.... 
N)is. 
solutio. 
o. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 


H(1. 
2. 
.... 
N)�(1. 
2. 
.... 
N. 
. 
E�(1. 
2. 
.... 
N. 
(8:28. 
the. 
�(2. 
1. 
.... 
N). 
�(N,2. 
.... 
1). 
etc.. 
an. 
an. 
linea. 
combinatio. 
o. 
thes. 
wav. 
function. 
ar. 
als. 
solution. 
wit. 
eigenvalu. 
E. 


W. 
nex. 
introduc. 
th. 
se. 
o. 
linea. 
hermitia. 
exchang. 
operator. 
P�. 
(. 
6
1. 
2. 
.... 
N). 
Th. 
exchang. 
operato. 
P^
�. 
interchange. 
th. 
pai. 
o. 
particle. 
i. 
position. 
. 
(wit. 
coordinate. 
q�. 
an. 
. 
(wit. 
coordinate. 
q�. 


P���(i. 
.... 
j. 
.... 
k. 
.... 
l. 
. 
�(i. 
.... 
k. 
.... 
j. 
.... 
l. 
(8:29. 


A. 
i. 
th. 
three-particl. 
case. 
th. 
orde. 
o. 
th. 
subscript. 
o. 
P^
�. 
i. 
immaterial. 
Sinc. 
ther. 
ar. 
. 
choice. 
fo. 
th. 
�rs. 
particl. 
an. 
(. 
. 
1. 
choice. 
fo. 
th. 
secon. 
particl. 
(. 
6
�. 
an. 
sinc. 
eac. 
pai. 
i. 
t. 
b. 
counte. 
onl. 
onc. 
(P^
�. 
. 
P^
��). 
ther. 
ar. 
N(. 
. 
1)=. 
member. 
o. 
th. 
se. 
P^
��. 


Applyin. 
th. 
sam. 
argument. 
regardin. 
th. 
exchang. 
operato. 
P^
fo. 
th. 
two-particl. 
system. 
w. 
�n. 
tha. 
P. 


�. 
. 
1. 
givin. 
rea. 
eigenvalue. 
1. 
W. 
als. 
�n. 
tha. 
P^
�. 
an. 
H^
commut. 


[P^
��. 
H^
. 
. 
0. 
. 
6
1. 
2. 
.... 
. 
(8:30. 


s. 
tha. 
the. 
posses. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
However. 
th. 
member. 
o. 
th. 
se. 
P^
�. 
d. 
no. 
commut. 
wit. 
eac. 
other. 
Ther. 
ar. 
onl. 
tw. 
functions. 
�. 
an. 


�A. 
whic. 
ar. 
simultaneou. 
eigenfunction. 
o. 
. 
an. 
al. 
o. 
th. 
pairwis. 
exchang. 
operator. 
P^
��. 
Thes. 
tw. 
function. 
hav. 
th. 
propert. 


P���. 
. 
�. 
. 
. 
6
1. 
2. 
.... 
. 
(8:31a. 


P���. 
.��A. 
. 
6
1. 
2. 
.... 
. 
(8:31b. 


an. 
ma. 
b. 
constructe. 
fro. 
�(1. 
2. 
.... 
N. 
b. 
th. 
relatio. 


�S,. 
. 
(N!)�1=. 
�PP^
�(1. 
2. 
.... 
N. 
(8:32. 


I. 
equatio. 
(8.32. 
th. 
operato. 
. 
^Pi. 
an. 
on. 
o. 
th. 
N. 
operators. 
includin. 
th. 
identit. 
operator. 
tha. 
permut. 
. 
give. 
orde. 
o. 
particle. 
t. 
anothe. 
order. 
Th. 
summatio. 
i. 
take. 
ove. 
al. 
N. 
permutatio. 
operators. 
Th. 
quantit. 
�. 
i. 
alway. 
.. 
fo. 
th. 
symmetri. 
wav. 
functio. 
�. 
. 
bu. 
fo. 
th. 
antisymmetri. 
wav. 
functio. 
�A. 
�. 
i. 
.1(�1. 
i. 
th. 
permutatio. 
operato. 
P^
involve. 
th. 



8.. 
Boson. 
an. 
fermion. 
21. 


exchang. 
o. 
a. 
eve. 
(odd. 
numbe. 
o. 
particl. 
pairs. 
Th. 
facto. 
(N!)�1=. 
normalize. 
�. 
an. 
�. 
i. 
�(1. 
2. 
.... 
N. 
i. 
normalized. 


Usin. 
th. 
sam. 
argument. 
a. 
before. 
w. 
ca. 
sho. 
tha. 
�. 
an. 
�. 
i. 
equatio. 
(8.32. 
ar. 
orthogona. 
an. 
that. 
ove. 
time. 
�. 
remain. 
symmetri. 
an. 
�. 
remain. 
antisymmetric. 
Sinc. 
th. 
probabilit. 
densitie. 
��. 
an. 
��. 


ar. 
independen. 
o. 
ho. 
th. 
. 
particle. 
ar. 
labeled. 
th. 
tw. 
function. 
�. 
an. 


�. 
ar. 
th. 
onl. 
suitabl. 
eigenfunction. 
o. 
H(1. 
2. 
.... 
N. 
t. 
represen. 
. 
syste. 
o. 
. 
indistinguishabl. 
particles. 


8.. 
Boson. 
an. 
fermion. 


I. 
quantu. 
theory. 
identica. 
particle. 
mus. 
b. 
indistinguishabl. 
i. 
orde. 
fo. 
th. 
theor. 
t. 
predic. 
result. 
tha. 
agre. 
wit. 
experimenta. 
observations. 
Conse. 
quently. 
a. 
show. 
i. 
Sectio. 
8.1. 
th. 
wav. 
function. 
fo. 
. 
multi-particl. 
syste. 
mus. 
b. 
symmetri. 
o. 
antisymmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
interchang. 
o. 
an. 
pai. 
o. 
particles. 
I. 
th. 
wav. 
function. 
ar. 
no. 
eithe. 
symmetri. 
o. 
antisymmetric. 
the. 
th. 
probabilit. 
densitie. 
fo. 
th. 
distributio. 
o. 
th. 
particle. 
ove. 
spac. 
ar. 
dependen. 
o. 
ho. 
th. 
particle. 
ar. 
labeled. 
. 
propert. 
tha. 
i. 
inconsisten. 
wit. 
indistinguishability. 
I. 
turn. 
ou. 
tha. 
thes. 
wav. 
function. 
mus. 
b. 
furthe. 
restricte. 
t. 
b. 
eithe. 
symmetri. 
o. 
antisymmetric. 
bu. 
no. 
both. 
dependin. 
o. 
th. 
identit. 
o. 
th. 
particles. 


I. 
orde. 
t. 
accommodat. 
thi. 
featur. 
int. 
quantu. 
mechanics. 
w. 
mus. 
ad. 
. 
sevent. 
postulat. 
t. 
th. 
si. 
postulate. 
state. 
i. 
Section. 
3.. 
an. 
7.2. 


7. 
Th. 
wav. 
functio. 
fo. 
. 
syste. 
o. 
. 
identica. 
particle. 
i. 
eithe. 
symmetri. 
o. 
antisymmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
interchang. 
o. 
an. 
pai. 
o. 
th. 
. 
particles. 
Elementar. 
o. 
composit. 
particle. 
wit. 
integra. 
spin. 
(. 
. 
0,1. 
2. 
.... 
posses. 
symmetri. 
wav. 
functions. 
whil. 
thos. 
wit. 
half-integra. 
spin. 
(. 
. 
12. 
32. 
.... 
posses. 
antisymmetri. 
wav. 
functions. 


Th. 
relationshi. 
betwee. 
spi. 
an. 
th. 
symmetr. 
characte. 
o. 
th. 
wav. 
functio. 
ca. 
b. 
establishe. 
i. 
relativisti. 
quantu. 
theory. 
I. 
non-relativisti. 
quantu. 
mechanics. 
however. 
thi. 
relationshi. 
mus. 
b. 
regarde. 
a. 
. 
postulate. 


A. 
pointe. 
ou. 
i. 
Sectio. 
7.2. 
electrons. 
protons. 
an. 
neutron. 
hav. 
spi. 
12. 
Therefore. 
. 
syste. 
o. 
. 
electrons. 
o. 
. 
protons. 
o. 
. 
neutron. 
possesse. 
a. 
antisymmetri. 
wav. 
function. 
. 
symmetri. 
wav. 
functio. 
i. 
no. 
allowed. 
Nucle. 
o. 
4H. 
an. 
atom. 
o. 
4H. 
hav. 
spi. 
0. 
whil. 
photon. 
an. 
2. 
nucle. 
hav. 
spi. 
1. 
Accordingly. 
thes. 
particle. 
posses. 
symmetri. 
wav. 
functions. 
neve. 
antisymmetri. 
wav. 
functions. 
I. 
. 
syste. 
i. 
compose. 
o. 
severa. 
kind. 
o. 
particles. 
the. 
it. 
wav. 
functio. 
mus. 
b. 
separatel. 
symmetri. 
o. 
antisym. 
metri. 
wit. 
respec. 
t. 
eac. 
typ. 
o. 
particle. 
Fo. 
example. 
th. 
wav. 
functio. 
fo. 



21. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


th. 
hydroge. 
molecul. 
mus. 
b. 
antisymmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
interchang. 
o. 
th. 
tw. 
nucle. 
(protons. 
an. 
als. 
antisymmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
interchang. 
o. 
th. 
tw. 
electrons. 
A. 
anothe. 
example. 
th. 
wav. 
functio. 
fo. 
th. 
oxyge. 
molecul. 
wit. 
16. 
nucle. 
(eac. 
wit. 
spi. 
0. 
mus. 
b. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
interchang. 
o. 
th. 
tw. 
nucle. 
an. 
antisymmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
interchang. 
o. 
an. 
pai. 
o. 
th. 
eigh. 
electrons. 


Th. 
behavio. 
o. 
. 
multi-particl. 
syste. 
wit. 
. 
symmetri. 
wav. 
functio. 
differ. 
markedl. 
fro. 
th. 
behavio. 
o. 
. 
syste. 
wit. 
a. 
antisymmetri. 
wav. 
function. 
Particle. 
wit. 
integra. 
spi. 
an. 
therefor. 
symmetri. 
wav. 
function. 
satisf. 
Bose�Einstei. 
statistic. 
an. 
ar. 
calle. 
bosons. 
whil. 
particle. 
wit. 
antisymmetri. 
wav. 
function. 
satisf. 
Fermi�Dira. 
statistic. 
an. 
ar. 
calle. 
fermions. 
System. 
o. 
4H. 
atom. 
(helium-4. 
an. 
o. 
3H. 
atom. 
(helium-3. 
provid. 
a. 
excellen. 
illustration. 
Th. 
4H. 
ato. 
i. 
. 
boso. 
wit. 
spi. 
. 
becaus. 
th. 
spin. 
o. 
th. 
tw. 
proton. 
an. 
th. 
tw. 
neutron. 
i. 
th. 
nucleu. 
an. 
o. 
th. 
tw. 
electron. 
ar. 
paired. 
Th. 
3H. 
ato. 
i. 
. 
fermio. 
wit. 
spi. 
1
. 
becaus. 
th. 
singl. 
neutro. 
i. 
th. 
nucleu. 
i. 
unpaired. 
Becaus. 
thes. 
tw. 
atom. 
obe. 
differen. 
statistics. 
th. 
thermodynami. 
an. 
othe. 
macroscopi. 
propertie. 
o. 
liqui. 
helium-. 
an. 
liqui. 
helium-. 
ar. 
dramaticall. 
different. 


8.. 
Completenes. 
relatio. 


Th. 
completenes. 
relatio. 
fo. 
. 
multi-dimensiona. 
wav. 
functio. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(3.32). 
However. 
thi. 
expressio. 
doe. 
no. 
appl. 
t. 
th. 
wav. 
function. 
��S,. 
fo. 
. 
syste. 
o. 
identica. 
particle. 
becaus. 
��S,. 
ar. 
eithe. 
symmetri. 
o. 
antisymmetric. 
wherea. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(3.32. 
i. 
neither. 
Accordingly. 
w. 
deriv. 
here. 
th. 
appropriat. 
expressio. 
fo. 
th. 
completenes. 
relatio. 
or. 
a. 
i. 
i. 
ofte. 
called. 
th. 
closur. 
propert. 
fo. 
��S,A. 


Fo. 
compactnes. 
o. 
notation. 
w. 
introduc. 
th. 
4N-dimensiona. 
vecto. 
. 


wit. 
component. 
q. 
fo. 
. 
. 
1. 
2. 
.... 
N. 
Th. 
permutatio. 
operator. 
. 
ar. 
allowe. 
t. 
operat. 
o. 
. 
directl. 
rathe. 
tha. 
o. 
th. 
wav. 
functions. 
Thus. 
th. 
expressio. 
P^
�(1. 
2. 
.... 
N. 
i. 
identica. 
t. 
�(P^
Q). 
I. 
thi. 
notation. 
equatio. 
(8.32. 
take. 
th. 
for. 


��S. 
. 
. 
(N!)�1=. 
�P��(P^
Q. 
(8:33. 


W. 
begi. 
b. 
considerin. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
. 
(Q. 
o. 
th. 
4N-dimensiona. 
vecto. 
Q. 
Followin. 
equatio. 
(8.33). 
w. 
ca. 
construc. 
fro. 
. 
(Q. 
. 
functio. 
F(Q. 
whic. 
i. 
eithe. 
symmetri. 
o. 
antisymmetri. 
b. 
th. 
relatio. 


W. 
follo. 
th. 
derivatio. 
o. 
D. 
D. 
Fitt. 
(1968. 
Nuov. 
Ciment. 
55B. 
557. 



8.. 
Completenes. 
relatio. 
21. 


F(Q. 
. 
(N!)�1=. 
�P. 
(P^
Q. 
(8:34. 


Sinc. 
F(Q. 
i. 
symmetri. 
(antisymmetric). 
i. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
. 
complet. 
se. 
o. 
symmetri. 
(antisymmetric. 
wav. 
function. 
��(Q. 
(w. 
omi. 
th. 
subscrip. 
S. 
A. 


F(Q. 
. 
c���(Q. 
(8:35. 


Th. 
coef�cient. 
c. 
ar. 
give. 
b. 


c. 
. 
�. 
(Q9)F(Q9)dQ. 
(8:36. 


becaus. 
th. 
wav. 
function. 
��(Q. 
ar. 
orthonormal. 
W. 
us. 
th. 
integra. 
notatio. 
t. 
includ. 
summatio. 
ove. 
th. 
spi. 
coordinate. 
a. 
wel. 
a. 
integratio. 
ove. 
th. 
spatia. 
coordinates. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(8.36. 
int. 
(8.35. 
yield. 


F(Q. 
. 
F(Q9. 
�. 
. 
(Q9)��(Q)dQ. 
(8:37. 


wher. 
th. 
orde. 
o. 
summatio. 
an. 
th. 
integratio. 
ove. 
Q. 
hav. 
bee. 
inter. 
changed. 
W. 
nex. 
substitut. 
equatio. 
(8.34. 
fo. 
F(Q9. 
int. 
(8.37. 
t. 
obtai. 


F(Q. 
. 
(N!)�1=. 
�P. 
(P^
Q9. 
�. 
(Q9)��(Q)dQ. 
(8:38. 


W. 
no. 
introduc. 
th. 
reciproca. 
o. 
invers. 
operato. 
P^�. 
t. 
th. 
permutatio. 
operato. 
P^
(se. 
Sectio. 
3.1. 
suc. 
tha. 
P^
�. 
P^
. 
P^
P^
�. 
. 
. 


W. 
observ. 
tha. 


��(.
^P
�1Q. 
. 
�P�. 
��(Q. 
. 
�P��(Q. 
(8:39. 


Th. 
quantit. 
�P�. 
equal. 
�. 
becaus. 
bot. 
^an. 
. 
^Pinvolv. 
th. 
interchang. 
o. 
th. 
sam. 
numbe. 
o. 
particl. 
pairs. 
W. 
als. 
not. 
tha. 


. 
. 
N. 
(8:40. 


becaus. 
ther. 
ar. 
N. 
term. 
i. 
th. 
summatio. 
an. 
eac. 
ter. 
equal. 
unity. 
W. 
nex. 
operat. 
o. 
eac. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(8.38. 
b. 


P�1. 
Sinc. 
P^
i. 
equatio. 
(8.38. 
operate. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
Q. 
an. 
sinc. 
th. 
orde. 
o. 
integratio. 
ove. 
Q. 
i. 
immaterial. 
w. 
obtai. 


F(Q. 
. 
(N!)�1=. 
�P. 
(Q9. 
�. 
. 
(P^
�1Q9)��(Q)dQ. 
(8:41. 



22. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 
Applicatio. 
o. 
equation. 
(8.39. 
an. 
(8.40. 
t. 
(8.41. 
give. 


F(Q. 
.(N!)1=. 
. 
(Q9. 
�. 
. 
(Q9)��(Q)dQ. 
(8:42. 


Sinc. 
. 
(Q9. 
i. 
. 
completel. 
arbitrar. 
functio. 
o. 
Q9. 
w. 
ma. 
compar. 
equation. 
(8.34. 
an. 
(8.42. 
an. 
obtai. 


�. 
. 
(Q9)��(Q. 
.(N!)�. 
�P�(P^
�Q9. 
(8:43. 


wher. 
�(. 
�Q9. 
i. 
th. 
Dira. 
delt. 
functio. 


�(. 
�Q9. 
. 
�(r. 
�r9i)�. 
i. 
i. 
(8:44. 


Equatio. 
(8.43. 
i. 
th. 
completenes. 
relatio. 
fo. 
. 
complet. 
se. 
o. 
symmetri. 
(antisymmetric. 
multi-particl. 
wav. 
functions. 


8.. 
Non-interactin. 
particle. 


I. 
thi. 
sectio. 
w. 
conside. 
. 
many-particl. 
syste. 
i. 
whic. 
th. 
particle. 
ac. 
independentl. 
o. 
eac. 
other. 
Fo. 
suc. 
. 
syste. 
o. 
. 
identica. 
particles. 
th. 


Hamiltonia. 
operato. 
H(1. 
2. 
.... 
N. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 
th. 
su. 
o. 
one. 
particl. 
Hamiltonia. 
operator. 
H^
(i. 
fo. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 


H(1. 
2. 
.... 
N. 
. 
H^
(1. 
. 
H^
(2. 
.


. 
H^
(N. 
(8:45. 
I. 
thi. 
case. 
th. 
operato. 
H^
(1. 
2. 
.... 
N. 
i. 
obviousl. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
interchanges. 
Fo. 
th. 
. 
particle. 
t. 
b. 
identical. 
th. 
operator. 
H^
(i. 
mus. 
al. 
hav. 
th. 
sam. 
form. 
th. 
sam. 
se. 
o. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
�n(i). 
an. 
th. 
sam. 
se. 
o. 
eigenvalue. 
En. 
wher. 


H(i)�n(i. 
. 
En�n(i). 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
(8:46. 


A. 
. 
consequenc. 
o. 
equatio. 
(8.45). 
th. 
eigenfunction. 
��(1. 
2. 
.... 
N)o. 


H(1. 
2. 
.... 
N. 
ar. 
product. 
o. 
th. 
one-particl. 
eigenfunction. 
��(1. 
2. 
.... 
N. 
.�a(1)�b(2. 
... 
. 
p(N. 
(8:47. 
an. 
th. 
eigenvalue. 
E. 
o. 
H^
(1. 
2. 
.... 
N. 
ar. 
sum. 
o. 
one-particl. 
energie. 


E. 
. 
E. 
.E. 
.


. 
E. 
(8:48. 
I. 
equation. 
(8.47. 
an. 
(8.48). 
th. 
inde. 
. 
represent. 
th. 
se. 
o. 
one-particl. 
state. 
a. 
b. 
.... 
. 
an. 
indicate. 
th. 
stat. 
o. 
th. 
N-particl. 
system. 


Th. 
N-particl. 
eigenfunction. 
��(1. 
2. 
.... 
N. 
i. 
equatio. 
(8.47. 
ar. 
no. 
properl. 
symmetrized. 
Fo. 
bosons. 
th. 
wav. 
functio. 
��(1. 
2. 
.... 
N. 
mus. 
b. 
symmetri. 
wit. 
respec. 
t. 
particl. 
interchang. 
an. 
fo. 
fermion. 
i. 
mus. 
b. 
antisymmetric. 
Properl. 
symmetrize. 
wav. 
function. 
ma. 
b. 
readil. 
con. 



8.. 
Non-interactin. 
particle. 
22. 


structe. 
b. 
applyin. 
equatio. 
(8.32). 
Fo. 
example. 
fo. 
. 
syste. 
o. 
tw. 
identica. 
particles. 
on. 
particl. 
i. 
stat. 
�a. 
th. 
othe. 
i. 
stat. 
�b. 
th. 
symmetrize. 
two. 
particl. 
wav. 
function. 
ar. 


�ab,S(1. 
2. 
.2�1=2[�a(1)�b(2. 
.�a(2)�b(1). 
(8:49a. 


�ab. 
A(1. 
2. 
.2�1=2[�a(1)�b(2. 
��a(2)�b(1). 
(8:49b. 
Th. 
expressio. 
(8.49a. 
fo. 
tw. 
boson. 
i. 
no. 
quit. 
right. 
however. 
i. 
state. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
th. 
sam. 
stat. 
(. 
.b). 
fo. 
the. 
th. 
normalizatio. 
constan. 
i. 
. 


rathe. 
tha. 
2�1=2. 
s. 
tha. 
�aa,. 
(1. 
2. 
.�a(1)�a(2. 
Fro. 
equatio. 
(8.49b). 
w. 
se. 
tha. 
th. 
wavefunctio. 
vanishe. 
fo. 
tw. 
identica. 
fermion. 
i. 
th. 
sam. 
single-particl. 
stat. 
�aa. 
A(1. 
2. 
.. 
I. 
othe. 
words. 
tw. 
identica. 
fermion. 
canno. 
simultaneousl. 
b. 
i. 
th. 
sam. 
quantu. 
state. 
Thi. 
statemen. 
i. 
know. 
a. 
th. 
Paul. 
exclusio. 
principl. 
becaus. 
i. 
wa. 
�rs. 
postulate. 
b. 
W. 
Paul. 
(1925. 
i. 
orde. 
t. 
explai. 
th. 
periodi. 
tabl. 
o. 
th. 
elements. 
Fo. 
. 
identica. 
non-interactin. 
bosons. 
equatio. 
(8.32. 
need. 
t. 
b. 
modi�e. 
i. 
orde. 
fo. 
�. 
t. 
b. 
normalize. 
whe. 
som. 
particle. 
ar. 
i. 
identica. 
single. 
particl. 
states. 
Th. 
modi�e. 
expressio. 
i. 


1=2X

Na!Nb!

. 


P�a(1)�b(2. 
.... 
p(N. 


(8:50. 


wher. 
N. 
indicate. 
th. 
numbe. 
o. 
time. 
th. 
stat. 
. 
occur. 
i. 
th. 
produc. 
o. 
th. 
single-particl. 
wav. 
functions. 
Permutation. 
whic. 
giv. 
th. 
sam. 
produc. 
ar. 
include. 
onl. 
onc. 
i. 
th. 
summatio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(8.50). 
Fo. 
example. 
fo. 
thre. 
particles. 
wit. 
tw. 
i. 
stat. 
. 
an. 
on. 
i. 
stat. 
b. 
th. 
product. 
�a(1)�a(2)�b(3. 
an. 
�a(2)�a(1)�b(3. 
ar. 
identica. 
an. 
onl. 
on. 
i. 
include. 
i. 
th. 
summation. 


Fo. 
. 
identica. 
non-interactin. 
fermions. 
equatio. 
(8.32. 
ma. 
als. 
b. 
expresse. 
a. 
. 
Slate. 
determinan. 


�. 
.(N!)�1=. 


�a(1. 
�a(2. 


. 
�a(N. 
�b(1. 
�b(2. 


. 
�b(N. 


. 
p(1. 
. 
p(2. 


. 
. 
p(N. 


(8:51. 


Th. 
expansio. 
o. 
thi. 
determinan. 
i. 
identica. 
t. 
equatio. 
(8.32. 
wit. 
�(1. 
2. 
.... 
N. 
give. 
b. 
(8.47). 
Th. 
propertie. 
o. 
determinant. 
ar. 
discusse. 
i. 
Appendi. 
I. 
Th. 
wav. 
functio. 
�. 
i. 
equatio. 
(8.51. 
i. 
clearl. 
antisym. 
metri. 
becaus. 
interchangin. 
an. 
pai. 
o. 
particle. 
i. 
equivalen. 
t. 
interchan. 



22. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


gin. 
tw. 
column. 
an. 
henc. 
change. 
th. 
sig. 
o. 
th. 
determinant. 
Moreover. 
i. 
an. 
pai. 
o. 
particle. 
ar. 
i. 
th. 
sam. 
single-particl. 
state. 
the. 
tw. 
row. 
o. 
th. 
Slate. 
determinan. 
ar. 
identica. 
an. 
th. 
determinan. 
vanishes. 
i. 
agreemen. 
wit. 
th. 
Paul. 
exclusio. 
principle. 


Althoug. 
th. 
concep. 
o. 
non-interactin. 
particle. 
i. 
a. 
idealization. 
th. 
mode. 
ma. 
b. 
applie. 
t. 
rea. 
system. 
a. 
a. 
approximatio. 
whe. 
th. 
inter. 
action. 
betwee. 
particle. 
ar. 
small. 
Suc. 
a. 
approximatio. 
i. 
ofte. 
usefu. 
a. 
. 
startin. 
poin. 
fo. 
mor. 
extensiv. 
calculations. 
suc. 
a. 
thos. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
9. 


Probabilit. 
densitie. 


Th. 
differenc. 
i. 
behavio. 
betwee. 
boson. 
an. 
fermion. 
i. 
clearl. 
demon. 
strate. 
b. 
thei. 
probabilit. 
densitie. 
j�. 
j. 
an. 
j�Aj2. 
Fo. 
. 
pai. 
o. 
non. 
interactin. 
bosons. 
w. 
hav. 
fro. 
equatio. 
(8.49a. 


j�Sj. 
. 
1j�a(1)j2j�b(2)j. 
. 
1j�a(2)j2j�b(1)j. 
. 
Re[�(1)�(2)�a(2)�b(1). 


(8:52. 


Fo. 
. 
pai. 
o. 
non-interactin. 
fermions. 
equatio. 
(8.49b. 
give. 


j�Aj. 
. 
1j�a(1)j2j�b(2)j. 
. 
1j�a(2)j2j�b(1)j. 
. 
Re[�(1)�(2)�a(2)�b(1). 


(8:53. 


Th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
. 
pai. 
o. 
distinguishabl. 
particle. 
wit. 
particl. 
. 
i. 
stat. 
. 
an. 
particl. 
. 
i. 
stat. 
. 
i. 
j�a(1)j2j�b(2)j2. 
I. 
th. 
distinguishabl. 
particle. 
ar. 
interchanged. 
th. 
probabilit. 
densit. 
i. 
j�a(2)j2j�b(1)j2. 
Th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
on. 
distinguishabl. 
particl. 
(eithe. 
one. 
bein. 
i. 
stat. 
. 
an. 
th. 
othe. 
i. 
stat. 
. 
is. 
the. 


j�a(1)j2j�b(2)j. 
. 
1j�a(2)j2j�b(1)j. 


whic. 
appear. 
i. 
bot. 
j�Sj. 
an. 
j�Aj2. 
Th. 
las. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
o. 
equation. 
(8.52. 
an. 
(8.53. 
arise. 
becaus. 
th. 
particle. 
ar. 
indistinguishabl. 
an. 
thi. 
ter. 
i. 
know. 
a. 
th. 
exchang. 
densit. 
o. 
overla. 
density. 
Sinc. 
th. 
exchang. 
densit. 
i. 
adde. 
i. 
j�. 
j. 
an. 
subtracte. 
i. 
j�Aj2. 
i. 
i. 
responsibl. 
fo. 
th. 
differen. 
behavio. 
o. 
boson. 
an. 
fermions. 


Th. 
value. 
o. 
j�. 
j. 
an. 
j�Aj. 
whe. 
th. 
tw. 
particle. 
hav. 
th. 
sam. 
coordinat. 
value. 
sa. 
q0. 
s. 
tha. 
q. 
. 
q. 
. 
q0. 
ar. 



8.. 
Non-interactin. 
particle. 
22. 


. 
.1. 
.12

j�. 
jj�a(q0)j2j�b(q0)jj�a(q0)j2j�b(q0)j

.Re[�(q0)�(q0)�a(q00�b(q0). 


.2j�a(q0)j2j�b(q0)j

j�Aj.1j�a(q0)j2j�b(q0)j. 
.1j�a(q0)j2j�b(q0)j

�Re[�(q0)�(q0)�a(q0)�b(q0). 


Thus. 
th. 
tw. 
boson. 
hav. 
a. 
increase. 
probabilit. 
densit. 
o. 
bein. 
a. 
th. 
sam. 
poin. 
i. 
space. 
whil. 
th. 
tw. 
fermion. 
hav. 
. 
vanishin. 
probabilit. 
densit. 
o. 
bein. 
a. 
th. 
sam. 
point. 
Thi. 
conclusio. 
als. 
applie. 
t. 
system. 
wit. 
. 
identica. 
particles. 
Identica. 
boson. 
(fermions. 
behav. 
a. 
thoug. 
the. 
ar. 
unde. 
th. 
in�uenc. 
o. 
mutuall. 
attractiv. 
(repulsive. 
forces. 
Thes. 
apparen. 
force. 
ar. 
calle. 
exchang. 
forces. 
althoug. 
the. 
ar. 
no. 
force. 
i. 
th. 
mechanica. 
sense. 
bu. 
rathe. 
statistica. 
results. 
Th. 
exchang. 
densit. 
i. 
equation. 
(8.52. 
an. 
(8.53. 
i. 
importan. 
onl. 
whe. 
th. 
single-particl. 
wav. 
function. 
�a(q. 
an. 
�b(q. 
overla. 
substantially. 


Suppos. 
tha. 
th. 
probabilit. 
densit. 
j�a(q)ji. 
negligibl. 
smal. 
excep. 
i. 
. 
regio. 
. 
an. 
tha. 
j�b(q)j. 
i. 
negligibl. 
smal. 
excep. 
i. 
. 
regio. 
B. 
whic. 
doe. 
no. 
overla. 
wit. 
regio. 
A. 
Th. 
quantitie. 
�(1)�b(1. 
an. 
�(2)�a(2. 
ar. 
the. 


negligibl. 
smal. 
an. 
th. 
exchang. 
densit. 
essentiall. 
vanishes. 
Fo. 
q. 
i. 
regio. 


. 
an. 
q. 
i. 
regio. 
B. 
onl. 
th. 
�rs. 
ter. 
j�a(1)j2j�b(2)jo. 
th. 
right-han. 
side. 
o. 
equation. 
(8.52. 
an. 
(8.53. 
i. 
important. 
Thi. 
expressio. 
i. 
jus. 
th. 
probabilit. 
densit. 
fo. 
particl. 
. 
con�ne. 
t. 
regio. 
. 
an. 
particl. 
. 
con�ne. 
t. 
regio. 
B. 
Th. 
tw. 
particle. 
becom. 
distinguishabl. 
b. 
mean. 
o. 
thei. 
location. 
an. 
thei. 
join. 
wav. 
functio. 
doe. 
no. 
nee. 
t. 
b. 
mad. 
symmetri. 
o. 
antisymmetric. 
Thus. 
onl. 
particle. 
whos. 
probabilit. 
densitie. 
overla. 
t. 
. 
non-negligibl. 
exten. 
nee. 
t. 
b. 
include. 
i. 
th. 
symmetrizatio. 
process. 
Fo. 
example. 
electron. 
i. 
. 
non-bonde. 
ato. 
an. 
electron. 
withi. 
. 
molecul. 
posses. 
antisymmetri. 
wav. 
functions. 
electron. 
i. 
neighborin. 
atom. 
an. 
molecule. 
ar. 
to. 
remot. 
t. 
b. 
included. 


Electro. 
spi. 
an. 
th. 
heliu. 
ato. 


W. 
ma. 
expres. 
th. 
single-particl. 
wav. 
functio. 
�n(qi. 
a. 
th. 
produc. 
o. 
. 
spatia. 
wav. 
functio. 
�n(ri. 
an. 
. 
spi. 
functio. 
�(i). 
Fo. 
. 
fermio. 
wit. 
spi. 
1. 


suc. 
a. 
a. 
electron. 
ther. 
ar. 
jus. 
tw. 
spi. 
states. 
whic. 
w. 
designat. 
b. 
�(i. 


fo. 
m. 
.. 
an. 
�(i. 
fo. 
m. 
.�. 
Therefore. 
fo. 
tw. 
particle. 
ther. 
ar. 
thre. 


symmetri. 
spi. 
wav. 
function. 



22. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


�(1)�(2. 


�(1)�(2. 


2�1=2[�(1)�(2. 
.�(2)�(1). 


an. 
on. 
antisymmetri. 
spi. 
wav. 
functio. 
2�1=2

[�(1)�(2. 
��(2)�(1). 


wher. 
th. 
factor. 
2�1=. 
ar. 
normalizatio. 
constants. 
Whe. 
th. 
spatia. 
an. 
spi. 
wav. 
function. 
ar. 
combined. 
ther. 
ar. 
fou. 
antisymmetri. 
combinations. 
. 
single. 
stat. 
(. 
.0. 


[�a(1)�b(2. 
.�a(2)�b(1)][�(1)�(2. 
��(2)�(1). 


an. 
thre. 
triple. 
state. 
(. 
.1. 


<�(1)�(2. 
2�1=.


[�a(1)�b(2. 
��a(2)�b(1). 
�(1)�(2. 


2�1=2[�(1)�(2. 
.�(2)�(1). 


Thes. 
fou. 
antisymmetri. 
wav. 
function. 
ar. 
normalize. 
i. 
th. 
single-particl. 
spatia. 
wav. 
function. 
�n(ri. 
ar. 
normalized. 
I. 
th. 
tw. 
fermion. 
ar. 
i. 
th. 
sam. 
stat. 
�a(ri). 
the. 
onl. 
th. 
single. 
stat. 
occur. 


2�1=2�a(1)�a(2)[�(1)�(2. 
��(2)�(1). 


Th. 
heliu. 
ato. 
serve. 
a. 
. 
simpl. 
exampl. 
fo. 
th. 
applicatio. 
o. 
thi. 
construction. 
I. 
th. 
nucleu. 
(fo. 
whic. 
. 
.2. 
i. 
considere. 
t. 
b. 
�xe. 
i. 
space. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
fo. 
th. 
tw. 
electron. 
i. 


". 
Ze9. 
Ze9. 
e9. 


^(=. 
.=2

. 
.. 
. 
��. 
(8:54. 


2me
. 
2r. 
r. 
r1. 


wher. 
r. 
an. 
r. 
ar. 
th. 
distance. 
o. 
electron. 
. 
an. 
. 
fro. 
th. 
nucleus. 
r1. 
i. 
th. 
distanc. 
betwee. 
th. 
tw. 
electrons. 
an. 
e. 
.. 
fo. 
CG. 
unit. 
o. 
e. 
.e=(4��0)1=. 
fo. 
S. 
units. 
Spin�orbi. 
an. 
spin�spi. 
interaction. 
o. 
th. 
electron. 
ar. 
smal. 
an. 
hav. 
bee. 
neglected. 
Th. 
electron�electro. 
interactio. 
i. 
relativel. 
smal. 
i. 
compariso. 
wit. 
th. 
interactio. 
betwee. 
a. 
electro. 
an. 
. 
nucleus. 
s. 
tha. 
a. 
. 
crud. 
�rst-orde. 
approximatio. 
th. 
las. 
ter. 
o. 
th. 
right. 
han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(8.54. 
ma. 
b. 
neglected. 
Th. 
operato. 
H^
the. 
become. 
th. 
su. 
o. 
tw. 
hydrogen-ato. 
Hamiltonia. 
operator. 
wit. 
. 
.2. 
Th. 
correspondin. 
single-particl. 
state. 
ar. 
th. 
hydrogen-lik. 
atomi. 
orbital. 
�nl. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
6.4. 
Th. 
energ. 
o. 
th. 
heliu. 
ato. 
depend. 
o. 
th. 
principa. 
quantu. 
number. 
n. 
an. 
n. 
o. 
th. 
tw. 
electron. 
an. 
i. 
th. 
su. 
o. 
tw. 
hydrogen-lik. 
atomi. 
energie. 
wit. 
. 
.. 


m. 
Z. 
e941. 
1. 


En1,n. 
.. 
..�54:4e. 
. 


2". 
n. 
n. 
n. 
n. 



8.. 
Non-interactin. 
particle. 
22. 


I. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
helium. 
accordin. 
t. 
thi. 
model. 
th. 
tw. 
electron. 
ar. 
i. 
th. 
1. 
orbita. 
wit. 
opposin. 
spins. 
Th. 
ground-stat. 
wav. 
functio. 
i. 


�0(1. 
2. 
.2�1=21s(1)1s(2)[�(1)�(2. 
��(2)�(1). 


an. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
i. 
�108:. 
eV. 
Th. 
energ. 
o. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
th. 
heliu. 
io. 
He.. 
fo. 
whic. 
n. 
.. 
an. 
n. 
.1,i. 
�54.. 
eV. 
I. 
Sectio. 
9.6. 
w. 
conside. 
th. 
contributio. 
o. 
th. 
electron�electro. 
repulsio. 
ter. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
o. 
heliu. 
an. 
obtai. 
mor. 
realisti. 
values. 


Althoug. 
th. 
orbita. 
energie. 
fo. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 
depen. 
onl. 
o. 
th. 
principa. 
quantu. 
numbe. 
n. 
fo. 
. 
multi-electro. 
ato. 
thes. 
orbita. 
energie. 
increas. 
a. 
th. 
azimutha. 
quantu. 
numbe. 
. 
increases. 
Th. 
reaso. 
i. 
tha. 
th. 
electro. 
probabilit. 
densit. 
nea. 
th. 
nucleu. 
decrease. 
a. 
. 
increases. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
6.5. 
Therefore. 
o. 
average. 
a. 
electro. 
wit. 
. 
large. 
. 
valu. 
i. 
screene. 
fro. 
th. 
attractiv. 
forc. 
o. 
th. 
nucleu. 
b. 
th. 
inne. 
electron. 
mor. 
tha. 
a. 
electro. 
wit. 
. 
smalle. 
. 
value. 
thereb. 
increasin. 
it. 
energy. 
Thus. 
th. 
2. 
orbita. 
ha. 
. 
lowe. 
energ. 
tha. 
th. 
2. 
orbitals. 


Followin. 
thi. 
argument. 
i. 
th. 
�rst. 
an. 
second-excite. 
states. 
th. 
electron. 
ar. 
place. 
i. 
th. 
1. 
an. 
2. 
orbitals. 
Th. 
antisymmetri. 
spatia. 
wav. 
functio. 
ha. 
th. 
lowe. 
energy. 
s. 
tha. 
th. 
�rst-excite. 
stat. 
�1(1. 
2. 
i. 
. 
triple. 
state. 


<�(1)�(2. 


�1(1. 
2. 
.2�1=2[1s(1)2s(2. 
�1s(2)2s(1). 
�(1)�(2. 


2�1=2[�(1)�(2. 
.�(2)�(1). 


an. 
th. 
second-excite. 
stat. 
�2(1. 
2. 
i. 
. 
single. 
stat. 


�2(1. 
2. 
.1[1s(1)2s(2. 
.1s(2)2s(1)][�(1)�(2. 
��(2)�(1). 


Simila. 
construction. 
appl. 
t. 
highe. 
excite. 
states. 
Th. 
triple. 
state. 
ar. 
calle. 
orthohelium. 
whil. 
th. 
single. 
state. 
ar. 
calle. 
parahelium. 
Fo. 
. 
give. 
pai. 
o. 
atomi. 
orbitals. 
th. 
orthoheliu. 
ha. 
th. 
lowe. 
energy. 
I. 
constructin. 
thes. 
excite. 
states. 
w. 
plac. 
on. 
o. 
th. 
electron. 
i. 
th. 
1. 
atomi. 
orbita. 
an. 
th. 
othe. 
i. 
a. 
excite. 
atomi. 
orbital. 
I. 
bot. 
electron. 
wer. 
place. 
i. 
excite. 
orbital. 
(n. 
. 
2. 
n. 
. 
2). 
th. 
resultin. 
energ. 
woul. 
b. 
equa. 
t. 
o. 
greate. 
tha. 
�27.. 
eV. 
whic. 
i. 
greate. 
tha. 
th. 
energ. 
o. 
He.. 
an. 
th. 
ato. 
woul. 
ionize. 


Thi. 
sam. 
procedur. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
explain. 
i. 
. 
qualitativ. 
way. 
th. 
chemica. 
behavio. 
o. 
th. 
element. 
i. 
th. 
periodi. 
table. 
Th. 
applicatio. 
o. 
th. 
Paul. 
exclusio. 
principl. 
t. 
th. 
groun. 
state. 
o. 
multi-electro. 
atom. 
i. 
discusse. 
i. 
grea. 
detai. 
i. 
mos. 
elementar. 
textbook. 
o. 
th. 
principle. 
o. 
chemistr. 
and. 
therefore. 
i. 
no. 
repeate. 
here. 



22. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


8.. 
Th. 
free-electro. 
ga. 


Th. 
concep. 
o. 
non-interactin. 
fermion. 
ma. 
b. 
applie. 
t. 
electron. 
i. 
. 
metal. 
. 
meta. 
consist. 
o. 
a. 
ordere. 
three-dimensiona. 
arra. 
o. 
atom. 
i. 
whic. 
som. 
o. 
th. 
valenc. 
electron. 
ar. 
s. 
weakl. 
boun. 
t. 
thei. 
paren. 
atom. 
tha. 
the. 
for. 
a. 
`electro. 
gas'. 
Thes. 
mobil. 
electron. 
the. 
mov. 
i. 
th. 
Coulombi. 
�el. 
produce. 
b. 
th. 
arra. 
o. 
ionize. 
atoms. 
I. 
addition. 
th. 
mobil. 
electron. 
repe. 
eac. 
othe. 
accordin. 
t. 
Coulomb'. 
law. 
Fo. 
. 
give. 
mobil. 
electron. 
it. 
Coulombi. 
interaction. 
wit. 
th. 
ion. 
an. 
th. 
othe. 
mobil. 
electron. 
ar. 
long. 
range. 
an. 
ar. 
relativel. 
constan. 
ove. 
th. 
rang. 
o. 
th. 
electron'. 
position. 
Consequently. 
a. 
. 
�rst-orde. 
approximation. 
th. 
mobil. 
electron. 
ma. 
b. 
treate. 
a. 
. 
ga. 
o. 
identica. 
non-interactin. 
fermion. 
i. 
. 
constan. 
potentia. 
energ. 
�eld. 


Th. 
free-electro. 
ga. 
wa. 
�rs. 
applie. 
t. 
. 
meta. 
b. 
A. 
Sommerfel. 
(1928. 
an. 
thi. 
applicatio. 
i. 
als. 
know. 
a. 
th. 
Sommerfel. 
model. 
Althoug. 
th. 
mode. 
doe. 
no. 
giv. 
result. 
tha. 
ar. 
i. 
quantitativ. 
agreemen. 
wit. 
experi. 
ments. 
i. 
doe. 
predic. 
th. 
qualitativ. 
behavio. 
o. 
th. 
electroni. 
contributio. 
t. 
th. 
hea. 
capacity. 
electrica. 
an. 
therma. 
conductivity. 
an. 
thermioni. 
emission. 
Th. 
reaso. 
fo. 
th. 
succes. 
o. 
thi. 
mode. 
i. 
tha. 
th. 
quantu. 
effect. 
du. 
t. 
th. 
antisymmetri. 
characte. 
o. 
th. 
electroni. 
wav. 
functio. 
ar. 
ver. 
larg. 
an. 
dominat. 
th. 
effect. 
o. 
th. 
Coulombi. 
interactions. 


Eac. 
o. 
th. 
electron. 
i. 
th. 
free-electro. 
ga. 
ma. 
b. 
regarde. 
a. 
. 
particl. 
i. 
. 
three-dimensiona. 
box. 
a. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
2.8. 
Energie. 
ma. 
b. 
de�ne. 
relativ. 
t. 
th. 
constan. 
potentia. 
energ. 
�el. 
du. 
t. 
th. 
electron�io. 
an. 
electron�electro. 
interaction. 
i. 
th. 
metalli. 
crystal. 
s. 
tha. 
w. 
ma. 
arbitraril. 
se. 
thi. 
potentia. 
energ. 
equa. 
t. 
zer. 
withou. 
los. 
o. 
generality. 
Sinc. 
th. 
mobil. 
electron. 
ar. 
no. 
allowe. 
t. 
leav. 
th. 
metal. 
th. 
potentia. 
energ. 
outsid. 
th. 
meta. 
i. 
in�nite. 
Fo. 
simplicity. 
w. 
assum. 
tha. 
th. 
metalli. 
crysta. 
i. 
. 
cub. 
o. 
volum. 
. 
wit. 
side. 
o. 
lengt. 
a. 
s. 
tha. 
. 
. 
a3.Asgive. 
b. 
equation. 
(2.82. 
an. 
(2.83). 
th. 
single-particl. 
wav. 
function. 
an. 
energ. 
level. 
ar. 


. 
nx�. 
ny�. 
nz�. 


�nx,ny,n. 
. 
si. 
si. 
si. 
(8:55. 


Enx,ny,n. 
. 
(n. 
. 
n. 
. 
n2. 
(8:56. 


8m. 
a. 
wher. 
m. 
i. 
th. 
electroni. 
mas. 
an. 
th. 
quantu. 
number. 
nx. 
ny. 
n. 
hav. 
value. 
nx. 
ny. 
n. 
. 
1,2. 
3. 
.... 
W. 
nex. 
conside. 
. 
three-dimensiona. 
cartesia. 
spac. 
wit. 
axe. 
nx. 
ny. 
nz. 
Eac. 
poin. 
i. 
thi. 
n-spac. 
wit. 
positiv. 
(bu. 
non-zero. 
intege. 
value. 
o. 
nx. 
ny. 



8.. 
Th. 
free-electro. 
ga. 
22. 


an. 
n. 
correspond. 
t. 
. 
single-particl. 
stat. 
�nx,ny,n. 
. 
Thes. 
point. 
al. 
li. 
i. 
th. 
positiv. 
octan. 
o. 
thi. 
space. 
I. 
w. 
divid. 
th. 
octan. 
int. 
uni. 
cubi. 
cells. 
ever. 
poin. 
representin. 
. 
single-particl. 
stat. 
lie. 
a. 
th. 
corne. 
o. 
on. 
o. 
thes. 
uni. 
cells. 
Accordingly. 
w. 
ma. 
associat. 
. 
volum. 
o. 
uni. 
siz. 
wit. 
eac. 
single. 
particl. 
state. 
Equatio. 
(8.56. 
ma. 
b. 
rewritte. 
i. 
th. 
for. 


8mea. 
. 


n. 
. 
n. 
. 
n. 


. 
yzh. 


whic. 
w. 
recogniz. 
a. 
th. 
equatio. 
i. 
n-spac. 
o. 
. 
spher. 
wit. 
radiu. 
. 
equal

p����������������������. 


t. 
8mea. 
E=h2. 
Th. 
numbe. 
. 
(E. 
o. 
single-particl. 
state. 
wit. 
energ. 
les. 
tha. 
o. 
equa. 
t. 
. 
i. 
the. 
th. 
volum. 
o. 
th. 
octan. 
o. 
. 
spher. 
o. 
radiu. 
. 


3=. 
14�. 
8mea. 
. 
4�. 


. 
(E. 
. 
R. 
.. 
(2m. 
E)3=. 
(8:57. 


8. 
. 
h23h. 
Th. 
numbe. 
o. 
single-particl. 
state. 
wit. 
energie. 
betwee. 
. 
an. 
. 
. 
d. 
i. 
�(E)dE. 
wher. 
�(E. 
i. 
th. 
densit. 
o. 
single-particl. 
state. 
an. 
i. 
relate. 
t. 
. 
(E)b. 
d. 
(E)2�. 


�(E. 
.. 
(2me)3=. 
(8:58. 


Accordin. 
t. 
th. 
Paul. 
exclusio. 
principle. 
n. 
mor. 
tha. 
tw. 
electrons. 
on. 
spi. 
up. 
th. 
othe. 
spi. 
down. 
ca. 
hav. 
th. 
sam. 
se. 
o. 
quantu. 
number. 
nx. 
ny. 
nz. 
A. 
. 
temperatur. 
o. 
absolut. 
zero. 
tw. 
electron. 
ca. 
b. 
i. 
th. 
groun. 
stat. 
wit. 
energ. 
3h2=8mea2. 
tw. 
i. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
state. 
wit. 
energ. 
6h2=8m. 
a2. 
tw. 
i. 
eac. 
o. 
th. 
thre. 
state. 
wit. 
energ. 
9h2=8m. 
a2. 
etc. 
Th. 
state. 
wit. 
th. 
lowes. 
energie. 
ar. 
�lled. 
eac. 
wit. 
tw. 
electrons. 
unti. 
th. 
spherica. 
octan. 
i. 
n-spac. 
i. 
�lle. 
u. 
t. 
. 
valu. 
EF. 
whic. 
i. 
calle. 
th. 
Ferm. 
energy. 
I. 
ther. 
ar. 
. 
electron. 
i. 
th. 
free-electro. 
gas. 
the. 
w. 
hav. 


. 
. 
2. 
(EF. 
. 
(2m. 
EF)3=. 
(8:59. 


2=. 


E. 
. 
(8:60. 


8m. 
�. 
wher. 
equatio. 
(8.57. 
ha. 
bee. 
used. 
Th. 
Ferm. 
energ. 
i. 
dependen. 
o. 
th. 
densit. 
N=. 
o. 
th. 
free-electro. 
gas. 
bu. 
no. 
o. 
th. 
siz. 
o. 
th. 
metalli. 
crystal. 
Th. 
tota. 
energ. 
Eto. 
o. 
th. 
. 
particle. 
i. 
give. 
b. 


Eto. 
. 
. 
E�(E)d. 
(8:61. 


wher. 
th. 
facto. 
. 
i. 
fron. 
o. 
th. 
integra. 
arise. 
becaus. 
eac. 
single-particl. 
stat. 
i. 
doubl. 
occupied. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(8.58. 
int. 
(8.61. 
give. 



22. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


8�. 
5=2

Eto. 
. 
(2me)3=. 
E. 


whic. 
ma. 
b. 
simpli�e. 
t. 


Eto. 
. 
NE. 
(8:62. 


Th. 
averag. 
energ. 
. 
pe. 
electro. 
is. 
the. 


Eto. 
. 


. 
.. 
E. 
(8:63. 


Equation. 
(8.57. 
an. 
(8.58. 
ar. 
vali. 
onl. 
fo. 
value. 
o. 
. 
suf�cientl. 
larg. 
an. 
fo. 
energ. 
level. 
suf�cientl. 
clos. 
togethe. 
tha. 
. 
ca. 
b. 
treate. 
a. 
. 
continuou. 
variable. 
Fo. 
. 
metalli. 
crysta. 
o. 
volum. 
. 
cm3. 
th. 
lowes. 
energ. 
leve. 
i. 
abou. 
10�1. 
e. 
an. 
th. 
spacin. 
betwee. 
level. 
i. 
likewis. 
o. 
th. 
orde. 
o. 
10�1. 
eV. 
Sinc. 
metal. 
typicall. 
posses. 
abou. 
102. 
t. 
102. 
fre. 
electron. 
pe. 
cm3. 
th. 
Ferm. 
energ. 
E. 
i. 
abou. 
1.. 
t. 
. 
e. 
an. 
th. 
averag. 
energ. 
. 
pe. 
electro. 
i. 
abou. 
. 
t. 
. 
eV. 
Thus. 
fo. 
al. 
practica. 
purposes. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
lowes. 
leve. 
ma. 
b. 
take. 
a. 
zer. 
an. 
th. 
energ. 
value. 
ma. 
b. 
treate. 
a. 
continuous. 


Th. 
smoot. 
surfac. 
o. 
th. 
spherica. 
octan. 
i. 
n-spac. 
whic. 
de�ne. 
th. 
Ferm. 
energ. 
cut. 
throug. 
som. 
o. 
th. 
uni. 
cubi. 
cell. 
tha. 
represen. 
single. 
particl. 
states. 
Th. 
replacemen. 
o. 
wha. 
shoul. 
b. 
. 
ragge. 
surfac. 
b. 
. 
smoot. 
surfac. 
result. 
i. 
. 
negligibl. 
differenc. 
becaus. 
th. 
densit. 
o. 
single. 
particl. 
state. 
nea. 
th. 
Ferm. 
energ. 
E. 
i. 
s. 
larg. 
tha. 
. 
i. 
essentiall. 
continuous. 
A. 
th. 
Ferm. 
energ. 
EF. 
th. 
densit. 
o. 
single-particl. 
state. 
i. 


1=. 


2�vme3. 


�(EF. 
. 
(8:64. 


whic. 
typicall. 
i. 
abou. 
102. 
t. 
102. 
state. 
pe. 
eV. 
Thus. 
nea. 
th. 
Ferm. 
energ. 
EF. 
. 
differentia. 
energ. 
rang. 
d. 
o. 
10�1. 
e. 
contain. 
abou. 
101. 
t. 
101. 
doubl. 
occupie. 
single-particl. 
states. 


Sinc. 
th. 
potentia. 
energ. 
o. 
th. 
electron. 
i. 
th. 
free-electro. 
ga. 
i. 
assume. 
t. 
b. 
zero. 
al. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
mobil. 
electron. 
i. 
kinetic. 
Th. 
electro. 
velocit. 
u. 
a. 
th. 
Ferm. 
leve. 
E. 
i. 
give. 
b. 


m. 
u. 
. 
E. 
(8:65. 


an. 
th. 
averag. 
electro. 
velocit. 
. 
i. 
give. 
b. 


m. 
u. 
. 
. 
. 
3E. 
(8:66. 


Fo. 
electron. 
i. 
. 
metal. 
thes. 
velocitie. 
ar. 
o. 
th. 
orde. 
o. 
10. 
c. 
s�1. 
Th. 
Ferm. 
temperatur. 
T. 
i. 
de�ne. 
b. 
th. 
relatio. 
E. 
. 
k. 
T. 
(8:67. 



8.. 
Bose�Einstei. 
condensatio. 
22. 


wher. 
k. 
i. 
Boltzmann'. 
constant. 
an. 
typicall. 
range. 
fro. 
1. 
00. 
. 
t. 
9. 
00. 
. 
fo. 
metals. 
A. 
temperature. 
u. 
t. 
th. 
meltin. 
temperature. 
w. 
hav. 
th. 
relationshi. 


k. 
. 
E. 


Thus. 
eve. 
a. 
temperature. 
wel. 
abov. 
absolut. 
zero. 
th. 
electron. 
ar. 
essentiall. 
al. 
i. 
th. 
lowes. 
possibl. 
energ. 
states. 
A. 
. 
result. 
th. 
electroni. 
hea. 
capacit. 
a. 
constan. 
volume. 
whic. 
equal. 
dEtot=dT. 
i. 
smal. 
a. 
ordinar. 
temperature. 
an. 
approache. 
zer. 
a. 
lo. 
temperatures. 


Th. 
free-electro. 
ga. 
exert. 
. 
pressur. 
o. 
th. 
wall. 
o. 
th. 
in�nit. 
potentia. 
wel. 
i. 
whic. 
i. 
i. 
contained. 
I. 
th. 
volum. 
. 
o. 
th. 
ga. 
i. 
increase. 
slightl. 
b. 
a. 
amoun. 
dv. 
the. 
th. 
energ. 
level. 
Enx,ny,n. 
i. 
equatio. 
(8.56. 
decreas. 
slightl. 
an. 
consequentl. 
th. 
Ferm. 
energ. 
E. 
i. 
equatio. 
(8.60. 
an. 
th. 
tota. 
energ. 
Eto. 
i. 
(8.62. 
als. 
decrease. 
Th. 
chang. 
i. 
tota. 
energ. 
o. 
th. 
ga. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
wor. 
�. 
d. 
don. 
o. 
th. 
ga. 
b. 
th. 
surroundings. 
wher. 
. 
i. 
th. 
pressur. 
o. 
th. 
gas. 
Thus. 
w. 
hav. 


dEto. 
3. 
dEF2NEF2Etot

. 
.�.. 
.. 
(8:68. 


d. 
5d. 
5. 
3. 
wher. 
equation. 
(8.60. 
an. 
(8.62. 
hav. 
bee. 
used. 
Fo. 
. 
typica. 
metal. 
th. 
pressur. 
. 
i. 
o. 
th. 
orde. 
o. 
10. 
atm. 


8.. 
Bose�Einstei. 
condensatio. 


Th. 
behavio. 
o. 
. 
syste. 
o. 
identica. 
boson. 
i. 
i. 
shar. 
contras. 
t. 
tha. 
fo. 
fermions. 
A. 
lo. 
temperatures. 
non-interactin. 
fermion. 
o. 
spi. 
. 
�l. 
th. 
single-particl. 
state. 
wit. 
th. 
lowes. 
energies. 
2. 
.. 
particle. 
i. 
eac. 
state. 
Non-interactin. 
bosons. 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
hav. 
n. 
restriction. 
o. 
th. 
numbe. 
o. 
particle. 
tha. 
ca. 
occup. 
an. 
give. 
single-particl. 
state. 
Therefore. 
a. 
extremel. 
lo. 
temperatures. 
al. 
o. 
th. 
boson. 
dro. 
int. 
th. 
groun. 
single. 
particl. 
state. 
Thi. 
phenomeno. 
i. 
know. 
a. 
Bose�Einstei. 
condensation. 


Althoug. 
A. 
Einstei. 
predicte. 
thi. 
typ. 
o. 
behavio. 
i. 
1924. 
onl. 
recentl. 
ha. 
Bose�Einstei. 
condensatio. 
fo. 
weakl. 
interactin. 
boson. 
bee. 
observe. 
experimentally. 
I. 
on. 
study,. 
. 
clou. 
o. 
rubidium-8. 
atom. 
wa. 
coole. 
t. 
. 
temperatur. 
o. 
17. 
. 
10�. 
. 
(17. 
nK). 
a. 
whic. 
som. 
o. 
th. 
atom. 
bega. 
t. 
condens. 
int. 
th. 
single-particl. 
groun. 
state. 
Th. 
condensatio. 
continue. 
a. 
th. 
temperatur. 
wa. 
lowere. 
t. 
2. 
nK. 
�nall. 
givin. 
abou. 
200. 
atom. 
i. 
th. 
groun. 
state. 
I. 
othe. 
studies. 
smal. 
gaseou. 
sample. 
o. 
sodiu. 
atoms. 
an. 
o. 


M. 
H. 
Anderson. 
J. 
R. 
Ensher. 
M. 
R. 
Matthews. 
C. 
E. 
Wieman. 
an. 
E. 
A. 
Cornel. 
(1995. 
Scienc. 
269. 
198. 


K. 
B. 
Davis. 
M.-O. 
Mewes. 
M. 
R. 
Andrews. 
N. 
J. 
va. 
Druten. 
D. 
S. 
Durfee. 
D. 
M. 
Kurn. 
an. 
W. 
Ketterl. 
(1995. 
Phys. 
Rev. 
Lett. 
75. 
3969. 



23. 
System. 
o. 
identica. 
particle. 


lithium-. 
atoms4,. 
hav. 
als. 
bee. 
coole. 
suf�cientl. 
t. 
underg. 
Bose�Einstei. 
condensation. 


Althoug. 
w. 
hav. 
explaine. 
Bose�Einstei. 
condensatio. 
a. 
. 
characteristi. 
o. 
a. 
idea. 
o. 
nearl. 
idea. 
gas. 
i.e.. 
. 
syste. 
o. 
non-interactin. 
o. 
weakl. 
interactin. 
particles. 
system. 
o. 
strongl. 
interactin. 
boson. 
als. 
underg. 
simila. 
transitions. 
Liqui. 
helium-4. 
a. 
a. 
example. 
ha. 
. 
phas. 
transitio. 
a. 
2.1. 
. 
an. 
belo. 
tha. 
temperatur. 
exhibit. 
ver. 
unusua. 
behavior. 
Th. 
proper. 
tie. 
o. 
helium-. 
a. 
an. 
nea. 
thi. 
phas. 
transitio. 
correlat. 
wit. 
thos. 
o. 
a. 
idea. 
Bose�Einstei. 
ga. 
a. 
an. 
nea. 
it. 
condensatio. 
temperature. 
Althoug. 
th. 
actua. 
behavio. 
o. 
helium-. 
i. 
du. 
t. 
. 
combinatio. 
o. 
th. 
effect. 
o. 
quantu. 
statistic. 
an. 
interparticl. 
forces. 
it. 
qualitativ. 
behavio. 
i. 
relate. 
t. 
Bose. 
Einstei. 
condensation. 


Problem. 


8.. 
Sho. 
tha. 
th. 
exchang. 
operator. 
. 
i. 
equatio. 
(8.4. 
an. 
P�. 
i. 
(8.20. 
ar. 
hermitian. 
8.. 
Notin. 
fro. 
equatio. 
(8.10. 
tha. 
�(1. 
2. 
. 
2�1=2(�. 
. 
�A. 
�(2. 
1. 
. 
2�1=2(�. 
. 
�A. 


sho. 
tha. 
�(1. 
2. 
an. 
�(2. 
1. 
ar. 
orthogona. 
i. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
normalized. 
8.. 
Verif. 
th. 
validit. 
o. 
th. 
relationship. 
i. 
equatio. 
(8.19). 
8.. 
Verif. 
th. 
validit. 
o. 
th. 
relationship. 
i. 
equatio. 
(8.22). 
8.. 
Appl. 
equatio. 
(8.12. 
t. 
sho. 
tha. 
�. 
an. 
�. 
i. 
(8.26. 
ar. 
normalized. 
8.. 
Conside. 
tw. 
identica. 
non-interactin. 
particles. 
eac. 
o. 
mas. 
m. 
i. 
. 
one. 


dimensiona. 
bo. 
o. 
lengt. 
a. 
Suppos. 
tha. 
the. 
ar. 
i. 
th. 
sam. 
spi. 
stat. 
s. 
tha. 
spi. 
ma. 
b. 
ignored. 
(a. 
Wha. 
ar. 
th. 
fou. 
lowes. 
energ. 
levels. 
thei. 
degeneracies. 
an. 
thei. 
corre. 


spondin. 
wav. 
function. 
i. 
th. 
tw. 
particle. 
ar. 
distinguishable. 
(b. 
Wha. 
ar. 
th. 
fou. 
lowes. 
energ. 
levels. 
thei. 
degeneracies. 
an. 
thei. 
corre. 
spondin. 
wav. 
function. 
i. 
th. 
tw. 
particle. 
ar. 
identica. 
fermions. 
(c. 
Wha. 
ar. 
th. 
fou. 
lowes. 
energ. 
levels. 
thei. 
degeneracies. 
an. 
thei. 
corre. 
spondin. 
wav. 
function. 
i. 
th. 
tw. 
particle. 
ar. 
identica. 
bosons. 


8.. 
Conside. 
. 
crud. 
approximatio. 
t. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
th. 
lithiu. 
ato. 
i. 
whic. 
th. 
electron�electro. 
repulsion. 
ar. 
neglected. 
Construc. 
th. 
ground-stat. 
wav. 
functio. 
i. 
term. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
atomi. 
orbitals. 


C. 
C. 
Bradley. 
C. 
A. 
Sackett. 
J. 
J. 
Tollett. 
an. 
R. 
G. 
Hule. 
(1995. 
Phys. 
Rev. 
Lett. 
75. 
1687. 


C. 
C. 
Bradley. 
C. 
A. 
Sackett. 
an. 
R. 
G. 
Hule. 
(1997. 
Phys. 
Rev. 
Lett. 
78. 
985. 



Problem. 
23. 


8.. 
Th. 
atomi. 
weigh. 
o. 
silve. 
i. 
107.. 
. 
mol�an. 
it. 
densit. 
i. 
10.4. 
. 
cm�3. 


Assumin. 
tha. 
eac. 
silve. 
ato. 
ha. 
on. 
conductio. 
electron. 
calculat. 


(a. 
th. 
Ferm. 
energ. 
an. 
th. 
averag. 
electroni. 
energ. 
(i. 
joule. 
an. 
i. 
eV). 


(b. 
th. 
averag. 
electroni. 
velocity. 


(c. 
th. 
Ferm. 
temperature. 


(d. 
th. 
pressur. 
o. 
th. 
electro. 
gas. 
8.. 
Th. 
bul. 
modulu. 
o. 
modulu. 
o. 
compressio. 
. 
i. 
de�ne. 
b. 


Sho. 
tha. 
. 
fo. 
. 
free-electro. 
ga. 
i. 
give. 
b. 
. 
.5P/3. 



Approximatio. 
method. 


I. 
th. 
precedin. 
chapter. 
w. 
solve. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
. 
fe. 
one-particl. 
an. 
pseudo-one-particl. 
systems. 
th. 
particl. 
i. 
. 
box. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
th. 
particl. 
wit. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
an. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
Ther. 
ar. 
othe. 
one-particl. 
systems. 
however. 
fo. 
whic. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
canno. 
b. 
solve. 
exactly. 
Moreover. 
exac. 
solution. 
o. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
canno. 
b. 
obtaine. 
fo. 
an. 
syste. 
consistin. 
o. 
tw. 
o. 
mor. 
particle. 
i. 
ther. 
i. 
. 
potentia. 
energ. 
o. 
interactio. 
betwee. 
th. 
particles. 
Suc. 
system. 
includ. 
al. 
atom. 
excep. 
hydrogen. 
al. 
molecules. 
non. 
idea. 
gases. 
liquids. 
an. 
solids. 
Fo. 
thi. 
reaso. 
w. 
nee. 
t. 
develo. 
approxima. 
tio. 
method. 
t. 
solv. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
wit. 
suf�cien. 
accurac. 
t. 
explai. 
an. 
predic. 
th. 
propertie. 
o. 
thes. 
mor. 
complicate. 
systems. 
Tw. 
o. 
thes. 
approximatio. 
method. 
ar. 
th. 
variatio. 
metho. 
an. 
perturbatio. 
theory. 
Thes. 
tw. 
method. 
ar. 
develope. 
an. 
illustrate. 
i. 
thi. 
chapter. 


9.. 
Variatio. 
metho. 


Variatio. 
theore. 


Th. 
variatio. 
metho. 
give. 
a. 
approximatio. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
E. 


(th. 
lowes. 
eigenvalu. 
o. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H. 
fo. 
. 
syste. 
whos. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
i. 


H�. 
.En�n. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
(9:1. 
I. 
man. 
application. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
t. 
chemica. 
systems. 
. 
knowledg. 
o. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
i. 
suf�cient. 
Th. 
metho. 
i. 
base. 
o. 
th. 
variatio. 
theorem:i. 
. 
i. 
an. 
normalized. 
well-behave. 
functio. 
o. 
th. 
sam. 
variable. 
a. 
�. 
an. 
satis�e. 
th. 
sam. 
boundar. 
condition. 
a. 
�n. 
the. 
th. 
quantit. 
. 
.h�jH^
j�ii. 
alway. 
greate. 
tha. 
o. 
equa. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
E. 


. 
h�jH^
j�i. 
E. 
(9:2. 



9.. 
Variatio. 
metho. 
23. 


Excep. 
fo. 
th. 
restriction. 
state. 
above. 
th. 
functio. 
�. 
calle. 
th. 
tria. 
function. 
i. 
completel. 
arbitrary. 
I. 
. 
i. 
identica. 
wit. 
th. 
ground-stat. 
eigen. 
functio. 
�0. 
the. 
o. 
cours. 
th. 
quantit. 
. 
equal. 
E0.I. 
. 
i. 
on. 
o. 
th. 
excited-stat. 
eigenfunctions. 
the. 
. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
correspondin. 
excited-stat. 
energ. 
an. 
i. 
obviousl. 
greate. 
tha. 
E0. 
However. 
n. 
matte. 
wha. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
selected. 
th. 
quantit. 
. 
i. 
neve. 
les. 
tha. 
E0. 


T. 
prov. 
th. 
variatio. 
theorem. 
w. 
assum. 
tha. 
th. 
eigenfunction. 
�. 
for. 
. 
complete. 
orthonorma. 
se. 
an. 
expan. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
term. 
o. 
tha. 
se. 


. 
. 
an�. 
(9:3. 
. 
where. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(3.28. 
a. 
.h�nj�. 
(9:4. 
Sinc. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
normalized. 
w. 
hav. 


h�j�i. 
ak�. 


anh�kj�n. 


an�k. 
.janj

W. 
nex. 
substitut. 
equatio. 
(9.3. 
int. 
th. 
integra. 
fo. 
. 
i. 
(9.2. 
an. 
subtrac. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
E0. 
givin. 


. 
�E. 
.h�jH^
�E0j�i. 


anh�kjH^
�E0j�n. 


an(E. 
�E0)h�. 
j�ni. 
janj

(E. 
�E0. 
(9:5. 


wher. 
equatio. 
(9.1. 
ha. 
bee. 
used. 
Sinc. 
E. 
i. 
greate. 
tha. 
o. 
equa. 
t. 
E. 
an. 


janji. 
alway. 
positiv. 
o. 
zero. 
w. 
hav. 
. 
�E. 
. 
. 
an. 
th. 
theore. 
i. 
proved. 
I. 
th. 
even. 
tha. 
. 
i. 
no. 
normalized. 
the. 
. 
i. 
equatio. 
(9.2. 
i. 
replace. 
b. 
A�. 
wher. 
. 
i. 
th. 
normalizatio. 
constant. 
an. 
thi. 
equatio. 
become. 
. 
jAj2h�jH^
j�i. 
E. 


Th. 
normalizatio. 
relatio. 
i. 


hA�jA�i.jAj2h�j�i.. 


givin. 


h�jH^
j�. 


. 
. 
. 
E. 
(9:6. 


h�j�. 
I. 
practice. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
chose. 
wit. 
. 
numbe. 
o. 
parameter. 
�1. 



23. 
Approximatio. 
method. 


�2. 
.... 
whic. 
ca. 
b. 
varied. 
Th. 
quantit. 
. 
i. 
the. 
. 
functio. 
o. 
thes. 
parameters. 
. 
(�1. 
�2. 
...). 
Fo. 
eac. 
se. 
o. 
paramete. 
values. 
th. 
correspondin. 
valu. 
o. 
. 
(�1. 
�2. 
.... 
i. 
alway. 
greate. 
tha. 
o. 
equa. 
t. 
th. 
tru. 
ground-stat. 
energ. 
E0. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
(�1. 
�2. 
.... 
closes. 
t. 
E. 
i. 
obtained. 
therefore. 
b. 
minimizin. 
. 
wit. 
respec. 
t. 
eac. 
o. 
thes. 
parameters. 
Selectin. 
. 
suf�cientl. 
larg. 
numbe. 
o. 
parameter. 
i. 
. 
well-chose. 
analytica. 
for. 
fo. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
yield. 
a. 
approximatio. 
ver. 
clos. 
t. 
E0. 


Ground-stat. 
eigenfunctio. 


I. 
th. 
quantit. 
. 
i. 
identica. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
E0. 
whic. 
i. 
usuall. 
non-degenerate. 
the. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
identica. 
t. 
th. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
�0. 
Thi. 
identit. 
follow. 
fro. 
equatio. 
(9.5). 
whic. 
become. 


janj2(E. 
. 
E0. 
. 
. 
n(6.0. 


wher. 
th. 
ter. 
fo. 
. 
. 
. 
vanishe. 
becaus. 
E. 
. 
E. 
vanishes. 
Thi. 
relationshi. 
i. 
vali. 
onl. 
i. 
eac. 
coef�cien. 
a. 
equal. 
zer. 
fo. 
. 
6
0. 
Fro. 
equatio. 
(9.3). 
th. 
normalize. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
the. 
equa. 
t. 
�0. 
Shoul. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
b. 
degenerate. 
the. 
th. 
functio. 
. 
i. 
identica. 
t. 
on. 
o. 
th. 
ground-stat. 
eigenfunctions. 


Whe. 
th. 
quantit. 
. 
i. 
no. 
identica. 
t. 
E0. 
w. 
assum. 
tha. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
whic. 
minimize. 
. 
i. 
a. 
approximatio. 
t. 
th. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
�0. 
However. 
i. 
general. 
. 
i. 
. 
close. 
approximatio. 
t. 
E. 
tha. 
. 
i. 
t. 
�0. 


Example. 
particl. 
i. 
. 
bo. 


A. 
. 
simpl. 
applicatio. 
o. 
th. 
variatio. 
metho. 
t. 
determin. 
th. 
ground-stat. 
energy. 
w. 
conside. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
box. 
Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
thi. 
syste. 
an. 
it. 
exac. 
solutio. 
ar. 
presente. 
i. 
Sectio. 
2.5. 
Th. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
i. 
show. 
i. 
Figur. 
2.. 
an. 
i. 
observe. 
t. 
hav. 
n. 
node. 
an. 
t. 
vanis. 
a. 
. 
. 
. 
an. 
. 
. 
a. 
A. 
. 
tria. 
functio. 
. 
w. 
selec. 


. 
. 
x(. 
. 
x). 
. 
. 
. 
. 
. 


. 
0. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


whic. 
ha. 
thes. 
sam. 
properties. 
Sinc. 
w. 
hav. 


h�j�i. 
(. 
. 
x). 
d. 
. 


th. 
normalize. 
tria. 
functio. 
i. 


p����. 


. 
. 
x(. 
. 
x). 
. 
. 
. 
. 
. 



9.. 
Variatio. 
metho. 
23. 


Th. 
quantit. 
. 
is. 
the. 


3. 
�". 
d. 


. 
.h�jH^
j�i. 
(a. 
. 
x2. 
(a. 
. 
x2)d. 


a52. 
dx. 


30"25". 


. 
(a. 
. 
x2)d. 
. 


ma5
. 
ma. 
Th. 
exac. 
ground-stat. 
energ. 
E. 
i. 
show. 
i. 
equatio. 
(2.39. 
t. 
b. 
�2"2=2ma2. 
Thus. 
w. 
hav. 


. 
. 
E. 
. 
1:013E. 
. 
E. 


givin. 
. 
1.3. 
error. 


Example. 
harmoni. 
oscillato. 


W. 
nex. 
conside. 
a. 
exampl. 
wit. 
. 
variabl. 
parameter. 
Fo. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
4. 
w. 
selec. 


. 
. 
e�cx. 


a. 
th. 
tria. 
function. 
wher. 
. 
i. 
. 
paramete. 
t. 
b. 
varie. 
s. 
a. 
t. 
minimiz. 
. 
(c). 
Thi. 
functio. 
ha. 
n. 
node. 
an. 
approache. 
zer. 
i. 
th. 
limit. 
. 
!1. 
Sinc. 
th. 
integra. 
h�j�. 
i. 


e�2cx. 


h�j�i. 
d. 
. 


wher. 
equatio. 
(A.5. 
i. 
used. 
th. 
normalize. 
tria. 
functio. 
i. 


2. 
e�cx. 


Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
give. 
i. 
equatio. 
(4.12). 
Th. 
quantit. 
. 
(c. 
i. 
the. 
determine. 
a. 
follow. 


1=. 
". 
.. 
d. 
1=. 
m�. 
.12. 
e�cx2e�cx22cx2e�2cx. 


. 
(c. 
.. 
d. 
. 
d. 


. 
2. 
dx. 
. 
. 


1=2..

. 
1=. 
1

2. 
". 
c. 
e�2cx. 


. 
(. 
. 
2cx2)e�2cx2d. 
. 
m�. 
x2d. 


1=2

1=21=21=21=2

2. 
". 
. 
�. 
cm�. 
. 


. 
. 
2. 
8c32. 
28c. 


"2cm�. 



23. 
Approximatio. 
method. 


wher. 
equation. 
(A.5. 
an. 
(A.7. 
hav. 
bee. 
used. 
T. 
�n. 
th. 
minimu. 
valu. 
o. 
. 
(c). 
w. 
se. 
th. 
derivativ. 
d. 
=d. 
equa. 
t. 


zer. 
an. 
obtai. 
d. 
". 
m�. 
d. 
. 
2. 
. 
8c. 
.. 


s. 
tha. 


W. 
hav. 
take. 
th. 
positiv. 
squar. 
roo. 
becaus. 
th. 
paramete. 
. 
mus. 
b. 
positiv. 
fo. 
. 
t. 
b. 
well-behaved. 
Th. 
bes. 
estimat. 
o. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
i. 
the. 


". 
m. 
m�22"". 


2. 
2. 
. 
m. 
. 


whic. 
i. 
th. 
exac. 
result. 


Th. 
reaso. 
wh. 
w. 
obtai. 
th. 
exac. 
ground-stat. 
energ. 
i. 
thi. 
simpl. 
exampl. 
i. 
tha. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
ha. 
th. 
sam. 
mathematica. 
for. 
a. 
th. 
exac. 
ground-stat. 
eigenfunction. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.39). 
Whe. 
th. 
para. 
mete. 
. 
i. 
evaluate. 
t. 
giv. 
. 
minimu. 
valu. 
fo. 
. 
. 
th. 
functio. 
. 
become. 
identica. 
t. 
th. 
exac. 
eigenfunction. 


Excited-stat. 
energie. 


Th. 
variatio. 
theore. 
ma. 
b. 
extende. 
i. 
som. 
case. 
t. 
estimat. 
th. 
energie. 
o. 
excite. 
states. 
Unde. 
specia. 
circumstance. 
i. 
ma. 
b. 
possibl. 
t. 
selec. 
. 
tria. 
functio. 
. 
fo. 
whic. 
th. 
�rs. 
fe. 
coef�cient. 
i. 
th. 
expansio. 
(9.3. 
vanish. 
a. 
. 
a. 
..... 
ak�. 
.0. 
i. 
whic. 
cas. 
w. 
hav. 


. 
. 
an�. 
n(>k. 


janj. 
.. 
n(>k. 


W. 
assum. 
her. 
tha. 
th. 
eigenfunction. 
�. 
i. 
equatio. 
(9.1. 
ar. 
labele. 
i. 
orde. 
o. 
increasin. 
energy. 
s. 
tha. 


E. 
. 
E. 
. 
E. 
. 


. 


Followin. 
th. 
sam. 
procedur. 
use. 
t. 
prov. 
th. 
variatio. 
theorem. 
w. 
obtai. 



9.. 
Linea. 
variatio. 
function. 
23. 


. 
�E. 
.janj(E. 
�E. 
. 
n(>k. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


. 
. 
E. 
(9:7. 
Thus. 
th. 
quantit. 
. 
i. 
a. 
uppe. 
boun. 
t. 
th. 
energ. 
E. 
correspondin. 
t. 
th. 
stat. 
�. 
. 
Fo. 
situation. 
i. 
whic. 
. 
ca. 
b. 
mad. 
orthogona. 
t. 
eac. 
exac. 
eigenfunctio. 
�0. 
�1. 
.... 
�k�1. 
th. 
coef�cient. 
a0. 
a1. 
.... 
ak�. 
vanis. 


accordin. 
t. 
equatio. 
(9.4. 
an. 
th. 
inequalit. 
(9.7. 
applies. 


A. 
exampl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
syste. 
fo. 
whic. 
th. 
potentia. 
energ. 
V(x. 
i. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
th. 
positio. 
variabl. 
x. 
Th. 
eigenfunctio. 
�. 
wit. 
th. 
lowes. 
eigenvalu. 
E. 
ha. 
n. 
node. 
an. 
therefor. 
mus. 
b. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
x. 
Th. 
eigenfunctio. 
�. 
ha. 
on. 
node. 
locate. 
a. 
th. 
origin. 
an. 
therefor. 
mus. 
b. 
a. 
od. 
functio. 
o. 
x. 
I. 
w. 
selec. 
fo. 
. 
an. 
od. 
functio. 
o. 
x. 
the. 
. 
i. 
orthogona. 
t. 
an. 
eve. 
functio. 
o. 
x. 
includin. 
�0. 
an. 
th. 
coef�cien. 
a. 
vanishes. 
Thus. 
th. 
integra. 
. 
.h�jH^
j�. 
give. 
a. 
uppe. 
boun. 
t. 
E. 
eve. 
thoug. 
th. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
�. 
ma. 
no. 
b. 
known. 


Whe. 
th. 
exac. 
eigenfunction. 
�0. 
�1. 
.... 
�k�. 
ar. 
no. 
known. 
the. 
ma. 
b. 
approximate. 
b. 
tria. 
function. 
�0. 
�1. 
.... 
�k�. 
whic. 
successivel. 
giv. 
uppe. 
bound. 
fo. 
E0. 
E1. 
.... 
Ek�1. 
respectively. 
I. 
thi. 
case. 
th. 
functio. 
�. 
i. 
constructe. 
t. 
b. 
orthogona. 
t. 
�0. 
�. 
constructe. 
orthogona. 
t. 
bot. 
�. 
an. 
�1. 
an. 
s. 
forth. 
I. 
general. 
thi. 
metho. 
i. 
dif�cul. 
t. 
appl. 
an. 
give. 
increasingl. 
les. 
accurat. 
result. 
wit. 
increasin. 
n. 


9.. 
Linea. 
variatio. 
function. 


. 
convenien. 
an. 
widel. 
use. 
for. 
fo. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
i. 
th. 
linea. 
variatio. 
functio. 


. 
. 
ci�. 
(9:8. 


wher. 
�1. 
�2. 
.... 
�. 
ar. 
a. 
incomplet. 
se. 
o. 
linearl. 
independen. 
function. 
whic. 
hav. 
th. 
sam. 
variable. 
an. 
whic. 
satisf. 
th. 
sam. 
boundar. 
condition. 
a. 
th. 
exac. 
eigenfunction. 
�. 
o. 
equatio. 
(9.1). 
Th. 
function. 
�. 
ar. 
selecte. 
t. 
b. 
rea. 
an. 
ar. 
no. 
necessaril. 
orthogona. 
t. 
on. 
another. 
Thus. 
th. 
overla. 
integra. 
Sij. 
de�ne. 
a. 


Si. 
h�ij. 
j. 
(9:9. 


i. 
no. 
generall. 
equa. 
t. 
�ij. 
Th. 
coef�cient. 
c. 
ar. 
als. 
restricte. 
t. 
rea. 
value. 
an. 
ar. 
variatio. 
parameter. 
t. 
b. 
determine. 
b. 
th. 
minimizatio. 
o. 
th. 
variatio. 
integra. 
. 
. 



23. 
Approximatio. 
method. 


I. 
w. 
substitut. 
equatio. 
(9.8. 
int. 
(9.6. 
an. 
de�n. 
Hi. 
b. 


Hi. 
h�ijH^
j�j. 
(9:10. 


w. 
obtai. 


cicjHi. 
i.. 
j.. 


cicjSi. 
i.. 
j.. 


. 
cicjSi. 
. 
cicjHi. 
(9:11. 
i.. 
j.. 
i.. 
j.. 


T. 
�n. 
th. 
value. 
o. 
th. 
parameter. 
c. 
i. 
equatio. 
(9.8. 
whic. 
minimiz. 
. 
. 
w. 
differentiat. 
equatio. 
(9.11. 
wit. 
respec. 
t. 
eac. 
coef�cien. 
c. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
N. 


X. 
XXXXX

@. 
. 
@A

cicjSi. 
.. 
cicjSi. 
cicjHij@c. 
i.. 
j.. 
@c. 
i.. 
j.. 
@c. 
i.. 
j.. 


an. 
se. 
(@. 
=@c. 
. 
.. 
fo. 
eac. 
valu. 
o. 
k. 
Th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
vanishes. 
Th. 
remainin. 
tw. 
term. 
ma. 
b. 
combine. 
t. 
giv. 


X. 
XXX

@@c. 
@cj

. 
cicj(Hi. 
�. 
Sij). 
. 
c. 
.c. 
(Hi. 
�. 
Sij. 


@c. 
@c. 
@ck

i.. 
j.. 
i.. 
j.. 


. 
(�ikc. 
.ci�j. 
)(Hi. 
�. 
Sij. 
i.. 
j.. 


. 
cj(Hk. 
�. 
Skj. 
. 
ci. 
Hi. 
�. 
Sik. 
j.. 
i.. 


wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
(@ci=@c. 
. 
.�i. 
becaus. 
th. 
coef�cient. 
c. 
i. 
equa. 
tio. 
(9.8. 
ar. 
independen. 
o. 
eac. 
other. 
I. 
w. 
replac. 
th. 
dumm. 
inde. 
. 
b. 
. 
an. 
not. 
tha. 
Hi. 
.Hk. 
an. 
Si. 
.Sk. 
becaus. 
th. 
function. 
�. 
ar. 
real. 
w. 
obtai. 
. 
se. 
o. 
. 
linea. 
homogeneou. 
simultaneou. 
equation. 


ci(Hk. 
�. 
Ski. 
.0. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
(9:12. 



9.. 
Non-degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
23. 
Equatio. 
(9.12. 
ha. 
th. 
for. 


akix. 
.0. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
(9:13. 


fo. 
whic. 
. 
trivia. 
solutio. 
i. 
x. 
.. 
fo. 
al. 
i. 
. 
non-trivia. 
solutio. 
exist. 
if. 


an. 
onl. 
if. 
th. 
determinan. 
o. 
th. 
coef�cient. 
ak. 
vanishe. 


a1. 
a1. 


. 
a1. 
a2. 
a2. 


. 
a2. 


aN. 
aN. 


. 
aN. 


Thi. 
determinan. 
o. 
it. 
equivalen. 
algebrai. 
expansio. 
i. 
know. 
a. 
th. 
secula. 
equation. 
I. 
equatio. 
(9.12. 
th. 
parameter. 
c. 
correspon. 
t. 
th. 
unknow. 
quantitie. 
x. 
i. 
equatio. 
(9.13. 
an. 
th. 
term. 
. 
Hk. 
�. 
Ski. 
correspon. 
t. 
th. 
coef�cient. 
aki. 
Thus. 
. 
non-trivia. 
solutio. 
fo. 
th. 
. 
parameter. 
c. 
exist. 
onl. 


i. 
th. 
determinan. 
wit. 
element. 
. 
Hk. 
�. 
Ski. 
vanishe. 
H1. 
�. 
S1. 
H1. 
�. 
S1. 


. 
H1. 
�. 
S1. 
H2. 
�. 
S2. 
H2. 
�. 
S2. 


. 
H2. 
�. 
S2. 


.. 
(9:14. 


HN. 
�. 
SN. 
HN. 
�. 
SN. 


. 
. 
N. 
�. 
SN. 


Th. 
secula. 
equatio. 
(9.14. 
i. 
satis�e. 
onl. 
fo. 
certai. 
value. 
o. 
. 
. 
Sinc. 
thi. 
equatio. 
i. 
o. 
degre. 
. 
i. 
. 
. 
ther. 
ar. 
. 
rea. 
root. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 


. 
. 
. 
N�. 
Accordin. 
t. 
th. 
variatio. 
theorem. 
th. 
lowes. 
roo. 
. 
. 
i. 
a. 
uppe. 
boun. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
E0. 
E. 
. 
. 
0. 
Th. 
othe. 
root. 
ma. 
b. 
shown. 
t. 
b. 
uppe. 
bound. 
fo. 
th. 
excited-stat. 
energ. 
level. 


E. 
. 
. 
1. 
E. 
. 
. 
2. 
.... 
EN�. 
. 
. 
N�. 


9.. 
Non-degenerat. 
perturbatio. 
theor. 


Perturbatio. 
theor. 
provide. 
. 
procedur. 
fo. 
�ndin. 
approximat. 
solution. 
t. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
. 
syste. 
whic. 
differ. 
onl. 
slightl. 
fro. 
. 
syste. 
fo. 
whic. 
th. 
solution. 
ar. 
known. 
Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
fo. 
th. 
syste. 
o. 
interes. 
i. 
give. 
b. 


. 
i.. 
m. 


J. 
K. 
L. 
MacDonal. 
(1933. 
Phys. 
Rev. 
43. 
830. 


.. 
(r1. 
r2. 
.... 
r. 
. 



24. 
Approximatio. 
method. 


wher. 
. 
i. 
th. 
numbe. 
o. 
particle. 
i. 
th. 
system. 
W. 
suppos. 
tha. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
thi. 
Hamiltonia. 
operato. 


H�. 
. 
En�. 
(9:15. 


canno. 
b. 
solve. 
exactl. 
b. 
know. 
mathematica. 
techniques. 


I. 
perturbatio. 
theor. 
w. 
assum. 
tha. 
. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
. 
smal. 
paramete. 
. 


H(0. 
.�H^
(1. 
.�. 
^H(0. 
. 
^

H^
H(2. 
.

. 
. 
^H. 
(9:16. 


wher. 


^H(1. 
.�. 
^

H. 
.. 
^H(2. 
.

. 
(9:17. 


Th. 
quantit. 
H^
(0. 
i. 
th. 
unperturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
whos. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
�(0. 
an. 
eigenvalue. 
E(0. 
ar. 
know. 
exactly. 
s. 
tha. 


H^
(0)�(0. 
. 
E(0)�(0. 


(9:18. 


Th. 
operato. 
H^
. 
i. 
calle. 
th. 
perturbatio. 
an. 
i. 
small. 
Thus. 
th. 
operato. 
H^

differ. 
onl. 
slightl. 
fro. 
H^
(0. 
an. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
o. 
. 
^d. 
H^
(0).

no. 
diffe. 
greatl. 
fro. 
thos. 
o. 
th. 
unperturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
Th. 
paramete. 
. 
i. 
introduce. 
t. 
facilitat. 
th. 
compariso. 
o. 
th. 
order. 
o. 
magnitud. 
o. 
variou. 
terms. 
I. 
th. 
limi. 
. 
!0. 
th. 
perturbe. 
syste. 
reduce. 
t. 
th. 
unperturbe. 
system. 
Fo. 
man. 
system. 
ther. 
ar. 
n. 
term. 
i. 
th. 


H^
(1)

perturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
highe. 
tha. 
an. 
fo. 
convenienc. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
equation. 
(9.16. 
an. 
(9.17. 
ma. 
the. 
b. 
se. 
equa. 
t. 
unity. 


Th. 
mathematica. 
procedur. 
tha. 
w. 
presen. 
her. 
fo. 
solvin. 
equatio. 
(9.15. 
i. 
know. 
a. 
Rayleigh�Schr.
o�dinge. 
perturbatio. 
theory. 
Ther. 
ar. 
othe. 
procedures. 
bu. 
the. 
ar. 
seldo. 
used. 
I. 
th. 
Rayleigh�Schro�dinge. 
method. 
th. 
eigenfunction. 
�. 
an. 
th. 
eigenvalue. 
E. 
ar. 
expande. 
a. 
powe. 
serie. 


�. 
.�(0. 
.��(1. 
.�2�(2. 


n. 
. 
.

. 
(9:19. 
E. 
. 
E(0. 
.�E(1. 
E(2)

.�. 
.

. 
(9:20. 


an. 
E(1)

Th. 
quantitie. 
�(1. 
ar. 
th. 
�rst-orde. 
correction. 
t. 
�. 
an. 
En. 
th. 


quantitie. 
�(2. 
an. 
E(2. 
ar. 
th. 
second-orde. 
corrections. 
an. 
s. 
forth. 
I. 
th. 


perturbatio. 
H^
. 
i. 
small. 
the. 
equation. 
(9.19. 
an. 
(9.20. 
converg. 
rapidl. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
. 
wher. 
. 
. 
. 
. 
1. 
W. 
nex. 
substitut. 
th. 
expansion. 
(9.16). 
(9.19). 
an. 
(9.20. 
int. 
equatio. 
(9.15. 
an. 
collec. 
coef�cient. 
o. 
lik. 
power. 
o. 
. 
t. 
obtai. 
H^
(0)�(0. 
.�. 
H^
(1)�(0. 
. 
H^
(0)�(1). 
.�2. 
H^
(2)�(0. 
. 
H^
(1)�(1. 
. 
H^
(0)�(2)

. 
.

. 


. 
E(0)�(0. 
.�(E(1)�(0. 
.E(0)�(1. 
(E(2)�(0. 
.E(1)�(1. 
.E(0)�(2)

. 
.�. 
. 
.

. 


(9:21. 



9.. 
Non-degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
24. 


Thi. 
equatio. 
ha. 
th. 
for. 


. 
(�. 
. 
b. 
�. 
.. 


wher. 


k. 
@. 
. 
�.. 
Sinc. 
. 
(�. 
i. 
identicall. 
zero. 
th. 
coef�cient. 
b. 
al. 
vanish. 
Thus. 
th. 
coef�. 
cient. 
o. 
�. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(9.21. 
ar. 
equa. 
t. 
th. 
coef�cient. 
o. 
�. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
Th. 
coef�cient. 
o. 
�. 
giv. 
equatio. 
(9.18. 
fo. 
th. 


unperturbe. 
system. 
Th. 
coef�cient. 
o. 
. 
yiel. 
. 
^H(0. 
�E(0. 
. 
)�(1. 
. 
.�. 
^H(1. 
�E(1. 
. 
)�(0. 
. 
(9:22. 
whil. 
th. 
coef�cient. 
o. 
�. 
giv. 
. 
^H(0. 
�E(0. 
. 
)�(2. 
. 
.. 
^H(1. 
�E(1. 
. 
)�(1. 
. 
.�. 
^H(2. 
�E(2. 
. 
)�(0. 
. 
(9:23. 
an. 
s. 
forth. 


First-orde. 
correction. 


T. 
�n. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
En. 
w. 
multipl. 
equatio. 
(9.22. 
b. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
�(0. 
an. 
integrat. 
ove. 
al. 
spac. 
t. 


obtai. 


h�(0. 
H(0)j�(1)i�E(0)h�(0)j�(1. 
H(1)j�(0)i.E(1)

j^i.�h�(0)j^

wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
�(0. 
i. 
normalized. 
Sinc. 
H^(0. 
i. 
hermitian. 
th. 
�rs. 


integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
take. 
th. 
for. 


h�(0. 
H(0)j�(1. 
H(0)�(0)j�(1)i.E(0)h�(0)j�(1)

j^i.h^. 


an. 
therefor. 
cancel. 
th. 
secon. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
side. 
Th. 
�rst-orde. 


H^
(1)

correctio. 
E(1. 
is. 
then. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
th. 
perturbatio. 
i. 
th. 


unperturbe. 
stat. 


E(1. 
.h�(0. 
H(1)j�(0. 
H(1)

j^i. 
^(9:24. 


Th. 
�rst-orde. 
correctio. 
�(1. 
t. 
th. 
eigenfunctio. 
i. 
obtaine. 
b. 
multi. 


plyin. 
equatio. 
(9.22. 
b. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
. 
fo. 
. 
6.. 
an. 
integratin. 
ove. 
al. 
spac. 
t. 
giv. 


h�(0. 
H(0)j�(1)i�E(0)h�(0)j�(1. 
H(1)j�(0)i.E(1)h�(0)j�(0)

j^i.�h�(0)j^i

. 
nnk. 
. 
nnk. 


(9:25. 
Notin. 
tha. 
th. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
ar. 
orthogona. 


h�(0)j�(0)

i.�k. 
(9:26. 



24. 
Approximatio. 
method. 


applyin. 
th. 
hermitia. 
propert. 
o. 
H^
(0. 
t. 
th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
side. 
(1. 
H(1)j�(0)

an. 
writin. 
Hfo. 
h�(0)j^i. 
w. 
ma. 
expres. 
equatio. 
(9.25. 
a. 


(0. 
�E(0))h�(0)j�(1. 
(1)

(E. 
i.�H^
(9:27)

. 
n. 
k. 


Th. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
�(0. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
syste. 
ar. 
as. 


sume. 
t. 
for. 
. 
complet. 
set. 
Thus. 
th. 
perturbatio. 
correction. 
�(1. 
ma. 
b. 


expande. 
i. 
term. 
o. 
th. 
se. 
�(0. 


�(1. 
anj�(0. 
.ann�(0. 
anj�(0. 


jj(6.n. 


wher. 
an. 
ar. 
comple. 
constant. 
give. 
b. 
an. 
.h�(0)j�(1)

. 
(9:28. 


I. 
th. 
complet. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
syste. 
include. 
. 
continuou. 
rang. 
o. 
functions. 
the. 
th. 
expansio. 
o. 
�(1. 
mus. 
includ. 
thes. 


functions. 
Th. 
inclusio. 
o. 
thi. 
continuou. 
rang. 
i. 
implie. 
i. 
th. 
summatio. 
notation. 
Th. 
tota. 
eigenfunctio. 
�. 
fo. 
th. 
perturbe. 
syste. 
t. 
�rs. 
orde. 
i. 
. 
is. 
the. 


�. 
.(. 
.�ann)�(0. 
anj�(0)

.. 
. 
(9:29. 


j(6.n. 


Sinc. 
th. 
functio. 
�(0. 
i. 
alread. 
include. 
i. 
zer. 
orde. 
i. 
th. 
expansio. 
o. 


�n. 
w. 
may. 
withou. 
los. 
o. 
generality. 
se. 
an. 
equa. 
t. 
zero. 
s. 
tha. 


�(1. 
anj�(0)

. 
. 
(9:30. 


j(6.n. 


Thi. 
choic. 
affect. 
th. 
normalizatio. 
constan. 
o. 
�n. 
bu. 
ha. 
n. 
othe. 
consequence. 
Furthermore. 
equatio. 
(9.28. 
fo. 
. 
. 
. 
become. 
h�(0)j�(1. 


n. 
i.. 
(9:31. 


showin. 
tha. 
wit. 
an. 
.0. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
�(1. 
i. 
orthogona. 
t. 
th. 


unperturbe. 
eigenfunctio. 
�(0). 


Wit. 
th. 
choic. 
an. 
.0. 
th. 
tota. 
eigenfunctio. 
�. 
t. 
�rs. 
orde. 
i. 
normal. 
ized. 
T. 
sho. 
this. 
w. 
for. 
th. 
scala. 
produc. 
h�nj�niusin. 
equatio. 
(9.29. 
an. 
retai. 
onl. 
zero-orde. 
an. 
�rst-orde. 
term. 
t. 
obtai. 


h�nj�ni.h�(0)j�(0)i.. 
. 
(anjh�(0)j�(0)i.ah�(0)j�(0)i)

n. 
n. 
njj. 
j(6.n. 


.. 
.. 
(an. 
.a. 
nj)�n. 
.. 
j(6.n. 


wher. 
equatio. 
(9.26. 
ha. 
bee. 
used. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(9.30. 
int. 
(9.27. 
give. 



9.. 
Non-degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
24. 


(0. 
�E(0. 
anjh�(0)j�(0. 
(0. 
�E(0. 
(1)

(E. 
i.(E)an. 
.�H^

k. 
kjk. 
k. 
j(6.n. 


wher. 
agai. 
equatio. 
(9.26. 
i. 
utilized. 
I. 
th. 
eigenvalu. 
E(0. 
i. 
non-degen. 


(0. 
E(0)

erate. 
the. 
Ecanno. 
equa. 
fo. 
al. 
. 
an. 
. 
an. 
w. 
ca. 
divid. 
b. 


(0. 
�E(0)

(E. 
. 
. 
t. 
solv. 
fo. 
an. 


k. 
(9:32)

an. 
. 
(0. 
�E(0. 


Th. 
situatio. 
wher. 
i. 
degenerat. 
require. 
. 
mor. 
comple. 
treatment. 


whic. 
i. 
presente. 
i. 
Sectio. 
9.5. 
Th. 
�rst-orde. 
correctio. 
�(1. 
i. 
obtaine. 
b. 


combinin. 
equation. 
(9.30. 
an. 
(9.32. 


. 
^(1. 


�(1. 
Hk. 
�(0)

.. 
(9:33)

. 
(0. 
�E(0. 
. 


k(6.n. 
k. 


Second-orde. 
correction. 


Th. 
second-orde. 
correctio. 
E(2. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
E. 
i. 
obtaine. 
b. 
multi. 


plyin. 
equatio. 
(9.23. 
b. 
�(0). 
an. 
integratin. 
ove. 
al. 
spac. 


h�(0. 
H(0. 
�E(0)j�(2. 
H(1)j�(1)i�E(1)h�(0)j�(1)

j^i.h�(0)j^. 


H(2)j�(0)i.E(2)

.�h�(0)j^

wher. 
th. 
normalizatio. 
o. 
�(0. 
ha. 
bee. 
noted. 
Applicatio. 
o. 
th. 
hermitia. 


propert. 
o. 
H^
(0. 
cancel. 
th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
side. 
Th. 
thir. 
ter. 
o. 
H^
(2)

th. 
left-han. 
sid. 
vanishe. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(9.31). 
Writin. 
fo. 


h�(0. 
H(2)j�(0)

j^ian. 
substitutin. 
equatio. 
(9.33. 
the. 
giv. 


E(2. 
H(2. 
.h�(0. 
H(1)j�(1)

. 
^j^. 


(1. 
(1. 
(1)

. 
^^. 
2

HHjH^
j

H(2. 
nkk. 
H(2. 
kn

. 
^�. 
^. 
(9:34)

n. 
(0. 
�E(0. 
n. 
(0. 
�E(0. 


k(6.n. 
k. 
k(6.n. 
k. 


(1. 
(1)

wher. 
w. 
hav. 
als. 
note. 
tha. 
H^
equal. 
H^
. 
becaus. 
H^
(1. 
i. 
hermitian. 


I. 
man. 
application. 
ther. 
i. 
n. 
second-orde. 
ter. 
i. 
th. 
perturbe. 


H^
(2)

Hamiltonia. 
operato. 
s. 
tha. 
i. 
zero. 
I. 
suc. 
case. 
eac. 
unperturbe. 


eigenvalu. 
i. 
raise. 
b. 
th. 
term. 
i. 
th. 
summatio. 
correspondin. 
t. 


(0. 
(0)

eigenvalue. 
Eles. 
tha. 
E(0. 
an. 
lowere. 
b. 
th. 
term. 
wit. 
eigenvalue. 
E

greate. 
tha. 
E(0). 
Th. 
eigenvalu. 
E(0. 
i. 
perturbe. 
t. 
th. 
greates. 
exten. 
b. 
th. 


term. 
wit. 
eigenvalue. 
Eclos. 
t. 
E(0). 
Th. 
contributio. 
t. 
th. 
second-orde. 


correctio. 
E(2. 
o. 
term. 
wit. 
eigenvalue. 
fa. 
remove. 
fro. 
E(0. 
i. 
small. 
Fo. 


(0. 
(2)

th. 
lowes. 
eigenvalu. 
E. 
al. 
o. 
th. 
term. 
ar. 
negativ. 
s. 
tha. 
Ei. 
negative. 



24. 
Approximatio. 
method. 


W. 
als. 
se. 
that. 
i. 
thes. 
cases. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
�(1. 
t. 
th. 
eigenfunc. 


tio. 
determine. 
th. 
second-orde. 
correctio. 
E(2. 
t. 
th. 
eigenvalue. 


T. 
obtai. 
th. 
second-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
�(2. 
t. 
th. 
eigenfunction. 


w. 
multipl. 
equatio. 
(9.23. 
b. 
�(0)fo. 
. 
6
an. 
integrat. 
ove. 
al. 
spac. 


h�(0. 
H(0. 
�E(0)j�(2. 
H(1)j�(1)i�E(1)h�(0)j�(1)

j^i.h�(0)j^i

. 
n. 
. 
nnk. 


.�h�(0)jH^
(2)j�(0)i.E(2)h�(0)j�(0. 


. 
. 
nk. 


A. 
before. 
w. 
appl. 
th. 
hermitia. 
propert. 
o. 
H^
(0). 
introduc. 
th. 
abbreviatio. 


H. 
an. 
us. 
th. 
orthogonalit. 
relatio. 
(9.26. 
t. 
obtai. 


(0. 
�E(0))h�(0)j�(2)i.h�(0. 
H(1)j�(1)i�E(1)h�(0)j�(1. 
(2)

(Ej^i.�H^
(9:35)

knk. 
. 
nnk. 
k. 


W. 
nex. 
expan. 
th. 
functio. 
�(2. 
i. 
term. 
o. 
th. 
complet. 
se. 
o. 
unperturbe. 


eigenfunction. 
�(0. 


�(2. 
bnj�(0. 


. 
. 
. 
(9:36. 
j(6.n. 


where. 
withou. 
los. 
o. 
generality. 
th. 
ter. 
. 
. 
. 
ma. 
b. 
omitte. 
fo. 
th. 
sam. 
reaso. 
tha. 
�(0. 
i. 
omitte. 
i. 
equatio. 
(9.30). 
Th. 
coef�cient. 
bn. 
ar. 
comple. 


constant. 
give. 
b. 


bn. 
.h�(0)j�(2. 


j. 
. 
(9:37. 


Substitutio. 
o. 
equation. 
(9.24). 
(9.28). 
(9.30). 
an. 
(9.37. 
int. 
(9.35. 
give. 


(0. 
�E(0. 
^(1. 
H^(1. 
(2)

(E)bn. 
. 
an. 
H�an. 
.�H^

k. 
k. 
nnk. 
j(6.n. 


^(2. 
^(1. 
H^
(1)

H. 
an. 
H�an. 
n. 


j(6.n. 


bn. 
.. 
(9:38)

(0. 
�E(0. 


Combinin. 
equation. 
(9.32). 
(9.36). 
an. 
(9.38). 
w. 
obtai. 
th. 
�na. 
resul. 


(1. 
(1)

(2. 
(1)

. 
�^. 
H^
H^
^H^
(1. 


�(2. 
Hk. 
k. 
j. 
knn. 
5�(0. 


. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
. 


E(E)(E)(E). 


k(6.n. 
. 
nj(6.n. 
knj. 
k. 


(9:39. 


Summar. 


Th. 
non-degenerat. 
eigenvalu. 
E. 
fo. 
th. 
perturbe. 
syste. 
t. 
secon. 
orde. 
i. 
obtaine. 
b. 
substitutin. 
equation. 
(9.24. 
an. 
(9.34. 
int. 
(9.20. 
t. 
giv. 



9.. 
Non-degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
24. 


. 
jH^
j. 


E. 
. 
E(0. 
H(1. 
H^
(2. 
kn

. 
. 
^. 
�2. 
. 
. 
(9:40)

. 
n. 
n. 
(0. 


. 
E(0. 


k(6.n. 
k. 


Th. 
correspondin. 
eigenfunctio. 
�. 
t. 
secon. 
orde. 
i. 
obtaine. 
b. 
combinin. 
equation. 
(9.19). 
(9.33). 
an. 
(9.39. 


. 
^(1. 


�. 
. 
�(0. 
Hk. 
�(0. 


(0. 
. 
E(0. 
. 


k(6.n. 
k. 


(2. 
^(1. 
^(1. 
(1. 
H(1)

. 
�H^
H^

. 
k. 
k. 
j. 
knn. 
5�(0)

. 
�. 
.�

(0. 
. 
E(0. 
(0. 
. 
E(0. 
(0. 
. 
E(0. 
(0. 
. 
E(0. 
. 


E(E)(E)(E). 


k(6.n. 
. 
nj(6.n. 
knj. 
k. 


(9:41. 


Whil. 
th. 
eigenvalu. 
E(0. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
syste. 
mus. 
b. 
non-degen. 


erat. 
fo. 
thes. 
expansion. 
t. 
b. 
valid. 
som. 
o. 
al. 
o. 
th. 
othe. 
eigenvalue. 
E

fo. 
. 
6
ma. 
b. 
degenerate. 
Th. 
summation. 
i. 
equation. 
(9.40. 
an. 
(9.41. 
ar. 
t. 
b. 
take. 
ove. 
al. 
state. 
o. 
th. 
unperturbe. 
syste. 
othe. 
tha. 
th. 
stat. 


�(0. 
(0. 


. 
. 
I. 
a. 
eigenvalu. 
E. 
i. 
gi-fol. 
degenerate. 
the. 
i. 
i. 
include. 
g. 
time. 
i. 
th. 
summations. 
I. 
th. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
hav. 
. 
continuou. 
range. 
the. 
th. 
summation. 
i. 
equation. 
(9.40. 
an. 
(9.41. 
mus. 
includ. 
a. 
integratio. 
ove. 
thos. 
state. 
a. 
well. 


Relatio. 
t. 
variatio. 
metho. 


I. 
w. 
us. 
th. 
wav. 
functio. 
�(0. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
groun. 
stat. 
a. 
. 
tria. 


functio. 
. 
i. 
th. 
variatio. 
metho. 
o. 
Sectio. 
9.. 
an. 
se. 
. 
equa. 
t. 
H^
(0. 
. 
. 
^

H(1). 
the. 
w. 
hav. 
fro. 
equation. 
(9.2). 
(9.18). 
an. 
(9.24. 


Hj�i.h�(0. 
H(0. 
. 
�H^
(1)j�(0. 
(0. 
(1)

. 
.h�. 
^. 
^i. 
E. 
�E

an. 
. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
�rst-orde. 
energ. 
a. 
determine. 
b. 
perturbatio. 
theory. 
I. 
w. 
instea. 
us. 
. 
tria. 
functio. 
. 
whic. 
contain. 
som. 
parameter. 
an. 
whic. 
equal. 
�(0. 
fo. 
som. 
se. 
o. 
paramete. 
values. 
the. 
th. 
correspondin. 
energ. 
. 


(0. 
(1)

fro. 
equatio. 
(9.2. 
i. 
a. 
leas. 
a. 
goo. 
a. 
approximatio. 
a. 
E. 
. 
�Et. 
th. 


tru. 
ground-stat. 
energy. 


. 
��(1)

Moreover. 
i. 
th. 
wav. 
functio. 
�(0. 
i. 
use. 
a. 
. 
tria. 
functio. 
�. 
the. 


th. 
quantit. 
. 
fro. 
equatio. 
(9.2. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
second-orde. 
energ. 
determine. 
b. 
perturbatio. 
theory. 
An. 
tria. 
functio. 
. 
wit. 
parameter. 
whic. 


. 
��(1)

reduce. 
t. 
�(0. 
fo. 
som. 
se. 
o. 
paramete. 
value. 
yield. 
a. 
approximat. 


energ. 
. 
fro. 
equatio. 
(9.2. 
whic. 
i. 
n. 
les. 
accurat. 
tha. 
th. 
second-orde. 
perturbatio. 
value. 



24. 
Approximatio. 
method. 


9.. 
Perturbe. 
harmoni. 
oscillato. 


A. 
illustration. 
o. 
th. 
applicatio. 
o. 
perturbatio. 
theor. 
w. 
conside. 
tw. 
example. 
o. 
. 
perturbe. 
harmoni. 
oscillator. 
I. 
th. 
�rs. 
example. 
w. 
suppos. 
tha. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
o. 
th. 
oscillato. 
i. 


. 
.1kx. 
.cx. 
.1m�. 
x. 
.cx. 


wher. 
. 
i. 
. 
smal. 
quantity. 
Th. 
unit. 
o. 
. 
ar. 
thos. 
o. 
". 
(energy). 
whil. 
th. 
unit. 
o. 
. 
ar. 
show. 
i. 
equatio. 
(4.14. 
t. 
b. 
thos. 
o. 
("=m�)1=2. 
Accordingly. 
th. 
unit. 
o. 
. 
ar. 
thos. 
o. 
m2�3=. 
an. 
w. 
ma. 
expres. 
. 
a. 


wher. 
. 
i. 
dimensionless. 
Th. 
potentia. 
energ. 
the. 
take. 
th. 
for. 


m2�. 
x. 


. 
.1m�. 
x. 
.. 
(9:42. 


H^
(0)

Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.12. 
an. 
it. 
eigenvalue. 
E(0. 
an. 
eigenfunction. 
�(0. 
ar. 


show. 
i. 
equation. 
(4.30. 
an. 
(4.41). 
Th. 
perturbatio. 
H^
. 
i. 


m2�3x. 


H^
. 
.H^
(1. 
.. 


(9:43. 


H^
(2). 
^

Higher-orde. 
term. 
H(3). 
... 
i. 
th. 
perturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
d. 
no. 
appea. 
i. 
thi. 
example. 


T. 
�n. 
th. 
perturbatio. 
correction. 
t. 
th. 
eigenvalue. 
an. 
eigenfunctions. 
w. 
requir. 
th. 
matri. 
element. 
hn9jx4jn. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
harmoni. 
oscillator. 
Thes. 
matri. 
element. 
ar. 
give. 
b. 
equation. 
(4.51). 
Th. 
�rst-orde. 
correctio. 
E(1. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
E. 
i. 
evaluate. 
usin. 
equation. 
(9.24). 
(9.43). 


an. 
(4.51c. 


�m2�. 


E(1. 
H(1)

. 
^.hnjx4jni.3(n. 
.. 
.1)�". 
(9:44)

. 
n. 
22

Th. 
second-orde. 
correctio. 
E(2. 
i. 
obtaine. 
fro. 
equation. 
(9.34). 
(9.43). 
an. 


(4.51. 
a. 
follow. 



9.. 
Perturbe. 
harmoni. 
oscillato. 
24. 


(1. 
(1. 
(1. 
(1)

jH^
jjH^
jjH^
jjH^
j

n�4,nn�2,nn.2,nn.4,n

.�. 
. 
�

(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 


n�. 
nn�. 
nn.. 
nn.. 
. 


�. 
m4�. 
h. 
�4jx4jnih. 
�2jx4jnih. 
.2jx4jnih. 
.4jx4jni

.. 
... 


"2(�4"�)(�2"�)2". 
4". 


.�(34n. 
.51n. 
.59. 
.21)�2". 
(9:45. 


Th. 
perturbe. 
energ. 
E. 
t. 
secon. 
orde. 
is. 
the. 
E. 
E(0. 
.E(1. 
.E(2. 


.(. 
.1)". 
.3(n. 
.. 
.1)�". 
�1(34n. 
.51n. 
.59. 
.21)�2". 


(9:46. 
I. 
th. 
expressio. 
(9.45. 
fo. 
th. 
second-orde. 
correctio. 
E(2). 
th. 
summatio. 


o. 
th. 
right-han. 
sid. 
include. 
al. 
state. 
. 
othe. 
tha. 
th. 
stat. 
n. 
bu. 
onl. 
fo. 
th. 
state. 
(. 
�4). 
(. 
�2). 
(. 
.2). 
an. 
(. 
.4. 
ar. 
th. 
contribution. 
t. 
th. 


(2. 
(2)

summatio. 
non-vanishing. 
Fo. 
th. 
tw. 
lowes. 
value. 
o. 
n. 
givin. 
Ean. 
E. 


onl. 
th. 
tw. 
term. 
. 
.(. 
.2. 
an. 
. 
.(. 
.4. 
shoul. 
b. 
include. 
i. 
th. 
summation. 
However. 
th. 
term. 
fo. 
th. 
meaningles. 
value. 
. 
.(. 
�2. 
an. 
. 
.(. 
�4. 
vanis. 
identically. 
s. 
tha. 
thei. 
inclusio. 
i. 
equatio. 
(9.45. 
i. 


(2. 
(2)

valid. 
. 
simila. 
argumen. 
applie. 
t. 
Ean. 
E. 
wherei. 
th. 
ter. 
fo. 
th. 


meaningles. 
valu. 
. 
.(. 
�4. 
i. 
identicall. 
zero. 
Thus. 
equatio. 
(9.46. 
applie. 
t. 
al. 
value. 
o. 
. 
an. 
th. 
perturbe. 
ground-stat. 
energ. 
E0. 
fo. 
example. 
i. 


E. 
(. 
.. 
�2)". 


Th. 
evaluatio. 
o. 
th. 
�rst. 
an. 
second-orde. 
correction. 
t. 
th. 
eigenfunc. 
tion. 
i. 
straightforward. 
bu. 
tedious. 
Consequently. 
w. 
evaluat. 
her. 
onl. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
�(1. 
fo. 
th. 
groun. 
state. 
Accordin. 
t. 
equation. 
(9.33). 


(9.43). 
an. 
(4.51). 
thi. 
correctio. 
ter. 
i. 
give. 
b. 


(1. 
(1. 


�(1. 
H2. 
�(0. 
H4. 
�(0. 


. 
(0. 
(0. 
. 
(0. 
(0. 
. 


E�EE�E

�m2�. 
h2jx4j0ih4jx4j0. 


�(0. 
�(0. 


. 
2". 
4". 


. 
. 
[6�(0. 
�(0)

.. 
��. 
. 
. 
. 
4. 
(9:47. 


an. 
�(0)

I. 
th. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
�(0. 
a. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.41. 
ar. 



24. 
Approximatio. 
method. 


explicitl. 
introduced. 
the. 
th. 
perturbe. 
ground-stat. 
eigenfunctio. 
�. 
t. 
�rs. 
orde. 
i. 


e��2=2

�. 
�(0)
. 
.�(1)
. 
. 
1=4
. 
. 
. 
(4�. 
.12�. 
�9. 
(9:48. 


A. 
. 
secon. 
example. 
w. 
suppos. 
tha. 
th. 
potentia. 
energ. 
. 
fo. 
th. 
perturbe. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 


1=. 


m�. 
x3

. 
.1kx. 
.cx. 
.. 
x. 
.. 
(9:49. 


wher. 
. 
.�(m3�5=")1=. 
i. 
agai. 
. 
smal. 
quantit. 
an. 
. 
i. 
dimensionless. 
Th. 
perturbatio. 
H^
. 
fo. 
thi. 
exampl. 
i. 


1=. 


H(1. 
.�

H^
. 
. 
^(9:50. 


Th. 
matri. 
element. 
hn9jx3jnifo. 
th. 
unperturbe. 
harmoni. 
oscillato. 
ar. 
give. 
b. 
equation. 
(4.50). 
Th. 
�rst-orde. 
correctio. 
ter. 
E(1. 
i. 
obtaine. 
b. 


substitutin. 
equation. 
(9.50. 
an. 
(4.50e. 
int. 
(9.24). 
givin. 
th. 
resul. 


1=. 


.. 
hnjx3jni.. 
(9:51. 


Thus. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
i. 
zero. 
Th. 
second-orde. 
ter. 
E(2. 
i. 
evaluate. 
usin. 
equation. 
(9.34). 
(9.50). 
an. 
(4.50). 
givin. 
th. 


resul. 


E. 
E(2. 


(1. 
(1. 
(1. 
(1)

jH^
jjH^
jjH^
jjH^
j

n�3,nn�1,nn.1,nn.3,n

.�. 
. 
�

(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 
(0. 
�E(0. 


n�. 
nn�. 
nn.. 
nn.. 
. 


�. 
m3�. 
h. 
�3jx3jnih. 
�1jx3jnih. 
.1jx3jnih. 
.3jx3jni

.. 
... 


. 
(�3"�)(�"�. 
". 
3". 


.�(30n. 
.30. 
.11)�2". 
(9:52. 


9.. 
Degenerat. 
perturbatio. 
theor. 


Th. 
perturbatio. 
metho. 
presente. 
i. 
Sectio. 
9.. 
applie. 
onl. 
t. 
non-degen. 
erat. 
eigenvalue. 
E(0. 
o. 
th. 
unperturbe. 
system. 
Whe. 
E(0. 
i. 
degenerate. 
th. 


denominator. 
vanis. 
fo. 
thos. 
term. 
i. 
equation. 
(9.40. 
an. 
(9.41. 
i. 
whic. 


Ei. 
equa. 
t. 
E(0). 
makin. 
th. 
perturbation. 
t. 
E. 
an. 
�. 
indeterminate. 
I. 



9.. 
Degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
24. 


thi. 
sectio. 
w. 
modif. 
th. 
perturbatio. 
metho. 
t. 
allo. 
fo. 
degenerat. 
eigenvalues. 
I. 
vie. 
o. 
th. 
complexit. 
o. 
thi. 
ne. 
procedure. 
w. 
conside. 
onl. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correction. 
t. 
th. 
eigenvalue. 
an. 
eigenfunctions. 


Th. 
eigenvalue. 
an. 
eigenfunction. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
syste. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(9.18). 
bu. 
no. 
th. 
eigenvalu. 
E(0. 
i. 
gn-fol. 
degenerate. 
Accord. 


ingly. 
ther. 
ar. 
g. 
eigenfunction. 
wit. 
th. 
sam. 
eigenvalu. 
E(0). 
Fo. 
greate. 


clarity. 
w. 
chang. 
th. 
notatio. 
her. 
an. 
denot. 
th. 
eigenfunction. 
correspond. 
a. 
�(0)

in. 
t. 
E(0. 
n�. 
. 
.1. 
2. 
...,

. 
gn. 
Equatio. 
(9.18. 
i. 
the. 
replace. 
b. 
th. 
equivalen. 
expressio. 


H(0)�(0. 
�(0. 


n. 
.E(0. 


. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:53. 


Eac. 
o. 
th. 
eigenfunction. 
�(0. 
i. 
orthogona. 
t. 
al. 
th. 
othe. 
unperturbe. 


eigenfunction. 
�(0. 
fo. 
. 
6.n. 
bu. 
i. 
no. 
necessaril. 
orthogona. 
t. 
th. 
othe. 


eigenfunction. 
fo. 
E(0). 
An. 
linea. 
combinatio. 
�n. 
o. 
th. 
member. 
o. 
th. 
se. 


c���(0)

�n. 
. 
n�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:54. 


i. 
als. 
. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(9.53. 
wit. 
th. 
sam. 
eigenvalu. 
.A. 


discusse. 
i. 
Sectio. 
3.3. 
th. 
member. 
o. 
th. 
se. 
�(0. 


n. 
ma. 
b. 
constructe. 
t. 
b. 
orthonorma. 
an. 
w. 
assum. 
tha. 
thi. 
constructio. 
ha. 
bee. 
carrie. 
out. 
s. 
tha. 


h�(0)j�(0. 


n�i.���. 
�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:55. 


B. 
suitabl. 
choice. 
fo. 
th. 
coef�cient. 
c�. 
i. 
equatio. 
(9.54). 
th. 
function. 
�n. 
ma. 
als. 
b. 
constructe. 
a. 
a. 
orthonorma. 
se. 


h�n�j�n�i.���. 
�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:56. 


Substitutio. 
o. 
equatio. 
(9.54. 
int. 
(9.56. 
an. 
applicatio. 
o. 
(9.55. 
giv. 


c. 
�. 
c�. 
.���. 
�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:57. 


Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
perturbe. 
syste. 
i. 


H�n. 
.En��n�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:58. 


wher. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(9.16). 
En. 
ar. 
th. 
eigenvalue. 
fo. 
th. 
perturbe. 
system. 
an. 
�n. 
ar. 
th. 
correspondin. 
eigen. 


functions. 
Whil. 
th. 
unperturbe. 
eigenvalu. 
. 
i. 
gn-fol. 
degenerate. 
th. 


perturbatio. 
H. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
ofte. 
split. 
th. 
eigenvalu. 
E(0. 


int. 
g. 
differen. 
values. 
Fo. 
thi. 
reason. 
th. 
perturbe. 
eigenvalue. 
En. 
requir. 
th. 
additiona. 
inde. 
�. 
Th. 
perturbatio. 
expansion. 
o. 
En. 
an. 
�n. 
i. 
power. 
o. 
. 
ar. 



25. 
Approximatio. 
method. 


En. 
.E(0. 
.�E(1. 
E(2. 


n. 
.�. 
n. 
.


. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:59. 


�n. 
.�(0. 
n. 
.�2�(2. 


n. 
.��(1. 


n. 
.


. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:60. 


Not. 
tha. 
i. 
equatio. 
(9.59. 
th. 
zero-orde. 
ter. 
i. 
th. 
sam. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
�. 
I. 
th. 
limi. 
. 
!0. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
approache. 
th. 
unperturbe. 


H^
(0)

operato. 
an. 
th. 
perturbe. 
eigenvalu. 
En. 
approache. 
th. 
degenerat. 
unperturbe. 
eigenvalu. 
E(0). 
Th. 
perturbe. 
eigenfunctio. 
�n. 
approache. 
. 


functio. 
whic. 
satis�e. 
equatio. 
(9.53). 
bu. 
thi. 
limitin. 
eigenfunctio. 
ma. 
no. 
b. 
an. 
on. 
o. 
th. 
initia. 
function. 
�(0. 


n�. 
I. 
general. 
thi. 
limitin. 
functio. 
i. 
som. 
linea. 
combinatio. 
o. 
th. 
initia. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
�(0. 


n�,a. 
expresse. 
i. 
equatio. 
(9.54). 
Thus. 
alon. 
wit. 
th. 
determinatio. 
o. 
th. 
�rst. 


an. 
�(1)

orde. 
correctio. 
term. 
n�. 
w. 
mus. 
�n. 
th. 
se. 
o. 
unperturbe. 


eigenfunction. 
�(0. 
t. 
whic. 
th. 
perturbe. 
eigenfunction. 
reduc. 
i. 
th. 
limi. 


. 
!0. 
I. 
othe. 
words. 
w. 
nee. 
t. 
evaluat. 
th. 
coef�cient. 
c�. 
i. 
th. 
linea. 
combination. 
(9.54. 
whic. 
transfor. 
th. 
initia. 
se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunc. 
tion. 
�(0. 
n�. 
Equatio. 
(9.60. 
i. 
the. 
replace. 
b. 


n. 
int. 
th. 
`correct'se. 
�(0. 
�n. 
.�(0. 
n. 
.�2�(2. 


n. 
.��(1. 


n. 
.


. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:61. 


Th. 
�rst-orde. 
equation. 
(9.22. 
an. 
(9.24. 
appl. 
her. 
provide. 
th. 
additiona. 


inde. 
. 
an. 
th. 
`correct. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
ar. 
use. 
. 
^H(0. 
�E(0. 
. 
)�(1. 
n. 
.�. 
^H(1. 
�E(1. 
n�)�(0. 
n. 
(9:62. 
E(1. 
n. 
.h�(0. 
n�j^H(1)j�(0. 
n�. 
(9:63. 


However. 
equatio. 
(9.63. 
fo. 
th. 
�rst-orde. 
correction. 
t. 
th. 
eigenvalue. 
canno. 
b. 
use. 
directl. 
a. 
thi. 
poin. 
becaus. 
th. 
function. 
�(0. 


n. 
ar. 
no. 
known. 


T. 
�n. 
E(1. 
n. 
. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 


n. 
w. 
multipl. 
equatio. 
(9.62. 
b. 
�(0)
on. 
o. 
th. 
initia. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
belongin. 
t. 
th. 
degenerat. 
eigenvalu. 
E(0). 
an. 
integrat. 
ove. 
al. 
spac. 
t. 
obtai. 


h�(0. 
H(0. 
�E(0)j�(1. 
n�j�(0)

H(1. 
�E(1)

j^
nn�i.�h�(0)j^
n�. 


H^
(0),

Applyin. 
th. 
hermitia. 
propert. 
o. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
left-han. 
sid. 
vanishes. 
Substitutio. 
o. 
th. 
expansio. 
(9.54. 
fo. 
�(0. 
usin. 
. 
a. 
th. 
dumm. 


expansio. 
inde. 
give. 


c��h�(0. 
H(1. 
�E(1. 


n�j�(0)

j^
n�i.0. 
�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 


I. 
w. 
introduc. 
th. 
abbreviatio. 


(1. 
h�(0. 
H(1)j�(0)

H^
j^
n�i. 
�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
gn

n�,n. 
n�

an. 
appl. 
th. 
orthonormalit. 
conditio. 
(9.55). 
thi. 
equatio. 
take. 
th. 
for. 



9.. 
Degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
25. 


(1. 
�E(1)

c��(H^
n����. 
.0. 
�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:64)

n�,n. 


H^
(1)

Not. 
tha. 
th. 
integral. 
ar. 
evaluate. 
wit. 
th. 
know. 
initia. 
se. 
o. 


n�. 
n. 


unperturbe. 
eigenfunctions. 
i. 
contras. 
t. 
th. 
integral. 
i. 
equatio. 
(9.63). 
whic. 
requir. 
th. 
unknow. 
function. 
�(0. 
n�. 
th. 


n�. 
Fo. 
. 
give. 
eigenvalu. 
E(1. 
expressio. 
(9.64. 
i. 
. 
se. 
o. 
g. 
linea. 
homogeneou. 
simultaneou. 
equations. 
on. 
fo. 
eac. 
valu. 
o. 
. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
gn. 


(1. 
�E(1. 
(1. 
(1. 
(1)

. 
.1. 
c�1(H^
H^
.c�. 
H^
.


. 
c. 
gnH^
.0

n1,n. 
n�. 
.c�. 
n1,n. 
n1,n. 
n1,n. 
. 
^(1. 
(1. 
�E(1. 
^(1. 
^(1)

. 
.2. 
c�. 
H.c�2(H^
n�. 
.c�. 
H.


. 
c. 
gnH.0

n2,n. 
n2,n. 
n2,n. 
n2,n. 
. 


(1. 
(1. 
(1. 
H(1. 
�E(1)

. 
. 
gn. 
c�. 
H^
H^
H^
.


. 
c. 
g. 
. 
^

n. 
n,n. 
.c�. 
n. 
n,n. 
.c�. 
n. 
n,n. 
n. 
n,ng. 
n�. 


Equatio. 
(9.64. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
(9.13. 
wit. 
th. 
coef�cient. 
c�. 
correspond. 


(1. 
�E(1)

in. 
t. 
th. 
unknow. 
quantitie. 
x. 
an. 
th. 
term. 
. 
H^
n����. 
correspond. 


n�,n. 
in. 
t. 
th. 
coef�cient. 
aki. 
Thus. 
. 
non-trivia. 
solutio. 
fo. 
th. 
g. 
coef�cient. 


c�. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
gn. 
exist. 
onl. 
i. 
th. 
determinan. 
wit. 
element. 
. 
H^
�

n�,n. 


n����. 
vanishe. 


Onl. 
fo. 
som. 
value. 
o. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
ter. 
E(1. 
i. 
th. 
secula. 


i. 
E(1)

equatio. 
(9.65. 
satis�ed. 
Thi. 
secula. 
equatio. 
i. 
o. 
degre. 
g. 
n�. 
givin. 
g. 
root. 


(1. 
(1)

. 
.... 
E(1. 


n. 
n. 
n. 
. 
H^
(1)

al. 
o. 
whic. 
ar. 
rea. 
becaus. 
i. 
hermitian. 
Th. 
perturbe. 
eigenvalue. 
t. 
�rs. 
orde. 
are. 
the. 


En. 
. 
E(0. 
(1. 


. 
.�En. 


. 
E(0. 
.�E(1)

Eng. 
. 
ng. 


(1. 
�E(1. 
(1. 
(1)

HH

. 
H

n1,n. 
n. 
n1,n. 
n1,n. 
. 


(1. 
(1. 
�E(1. 
(1)

HH

. 
H

n2,n. 
n2,n. 
n. 


n2,n. 
. 


.. 
(9:65. 


(1. 
(1. 
H(1. 
�E(1)

HH




n. 
n,n. 
n. 
n,n. 
n. 
n,ng. 
n. 


I. 
th. 
g. 
root. 
ar. 
al. 
different. 
the. 
i. 
�rs. 
orde. 
th. 
gn-fol. 
degenerat. 
unperturbe. 
eigenvalu. 
E(0. 
i. 
spli. 
int. 
g. 
differen. 
perturbe. 
eigenvalues. 
I. 


thi. 
case. 
th. 
degenerac. 
i. 
remove. 
i. 
�rs. 
orde. 
b. 
th. 
perturbation. 
W. 



25. 
Approximatio. 
method. 


assum. 
i. 
th. 
continuin. 
presentatio. 
tha. 
al. 
th. 
root. 
ar. 
indee. 
differen. 
fro. 
eac. 
other. 


`Correct. 
zero-orde. 
eigenfunction. 


Th. 
determinatio. 
o. 
th. 
coef�cient. 
c�. 
i. 
no. 
necessar. 
fo. 
�ndin. 
th. 
�rst. 
orde. 
perturbatio. 
correction. 
t. 
th. 
eigenvalues. 
bu. 
i. 
require. 
t. 
obtai. 
th. 
`correct. 
zero-orde. 
eigenfunction. 
an. 
thei. 
�rst-orde. 
corrections. 
Th. 
coef�. 
cient. 
c�. 
fo. 
eac. 
valu. 
o. 
. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
gn. 
ar. 
obtaine. 
b. 
substitutin. 


th. 
valu. 
foun. 
fo. 
fro. 
th. 
secula. 
equatio. 
(9.65. 
int. 
th. 
se. 
o. 


simultaneou. 
equation. 
(9.64. 
an. 
solvin. 
fo. 
th. 
coef�cient. 
c�2. 
.... 
c. 
g. 
i. 
term. 
o. 
c�1. 
Th. 
normalizatio. 
conditio. 
(9.57. 
i. 
the. 
use. 
t. 
determin. 
c�1. 
Thi. 
procedur. 
uniquel. 
determine. 
th. 
complet. 
se. 
o. 
coef�cient. 
c�. 
(�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
gn. 
becaus. 
w. 
hav. 
assume. 
tha. 
al. 
th. 
root. 
E(1. 


n. 
ar. 
different. 
I. 
b. 
acciden. 
o. 
b. 
cleve. 
choice. 
th. 
initia. 
se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunc. 
tion. 
�(0. 


n. 
i. 
actuall. 
th. 
`correct. 
set. 
i.e.. 
i. 
i. 
th. 
limi. 
. 
!. 
th. 
perturbe. 
eigenfunctio. 
�n. 
reduce. 
t. 
�(0. 


n. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
�. 
the. 
th. 
coef�cient. 
c�. 


ar. 
give. 
b. 
c�. 
.��. 
an. 
th. 
secula. 
determinan. 
i. 
diagona. 
(1. 
�E(1)

H. 


. 
0

n1,n. 
n. 


(1. 
�E(1)

. 
H

. 
0

n2,n. 
n. 


H(1. 
�E(1)

0. 


. 


n. 
n,ng. 
n. 


Th. 
�rst-orde. 
correction. 
t. 
th. 
eigenvalue. 
ar. 
the. 
give. 
b. 


E(1. 
H(1. 


n. 
. 
^
n�. 
n�. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 
(9:66. 


I. 
i. 
obviousl. 
. 
grea. 
advantag. 
t. 
selec. 
th. 
`correct. 
se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
a. 
th. 
initia. 
set. 
s. 
tha. 
th. 
simple. 
equatio. 
(9.66. 
ma. 
b. 
used. 
. 
genera. 
procedur. 
fo. 
achievin. 
thi. 
goa. 
i. 
t. 
�n. 
. 
hermitia. 
operato. 


^H(0. 
an. 
^

. 
tha. 
commute. 
wit. 
bot. 
^H(1. 
an. 
ha. 
eigenfunction. 
�. 
wit. 
non. 
degenerat. 
eigenvalue. 
��. 
s. 
tha. 


H(0)H(1)

[A^
. 
^. 
.[A^
. 
^. 
.. 
(9:67. 


A�. 
. 
���. 
Sinc. 
A^
an. 
H^(0. 
commute. 
the. 
hav. 
simultaneou. 
eigenfunctions. 
Therefore. 
w. 
ma. 
selec. 
�1. 
�2. 
.... 
�g. 
a. 
th. 
initia. 
se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunction. 


n. 
.��. 
. 
.1. 
2. 
.... 
g. 


W. 
nex. 
for. 
th. 
integra. 
h��j[A^
. 
H^
(1)]j��i(. 
6.�). 
whic. 
o. 
cours. 
vanishe. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(9.67). 



9.. 
Degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
25. 


H(1)]j��i.h��j^H(1)j��i�h��jH^
(1. 
^

h��j[A^
^. 
^Aj��. 
H(1)j��i���h��jH^
(1)j��i

.hA^
��j^

.(�. 
���)h�(0. 
H(1)j�(0. 


n�n�. 


.(�. 
���)H^

n�,n. 


Sinc. 
�. 
6.��. 
th. 
off-diagona. 
element. 
Hequa. 
zer. 
an. 
th. 
se. 
o. 


n�,n. 
function. 
�(0. 
n. 
.�. 
i. 
th. 
`correct. 
set. 
Th. 
parit. 
operato. 
�^
discusse. 
i. 
Sectio. 
3.. 
ca. 
ofte. 
b. 
use. 
i. 
thi. 
contex. 
fo. 
selectin. 
`correct. 
unperturbe. 
eigenfunctions. 


First-orde. 
correction. 
t. 
th. 
eigenfunction. 


T. 
obtai. 
th. 
�rst-orde. 
correction. 
�(1. 


n. 
t. 
th. 
eigenfunction. 
�n�. 
w. 
multipl. 


equatio. 
(9.62. 
b. 
�(0)fo. 
. 
6
an. 
integrat. 
ove. 
al. 
spac. 


h�(0. 
H(0. 
�E(0. 
H(1)j�(0. 
n�h�(0)j�(0)

j�(1. 
n�i.E(1)

j^
n�i.�h�(0)j^

k�nk�k�n�. 


H^
(0)

Applyin. 
th. 
hermitia. 
propert. 
o. 
an. 
notin. 
tha. 
�(0. 
i. 
orthogona. 
t. 


al. 
eigenfunction. 
belongin. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
E(0),w. 
hav. 


(0. 
�E(0))h�(0)j�(1. 
H(1)j�(0)

(En�i.�h�(0)j^(9:68)

. 
nk�k�n�. 


W. 
nex. 
expan. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
�(1. 


n. 
i. 
term. 
o. 
th. 
complet. 
se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunction. 


�(1. 
an�. 
j��(0. 


(9:69)

n. 
. 
j. 
j(6.n. 
�.. 


wher. 
th. 
term. 
wit. 
. 
. 
. 
ar. 
omitte. 
fo. 
th. 
sam. 
reaso. 
tha. 
the. 
ar. 
omitte. 
i. 
equatio. 
(9.30). 
Substitutio. 
o. 
equation. 
(9.54. 
an. 
(9.69. 
int. 
(9.68. 
give. 


(0. 
�E(0. 
an�. 
j�h�(0)j�(0. 
^(1)

(E. 
j. 
i.. 
H

k. 
k�c�. 
k�,n. 
j(6.n. 
�.. 
�.. 


I. 
vie. 
o. 
th. 
orthonormalit. 
relations. 
th. 
summatio. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
ma. 
b. 
simpli�e. 
a. 
follow. 


an�. 
j�h�(0)j�(0. 


k�an�. 
j��kj��. 
.an�,k. 


j(6.n. 
�.. 
j(6.n. 
�.. 


Therefore. 
w. 
hav. 



25. 
Approximatio. 
method. 


. 
H(1)

c�. 
k�,n. 


an�,k. 
. 
(9:70)

(0. 
. 
E(0. 


Th. 
eigenfunction. 
�n. 
fo. 
th. 
perturbe. 
syste. 
t. 
�rs. 
orde. 
ar. 
obtaine. 
b. 
combinin. 
equation. 
(9.61). 
(9.69). 
an. 
(9.70. 


c�. 
H(1. 


k�,n. 


�n. 
. 
�(0. 
XX�.. 
�(1. 


n. 
. 
. 
(9:71)

(0. 
. 
E(0. 
k. 


k(6.n. 
�.. 
k. 


Example. 
hydroge. 
ato. 
i. 
a. 
electri. 
�el. 


A. 
a. 
illustratio. 
o. 
th. 
applicatio. 
o. 
degenerat. 
perturbatio. 
theory. 
w. 
conside. 
th. 
in�uence. 
know. 
a. 
th. 
Star. 
effect. 
o. 
a. 
externall. 
applie. 
electri. 
�el. 
. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
o. 
. 
hydroge. 
atom. 
Th. 
unperturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
H^
(0. 
fo. 
th. 
hydroge. 
ato. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.14). 
an. 
it. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
ar. 
give. 
b. 
equation. 
(6.56. 
an. 
(6.57). 
respectively. 
I. 
thi. 
example. 
w. 
labe. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenva. 


H^
(0)

lue. 
o. 
wit. 
a. 
inde. 
startin. 
a. 
. 
rathe. 
tha. 
a. 
. 
t. 
correspon. 
t. 
th. 


principa. 
quantu. 
numbe. 
n. 
Th. 
perturbatio. 
H. 
i. 
th. 
potentia. 
energ. 
fo. 
th. 
interactio. 
betwee. 
th. 
atomi. 
electro. 
wit. 
charg. 
�. 
an. 
a. 
electri. 
�el. 
. 
directe. 
alon. 
th. 
positiv. 
z-axi. 


^H(1. 
. 
e. 
. 
. 
e. 
. 
co. 
�

H. 
. 
^(9:72. 


I. 
spi. 
effect. 
ar. 
neglected. 
th. 
ground-stat. 
unperturbe. 
energ. 
leve. 
E

i. 
non-degenerat. 
an. 
it. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
Ei. 
give. 
b. 


equatio. 
(9.24. 
a. 


E. 
. 
e. 
h1sjzj1si. 
. 


Thi. 
integra. 
vanishe. 
becaus. 
th. 
unperturbe. 
groun. 
stat. 
o. 
th. 
hydroge. 
atom. 
th. 
1. 
state. 
ha. 
eve. 
parit. 
an. 
. 
ha. 
od. 
parity. 


Th. 
nex. 
lowes. 
unperturbe. 
energ. 
leve. 
E. 
however. 
i. 
four-fol. 
degen. 


erat. 
and. 
consequently. 
degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
mus. 
b. 
use. 
t. 


determin. 
it. 
perturbatio. 
corrections. 
Fo. 
simplicit. 
o. 
notation. 
i. 
th. 
n�. 
�(0. 
^(1)

quantitie. 
�(0. 
n�. 
an. 
Hw. 
dro. 
th. 
inde. 
n. 
whic. 
ha. 
th. 
valu. 


n�,n. 


. 
. 
. 
throughout. 
A. 
th. 
initia. 
se. 
o. 
eigenfunction. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
system. 
w. 
selec. 
th. 
2s. 
2p0,2p1
. 
an. 
2p�. 
atomi. 
orbital. 
a. 
give. 
b. 
equation. 
(6.59. 
an. 
(6.60). 
s. 
tha. 



9.. 
Degenerat. 
perturbatio. 
theor. 
25. 
�(0. 
�(0. 


. 
.j2si,. 
.j2p0. 


(9:73. 


�(0. 
�(0. 


. 
.j2p1i,. 
.j. 
p�1. 
Th. 
`correct'se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunctio. 
�(0. 
. 
are. 
the. 


�(0. 
c���(0)

..c�1j2si.c�2j2p0i.c�3j2p1i.c�4j2p�1i. 


. 
.1,2,3,. 
(9:74. 


Th. 
matri. 
element. 
H^
�. 
i. 
thi. 
exampl. 
ar. 
^(1. 
.e. 
h�(0)jzj�(0)i.e. 
h�(0)j. 
co. 
�j�(0. 


.2�.�.. 


�(0)�(0)

.e. 
. 
. 
co. 
�r. 
si. 
. 
d. 
d. 
d. 
(9:75. 


Thes. 
matri. 
element. 
vanis. 
unles. 
�. 
.. 
an. 
�. 
.1. 
Thus. 
onl. 
th. 


(1. 
(1)

matri. 
elemen. 
H^
. 
whic. 
equal. 
H^
. 
i. 
non-zero. 


T. 
evaluat. 
th. 
matri. 
elemen. 
H^
. 
w. 
substitut. 
th. 
2. 
wav. 
functio. 
fro. 


equatio. 
(6.59. 
an. 
th. 
2p. 
wav. 
functio. 
fro. 
equatio. 
(6.60a. 
int. 
(9.75. 


.. 
.2. 


(1. 
(1)

.H^
.e. 
[�(2a0)4

e�r=a0d. 


cos2. 
si. 
. 
d. 
d. 


02a0. 
. 


.�3e. 
a. 


wher. 
equation. 
(A.26. 
an. 
(A.28. 
ar. 
used. 
Th. 
secula. 
determinan. 
(9.65. 
i. 


�E�3e. 
a0. 
. 


�3e. 
a. 
�E0. 


0. 
�E2. 


. 
0. 
�E. 


whic. 
expand. 
t. 


(1. 
(1)

[(E). 
�(3e. 
a0)2](E). 
.. 


Th. 
fou. 
root. 
ar. 
E.�3e. 
a0,3e. 
a0. 
0. 
0. 
s. 
tha. 
t. 
�rs. 
orde. 
th. 


perturbe. 
energ. 
level. 
ar. 


E2. 
. 
�e9. 
8a. 
�3e. 
a0. 
E2. 
. 
�e9. 
8a. 
(9:76. 
E2. 
. 
�e9. 
8a. 
.3e. 
a0. 
E2. 
. 
�e9. 
8a. 


Th. 
fou. 
linea. 
homogeneou. 
simultaneou. 
equation. 
(9.64. 
ar. 



25. 
Approximatio. 
method. 


�c�. 
E(1. 
^(1. 


. 
.c�. 
H1. 
.. 
^(1. 
�c�. 
E(1)

c�. 
1. 
. 


(9:77. 


�c�. 
E(1. 


�c�. 
E(1. 


T. 
�n. 
th. 
`correct. 
se. 
o. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
�(0. 
. 
. 
w. 
substitut. 
�rs. 


(1. 
(1)

E.�3e. 
a0. 
the. 
successivel. 
E.3e. 
a0. 
0. 
. 
int. 
th. 
se. 
o. 
equation. 


(9.77). 
Th. 
result. 
ar. 
a. 
follow. 


(1. 
(1)

fo. 
E.H^
.�3e. 
a0. 
c. 
.c2. 
c. 
.c. 
.. 


(1. 
(1)

fo. 
E.�H^
.3e. 
a0. 
c. 
.�c2. 
c. 
.c. 
.. 


fo. 
E. 
.0. 
c. 
.c. 
.0. 
c. 
an. 
c. 
undetermine. 


Thus. 
th. 
`correct. 
unperturbe. 
eigenfunction. 
ar. 
�(0. 
.2�1=2

1(j2si.j2p0i. 
�(0. 
.2�1=2

2(j2si�j2p0i. 
(9:78. 


. 
.j2p1. 


. 
.j2p�1. 


Th. 
facto. 
2�1=. 
i. 
neede. 
t. 
normaliz. 
th. 
`correct. 
eigenfunctions. 


9.. 
Groun. 
stat. 
o. 
th. 
heliu. 
ato. 


I. 
thi. 
sectio. 
w. 
examin. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
o. 
th. 
heliu. 
ato. 
b. 
mean. 
o. 
bot. 
perturbatio. 
theor. 
an. 
th. 
variatio. 
method. 
W. 
ma. 
the. 
compar. 
th. 
accurac. 
o. 
th. 
tw. 
procedures. 


Th. 
potentia. 
energ. 
. 
fo. 
. 
syste. 
consistin. 
o. 
tw. 
electrons. 
eac. 
wit. 
mas. 
m. 
an. 
charg. 
�e. 
an. 
. 
nucleu. 
wit. 
atomi. 
numbe. 
. 
an. 
charg. 
.Z. 


Ze9. 
Ze9. 
e9. 


. 
.. 
. 
. 
r. 
r. 
r1. 
wher. 
r. 
an. 
r. 
ar. 
th. 
distance. 
o. 
electron. 
. 
an. 
. 
fro. 
th. 
nucleus. 
r1. 
i. 
th. 
distanc. 
betwee. 
th. 
tw. 
electrons. 
an. 
e. 
.. 
fo. 
CG. 
unit. 
o. 
e. 
.e=(4��0)1=. 
fo. 
S. 
units. 
I. 
w. 
assum. 
tha. 
th. 
nucleu. 
i. 
�xe. 
i. 
space. 
the. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
th. 
tw. 
electron. 
i. 


". 
Ze9. 
Ze9. 
e9. 


^(=. 
.=2

. 
.. 
. 
��. 
(9:79. 
2me
. 
2r. 
r. 
r1. 



9.. 
Groun. 
stat. 
o. 
th. 
heliu. 
ato. 
25. 


Th. 
operato. 
H^
applie. 
t. 
H. 
fo. 
. 
.2. 
Li. 
fo. 
. 
.3. 
Be2. 
fo. 
. 
.4. 
an. 
s. 
forth. 


Perturbatio. 
theor. 
treatmen. 


W. 
regar. 
th. 
ter. 
e92=r1. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
a. 
. 
perturbation. 
s. 


H^
.H^
(1. 
. 


(9:80. 


I. 
reality. 
thi. 
ter. 
i. 
no. 
smal. 
i. 
compariso. 
wit. 
th. 
othe. 
term. 
s. 
w. 
shoul. 
no. 
expec. 
th. 
perturbatio. 
techniqu. 
t. 
giv. 
accurat. 
results. 
Wit. 
thi. 
choic. 
fo. 
th. 
perturbation. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
ma. 
b. 
solve. 
exactly. 


Th. 
unperturbe. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
th. 
su. 
o. 
tw. 
hydrogen-lik. 
Hamiltonia. 
operators. 
on. 
fo. 
eac. 
electro. 


H^
(0. 
. 
^(0. 
(0. 


wher. 


(0. 
Ze9. 


H. 
.. 
. 
. 


2m. 
r. 


(0. 
Ze9. 


22me
. 
r. 


I. 
th. 
unperturbe. 
wav. 
functio. 
�(0. 
i. 
writte. 
a. 
th. 
produc. 
�(0)(r1. 
r2. 
.�(0)(r1)�(0. 


. 
2(r2. 
an. 
th. 
unperturbe. 
energ. 
E(0. 
i. 
writte. 
a. 
th. 
su. 
E(0. 
.E(0. 
(0. 


the. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
two-electro. 
unperturbe. 
syste. 
H^
(0)�(0)(r1. 
r2. 
.E�(0)

(r1. 
r2. 
separate. 
int. 
tw. 
independen. 
equations. 


(0)�(0. 
(0)�(0)

H. 
.E. 
. 
. 
.1. 
. 


whic. 
ar. 
identica. 
excep. 
tha. 
on. 
refer. 
t. 
electro. 
. 
an. 
th. 
othe. 
t. 
electro. 
2. 
Th. 
solution. 
ar. 
thos. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
atom. 
a. 
discusse. 
i. 
Chapte. 
6. 
Th. 
ground-stat. 
energ. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
two-electro. 
syste. 
is. 
then. 
twic. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
o. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 


Z2e9. 
Z. 
e9. 


E(0. 
.�. 


.. 
(9:81. 


2a. 
a. 


Th. 
ground-stat. 
wav. 
functio. 
fo. 
th. 
unperturbe. 
two-electro. 
syste. 
i. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
1. 
hydrogen-lik. 
atomi. 
orbital. 



25. 
Approximatio. 
method. 


Tabl. 
9.1. 
Ground-stat. 
energ. 
o. 
th. 
heliu. 


Metho. 
Energ. 
(eV. 
. 
erro. 


Exac. 
�79.. 
Perturbatio. 
theory. 


�108.. 
�37.. 


E(0. 
.E(1. 


�74.. 
.5.. 
Variatio. 
theore. 
(. 
. 
�77.. 
.1.. 


�(0)(r1. 
r2. 
. 
e�Zr1=a0e�Zr2=a0e�(r1.r2)=2

. 
(9:82. 


. 
a. 
. 
a. 


wher. 
w. 
hav. 
de�ne. 


r. 
. 
. 
. 
.1,. 
(9:83. 


Th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
i. 
obtaine. 
b. 
evaluatin. 
equatio. 
(9.24. 
wit. 
(9.80. 
a. 
th. 
perturbatio. 
an. 
(9.82. 
a. 
th. 
unperturbe. 
eigenfunctio. 


e9. 
2. 
e9. 
Ze9. 


E(1. 
. 
�(0)�(0. 
�(0)�(0)

.. 
. 
(9:84. 


r1. 
a. 
r1. 
25�. 
a. 


wher. 
r1. 
.jr. 
�r1jan. 
wher. 


e�(r1.r2. 


. 
. 


. 
si. 
�. 
si. 
�2dr1d�1dj1dr2d�2dj. 
(9:85. 


Thi. 
six-fol. 
integra. 
. 
i. 
evaluate. 
i. 
Appendi. 
. 
an. 
i. 
equa. 
t. 
20�2. 
Thus. 
w. 
hav. 


5Ze92. 


E(1. 
. 
E(0)

.. 
(9:86. 


8a0. 
. 
Th. 
ground-stat. 
energ. 
o. 
th. 
perturbe. 
syste. 
t. 
�rs. 
orde. 
is. 
the. 


5Ze9. 


. 
.E(0. 
.E(1. 
.. 


Z. 
. 
(9:87. 


an. 
E(0. 
.E(1)

Numerica. 
value. 
o. 
E(0. 
fo. 
th. 
heliu. 
ato. 
(. 
.2. 
ar. 
give. 
i. 
Tabl. 
9.. 
alon. 
wit. 
th. 
exac. 
value. 
Th. 
unperturbe. 
energ. 
valu. 


ha. 
. 
37.7. 
erro. 
whe. 
compare. 
wit. 
th. 
exac. 
value. 
Thi. 
larg. 


inaccurac. 
i. 
expecte. 
becaus. 
th. 
perturbatio. 
H. 
i. 
equatio. 
(9.80. 
i. 
no. 
small. 
Whe. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
i. 
included. 
th. 
calculate. 
energ. 
ha. 
. 
5.3. 
error. 
whic. 
i. 
stil. 
large. 



9.. 
Groun. 
stat. 
o. 
th. 
heliu. 
ato. 
25. 


Variatio. 
metho. 
treatmen. 


A. 
. 
normalize. 
tria. 
functio. 
. 
fo. 
th. 
determinatio. 
o. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
b. 
th. 
variatio. 
method. 
w. 
selec. 
th. 
unperturbe. 
eigenfunctio. 
�(0)(r1. 
r2. 
o. 
th. 
perturbatio. 
treatment. 
excep. 
tha. 
w. 
replac. 
th. 
atomi. 
numbe. 
. 
b. 
. 
paramete. 
Z. 


. 
.�1�. 


. 
Z. 
3=. 


e�Z9r1=a0

�. 
. 
(9:88. 


. 
Z. 
3=. 


e�Z9r2=a. 


Th. 
paramete. 
Z. 
i. 
a. 
effectiv. 
atomi. 
numbe. 
whos. 
valu. 
i. 
determine. 
b. 
th. 
minimizatio. 
o. 
. 
i. 
equatio. 
(9.2). 
Sinc. 
th. 
hydrogen-lik. 
wav. 
func. 
tion. 
�. 
an. 
�. 
ar. 
normalized. 
w. 
hav. 
h�1j�1i.h�2j�2i.. 
(9:89. 
Th. 
quantit. 
. 
i. 
obtaine. 
b. 
combinin. 
equation. 
(9.2). 
(9.79). 
(9.88). 
an. 
(9.89. 
t. 
giv. 


. 
". 
Ze9. 
. 
". 
Ze9. 
. 


=. 
=. 


. 
. 
�. 
�. 
�. 
. 
�. 
�. 
�2

. 
. 


2m. 
r12m. 
r. 


e9. 


. 
�1�. 
�1�. 
(9:90. 


Not. 
tha. 
whil. 
th. 
tria. 
functio. 
. 
.�1�. 
depend. 
o. 
th. 
paramete. 
Z9. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
contain. 
th. 
tru. 
atomi. 
numbe. 
Z. 
Therefore. 
w. 
rewrit. 
equatio. 
(9.90. 
i. 
th. 
for. 


". 
Z9e9. 
(Z. 
�Z)e9. 


. 
=. 
. 


. 
. 
�. 
�. 
�. 
. 
�. 
�1

. 
. 


2m. 
r. 
r. 


". 
Z9e9. 
(Z. 
�Z)e9. 


. 
=. 
. 


. 
�. 
�. 
�. 
. 
�. 
�2

. 
. 


2m. 
r. 
r. 


e9. 
. 


. 
�1�. 
�1�. 
(9:91. 


Th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
i. 
jus. 
th. 
energ. 
o. 
. 
hydrogen-lik. 
ato. 
wit. 
nuclea. 
charg. 
Z9. 
namely. 
�Z92e92=2a0. 
Th. 
thir. 
ter. 
ha. 
th. 
sam. 
valu. 
a. 
th. 
�rst. 
Th. 
secon. 
ter. 
i. 
evaluate. 
a. 
follow. 



26. 
Approximatio. 
method. 


3.

. 
Z. 
�Z)e9. 
. 
. 
Z. 
. 


. 
r�1e�. 
Z9r1=a04�r2

�1�. 
.. 
Z. 
�Z)e9. 
. 
. 
1dr. 


r. 
a0. 


.. 
Z. 
�Z)e9. 


wher. 
equation. 
(A.26. 
an. 
(A.28. 
hav. 
bee. 
used. 
Th. 
fourt. 
ter. 
equal. 
th. 
second. 
Th. 
�ft. 
ter. 
i. 
identica. 
t. 
E(1. 
o. 
th. 
perturbatio. 
treatmen. 
give. 
b. 
equatio. 
(9.86. 
excep. 
tha. 
. 
i. 
replace. 
b. 
Z. 
an. 
therefor. 
thi. 
ter. 
equal. 
5Z9e92=8a0. 
Thus. 
th. 
quantit. 
. 
i. 
equatio. 
(9.91. 
i. 


Z9. 
e9. 
Z9. 
Z. 
�Z)e925Z9e9. 
e9. 


. 
.. 
�.. 
... 
Z9. 
�2(. 
. 
5. 
Z9. 


2a. 
a08a. 
16a. 


(9:92. 
W. 
nex. 
minimiz. 
. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
paramete. 
Z. 
d. 
e9. 


.2[Z. 
�(. 
�. 
). 
.. 


dZ. 
16a. 
s. 
tha. 


Z. 
.. 
�. 


Substitutin. 
thi. 
resul. 
int. 
equatio. 
(9.92. 
give. 


. 
.�(. 
�. 
). 
. 
E. 
(9:93. 


a. 
a. 
uppe. 
boun. 
fo. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
E0. 
Whe. 
applie. 
t. 
th. 
heliu. 
ato. 
(. 
.2). 
thi. 
uppe. 
boun. 
i. 


2. 
. 
e9. 
e9. 


. 
.. 
.�2:8. 
(9:94. 


1. 
a. 
a. 
Th. 
numerica. 
valu. 
o. 
. 
i. 
liste. 
i. 
Tabl. 
9.1. 
Th. 
simpl. 
variatio. 
functio. 
(9.88. 
give. 
a. 
uppe. 
boun. 
t. 
th. 
energ. 
wit. 
. 
1.9. 
erro. 
i. 
compariso. 
wit. 
th. 
exac. 
value. 
Thus. 
th. 
variatio. 
theore. 
lead. 
t. 
. 
mor. 
accurat. 
resul. 
tha. 
th. 
perturbatio. 
treatment. 
Moreover. 
. 
mor. 
comple. 
tria. 
functio. 
wit. 
mor. 
parameter. 
shoul. 
b. 
expecte. 
t. 
giv. 
a. 
eve. 
mor. 
accurat. 
estimate. 


Problem. 


9.. 
Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
fo. 
. 
hydroge. 
ato. 
i. 
. 
unifor. 
externa. 
electri. 
�el. 
. 
alon. 
th. 
z-coordinat. 
axi. 
i. 
�". 
e9. 


. 
. 
=. 
��eE. 



Problem. 
26. 


Us. 
th. 
variatio. 
tria. 
functio. 
. 
.�1. 
(. 
.�z). 
wher. 
. 
i. 
th. 
variatio. 
parameter. 
t. 
estimat. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
fo. 
thi. 
system. 


9.. 
Appl. 
th. 
gaussia. 
functio. 


. 
.e��r2=a. 


wher. 
. 
i. 
. 
parameter. 
a. 
th. 
variatio. 
tria. 
functio. 
t. 
estimat. 
th. 
energ. 
o. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
th. 
hydroge. 
atom. 
Wha. 
i. 
th. 
percen. 
error. 


9.. 
Appl. 
th. 
variatio. 
tria. 
functio. 
�(x. 
.x(. 
�x)(. 
�2x. 
t. 
estimat. 
th. 
energ. 
o. 
. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
wit. 
. 
(x. 
.. 
fo. 
. 
. 
. 
. 
a. 
. 
(x. 
.1fo. 
. 
. 
0. 
. 
. 
a. 
T. 
whic. 
energ. 
leve. 
doe. 
thi. 
estimat. 
apply. 


9.. 
Conside. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
potentia. 
wel. 
suc. 
tha. 
. 
(x. 
.(b"2=ma4)x(. 
�a). 
. 
. 
. 
. 
. 


.1. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


wher. 
. 
i. 
. 
dimensionles. 
parameter. 
Usin. 
th. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
wit. 
. 
(x. 
.. 
fo. 
. 
. 
. 
. 
a. 
. 
(x. 
.1fo. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 
a. 
th. 
unperturbe. 
system. 
calculat. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
t. 
th. 
energ. 
levels. 
(Se. 
Appendi. 
. 
fo. 
th. 
evaluatio. 
o. 
th. 
resultin. 
integrals.. 


9.. 
Conside. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
potentia. 
wel. 
suc. 
tha. 
. 
(x. 
.(b"2=ma3)x,. 
. 
. 
. 
. 


.1. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


wher. 
. 
i. 
. 
dimensionles. 
parameter. 
Usin. 
th. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
wit. 
V(x. 
.. 
fo. 
. 
. 
. 
. 
a. 
. 
(x. 
.1fo. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 
a. 
th. 
unperturbe. 
system. 
calculat. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
t. 
th. 
energ. 
levels. 
(Se. 
Appendi. 
. 
fo. 
th. 
evaluatio. 
o. 
th. 
resultin. 
integral.. 


9.. 
Calculat. 
th. 
second-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
fo. 
th. 
syste. 
i. 
proble. 
9.5. 
(Us. 
integratio. 
b. 
part. 
an. 
se. 
Appendi. 
. 
fo. 
th. 
evaluatio. 
o. 
th. 
resultin. 
integral.. 


9.. 
Appl. 
th. 
linea. 
variatio. 
functio. 
. 
.c1(2=a)1=. 
sin(�x=a. 
.c2(2=a)1=. 
sin(2�x=a. 
fo. 
. 
. 
. 
. 
. 
t. 
th. 
syste. 
i. 
proble. 
9.5. 
Se. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
th. 
potentia. 
equa. 
t. 
�2=8. 
Solv. 
th. 
secula. 
equatio. 
t. 
obtai. 
estimate. 
fo. 
th. 
energie. 
E. 
an. 
E. 
o. 
th. 
groun. 
stat. 
an. 
�rst-excite. 
state. 
Compar. 
thi. 
estimat. 
fo. 
E. 
wit. 
th. 
ground-stat. 
energie. 
obtaine. 
b. 
�rst-orde. 
an. 
second-orde. 
perturba. 
tio. 
theory. 
The. 
determin. 
th. 
variatio. 
function. 
�. 
an. 
�. 
tha. 
correspon. 
t. 
E. 
an. 
E2. 
9.. 
Conside. 
. 
particl. 
i. 
. 
one-dimensiona. 
champagn. 
bottle. 
fo. 
whic. 
. 
(x. 
.(�2"2=8ma2. 
sin(�x=a). 
. 
. 
. 
. 
. 


.1. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


G. 
R. 
Mille. 
(1979. 
J. 
Chem. 
Educ. 
56. 
709. 



26. 
Approximatio. 
method. 


Calculat. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
t. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
leve. 
usin. 
th. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
wit. 
. 
(x. 
.0fo. 
. 
. 
. 
. 
a. 
. 
(x. 
.. 
fo. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 
a. 
th. 
unperturbe. 
system. 
The. 
calculat. 
th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
t. 
th. 
ground-stat. 
wav. 
function. 
terminatin. 
th. 
expansio. 
afte. 
th. 
ter. 
. 
.5. 
(Se. 
Appendi. 
. 
fo. 
trigonometri. 
identitie. 
an. 
integrals.. 


9.. 
Usin. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
theory. 
determin. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
o. 
. 
hydroge. 
ato. 
i. 
whic. 
th. 
nucleu. 
i. 
no. 
regarde. 
a. 
. 
poin. 
charge. 
Instead. 
regar. 
th. 
nucleu. 
a. 
. 
spher. 
o. 
radiu. 
. 
throughou. 
whic. 
th. 
charg. 
.. 
i. 
evenl. 
distributed. 
Th. 
potentia. 
o. 
interactio. 
betwee. 
th. 
nucleu. 
an. 
th. 
electro. 
i. 


�e9. 
r. 


V(r. 
. 
. 
. 
,. 
. 
. 
. 
. 


. 
. 
. 
. 
. 


Th. 
unperturbe. 
syste. 
is. 
o. 
course. 
th. 
hydroge. 
ato. 
wit. 
. 
poin. 
nucleus. 
(Insid. 
th. 
nuclea. 
sphere. 
th. 
exponentia. 


e�2r=a. 


.. 
�(2r=a0. 
.(2r2=a2. 
�

. 


ma. 
b. 
approximate. 
b. 
unit. 
becaus. 
. 
i. 
ver. 
smal. 
i. 
tha. 
region.. 


9.1. 
Usin. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
theory. 
sho. 
tha. 
th. 
spin�orbi. 
interactio. 
energ. 
fo. 
. 
hydroge. 
ato. 
i. 
give. 
b. 


1�2jE(0. 


. 
. 
. 
fo. 
. 
. 
. 
.21. 
. 
6.. 


n(. 
.12)(. 
.1. 


�2jE(0)

�. 
. 
fo. 
. 
. 
. 
�1. 
. 
6.0

. 
. 
nl(. 
.1. 
2

Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
i. 
give. 
i. 
equatio. 
(7.33). 
wher. 
H. 
represent. 
th. 
unperturbe. 
syste. 
an. 
H^
s. 
i. 
th. 
perturbation. 
Us. 
equation. 
(6.74. 
an. 
(6.78. 
t. 
evaluat. 
th. 
expectatio. 
valu. 
o. 
�(r). 



Molecula. 
structur. 


. 
molecul. 
i. 
compose. 
o. 
positivel. 
charge. 
nucle. 
surrounde. 
b. 
electrons. 
Th. 
stabilit. 
o. 
. 
molecul. 
i. 
du. 
t. 
. 
balanc. 
amon. 
th. 
mutua. 
repulsion. 
o. 
nuclea. 
pairs. 
attraction. 
o. 
nuclear�electro. 
pairs. 
an. 
repulsion. 
o. 
electro. 
pair. 
a. 
modi�e. 
b. 
th. 
interaction. 
o. 
thei. 
spins. 
Bot. 
th. 
nucle. 
an. 
th. 
electron. 
ar. 
i. 
constan. 
motio. 
relativ. 
t. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
molecule. 
However. 
th. 
nuclea. 
masse. 
ar. 
muc. 
greate. 
tha. 
th. 
electroni. 
mas. 
and. 
a. 
. 
result. 
th. 
nucle. 
mov. 
muc. 
mor. 
slowl. 
tha. 
th. 
electrons. 
Thus. 
th. 
basi. 
molecula. 
structur. 
i. 
. 
stabl. 
framewor. 
o. 
nucle. 
undergoin. 
rotationa. 
an. 
vibrationa. 
motion. 
surrounde. 
b. 
. 
clou. 
o. 
electron. 
describe. 
b. 
th. 
electroni. 
probabilit. 
density. 


I. 
thi. 
chapte. 
w. 
presen. 
i. 
detai. 
th. 
separatio. 
o. 
th. 
nuclea. 
an. 
electroni. 
motions. 
th. 
nuclea. 
motio. 
withi. 
. 
molecule. 
an. 
th. 
couplin. 
betwee. 
nuclea. 
an. 
electroni. 
motion. 


10.. 
Nuclea. 
structur. 
an. 
motio. 


W. 
conside. 
. 
molecul. 
wit. 
. 
nuclei. 
eac. 
wit. 
atomi. 
numbe. 
Z. 
an. 
mas. 
M. 
(. 
. 
1. 
2. 
.... 
�). 
an. 
. 
electrons. 
eac. 
o. 
mas. 
me. 
W. 
denot. 
b. 
. 
th. 
se. 
o. 
al. 
nuclea. 
coordinate. 
an. 
b. 
. 
th. 
se. 
o. 
al. 
electroni. 
coordinates. 
Th. 
position. 
o. 
th. 
nucle. 
an. 
electron. 
ar. 
speci�e. 
relativ. 
t. 
a. 
externa. 
se. 
o. 


coordinat. 
axe. 
whic. 
ar. 
�xe. 
i. 
space. 
Th. 
Hamiltonia. 
operato. 
^. 
fo. 
thi. 
syste. 
o. 
. 
. 
. 
particle. 
ma. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 
^. 
. 
.
^T
. 
. 
V. 
. 
^H
. 
(10:1. 


wher. 
.
^T. 
i. 
th. 
kineti. 
energ. 
operato. 
fo. 
th. 
nucle. 



26. 
Molecula. 
structur. 


.
^T. 
.�". 
(10:2. 
�.12M. 


V. 
i. 
th. 
potentia. 
energ. 
o. 
interactio. 
betwee. 
nuclea. 
pair. 


XZ. 
Z. 
e9. 
V. 
. 
(10:3. 


. 
. 
�.. 


an. 
H^
i. 
th. 
electroni. 
Hamiltonia. 
operato. 


". 
XXXZ�e9. 
Xe9. 


H. 
.. 
. 
�. 
(10:4. 


2m. 
r�. 
rij

i.. 
�.. 
i.. 
. 
. 
j.. 


Th. 
symbol. 
=. 
. 
an. 
=. 
. 
are. 
respectively. 
th. 
laplacia. 
operator. 
fo. 
. 
singl. 
nucleu. 
an. 
. 
singl. 
electron. 
Th. 
variabl. 
r�. 
i. 
th. 
distanc. 
betwee. 
nucle. 
. 
an. 
�. 
r�. 
th. 
distanc. 
betwee. 
nucleu. 
. 
an. 
electro. 
i. 
an. 
ri. 
th. 
distanc. 
betwee. 
electron. 
. 
an. 
j. 
Th. 
summation. 
ar. 
take. 
ove. 
eac. 
pai. 
o. 
particles. 
Th. 
quantit. 
e. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
electroni. 
charg. 
. 
i. 
CG. 
unit. 
an. 
t. 
e=(4��0)1=. 
i. 
S. 
units. 
wher. 
�. 
i. 
th. 
permittivit. 
o. 
fre. 
space. 


Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
molecul. 
i. 


H�(r. 
Q. 
.E�(r. 
Q. 
(10:5. 
wher. 
�(r. 
Q. 
i. 
a. 
eigenfunctio. 
an. 
. 
th. 
correspondin. 
eigenvalue. 
Th. 
differentia. 
equatio. 
(10.5. 
canno. 
b. 
solve. 
a. 
i. 
stand. 
becaus. 
ther. 
ar. 
to. 
man. 
variables. 
However. 
approximate. 
bu. 
ver. 
accurate. 
solution. 
ma. 
b. 
foun. 
i. 
th. 
equatio. 
i. 
simpli�e. 
b. 
recognizin. 
tha. 
th. 
nucle. 
an. 
th. 
electron. 
diffe. 
greatl. 
i. 
mas. 
and. 
a. 
. 
result. 
diffe. 
greatl. 
i. 
thei. 
relativ. 
speed. 
o. 
motion. 


Born�Oppenheime. 
approximatio. 


Th. 
simples. 
approximat. 
metho. 
fo. 
solvin. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(10.5. 
use. 
th. 
so-calle. 
Born�Oppenheime. 
approximation. 
Thi. 
metho. 
i. 
. 
two. 
ste. 
process. 
Th. 
�rs. 
ste. 
i. 
t. 
recogniz. 
tha. 
th. 
nucle. 
ar. 
muc. 
heavie. 
tha. 
a. 
electro. 
and. 
consequently. 
mov. 
ver. 
slowl. 
i. 
compariso. 
wit. 
th. 
electroni. 
motion. 
Thus. 
th. 
electroni. 
par. 
o. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
ma. 
b. 
solve. 
unde. 
th. 
conditio. 
tha. 
th. 
nucle. 
ar. 
motionless. 
Th. 
resultin. 
electroni. 
energ. 
ma. 
the. 
b. 
determine. 
fo. 
man. 
differen. 
�xe. 
nuclea. 
con�gurations. 
I. 
th. 
secon. 
step. 
th. 
nuclea. 
par. 
o. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
i. 
solve. 
b. 
regardin. 
th. 
motio. 
o. 
th. 
nucle. 
a. 
takin. 
plac. 
i. 
th. 
averag. 
potentia. 
�el. 
create. 
b. 
th. 
fast-movin. 
electrons. 


I. 
th. 
�rs. 
ste. 
o. 
th. 
Born�Oppenheime. 
approximation. 
th. 
nucle. 
ar. 
al. 
hel. 
a. 
�xe. 
equilibriu. 
positions. 
Thus. 
th. 
coordinate. 
. 
d. 
no. 
chang. 
wit. 



10.. 
Nuclea. 
structur. 
an. 
motio. 
26. 


tim. 
an. 
th. 
kineti. 
energ. 
operato. 
.
^T. 
i. 
equatio. 
(10.2. 
vanishes. 
Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(10.5. 
unde. 
thi. 
conditio. 
become. 


(H^
VQ)�k(r. 
Q. 
. 
�k(Q)�k(r. 
Q. 
(10:6. 
wher. 
th. 
coordinate. 
. 
ar. 
n. 
longe. 
variables. 
bu. 
rathe. 
ar. 
constan. 
parameters. 
Fo. 
eac. 
electroni. 
stat. 
k. 
th. 
electroni. 
energ. 
�k(Q. 
o. 
th. 
molecul. 
an. 
th. 
eigenfunctio. 
�k(r. 
Q. 
depen. 
parametricall. 
o. 
th. 
�xe. 
value. 
o. 
th. 
coordinate. 
Q. 
Th. 
nuclear�nuclea. 
interactio. 
potentia. 
V. 
i. 
no. 
. 
constan. 
an. 
it. 
valu. 
i. 
include. 
i. 
�k(Q). 


W. 
assum. 
i. 
thi. 
sectio. 
an. 
i. 
Sectio. 
10.. 
tha. 
equatio. 
(10.6. 
ha. 
bee. 
solve. 
an. 
tha. 
th. 
eigenfunction. 
�k(r. 
Q. 
an. 
eigenvalue. 
�k(Q. 
ar. 
know. 
fo. 
an. 
arbitrar. 
se. 
o. 
value. 
fo. 
th. 
parameter. 
Q. 
Further. 
w. 
assum. 
tha. 
th. 
eigenfunction. 
for. 
. 
complet. 
orthonorma. 
set. 
s. 
tha. 


�. 
. 
(r. 
Q)��(r. 
Q)d. 
. 
�k. 
(10:7. 


I. 
th. 
secon. 
ste. 
o. 
th. 
Born�Oppenheime. 
approximation. 
th. 
energ. 
�k(Q. 
i. 
use. 
a. 
. 
potentia. 
energ. 
functio. 
t. 
trea. 
th. 
nuclea. 
motion. 
I. 
thi. 
case. 
equatio. 
(10.5. 
become. 


[.
^T. 
. 
�k(Q)]�k�(Q. 
. 
Ek��k�(Q. 
(10:8. 
wher. 
th. 
nuclea. 
wav. 
functio. 
�k�(Q. 
depend. 
o. 
th. 
nuclea. 
coordinate. 
. 
an. 
o. 
th. 
electroni. 
stat. 
k. 
Eac. 
electroni. 
stat. 
. 
give. 
ris. 
t. 
. 
serie. 
o. 
nuclea. 
states. 
indexe. 
b. 
�. 
Thus. 
fo. 
eac. 
electroni. 
stat. 
k. 
th. 
eigenfunc. 
tion. 
o. 
[.
^T. 
. 
�k(Q). 
ar. 
�k�(Q. 
wit. 
eigenvalue. 
Ek�. 
I. 
practice. 
th. 
nuclea. 
state. 
ar. 
differentiate. 
b. 
severa. 
quantu. 
numbers. 
th. 
inde. 
. 
represents. 
then. 
. 
se. 
o. 
thes. 
quantu. 
numbers. 
I. 
th. 
solutio. 
o. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(10.8). 
th. 
nuclea. 
coordinate. 
. 
i. 
�k(Q. 
ar. 
treate. 
a. 
variables. 
Th. 
nuclea. 
energ. 
Ek�. 
o. 
course. 
doe. 
no. 
depen. 
o. 
an. 
parameters. 
Mos. 
application. 
o. 
equatio. 
(10.8. 
ar. 
t. 
molecule. 
i. 
thei. 
electroni. 
groun. 
state. 
(. 
. 
0). 
I. 
th. 
origina. 
mathematica. 
treatment. 
o. 
nuclea. 
an. 
electroni. 
motion. 
M. 
Bor. 
an. 
J. 
R. 
Oppenheime. 
(1927. 
applie. 
perturbatio. 
theor. 
t. 
equatio. 
(10.5. 
usin. 
th. 
kineti. 
energ. 
operato. 
.
^T. 
fo. 
th. 
nucle. 
a. 
th. 
perturbation. 
Th. 
prope. 
choic. 
fo. 
th. 
expansio. 
paramete. 
i. 
. 
. 
(me=M)1=4. 
wher. 
. 
i. 
th. 
mea. 
nuclea. 
mas. 


Whe. 
term. 
u. 
t. 
�. 
ar. 
retained. 
th. 
exac. 
tota. 
energ. 
o. 
th. 
molecul. 
i. 


M. 
Bor. 
an. 
J. 
R. 
Oppenheime. 
(1927. 
Ann. 
Physi. 
84. 
457. 



26. 
Molecula. 
structur. 


approximate. 
b. 
th. 
energ. 
Ek. 
o. 
equatio. 
(10.8. 
an. 
th. 
eigenfunctio. 
�(Q. 
r. 
i. 
approximate. 
b. 
th. 
produc. 


�(Q. 
r. 
. 
�k�(Q)�k(Q. 
r. 
(10:9. 


Perturbatio. 
term. 
i. 
th. 
Hamiltonia. 
operato. 
u. 
t. 
�. 
stil. 
lea. 
t. 
th. 
uncouplin. 
o. 
th. 
nuclea. 
an. 
electroni. 
motions. 
bu. 
chang. 
th. 
for. 
o. 
th. 
electroni. 
potentia. 
energ. 
functio. 
i. 
th. 
equatio. 
fo. 
th. 
nuclea. 
motion. 
Rathe. 
tha. 
presen. 
th. 
detail. 
o. 
th. 
Born�Oppenheime. 
perturbatio. 
expan. 
sion. 
w. 
follo. 
instea. 
th. 
equivalent. 
bu. 
mor. 
elegan. 
procedure. 
o. 
M. 
Bor. 
an. 
K. 
Huan. 
(1954). 


Born�Huan. 
treatmen. 


Unde. 
th. 
assumptio. 
tha. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(10.6. 
ha. 
bee. 
solve. 
fo. 
th. 
complet. 
se. 
o. 
orthonorma. 
eigenfunction. 
�k(r. 
Q). 
w. 
ma. 
expan. 
th. 
eigenfunctio. 
�(r. 
Q. 
o. 
equatio. 
(10.5. 
i. 
term. 
o. 
�k(r. 
Q. 


�(r. 
Q. 
. 
��(Q)��(r. 
Q. 
(10:10. 


wher. 
��(Q. 
ar. 
th. 
expansio. 
coef�cients. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(10.10. 
int. 
(10.5. 
usin. 
(10.1. 
give. 


(.
^T. 
. 
V. 
. 
H^
. 
. 
E)��(Q)��(r. 
Q. 
. 
. 
(10:11. 


wher. 
th. 
operator. 
hav. 
bee. 
place. 
insid. 
th. 
summation. 
Sinc. 
th. 
operato. 


H. 
commute. 
wit. 
th. 
functio. 
��(Q). 
w. 
ma. 
substitut. 
equatio. 
(10.6. 
int. 
(10.11. 
t. 
obtai. 


[.
^T. 
. 
��(Q. 
. 
E]��(Q)��(r. 
Q. 
. 
. 
(10:12. 


W. 
nex. 
multipl. 
equatio. 
(10.12. 
b. 
�. 
. 
(r. 
Q. 
an. 
integrat. 
ove. 
th. 
se. 
o. 
electroni. 
coordinate. 
r. 
givin. 


�. 
. 
(r. 
Q).
^TQ[��(Q)��(r. 
Q). 
d. 
. 
[�k(Q. 
. 
E]�k(Q. 
. 
. 
(10:13. 


wher. 
w. 
hav. 
use. 
th. 
orthonorma. 
propert. 
(equatio. 
(10.7)). 
Th. 
operato. 
.
^T. 
act. 
o. 
bot. 
function. 
i. 
th. 
produc. 
��(Q)��(r. 
Q. 
an. 
involve. 
th. 
secon. 
derivativ. 
wit. 
respec. 
t. 
th. 
nuclea. 
coordinate. 
Q. 
T. 
expan. 
th. 
expressio. 
.
^TQ[��(Q)��(r. 
Q)]. 
w. 
not. 
tha. 


M. 
Bor. 
an. 
K. 
Huan. 
(1954. 
Dynamica. 
Theor. 
o. 
Crysta. 
Lattice. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 
pp. 
406�7. 



10.. 
Nuclea. 
structur. 
an. 
motio. 
26. 


=��. 
.�=�. 
.�=�. 


=. 
��. 
.�=. 
�. 
.�=. 
�. 
.2=�. 
. 
=�. 


Therefore. 
w. 
obtai. 


.
^TQ[��(Q)��(r. 
Q). 
.�". 
=. 
�[��(Q)��(r. 
Q). 
�.12M. 


.��(r. 
Q).
^TQ��(Q. 
.��(Q).
^TQ��(r. 
Q. 


�"2. 
=���(Q. 
. 
=���(r. 
Q. 
(10:14. 
�.. 
M. 


Substitutio. 
o. 
equatio. 
(10.14. 
int. 
(10.13. 
yield. 


[.
^T. 
.�k(Q. 
�E]�k(Q. 
. 
(ck. 
.�^
k�)��(Q. 
.. 
(10:15. 


wher. 
th. 
coef�cient. 
ck�(Q. 
an. 
th. 
operator. 
�^
k. 
ar. 
de�ne. 
b. 


ck�(Q. 
. 
�. 
(r. 
Q).
^TQ��(r. 
Q)d. 
(10:16. 


�^
k. 
�". 
�. 
. 
(r. 
Q)=���(r. 
Q)d. 
. 
=. 
(10:17. 
�.. 
M. 


an. 
equatio. 
(10.7. 
ha. 
bee. 
used. 
Sinc. 
w. 
hav. 
assume. 
tha. 
th. 
electroni. 
eigenfunction. 
�k(r. 
Q. 
ar. 
know. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
th. 
parameter. 
Q. 
th. 


coef�cient. 
ck�(Q. 
an. 
th. 
operator. 
�k. 
ma. 
b. 
determined. 
Th. 
se. 
o. 
couple. 
equation. 
(10.15. 
fo. 
th. 
function. 
�k(Q. 
i. 
exact. 
Th. 
integra. 
. 
containe. 
i. 
th. 
operato. 
�^
k. 
i. 


. 
. 
�. 
. 
(r. 
Q)=��k(r. 
Q)d. 


Fo. 
stationar. 
states. 
th. 
eigenfunction. 
�k(r. 
Q. 
ma. 
b. 
chose. 
t. 
b. 
rea. 
functions. 
s. 
tha. 
thi. 
integra. 
ca. 
als. 
b. 
writte. 
a. 


. 
.1[�k(r. 
Q)]. 
d. 


Accordin. 
t. 
equatio. 
(10.7). 
th. 
integra. 
. 
vanishe. 
and. 
therefore. 
w. 
hav. 


�k. 
.0. 
W. 
no. 
writ. 
equatio. 
(10.15. 
a. 


[.
^T. 
.Uk(Q. 
�E]�k(Q. 
. 
(ck. 
.�^
k�)��(Q. 
.. 
(10:18. 
�(6.k. 


wher. 
Uk(Q. 
i. 
de�ne. 
b. 



26. 
Molecula. 
structur. 


Uk(Q. 
. 
�k(Q. 
. 
ckk(Q. 
(10:19. 


Th. 
�rs. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(10.18. 
ha. 
th. 
for. 
o. 
. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
nuclea. 
motion. 
s. 
tha. 
w. 
ma. 
identif. 
th. 
expansio. 
coef�cien. 
�k(Q. 
a. 
. 
nuclea. 
wav. 
functio. 
fo. 
th. 
electroni. 
stat. 
k. 
Th. 
secon. 
ter. 
couple. 
th. 
in�uenc. 
o. 
al. 
th. 
othe. 
electroni. 
state. 
t. 
th. 
nuclea. 
motio. 
fo. 
. 
molecul. 
i. 
th. 
electroni. 
stat. 
k. 


I. 
th. 
coef�cient. 
ckk(Q. 
an. 
ck�(Q. 
an. 
th. 
operator. 
�^
k. 
ar. 
suf�cientl. 
small. 
th. 
summatio. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(10.18. 
an. 
ckk(Q)i. 
(10.19. 
ma. 
b. 
neglected. 
givin. 
. 
zeroth-orde. 
equatio. 
fo. 
th. 
nuclea. 
motio. 


[.
^T. 
. 
�k(Q. 
. 
E(0. 
k. 
]�(0. 


k. 
(Q. 
. 
. 
(10:20. 


wher. 
�(0. 
k. 
(Q. 
an. 
E(0. 
k. 
ar. 
th. 
zeroth-orde. 
approximation. 
t. 
th. 
nuclea. 
wav. 
function. 
an. 
energ. 
levels. 
Th. 
inde. 
. 
represent. 
. 
se. 
o. 
quantu. 
number. 
whic. 
determin. 
th. 
nuclea. 
state. 
Th. 
neglec. 
o. 
thes. 
coef�cient. 
an. 
operator. 
i. 
th. 
Born�Oppenheime. 
approximatio. 
an. 
equatio. 
(10.20. 
i. 
identica. 
t. 
(10.8). 
Furthermore. 
th. 
molecula. 
wav. 
functio. 
�(r. 
Q)i. 
equatio. 
(10.10. 
reduce. 
t. 
th. 
produc. 
o. 
. 
nuclea. 
an. 
a. 
electroni. 
wav. 
functio. 
a. 
show. 
i. 
equatio. 
(10.9). 


Whe. 
th. 
couplin. 
coef�cient. 
ck. 
fo. 
. 
6
an. 
th. 
couplin. 
operator. 
�^
k. 
ar. 
neglected. 
bu. 
th. 
coef�cien. 
ckk(Q. 
i. 
retained. 
equatio. 
(10.18. 
become. 
[.
^T. 
. 
Uk(Q. 
. 
E(1. 
k. 
]�(1. 


k. 
(Q. 
. 
. 
(10:21. 


wher. 
�(1. 
k. 
(Q. 
an. 
E(1. 
ar. 
th. 
�rst-orde. 
approximation. 
t. 
th. 
nuclea. 
wav. 


function. 
an. 
energ. 
levels. 
Sinc. 
th. 
ter. 
ckk(Q. 
i. 
adde. 
t. 
�k(Q. 
i. 
thi. 
approximation. 
equatio. 
(10.21. 
i. 
differen. 
fro. 
(10.20. 
and. 
therefore. 


k. 
(Q. 
an. 
E(1. 
diffe. 
fro. 
�(0. 
k. 
(Q. 
an. 
Ek
(0. 
. 
. 
I. 
thi. 
�rst-orde. 
approximation. 


th. 
molecula. 
wav. 
functio. 
�(r. 
Q. 
i. 
equatio. 
(10.10. 
als. 
take. 
th. 
for. 
o. 
(10.9). 
Th. 
facto. 
�(1. 
k. 
(Q. 
describe. 
th. 
nuclea. 
motion. 
whic. 
take. 
plac. 
i. 
. 
potentia. 
�el. 
Uk(Q. 
determine. 
b. 
th. 
electron. 
movin. 
a. 
thoug. 
th. 
nucle. 
wer. 
�xe. 
i. 
thei. 
instantaneou. 
positions. 
Thus. 
th. 
electroni. 
stat. 
o. 
th. 
molecul. 
change. 
i. 
. 
continuou. 
manne. 
a. 
th. 
nucle. 
mov. 
slowl. 
i. 
compariso. 
wit. 
th. 
electroni. 
motion. 
I. 
thi. 
situation. 
th. 
electron. 
ar. 
sai. 
t. 
follo. 
th. 
nucle. 
adiabaticall. 
an. 
thi. 
�rst-orde. 
approximatio. 
i. 
know. 
a. 
th. 
adiabati. 
approximation. 
Thi. 
adiabati. 
featur. 
doe. 
no. 
occu. 
i. 
higher-orde. 
approximations. 
i. 
whic. 
couplin. 
term. 
appear. 


A. 
analysi. 
usin. 
perturbatio. 
theor. 
show. 
tha. 
th. 
in�uenc. 
o. 
th. 
couplin. 
term. 
wit. 
ck�(Q. 
an. 
�^
k. 
i. 
smal. 
whe. 
th. 
electroni. 
energ. 
level. 
�k(Q. 
an. 
��(Q. 
ar. 
no. 
closel. 
spaced. 
Sinc. 
th. 
ground-stat. 
electroni. 
energ. 
o. 
. 
molecul. 
i. 
usuall. 
widel. 
separate. 
fro. 
th. 
�rst-excite. 



10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 
26. 


electroni. 
energ. 
level. 
th. 
Born�Oppenheime. 
approximatio. 
an. 
especiall. 
th. 
adiabati. 
approximatio. 
ar. 
quit. 
accurat. 
fo. 
th. 
electroni. 
groun. 
state. 
Th. 
in�uenc. 
o. 
th. 
couplin. 
term. 
fo. 
th. 
�rs. 
fe. 
excite. 
electroni. 
energ. 
level. 
ma. 
the. 
b. 
calculate. 
usin. 
perturbatio. 
theory. 


10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 


Th. 
applicatio. 
o. 
th. 
Born�Oppenheime. 
an. 
th. 
adiabati. 
approximation. 
t. 
separat. 
nuclea. 
an. 
electroni. 
motion. 
i. 
bes. 
illustrate. 
b. 
treatin. 
th. 
simples. 
example. 
. 
diatomi. 
molecul. 
i. 
it. 
electroni. 
groun. 
state. 
Th. 
diatomi. 
molecul. 
i. 
suf�cientl. 
simpl. 
tha. 
w. 
ca. 
als. 
introduc. 
center-of. 
mas. 
coordinate. 
an. 
sho. 
explicitl. 
ho. 
th. 
translationa. 
motio. 
o. 
th. 
molecul. 
a. 
. 
whol. 
i. 
separate. 
fro. 
th. 
interna. 
motio. 
o. 
th. 
nucle. 
an. 
electrons. 


Center-of-mas. 
coordinate. 


Th. 
tota. 
numbe. 
o. 
spatia. 
coordinate. 
fo. 
. 
molecul. 
wit. 
. 
nucle. 
an. 
. 
electron. 
i. 
3(. 
. 
N). 
becaus. 
eac. 
particl. 
require. 
thre. 
cartesia. 
coordi. 
nate. 
t. 
specif. 
it. 
location. 
However. 
i. 
th. 
motio. 
o. 
eac. 
particl. 
i. 
referre. 
t. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
molecul. 
rathe. 
tha. 
t. 
th. 
externa. 
spaced-�xe. 
coordinat. 
axes. 
the. 
th. 
thre. 
translationa. 
coordinate. 
tha. 
specif. 
th. 
locatio. 
o. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
relativ. 
t. 
th. 
externa. 
axe. 
ma. 
b. 
separate. 
ou. 
an. 
eliminate. 
fro. 
consideration. 
Fo. 
. 
diatomi. 
molecul. 
(. 
. 
2. 
w. 
ar. 
lef. 
wit. 
onl. 
thre. 
relativ. 
nuclea. 
coordinate. 
an. 
wit. 
3. 
relativ. 
electroni. 
coordinates. 
Fo. 
mathematica. 
convenience. 
w. 
selec. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
nucle. 
a. 
th. 
referenc. 
poin. 
rathe. 
tha. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
nucle. 
an. 
electron. 
together. 
Th. 
differenc. 
i. 
negligibl. 
small. 
W. 
designat. 
th. 
tw. 
nucle. 
a. 
. 
an. 
B. 
an. 
introduc. 
. 
ne. 
se. 
o. 
nuclea. 
coordinate. 
de�ne. 
b. 


. 
. 
M. 
. 
Q. 
. 
M. 
. 
Q. 
(10:22a. 
. 
. 
Q. 
. 
Q. 
(10:22b. 


wher. 
. 
locate. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
nucle. 
i. 
th. 
externa. 
coordinat. 
system. 
. 
i. 
th. 
vecto. 
distanc. 
betwee. 
th. 
tw. 
nuclei. 
an. 
. 
i. 
th. 
su. 
o. 
th. 
nuclea. 
masse. 


. 
. 
M. 
. 
M. 
Th. 
kineti. 
energ. 
operato. 
.
^T. 
fo. 
th. 
tw. 
nuclei. 
a. 
give. 
b. 
equatio. 
(10.2). 
i. 



27. 
Molecula. 
structur. 


�". 
=. 
=. 


.
^T. 
. 
. 
. 
. 
(10:23. 


. 
M. 
M. 


Th. 
laplacia. 
operator. 
i. 
equatio. 
(10.23. 
refe. 
t. 
th. 
spaced-�xe. 
coordi. 
nate. 
Q. 
wit. 
component. 
Qx�. 
Qy�. 
Qz�. 
s. 
tha. 


=. 
. 
... 
. 
. 
. 
A. 
. 


@Q. 
@Q. 
@Q. 


x. 
y. 
z. 


However. 
thes. 
operator. 
chang. 
thei. 
for. 
whe. 
th. 
referenc. 
coordinat. 
syste. 
i. 
transforme. 
fro. 
spac. 
�xe. 
t. 
cente. 
o. 
mass. 
T. 
transfor. 
thes. 
laplacia. 
operator. 
t. 
th. 
coordinate. 
. 
an. 
R. 
wit. 
component. 
Xx. 
Xy. 
X. 
an. 
Rx. 
Ry. 
Rz. 
respectively. 
w. 
not. 
tha. 
@. 
X. 
@. 
R. 
. 
M. 
@. 


@Qx. 
@Qx. 
. 
X. 
@Qx. 
. 
R. 
. 
. 
X. 
. 
R. 
@. 
X. 
@. 
R. 
. 
M. 
@. 


@Qx. 
@Qx. 
. 
X. 
@Qx. 
. 
R. 
. 
. 
X. 
. 
R. 


fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


M. 
2M. 


@Q. 
. 
. 
. 
. 
. 
R. 
. 
. 
Xx. 
R. 


M. 
2M. 


@Q. 
. 
. 
. 
. 
. 
R. 
. 
. 
Xx. 
R. 


Analogou. 
expression. 
appl. 
fo. 
QyA. 
QyB. 
QzA. 
an. 
QzB. 
Therefore. 
i. 
term. 
o. 
th. 
coordinate. 
. 
an. 
R. 
th. 
operator. 
=. 
an. 
=. 
ar. 


M. 
2MA

=. 
. 
=. 
. 
=. 
. 
=. 
. 
=. 
(10:24a. 


M. 
2MB

=. 
. 
. 
. 
=. 
. 
. 
=. 
. 
. 
. 
=. 
. 
=. 
(10:24b. 


wher. 
=. 
. 
=. 
. 
=. 
an. 
=. 
. 
=. 
. 
=. 
ar. 
th. 
laplacia. 
operator. 
fo. 
th. 


vector. 
. 
an. 
. 
an. 
wher. 
=. 
an. 
=. 
ar. 
th. 
gradien. 
operators. 
Whe. 
th. 
transformation. 
(10.24. 
ar. 
substitute. 
int. 
(10.23). 
th. 
operato. 
.
^T. 
become. 


�"2. 
1

.
^T. 
.. 
(10:25. 


. 
M. 
. 
. 


wher. 
. 
i. 
th. 
reduce. 
mas. 
o. 
th. 
tw. 
nucle. 


. 
M. 
M. 



10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 
27. 
. 
. 
MAM. 
(10:26. 
M. 
. 
M. 
Th. 
cros. 
term. 
i. 
=. 
. 
=. 
cance. 
eac. 
other. 


Fo. 
th. 
diatomi. 
molecule. 
equation. 
(10.1). 
(10.3). 
(10.5). 
an. 
(10.25. 
combin. 
t. 
giv. 


". 
". 
ZAZBe9. 
. 
=. 
. 
=. 
.. 
H^
Eto. 
�to. 
. 
. 
(10:27. 


2M. 
2. 
R. 


wher. 
. 
. 
rA. 
i. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
an. 
wher. 
no. 
th. 
laplacia. 
operato. 
=. 
i. 
H^
o. 
equatio. 
(10.4. 
refer. 
t. 
th. 
positio. 
o. 
electro. 
. 
relativ. 


t. 
th. 
cente. 
o. 
mass. 
Th. 
interparticl. 
distance. 
rA. 
. 
R. 
rAi. 
rBi. 
an. 
ri. 
ar. 
independen. 
o. 
th. 
choic. 
o. 
referenc. 
coordinat. 
syste. 
an. 
d. 
no. 
chang. 
a. 
. 
resul. 
o. 
th. 
transformatio. 
fro. 
externa. 
t. 
interna. 
coordinates. 
I. 
w. 
writ. 
�to. 
a. 
th. 
produc. 


�to. 
. 
�(X)�(R. 
r. 
an. 
Eto. 
a. 
th. 
su. 
Eto. 
. 
Ec. 
. 
. 


the. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(10.27. 
separate. 
int. 
tw. 
independen. 
differen. 


tia. 
equation. 
. 
". 
2. 
=. 
. 
�(X. 
. 
Ecm�(X. 
(10:28a. 
an. 
. 
. 


". 
ZAZBe9. 


. 
=. 
.. 
H^
. 
. 
. 
�(R. 
r. 
. 
. 
(10:28b. 


Equatio. 
(10.28b. 
describe. 
th. 
interna. 
motion. 
o. 
th. 
tw. 
nucle. 
an. 
th. 
electron. 
relativ. 
t. 
th. 
cente. 
o. 
mass. 
Ou. 
nex. 
goa. 
i. 
t. 
solv. 
thi. 
equatio. 
usin. 
th. 
metho. 
describe. 
i. 
Sectio. 
10.1. 
Equatio. 
(10.28a). 
o. 
th. 
othe. 
hand. 
describe. 
th. 
translationa. 
motio. 
o. 
th. 
cente. 
o. 
mas. 
o. 
th. 
molecul. 
an. 
i. 
no. 
considere. 
an. 
furthe. 
here. 


Electroni. 
motio. 
an. 
th. 
nuclea. 
potentia. 
functio. 


Th. 
�rs. 
ste. 
i. 
th. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(10.28b. 
i. 
t. 
hol. 
th. 
tw. 
nucle. 
�xe. 
i. 
space. 
s. 
tha. 
th. 
operato. 
=. 
drop. 
out. 
Equatio. 
(10.28b. 
the. 
take. 
th. 


for. 
o. 
(10.6). 
Sinc. 
th. 
diatomi. 
molecul. 
ha. 
axia. 
symmetry. 
th. 
eigenfunc. 
tion. 
an. 
eigenvalue. 
o. 
H^
. 
i. 
equatio. 
(10.6. 
depen. 
onl. 
o. 
th. 
�xe. 
valu. 
. 
o. 
th. 
internuclea. 
distance. 
s. 
tha. 
w. 
ma. 
writ. 
the. 
a. 
�k(r. 
R. 
an. 
�k(R). 
I. 
equatio. 
(10.6. 
i. 
solve. 
repeatedl. 
t. 
obtai. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
�0(R. 
fo. 
man. 
value. 
o. 
th. 
paramete. 
R. 
the. 
. 
curv. 
o. 
th. 
genera. 
for. 



27. 
Molecula. 
structur. 


show. 
i. 
Figur. 
10.. 
i. 
obtained. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
fo. 
whic. 
�0(R. 
i. 
. 
minimu. 
represent. 
th. 
equilibriu. 
o. 
mos. 
stabl. 
nuclea. 
con�guratio. 
fo. 
th. 
mole. 
cule. 
A. 
th. 
paramete. 
. 
increase. 
o. 
decreases. 
th. 
molecula. 
energ. 
�0(R. 
increases. 
A. 
. 
become. 
small. 
th. 
nuclea. 
repulsio. 
ter. 
V. 
become. 
ver. 
larg. 
an. 
�0(R. 
rapidl. 
approache. 
in�nity. 
A. 
. 
become. 
ver. 
larg. 
(. 
!1). 
th. 
molecul. 
dissociate. 
int. 
it. 
tw. 
constituen. 
atoms. 
W. 
assum. 
tha. 
equatio. 
(10.6. 
ha. 
bee. 
solve. 
fo. 
th. 
ground-stat. 
wav. 
functio. 
�0(r. 
R. 
an. 
ground-stat. 
energ. 
�0(R. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
th. 
paramete. 
. 
fro. 
zer. 
t. 
in�nity. 


Th. 
potentia. 
energ. 
functio. 
U0(R. 
fo. 
th. 
groun. 
electroni. 
stat. 
i. 
give. 
b. 
equation. 
(10.19. 
an. 
(10.16. 
wit. 
.
^T. 
.(�"2=2�)=. 
a. 


U0(R. 
.�0(R. 
.c00(R. 
.�0(R. 
. 
". 
�(r. 
R)=. 
�0(r. 
R)d. 


Withi. 
th. 
adiabati. 
approximation. 
th. 
ter. 
c00(R. 
evaluate. 
th. 
couplin. 
betwee. 
th. 
ground-stat. 
motio. 
o. 
th. 
electron. 
an. 
th. 
motio. 
o. 
th. 
nuclei. 
Th. 
magnitud. 
o. 
thi. 
ter. 
a. 
distance. 
. 
nea. 
th. 
minimu. 
o. 
�0(R. 
i. 
no. 
negligible. 
fo. 
th. 
lightweigh. 
hydroge. 
molecul. 
(al. 
isotopes). 
th. 
hydrogen. 
molecul. 
io. 
(al. 
isotopes). 
an. 
th. 
syste. 
He2. 
However. 
th. 
genera. 
shap. 
o. 
th. 
functio. 
U0(R. 
fo. 
thes. 
system. 
doe. 
no. 
diffe. 
appreciabl. 
fro. 
th. 
schemati. 
shap. 
o. 
�0(R. 
show. 
i. 
Figur. 
10.1. 
Fo. 
heavie. 
nuclei. 
th. 
ter. 
c00(R. 
i. 
smal. 
an. 
ma. 
b. 
neglected. 
Fo. 
thes. 
molecule. 
th. 
Born. 


�0(R) 

Figur. 
10.. 
Th. 
internuclea. 
potentia. 
energ. 
fo. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
. 
diatomi. 
molecule. 


Se. 
J. 
O. 
Hirschfelde. 
an. 
W. 
J. 
Meat. 
(1967. 
Advance. 
i. 
Chemica. 
Physics. 
Vol. 
XI. 
(Joh. 
Wile. 
an. 
Sons. 
Ne. 
York). 
p. 
2. 
an. 
reference. 
cite. 
therein. 


Re R 



10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 
27. 


Oppenheime. 
an. 
th. 
adiabati. 
approximation. 
ar. 
essentiall. 
identical. 
Sinc. 
w. 
ar. 
intereste. 
her. 
i. 
onl. 
th. 
groun. 
electroni. 
state. 
w. 
dro. 
th. 
subscrip. 
o. 
U0(R. 
fro. 
thi. 
poin. 
o. 
fo. 
th. 
sak. 
o. 
simplicity. 


Th. 
functiona. 
for. 
o. 
U(R. 
differ. 
fro. 
on. 
diatomi. 
molecul. 
t. 
another. 
Accordingly. 
w. 
wis. 
t. 
�n. 
. 
genera. 
for. 
whic. 
ca. 
b. 
use. 
fo. 
al. 
molecules. 
Unde. 
th. 
assumptio. 
tha. 
th. 
internuclea. 
distanc. 
. 
doe. 
no. 
�uctuat. 
ver. 
muc. 
fro. 
it. 
equilibriu. 
valu. 
R. 
s. 
tha. 
U(R. 
doe. 
no. 
deviat. 
greatl. 
fro. 
it. 
minimu. 
value. 
w. 
ma. 
expan. 
th. 
potentia. 
U(R)i. 
. 
Taylor'. 
serie. 
abou. 
th. 
equilibriu. 
distanc. 
R. 


. 
. 
U(Re. 
.. 
(1)(Re)(. 
�Re. 
. 
. 
. 
(2)(Re)(. 
�Re). 


. 
(3). 
(4)

. 
1(Re)(. 
�Re). 
. 
1(Re)(. 
�Re). 
.

. 


wher. 


dlU(R. 


. 
(l)(Re. 
. 


. 
. 
.1. 
2. 
... 


Th. 
�rs. 
derivativ. 
. 
(1)(Re. 
vanishe. 
becaus. 
th. 
potentia. 
U(R. 
i. 
. 
minimu. 
a. 
th. 
distanc. 
Re. 
Th. 
secon. 
derivativ. 
. 
(2)(Re. 
i. 
calle. 
th. 
forc. 
constan. 
fo. 
th. 
diatomi. 
molecul. 
(se. 
Sectio. 
4.1. 
an. 
i. 
give. 
th. 
symbo. 
k. 
W. 
als. 


introduc. 
th. 
relativ. 
distanc. 
variabl. 
q. 
de�ne. 
a. 
. 
. 
. 
�R. 
(10:29. 
Wit. 
thes. 
substitutions. 
th. 
potentia. 
take. 
th. 
for. 
U(q. 
.U(0. 
.. 
2kq. 
.. 
6. 
(3)(0)q. 
. 
. 
24. 
(4)(0)q. 
.

. 
(10:30. 
Nuclea. 
motio. 


Th. 
nuclea. 
equatio. 
(10.21. 
whe. 
applie. 
t. 
th. 
groun. 
electroni. 
stat. 
o. 
. 
diatomi. 
molecul. 
i. 


[.
^T. 
.U(R)]��(R. 
. 
E���(R. 
(10:31. 


wher. 
th. 
superscrip. 
an. 
on. 
subscrip. 
o. 
�(1)
0. 
(R. 
an. 
o. 
Ear. 
omitte. 
fo. 


simplicity. 
I. 
solvin. 
thi. 
differentia. 
equation. 
th. 
relativ. 
coordinat. 
vecto. 
. 
i. 
bes. 
expresse. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
R. 
�. 
j. 
Th. 
coordinat. 
. 
i. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
an. 
i. 
th. 
scala. 
distanc. 
betwee. 
th. 
tw. 
nuclei. 
Th. 
angle. 
. 
an. 
. 
giv. 
th. 
orientatio. 
o. 
th. 
internuclea. 
axi. 
relativ. 
t. 
th. 
externa. 
coordinat. 
axes. 
Th. 
laplacia. 
operato. 
=. 
i. 
the. 
give. 
b. 
(A.61. 
a. 



27. 
Molecula. 
structur. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
=. 
. 
. 
. 
R. 
. 
. 
. 
R. 
. 
. 
. 
. 
. 
R. 
. 
si. 
. 
. 
@. 
si. 
. 
. 
@. 
. 
. 
sin2. 
@. 
@j. 
. 
. 
. 
. 
R. 
. 
. 
. 
R. 
. 
. 
. 
. 
. 
". 
R. 
.
^L
. 
(10:32. 


wher. 
.
^L. 
i. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
operato. 
give. 
b. 
equatio. 
(5.32). 
Wit. 
=. 
expresse. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinates. 
equatio. 


(10.31. 
become. 


". 
@. 
. 


. 
R. 
. 
.
^L. 
.U(R. 
��(R. 
�. 
j. 
.E���(R. 
�. 
j. 


2�R. 
. 
. 
. 
. 
2�R. 


(10:33. 
Th. 
operato. 
i. 
squar. 
bracket. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(10.33. 
commute. 
wit. 
th. 
operato. 
.
^L. 
an. 
wit. 
th. 
operato. 
.
^L. 
i. 
(5.31c). 
becaus. 
.
^L. 
commute. 
wit. 
itsel. 
a. 
wel. 
a. 
wit. 
.
^L. 
an. 
neithe. 
.
^L. 
no. 
.
^L. 
contai. 
th. 
variabl. 
R. 
Consequently. 
th. 
thre. 
operator. 
hav. 
simultaneou. 
eigenfunc. 
tions. 
Fro. 
th. 
argumen. 
presente. 
i. 
Sectio. 
6.2. 
th. 
nuclea. 
wav. 
functio. 
��(R. 
�. 
j. 
ha. 
th. 
for. 
��(R. 
�. 
j. 
.F(R)YJm(�. 
j. 
(10:34. 


wher. 
F(R. 
i. 
. 
functio. 
o. 
onl. 
th. 
internuclea. 
distanc. 
R. 
an. 
YJm(�. 
j. 
ar. 
th. 
spherica. 
harmonics. 
whic. 
satisf. 
th. 
eigenvalu. 
equatio. 


YJm(�. 
j. 
.J(. 
.1)". 
YJm(�. 
j. 


. 
.0. 
1. 
2. 
.... 
. 
.�J. 
�. 
.1. 
...,0. 
.... 
. 
�1. 
. 


I. 
i. 
customar. 
t. 
us. 
th. 
inde. 
. 
fo. 
th. 
rotationa. 
quantu. 
number. 
Equatio. 
(10.33. 
the. 
become. 


"2. 
. 
J(. 
.1)". 


. 
..U(R. 
�E. 
F(R. 
.. 
(10:35. 


2�R2d. 
d. 
2�R. 


wher. 
w. 
hav. 
divide. 
throug. 
b. 
YJm(�. 
j). 


W. 
nex. 
replac. 
th. 
independen. 
variabl. 
. 
i. 
equatio. 
(10.35. 
b. 
. 
a. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(10.29). 
Equatio. 
(10.35. 
ha. 
. 
mor. 
usefu. 
for. 
i. 
w. 
als. 
mak. 
th. 
substitutio. 
S(q. 
RF(R). 
Sinc. 
dq=d. 
.1. 
w. 
hav. 


dF(R. 
1dS(q). 
ddF(R. 
d. 
S(q. 


.. 
S(q). 
.. 


dR. 
dqR2d. 
d. 
dq. 
an. 
equatio. 
(10.35. 
become. 


". 
d. 
J(. 
.1)". 


�. 
.U(q. 
�E. 
S(q. 
.. 
(10:36. 


2. 
dq22�(R. 
.q). 



10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 
27. 


afte. 
multiplicatio. 
b. 
th. 
variabl. 
R. 


Th. 
potentia. 
functio. 
U(q. 
i. 
equatio. 
(10.36. 
ma. 
b. 
expande. 
accordin. 
t. 
(10.30). 
Th. 
facto. 
(R. 
.q)�. 
i. 
th. 
secon. 
ter. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
ma. 
als. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
th. 
variabl. 
. 
a. 
follow. 


. 
112. 
3q. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
�

. 
(10:37. 


(R. 
.q). 
qR. 
R. 
R. 


R2
. 
. 
. 


wher. 
th. 
expansio. 
(A.3. 
i. 
used. 
Fo. 
smal. 
value. 
o. 
th. 
rati. 
q=Re. 
equatio. 
(10.37. 
give. 
th. 
approximatio. 
. 
Re. 


I. 
w. 
retai. 
onl. 
th. 
�rs. 
tw. 
term. 
i. 
th. 
expansio. 
(10.30. 
an. 
le. 
. 
b. 
approximate. 
b. 
Re. 
equatio. 
(10.36. 
become. 


�". 
2. 
d2S(q. 
dq. 
.(. 
2kq. 
�W)S(q. 
.. 
(10:38. 
wher. 


. 
E. 
�U(0. 
�J(. 
.1)B. 
(10:39. 
B. 
"2=2�R. 
."2=2. 
(10:40. 


Th. 
quantit. 
. 
(.�R2. 
i. 
th. 
momen. 
o. 
inerti. 
fo. 
th. 
diatomi. 
molecul. 


wit. 
th. 
internuclea. 
distanc. 
�xe. 
a. 
R. 
an. 
B. 
i. 
know. 
a. 
th. 
rotationa. 
constan. 
(se. 
Sectio. 
5.4). 


Equatio. 
(10.38. 
i. 
recognize. 
a. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(4.13. 
fo. 
th. 
one-dimensiona. 
harmoni. 
oscillator. 
I. 
orde. 
fo. 
equatio. 
(10.38. 
t. 
hav. 
th. 
sam. 
eigenfunction. 
an. 
eigenvalue. 
a. 
equatio. 
(4.13). 
th. 
functio. 
S(q. 
mus. 
hav. 
th. 
sam. 
asymptoti. 
behavio. 
a. 
�(x. 
i. 
(4.13). 
A. 
th. 
internuclea. 
distanc. 
. 
approache. 
in�nity. 
th. 
relativ. 
distanc. 
variabl. 
. 
als. 
approache. 
in�nit. 
an. 
th. 
function. 
F(R. 
an. 
S(q. 
.RF(R. 
mus. 
approac. 
zer. 
i. 
orde. 
fo. 
th. 
nuclea. 
wav. 
function. 
t. 
b. 
well-behaved. 
A. 
. 
!0. 
whic. 
i. 
equivalen. 
t. 
. 
!�Re. 
th. 
potentia. 
U(q. 
become. 
in�nitel. 
large. 
s. 
tha. 
F(R. 
an. 
S(q. 
rapidl. 
approac. 
zero. 
Thus. 
th. 
functio. 
S(q. 
approache. 
zer. 
a. 
. 
!�R. 
an. 
a. 
. 
!1. 
Th. 
harmonic-oscillato. 
eigenfunction. 
�(x. 
decreas. 
rapidl. 
i. 
valu. 
a. 
jx. 
increase. 
fro. 
. 
.. 
an. 
approac. 
zer. 
a. 
. 
!1. 
The. 
hav. 
essentiall. 
vanishe. 
a. 
th. 
valu. 
o. 
. 
correspondin. 
t. 
. 
.�Re. 
Consequently. 
th. 
function. 
S(q. 
i. 
equatio. 
(10.38. 
an. 
�(x)i. 
(4.13. 
hav. 
th. 
sam. 
asymptoti. 
behavio. 
an. 
th. 
eigenfunction. 
an. 
eigenva. 
lue. 
o. 
(10.38. 
ar. 
thos. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
Th. 
eigenfunction. 
Sn(q. 
ar. 
th. 
harmonic-oscillato. 
eigenfunction. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.41. 
wit. 
. 
replace. 
b. 
. 
an. 
th. 
mas. 
. 
replace. 
b. 
th. 
reduce. 
mas. 
�. 
Th. 
eigenvalues. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(4.30). 
ar. 



27. 
Molecula. 
structur. 


W. 
.(. 
.1)"�. 
. 
.0. 
1,2. 
... 


wher. 


p��������. 


. 
. 
k=. 


I. 
thi. 
approximation. 
th. 
nuclea. 
energ. 
level. 
ar. 


En. 
.U(0. 
.(. 
.21)". 
.J(. 
.1)B. 
(10:41. 


an. 
th. 
nuclea. 
wav. 
function. 
ar. 


�nJm(R. 
�. 
j. 
. 
Sn(. 
�Re)YJm(�. 
j. 
(10:42. 


Higher-orde. 
approximatio. 
fo. 
nuclea. 
motio. 


Th. 
nex. 
higher-orde. 
approximatio. 
t. 
th. 
energ. 
level. 
o. 
th. 
diatomi. 
molecul. 
i. 
obtaine. 
b. 
retainin. 
i. 
equatio. 
(10.36. 
term. 
u. 
t. 
q. 
i. 
th. 
expansio. 
(10.30. 
o. 
U(q. 
an. 
term. 
u. 
t. 
q. 
i. 
th. 
expansio. 
(10.37. 
o. 
(R. 
.q)�2. 
Equatio. 
(10.36. 
the. 
become. 


�". 
d2S(q. 


.[1kq. 
.B. 
J(. 
.1. 
.V9]S(q. 
.[E. 
�U(0)]S(q. 
(10:43. 


wher. 
2B. 
J(. 
.1. 
3B. 
J(. 
.1). 
. 


. 
(3). 
(4)

. 
. 
.. 
. 
. 
q. 
. 
(0)q. 
. 
(0)q. 


R. 
Re2. 
2. 


.b1. 
.b. 
q. 
.b. 
q. 
.b. 
q. 
(10:44. 
Fo. 
simplicit. 
i. 
subsequen. 
evaluations. 
w. 
hav. 
introduce. 
i. 
equatio. 
(10.44. 
th. 
followin. 
de�nition. 


2B. 
J(. 
.1. 


b. 
. 
(10:45a. 


3B. 
J(. 
.1. 


b. 
. 
(10:45b. 


b. 
. 
(0. 
(10:45c. 


b. 
. 
(0. 
(10:45d. 


Sinc. 
equatio. 
(10.43. 
wit. 
. 
. 
.. 
i. 
alread. 
solved. 
w. 
ma. 
trea. 
. 
. 
a. 
. 
perturbatio. 
an. 
solv. 
equatio. 
(10.43. 
usin. 
perturbatio. 
theory. 
Th. 
unper. 
turbe. 
eigenfunction. 
S(0)(q. 
ar. 
th. 
eigenket. 
jnifo. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 


. 
Th. 
�rst-orde. 
perturbatio. 
correctio. 
E(1. 
n. 
t. 
th. 
energ. 
En. 
a. 
give. 
b. 
equatio. 
(9.24. 
i. 



10.. 
Nuclea. 
motio. 
i. 
diatomi. 
molecule. 
27. 


E.hnj. 
9jni.b1hnjqjni.b2hnjq2jni.b3hnjq3jni.b4hnjq4jn. 


(10:46. 


Th. 
matri. 
element. 
hnjqkjn. 
ar. 
evaluate. 
i. 
Sectio. 
4.4. 
Accordin. 
t. 
equation. 
(4.45c. 
an. 
(4.50e). 
th. 
�rs. 
an. 
thir. 
term. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
(10.46. 
vanish. 
Th. 
matri. 
element. 
i. 
th. 
secon. 
an. 
fourt. 
term. 
ar. 
give. 
b. 
equation. 
(4.48b. 
an. 
(4.51c). 
respectively. 
Thus. 
th. 
�rst-orde. 
correctio. 
i. 
equatio. 
(10.46. 
i. 


(1. 
. 
�. 
. 
. 
. 


En. 
.b. 
. 
.. 
.b. 
n. 
.. 
.. 


�. 
2. 
�. 
. 
. 
hi

6B2
. 
�. 
. 
. 
. 
(4)�
2

. 
. 
.. 
J(. 
.1. 
. 
(0. 
. 
.. 
.. 
(10:47. 


". 
1. 
�. 


wher. 
equation. 
(10.40). 
(10.45b). 
an. 
(10.45d. 
hav. 
bee. 
substituted. 
Sinc. 
th. 
perturbatio. 
correction. 
du. 
t. 
b. 
. 
an. 
b. 
q. 
vanis. 
i. 
�rs. 
order. 


w. 
mus. 
evaluat. 
th. 
second-orde. 
correction. 
Ei. 
orde. 
t. 
�n. 
th. 


in�uenc. 
o. 
thes. 
perturbatio. 
term. 
o. 
th. 
nuclea. 
energ. 
levels. 
Accordin. 
t. 
equatio. 
(9.34). 
thi. 
second-orde. 
correctio. 
i. 


. 
hkjb. 
. 
.b3q3jni. 


En. 
.. 
(0. 
�E(0. 


k(6.n. 
k. 


. 
. 
X. 
2

hkjqjnihkjqjnihkjq3jnihkjq3jni

.�b. 
�2b. 
b. 
�b3
. 


1(. 
�n)". 
(. 
�n)". 
(. 
�n)". 


k(6.n. 
k(6.n. 
k(6.n. 


(10:48. 


wher. 
th. 
unperturbe. 
energ. 
level. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(4.30). 
Th. 
matri. 


element. 
i. 
equatio. 
(10.48. 
ar. 
give. 
b. 
(4.45. 
an. 
(4.50). 
s. 
tha. 
E

become. 


(. 
.1). 
n. 


n. 
". 
2�. 
2�. 


1=. 
3=. 
1=. 
3=2

2b. 
b3(. 
.1). 
(. 
.1). 
n. 
n. 


". 
2�. 
2�. 
2�. 
2�. 


(. 
.1)(. 
.2)(. 
.3. 


�.9(. 
.1). 


". 
2�. 
. 


n(. 
�1)(. 
�2. 


�9n. 
. 


Thi. 
equatio. 
simpli�e. 
t. 



27. 
Molecula. 
structur. 


b. 
�. 
b2". 


(2. 
13b1b3. 
3

E.. 
. 
. 
.. 
. 
(30n. 
.30. 
.11)

n. 
�2�32

2��28�3�. 


Substitutio. 
o. 
equation. 
(10.40). 
(10.45a). 
an. 
(10.45c. 
lead. 
t. 


(2. 
4B2
. 
. 
Re. 
(3)(0. 
. 


J2. 
.1

E.. 
(. 
.1). 
. 
J(. 
.1)

n. 
"2�. 
�"�3. 


"2[. 
(3)(0)]. 
�
2

. 
3. 
. 
.. 
.. 
(10:49. 


288�3�. 
2. 


Th. 
nuclea. 
energ. 
level. 
i. 
thi. 
higher-orde. 
approximatio. 
ar. 
give. 
t. 
secon. 
orde. 
i. 
th. 
perturbatio. 
b. 
combinin. 
equation. 
(10.41). 
(10.47). 
an. 
(10.49. 
t. 
giv. 


(0. 
(1. 
(2)

. 
E.E.E

En. 
nJnJn. 


�. 
�
2

.U(0. 
.". 
. 
.1
. 
�"�x. 
. 
.1
. 
.B. 
J(. 
.1. 


�DJ2(. 
.1). 
��. 
. 
.. 
J(. 
.1. 
(10:50. 


wher. 
w. 
hav. 
de�ne. 


. 
5[. 
(3)(0)]. 


�. 
(4)

x. 
. 
(0. 
(10:51a. 


16�2�33��. 


. 
. 
. 
(10:51b. 


�6B. 
R. 
. 
(3)(0. 


�. 
. 
. 
. 
(10:51c. 


". 
3��. 


. 
. 
7[. 
(3)(0)]. 


U(0. 
U(0. 
. 
(0. 
. 
(10:51d. 


6. 
�. 
9��. 


Th. 
approximat. 
expressio. 
(10.50. 
fo. 
th. 
nuclea. 
energ. 
level. 
En. 
i. 
observe. 
t. 
contai. 
th. 
initia. 
term. 
o. 
. 
powe. 
serie. 
expansio. 
i. 
(. 
.12. 
an. 
J(. 
.1). 
Onl. 
term. 
u. 
t. 
(. 
.12). 
an. 
[J(. 
.1)]. 
an. 
th. 
cros. 
ter. 
i. 
(. 
.1)J(. 
.1. 
ar. 
included. 
Higher-orde. 
term. 
i. 
th. 
expansio. 
ma. 
b. 


foun. 
fro. 
higher-orde. 
perturbatio. 
corrections. 


Th. 
secon. 
ter. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(10.50. 
i. 
th. 
energ. 
o. 
. 
harmoni. 
oscillator. 
Sinc. 
th. 
facto. 
x. 
i. 
equatio. 
(10.51a. 
depend. 
o. 
th. 
thir. 
an. 
fourt. 
derivative. 
o. 
th. 
internuclea. 
potentia. 
a. 
Re. 
th. 
thir. 
ter. 
i. 
equatio. 
(10.50. 
give. 
th. 
chang. 
i. 
energ. 
du. 
t. 
th. 
anharmonicit. 
o. 
tha. 
potential. 
Th. 
fourt. 
ter. 
i. 
th. 
energ. 
o. 
. 
rigi. 
roto. 
wit. 
momen. 
o. 
inerti. 
I. 
Th. 
�ft. 
ter. 
i. 
th. 
correctio. 
t. 
th. 
energ. 
du. 
t. 
centrifuga. 
distortio. 
i. 



Problem. 
27. 


thi. 
non-rigi. 
rotor. 
A. 
th. 
rotationa. 
energ. 
increases. 
th. 
internuclea. 
distanc. 
increases. 
resultin. 
i. 
a. 
increase. 
momen. 
o. 
inerti. 
an. 
conse. 
quentl. 
. 
lowe. 
energy. 
Thus. 
thi. 
ter. 
i. 
negativ. 
an. 
increase. 
a. 
. 
increases. 
Th. 
magnitud. 
o. 
th. 
centrifuga. 
distortio. 
i. 
in�uence. 
b. 
th. 
valu. 
o. 
th. 
forc. 
constan. 
. 
a. 
re�ecte. 
b. 
th. 
facto. 
��. 
i. 
D. 
Th. 
las. 
ter. 
contain. 
bot. 
quantu. 
number. 
. 
an. 
. 
an. 
represent. 
. 
direc. 
couplin. 
betwee. 
th. 
vibrationa. 
an. 
rotationa. 
motions. 
Thi. 
ter. 
contain. 
tw. 
contributions. 
. 
chang. 
i. 
vibrationa. 
energ. 
du. 
t. 
th. 
centrifuga. 
stretchin. 
o. 
th. 
molecul. 
an. 
. 
chang. 
i. 
rotationa. 
energ. 
du. 
t. 
change. 
i. 
th. 
internuclea. 
distanc. 
fro. 
anharmoni. 
vibrations. 
Th. 
constan. 
ter. 
U(0. 
merel. 
shift. 
th. 
zero. 
poin. 
energ. 
o. 
th. 
nuclea. 
energ. 
level. 
an. 
i. 
usuall. 
omitte. 
completely. 


Th. 
molecula. 
constant. 
�. 
Be. 
xe. 
D. 
an. 
�. 
fo. 
an. 
diatomi. 
molecul. 
ma. 
b. 
determine. 
wit. 
grea. 
accurac. 
fro. 
a. 
analysi. 
o. 
th. 
molecule'. 
vibra. 
tiona. 
an. 
rotationa. 
spectra.. 
Thus. 
i. 
i. 
no. 
necessar. 
i. 
practic. 
t. 
solv. 
th. 
electroni. 
Schro�dinge. 
equatio. 
(10.28b. 
t. 
obtai. 
th. 
ground-stat. 
energ. 
�0(R). 


Problem. 


10.. 
Deriv. 
equatio. 
(10.47. 
a. 
outline. 
i. 
th. 
text. 
10.. 
Deriv. 
equatio. 
(10.49. 
a. 
outline. 
i. 
th. 
text. 
10.. 
Deriv. 
equatio. 
(10.50. 
a. 
outline. 
i. 
th. 
text. 
10.. 
A. 
approximatio. 
t. 
th. 
potentia. 
U(R. 
fo. 
. 
diatomi. 
molecul. 
i. 
th. 
Mors. 


potentia. 


U(R. 
.�De(2e�a. 
R�Re. 
�e�2a. 
R�Re). 
.�De(2e�a. 
�e�
wher. 
. 
i. 
. 
paramete. 
characteristi. 
o. 
th. 
molecule. 
Th. 
Mors. 
potentia. 
ha. 
th. 
genera. 
for. 
o. 
Figur. 
10.2. 
(a. 
Sho. 
tha. 
U(Re. 
.�De. 
tha. 
U(1. 
.0. 
an. 
tha. 
U(0. 
i. 
ver. 
large. 
(b. 
I. 
th. 
Mors. 
potentia. 
i. 
expande. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(10.30). 
relat. 
th. 
paramete. 
. 
t. 
�. 
�. 
an. 
D. 
(c. 
Relat. 
th. 
quantitie. 
xe. 
�e. 
an. 
. 
(0. 
i. 
equatio. 
(10.50. 
t. 
�. 
�. 
an. 
D. 
fo. 
th. 
Mors. 
potential. 
10.. 
Anothe. 
approximat. 
potentia. 
U(R. 
fo. 
. 
diatomi. 
molecul. 
i. 
th. 
Rydber. 
potentia. 
U(R. 
.�De[. 
.b(. 
�Re)]e�b(R�Re. 
.�De(. 
.bq)e�b. 
wher. 
. 
i. 
. 
paramete. 
characteristi. 
o. 
th. 
molecule. 
(a. 
Sho. 
tha. 
U(Re. 
.�De. 
tha. 
U(1. 
.0. 
an. 
tha. 
U(0. 
i. 
ver. 
large. 


Comprehensiv. 
table. 
o. 
molecula. 
constant. 
fo. 
diatomi. 
molecule. 
ma. 
b. 
foun. 
i. 
K. 
P. 
Hube. 
an. 
G. 
Herzber. 
(1979. 
Molecula. 
Spectr. 
an. 
Molecula. 
Structure. 
IV. 
Constant. 
o. 
Diatomi. 
Molecule. 
(Va. 
Nostran. 
Reinhold. 
Ne. 
York). 



28. 
Molecula. 
structur. 


Re 
2De 
0 
U (R) 
R 
Figur. 
10.. 
Th. 
Mors. 
potentia. 
fo. 
th. 
groun. 
stat. 
o. 
. 
diatomi. 
molecule. 


(b. 
I. 
th. 
Rydber. 
potentia. 
i. 
expande. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(10.30). 
relat. 
th. 
paramete. 
. 
t. 
�. 
�. 
an. 
De. 


(c. 
Relat. 
th. 
quantitie. 
xe. 
�e. 
an. 
. 
(0. 
i. 
equatio. 
(10.50. 
t. 
�. 
�. 
an. 
D. 
fo. 
th. 
Rydber. 
potential. 


10.. 
Conside. 
. 
diatomi. 
molecul. 
i. 
it. 
groun. 
electroni. 
an. 
rotationa. 
states. 
It. 
energ. 
level. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(10.50. 
wit. 
. 
. 
0. 
Th. 
valu. 
o. 
U(R)a. 
. 
. 
R. 
i. 
�De. 


(a. 
I. 
th. 
anharmoni. 
facto. 
x. 
i. 
positive. 
sho. 
tha. 
th. 
spacin. 
o. 
th. 
energ. 
level. 
decrease. 
a. 
th. 
vibrationa. 
quantu. 
numbe. 
. 
increases. 


(b. 
Whe. 
th. 
vibrationa. 
quantu. 
numbe. 
. 
become. 
suf�cientl. 
larg. 
tha. 
th. 
differenc. 
i. 
energie. 
betwee. 
adjacen. 
level. 
become. 
zero. 
th. 
molecul. 
dissociate. 
int. 
it. 
constituen. 
atoms. 
B. 
settin. 
equa. 
t. 
zer. 
th. 
derivativ. 
o. 
En. 
wit. 
respec. 
t. 
n. 
�n. 
th. 
valu. 
o. 
. 
i. 
term. 
o. 
x. 
a. 
whic. 
dissociatio. 
take. 
place. 


(c. 
Relat. 
th. 
wel. 
dept. 
D. 
t. 
th. 
anharmoni. 
facto. 
x. 
an. 
compar. 
wit. 
th. 
correspondin. 
expression. 
i. 
problem. 
10.. 
an. 
10.5. 



Appendi. 
. 


Mathematica. 
formula. 


Usefu. 
powe. 
serie. 
expansion. 


. 
(az). 


(A:1. 


Binomia. 
expansion. 


un��v�

(. 
. 
v). 
. 
(A:2. 


�!(. 
. 
�). 


. 
(�1)�(. 
. 
. 
. 
1). 


u�. 
n.�)v�

(. 
. 
v)�. 
. 
(A:3. 


�!(. 
. 
1). 


dnu. 
n. 
dn��. 


. 
(A:4. 


dz. 
�.. 
�!(. 
. 
�). 
dz. 
dzn�. 


Usefu. 
integral. 


e�z2e�z2d. 
. 
�1=2

d. 
. 
. 
(A:5. 


ze�z2d. 
. 
. 


(A:6. 


z2e�z. 
z2e�z. 
�1=2

d. 
. 
2d. 
. 
12(A:7. 


e�a. 
z2.b. 
eb. 
=4a. 


d. 
. 
(A:8. 


r����������. 


e�az2ec(b�z). 
eacb. 
=(a�c)

d. 
. 
(A:9. 


sin. 
. 


d. 
. 
. 
(A:10. 



28. 
Appendi. 
. 


r. 
e�. 


�1(. 
.is)k.k. 


co. 
n. 
d. 
.2�. 
. 
.. 


.0. 
. 
.1. 
2. 
3. 
... 


si. 
n. 
d. 
.0. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 


.. 
�. 
.. 


co. 
m. 
co. 
n. 
d. 
.. 
co. 
m. 
co. 
n. 
d. 
.��m. 


.��
. 
.. 
. 


si. 
m. 
si. 
n. 
d. 
.. 
si. 
m. 
si. 
n. 
d. 
.��m. 


�. 
.. 
. 


co. 
m. 
si. 
n. 
d. 
.. 


sin2. 
d. 
.1. 
�1si. 
2. 
.12(. 
�si. 
. 
co. 
�. 


. 
sin2. 
d. 
.1�. 
�1. 
si. 
2. 
�. 
co. 
2. 


�. 
sin2. 
d. 
.1�. 
�1(�. 
�1)si. 
2. 
�1. 
co. 
2. 


sin3. 
d. 
.. 
cos3. 
�co. 
. 
.�co. 
. 
.. 
co. 
3. 


sin5. 
d. 
.�co. 
. 
.. 
co. 
3. 
�. 
co. 
5�

. 
4. 
8. 


sin7. 
d. 
.�co. 
. 
.. 
co. 
3. 
. 
. 
co. 
5. 
. 
. 
co. 
7�

6. 
6. 
32. 
44. 


sin(. 
�n). 
sin(. 
.n). 


si. 
k. 
si. 
n. 
d. 
.. 
,(k. 
6.n2. 


2(. 
�n. 
2(. 
.n. 


Integratio. 
b. 
part. 


. 
d. 
.u. 
. 
. 
d. 


dv(x)du(x. 


u(x)d. 
.u(x)v(x. 
. 
v(x)d. 


Gamm. 
functio. 


zn�1e�. 
dz

�(n. 
. 


�(. 
.1. 
.n�(n. 
�(n. 
.(. 
�1)!. 
. 
.intege. 


(A:11. 


(A:12. 
(A:13. 
(A:14. 
(A:15. 
(A:16. 
(A:17. 
(A:18. 
(A:19. 
(A:20. 
(A:21. 
(A:22. 
(A:23. 


(A:24. 
(A:25. 


(A:26. 


(A:27. 
(A:28. 



Mathematica. 
formula. 


�(1. 
. 
�1=. 


x. 
ne�x. 
z(. 
n�1)=2e�. 
d. 
. 
. 


Trigonometri. 
function. 


ei. 
. 
co. 
. 
. 
. 
si. 
. 
co. 
. 
. 
1(ei. 
. 
e�i�. 


si. 
. 
. 
1(ei. 
. 
e�i�. 


sin2. 
. 
cos2. 
. 
. 
cos(. 
. 
j. 
. 
co. 
. 
co. 
. 
. 
si. 
. 
si. 
. 


sin(. 
. 
j. 
. 
si. 
. 
co. 
. 
. 
co. 
. 
si. 
. 
co. 
2. 
. 
cos2. 
. 
sin2. 
si. 
2. 
. 
2si. 
. 
co. 
. 
si. 
3. 
. 
3si. 
. 
. 
. 
sin3. 
si. 
5. 
. 
5si. 
. 
. 
2. 
sin3. 
. 
16sin5. 
si. 
7. 
. 
7si. 
. 
. 
56sin3. 
. 
112sin5. 
. 
64sin7. 


co. 
. 
.�si. 
. 


si. 
. 
. 
co. 
. 


sin�. 
. 
. 
arcsi. 
. 
. 
(. 
. 
z2)�1=. 


Hyperboli. 
function. 


cos. 
. 
. 
1(e. 
. 
e��. 


sin. 
. 
. 
1(e. 
. 
e��. 


cos. 
i. 
. 
co. 
. 
sin. 
i. 
. 
. 
si. 
. 
cosh2. 
. 
sinh2. 
. 
. 


sin. 
. 


tan. 
. 
. 


cos. 
. 
sin. 
2. 
. 
2sin. 
. 
cos. 
. 
. 
cos. 
. 


. 
sin. 
. 


. 
sin. 
. 


. 
cos. 
. 


. 
tan. 
. 
. 


d. 
cosh2. 


(A:29. 


(A:30. 


(A:31. 
(A:32. 
(A:33. 
(A:34. 
(A:35. 
(A:36. 
(A:37. 
(A:38. 
(A:39. 
(A:40. 
(A:41. 


(A:42. 


(A:43. 


(A:44. 


(A:45. 
(A:46. 
(A:47. 
(A:48. 
(A:49. 


(A:50. 
(A:51. 


(A:52. 


(A:53. 


(A:54. 



28. 
Appendi. 
. 


Schwarz'. 
inequalit. 


ja(x)j2d. 
jb(x)j2d. 
. 


(x)b(x)d. 


(A:55. 


Fo. 
. 
.. 
.iy. 
jzj. 
. 
jI. 
zj2. 
sinc. 
I. 
. 
.. 
�z=2i. 
jzjj. 
�zj

(x)b(x. 
�a(x)b.


(x). 
d.


ja(x)j2d. 
. 
jb(x)j2d. 
. 
. 


(A:56. 


Vecto. 
relation. 
. 
. 
. 
.A. 
co. 
. 
(A:57. 
j. 
. 
Bj.A. 
si. 
. 
(A:58. 
. 
i. 
th. 
angl. 
betwee. 
. 
an. 
. 


Spherica. 
coordinate. 
(r. 
�. 
j. 
. 
.. 
si. 
. 
co. 
j. 
. 
.. 
si. 
. 
si. 
j. 
. 
.. 
co. 
. 
(A:59. 


d. 
.r. 
si. 
. 
d. 
d. 
d. 
. 
@@. 
. 
@@. 
. 
@2. 


r. 
. 
. 
. 
rr. 
si. 
. 
@. 
@. 
r. 
sin2. 
@j. 


Plan. 
pola. 
coordinate. 
(r. 
j. 


=2. 
.. 
si. 
. 
. 
(A:61. 


(A:60. 


. 
.. 
co. 
j. 
. 
.. 
si. 
. 
. 
@@. 
. 
@2. 


=2. 
. 
. 
. 
(A:63. 


. 
. 
. 
. 
rr. 
@j. 


(A:62. 



Appendi. 
. 


Fourie. 
serie. 
an. 
Fourie. 
integra. 


Fourie. 
serie. 


A. 
arbitrar. 
functio. 
. 
(�. 
whic. 
satis�e. 
th. 
Dirichle. 
condition. 
ca. 
b. 
expande. 
a. 


. 
(�. 
.. 
(a. 
co. 
n. 
. 
b. 
si. 
n�. 
(B:1. 


wher. 
. 
i. 
. 
rea. 
variable. 
. 
i. 
. 
positiv. 
integer. 
an. 
th. 
coef�cient. 
a. 
an. 
b. 
ar. 
constants. 
Th. 
Dirichle. 
condition. 
specif. 
tha. 
. 
(�. 
i. 
single-valued. 
i. 
continuou. 
excep. 
fo. 
. 
�nit. 
numbe. 
o. 
�nit. 
discontinuities. 
an. 
ha. 
. 
�nit. 
numbe. 
o. 
maxim. 
an. 
minima. 
Th. 
serie. 
expansio. 
(B.1. 
o. 
th. 
functio. 
. 
(�. 
i. 
know. 
a. 
. 
Fourie. 
series. 


W. 
not. 
tha. 
co. 
n(. 
. 
2�. 
. 
co. 
n. 
si. 
n(. 
. 
2�. 
. 
si. 
n. 


s. 
tha. 
eac. 
ter. 
i. 
equatio. 
(B.1. 
repeat. 
itsel. 
i. 
interval. 
o. 
2�. 
Thus. 
th. 
functio. 
. 
(�. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(B.1. 
ha. 
th. 
propert. 
. 
(. 
. 
2�. 
. 
. 
(�. 


whic. 
i. 
t. 
say. 
. 
(�. 
i. 
periodi. 
wit. 
perio. 
2�. 
Fo. 
convenience. 
w. 
selec. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
. 
fo. 
th. 
period. 
althoug. 
an. 
othe. 
rang. 
o. 
widt. 
2. 
i. 
acceptable. 
I. 
. 
functio. 
F(j. 
ha. 
perio. 
p. 
the. 
i. 
ma. 
b. 
converte. 
int. 
. 
functio. 
. 
(�. 
wit. 
perio. 
2. 
b. 
introducin. 
th. 
ne. 
variabl. 
. 
de�ne. 
b. 
. 
. 
2�j. 
p. 
s. 
tha. 
. 
(�. 
. 
F(2�j. 
p). 
I. 
. 
non-periodi. 
functio. 
F(�. 
i. 
expande. 
i. 
. 
Fourie. 
series. 
th. 
functio. 
. 
(�. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(B.1. 
i. 
identica. 
wit. 
F(�. 
ove. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
�. 
bu. 
outsid. 
tha. 
rang. 
th. 
tw. 
function. 
d. 
no. 
agree. 


T. 
�n. 
th. 
coef�cient. 
a. 
an. 
b. 
i. 
th. 
Fourie. 
series. 
w. 
�rs. 
multipl. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(B.1. 
b. 
co. 
m. 
an. 
integrat. 
fro. 
�. 
t. 
�. 
Th. 
resultin. 
integral. 
ar. 
evaluate. 
i. 
equation. 
(A.12). 
(A.14). 
an. 
(A.16). 
Fo. 
. 
. 
0. 
al. 
th. 
integral. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
vanis. 
excep. 
th. 
�rst. 
s. 
tha. 


. 
(�)d. 
. 
. 
2. 
. 
�a. 


Fo. 
. 
. 
0. 
al. 
th. 
integral. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
vanis. 
excep. 
fo. 
th. 
on. 
i. 
whic. 
. 
. 
m. 
givin. 



28. 
Appendi. 
. 


. 
(�)co. 
m. 
d. 
.�a. 


I. 
w. 
multipl. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(B.1. 
b. 
si. 
m�. 
integrat. 
fro. 
�. 
t. 
�. 
an. 
appl. 
equation. 
(A.13). 
(A.15). 
an. 
(A.16). 
w. 
�n. 


. 
(�)si. 
m. 
d. 
.�b. 


Thus. 
th. 
coef�cient. 
i. 
th. 
Fourie. 
serie. 
ar. 
give. 
b. 


a. 
. 
. 
(�)co. 
n. 
d�. 
. 
.0. 
1,2. 
... 
(B:2a. 


b. 
. 
. 
(�)si. 
n. 
d�. 
. 
.1. 
2. 
... 
(B:2b. 


I. 
derivin. 
thes. 
expression. 
fo. 
a. 
an. 
bn. 
w. 
assume. 
tha. 
. 
(�. 
i. 
continuous. 
I. 
. 
(�. 
ha. 
. 
�nit. 
discontinuit. 
a. 
som. 
angl. 
�. 
wher. 
�. 
. 
�. 
. 
�. 
the. 
th. 
expres. 
sio. 
fo. 
a. 
i. 
equatio. 
(B.2a. 
become. 


. 
.�0. 
.. 


a. 
. 
. 
(�)co. 
n. 
d. 
. 
. 
(�)co. 
n. 
d. 


. 
simila. 
expressio. 
applie. 
fo. 
bn. 
Th. 
generalizatio. 
fo. 
. 
functio. 
. 
(�. 
wit. 
. 
�nit. 
numbe. 
o. 
�nit. 
discontinuitie. 
i. 
straightforward. 
A. 
a. 
angl. 
�. 
o. 
discontinuity. 
th. 
Fourie. 
serie. 
converge. 
t. 
. 
valu. 
o. 
. 
(�. 
mid-wa. 
betwee. 
th. 
lef. 
an. 
righ. 
value. 
o. 
. 
(�)a. 
�0. 
i.e.. 
i. 
converge. 
t. 


li. 
. 
. 
(�. 
��. 
.. 
(�. 
.�). 


Th. 
Fourie. 
expansio. 
(B.1. 
ma. 
als. 
b. 
expresse. 
a. 
. 
cosin. 
serie. 
o. 
a. 
. 
sin. 
serie. 
b. 
th. 
introductio. 
o. 
phas. 
angle. 
�. 


. 
(�. 
.. 
c. 
cos(n. 
.�n. 
(B:3a. 


. 
c9. 
sin(n. 
.�9n. 
(B:3b. 
wher. 
cn. 
c9n. 
�n. 
�9. 
ar. 
constants. 
Usin. 
equatio. 
(A.35). 
w. 
ma. 
writ. 
c. 
cos(n. 
.�n. 
.c. 
co. 
n. 
co. 
�. 
�c. 
si. 
n. 
si. 
�. 
I. 
w. 
le. 
a. 
.c. 
co. 
�. 


b. 
.�c. 
si. 
�. 
the. 
equation. 
(B.1. 
an. 
(B.3a. 
ar. 
see. 
t. 
b. 
equivalent. 
Usin. 
equatio. 
(A.36). 
w. 
c9. 
sin(n. 
.�9n. 
.c9. 
si. 
n. 
co. 
�9. 
.c9. 
co. 
n. 
si. 
�9. 
Lettin. 
a. 
.2c9. 
si. 
�9. 


a. 
.c9. 
si. 
�9n. 
. 
. 
. 


b. 
.c9. 
co. 
�9n. 
. 
. 
. 



Fourie. 
serie. 
an. 
Fourie. 
integra. 
28. 
w. 
se. 
tha. 
equation. 
(B.1. 
an. 
(B.3b. 
ar. 
identical. 


Othe. 
variable. 


Th. 
Fourie. 
serie. 
(B.1. 
an. 
(B.3. 
ar. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
a. 
angl. 
�.However,i. 
man. 
application. 
th. 
variabl. 
ma. 
b. 
. 
distanc. 
. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
I. 
th. 
Fourie. 
serie. 
i. 
t. 
represen. 
. 
functio. 
. 
(x. 
o. 
th. 
distanc. 
. 
i. 
. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
l. 
w. 
mak. 
th. 
substitutio. 


i. 
equatio. 
(B.1. 
t. 
giv. 


a. 
. 
n�xn�. 


. 
(x. 
.. 
a. 
co. 
. 
b. 
si. 
(B:4. 


wit. 
a. 
an. 
b. 
give. 
b. 


a. 
. 
. 
(x)co. 
dx. 
. 
. 
0,1. 
2. 
... 
(B:5a. 


b. 
. 
. 
(x)si. 
dx. 
. 
. 
1. 
2. 
... 
(B:5b. 


I. 
tim. 
i. 
th. 
variable. 
the. 
w. 
ma. 
mak. 
eithe. 
o. 
th. 
substitution. 


. 
.. 
�. 


wher. 
. 
i. 
th. 
perio. 
o. 
th. 
functio. 
. 
(t. 
an. 
. 
i. 
th. 
angula. 
frequency. 
s. 
tha. 
equatio. 
(B.1. 
become. 


a. 
. 
2�n. 
2�n. 
a. 
. 


. 
(t. 
.. 
a. 
co. 
. 
b. 
si. 
.. 
(a. 
co. 
n�. 
. 
b. 
si. 
n�t. 


n.. 
n.. 


(B:6. 
Th. 
constant. 
a. 
an. 
b. 
i. 
equation. 
(B.2. 
fo. 
th. 
variabl. 
. 
ar. 


. 
p=. 
.�=�

22�n. 
. 


a. 
. 
. 
(t)co. 
d. 
. 
. 
(t)co. 
n�. 
d. 
(B:7a. 


. 
p=. 
��=. 
. 
p=. 
.�=�

22�n. 
. 


b. 
. 
. 
(t)si. 
d. 
. 
. 
(t)si. 
n�. 
d. 
(B:7b. 


. 
p=. 
��=. 


Comple. 
for. 


Th. 
Fourie. 
serie. 
(B.1. 
ca. 
als. 
b. 
writte. 
i. 
comple. 
for. 
b. 
th. 
substitutio. 
o. 
equation. 
(A.32. 
an. 
(A.33. 
fo. 
co. 
n. 
an. 
si. 
n�. 
respectively. 
t. 
yiel. 


. 
(�. 
. 
c. 
ein. 
(B:8. 


wher. 



28. 
Appendi. 
. 


a. 
. 
ibn

c. 
. 
. 
. 
. 
. 


a. 
. 
ibn

c�. 
. 
. 
. 
. 
. 
(B:9. 


Th. 
coef�cient. 
c. 
i. 
equatio. 
(B.8. 
ma. 
b. 
obtaine. 
fro. 
(B.9. 
wit. 
a. 
an. 
b. 
give. 
b. 
(B.2). 
Th. 
resul. 
i. 


c. 
. 
. 
. 
(�)e�in. 
d. 
(B:10. 


whic. 
applie. 
t. 
al. 
value. 
o. 
n. 
positiv. 
an. 
negative. 
includin. 
. 
. 
0. 
W. 
not. 
i. 
passin. 
tha. 
c�. 
i. 
th. 
comple. 
conjugat. 
c. 
o. 
cn. 


I. 
term. 
o. 
th. 
distanc. 
variabl. 
x. 
equation. 
(B.8. 
an. 
(B.10. 
becom. 


c. 
ein�x=l

. 
(x. 
. 
(B:11. 


. 
(x)e�. 
n�x=. 
d. 


(B:12. 


whil. 
i. 
term. 
o. 
th. 
tim. 
t. 
the. 
tak. 
th. 
for. 


X. 
. 
(t. 
. 
c. 
ein. 
. 
(B:13. 
n.�. 
c. 
. 
. 
2. 
.�=. 
��=. 
. 
(t)e�in. 
. 
d. 
(B:14. 
Parseval'. 
theore. 


W. 
no. 
investigat. 
th. 
relatio. 
betwee. 
th. 
averag. 
o. 
th. 
squar. 
o. 
. 
(�. 
an. 
th. 
coef�cient. 
i. 
th. 
Fourie. 
serie. 
fo. 
. 
(�). 
Fo. 
thi. 
purpos. 
w. 
selec. 
th. 
Fourie. 
serie. 
(B.8). 
althoug. 
an. 
o. 
th. 
othe. 
expansion. 
woul. 
serv. 
a. 
well. 
I. 
thi. 
cas. 
th. 
averag. 
o. 
. 
. 
(�)j. 
ove. 
th. 
interva. 
�. 
. 
. 
. 
. 
i. 


. 
. 
(�)j2d. 


Th. 
squar. 
o. 
th. 
absolut. 
valu. 
o. 
. 
(�. 
i. 
equatio. 
(B.8. 
i. 


c. 
e. 
n. 


c. 
ei(n�m). 


(B:15. 


. 
. 
(�)j. 
. 


n.�. 
m.�. 
n.�. 


wher. 
th. 
tw. 
independen. 
summation. 
hav. 
bee. 
assigne. 
differen. 
dumm. 
indices. 
Integratio. 
o. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(B.15. 
ove. 
. 
fro. 
�. 
t. 
. 
give. 


. 
. 
(�)j2d. 
. 


. 
ei. 
n�m). 


m.�. 
n.�. 


Sinc. 
. 
an. 
. 
ar. 
integers. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
vanishe. 
excep. 
whe. 
. 
. 
n. 
s. 
tha. 
w. 
hav. 



Fourie. 
serie. 
an. 
Fourie. 
integra. 
28. 
.. 
ei. 
n�m). 
d. 
. 
2��m. 
�. 
Th. 
�na. 
resul. 
i. 
. 
2. 
.. 
�. 
. 
. 
(�)j. 
d. 
. 
X. 
n.�. 
jcnj. 
(B:16. 


whic. 
i. 
on. 
for. 
o. 
Parseval'. 
theorem. 
Othe. 
form. 
o. 
Parseval'. 
theore. 
ar. 
obtaine. 
usin. 
th. 
variou. 
alternativ. 
Fourie. 
expansions. 


Parseval'. 
theore. 
i. 
als. 
know. 
a. 
th. 
completenes. 
relatio. 
an. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
verif. 
tha. 
th. 
se. 
o. 
function. 
e. 
n. 
fo. 
�. 
. 
. 
. 
. 
ar. 
complete. 
a. 
discusse. 
i. 
Sectio. 
3.4. 
I. 
som. 
o. 
th. 
term. 
i. 
th. 
Fourie. 
serie. 
ar. 
missing. 
s. 
tha. 
th. 
se. 
o. 
basi. 
function. 
i. 
th. 
expansio. 
i. 
incomplete. 
the. 
th. 
correspondin. 
coef�cient. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(B.16. 
wil. 
als. 
b. 
missin. 
an. 
th. 
equalit. 
wil. 
no. 
hold. 


Fourie. 
integra. 


Th. 
Fourie. 
serie. 
expansion. 
o. 
. 
functio. 
. 
(x. 
o. 
th. 
variabl. 
. 
ove. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
. 
ma. 
b. 
generalize. 
t. 
th. 
cas. 
wher. 
th. 
rang. 
i. 
in�nite. 
i.e.. 
wher. 
�. 
. 
. 
. 
1. 
B. 
. 
suitabl. 
limitin. 
proces. 
i. 
whic. 
. 
!1. 
equation. 
(B.11. 
an. 
(B.12. 
ma. 
b. 
extende. 
t. 
th. 
for. 


. 
(x. 
.p�����. 
g(k)e. 
k. 
d. 
(B:17. 


. 
. 
(x)e�. 
kx

g(k. 
.p�����. 
d. 
(B:18. 


Equatio. 
(B.17. 
i. 
th. 
Fourie. 
integra. 
representatio. 
o. 
. 
(x). 
Th. 
functio. 
g(k. 
i. 
th. 
Fourie. 
transfor. 
o. 
. 
(x). 
whic. 
i. 
tur. 
i. 
th. 
invers. 
Fourie. 
transfor. 
o. 
g(k). 
Fo. 
an. 
functio. 
. 
(x. 
whic. 
satis�e. 
th. 
Dirichle. 
condition. 
ove. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
. 
an. 
fo. 
whic. 
th. 
integra. 


. 
. 
(x)j2d. 


converges. 
th. 
Fourie. 
integra. 
i. 
equatio. 
(B.17. 
converge. 
t. 
. 
(x. 
whereve. 
. 
(x)i. 
continuou. 
an. 
t. 
th. 
mea. 
valu. 
o. 
. 
(x. 
a. 
an. 
poin. 
o. 
discontinuity. 
I. 
som. 
application. 
. 
functio. 
. 
(x. 
t). 
wher. 
. 
i. 
. 
distanc. 
variabl. 
an. 
. 
i. 
th. 
time. 
i. 
represente. 
a. 
. 
Fourie. 
integra. 
o. 
th. 
for. 


. 
G(k)ei. 
kx��(k)t]

. 
(x. 
t. 
.p�����. 
d. 
(B:19. 


wher. 
th. 
frequenc. 
�(k. 
depend. 
o. 
th. 
variabl. 
k. 
I. 
thi. 
cas. 
th. 
Fourie. 
transfor. 
g(k. 
take. 
th. 
for. 
g(k. 
. 
G(k)e�i�(k). 
an. 
equatio. 
(B.18. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 


. 
. 
(x. 
t)e�i[kx��(k)t]dx

G(k. 
.p����. 
��(B:20. 


Th. 
function. 
. 
(x. 
t. 
an. 
G(k. 
are. 
then. 
. 
generalize. 
for. 
o. 
Fourie. 
transforms. 



29. 
Appendi. 
. 


Anothe. 
generalize. 
for. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
exchangin. 
th. 
role. 
o. 
. 
an. 
. 
i. 
equation. 
(B.19. 
an. 
(B.20). 
s. 
tha. 


. 
(x. 
t. 
. 
. 
������. 
.. 
G(�)ei[k(�)x��t. 
d. 
(B:21. 
2. 
�. 
G(�. 
. 
. 
������. 
.. 
. 
(x. 
t)e�i. 
k(�)x�. 
t. 
d. 
(B:22. 
2. 
�. 


Fourie. 
integra. 
i. 
thre. 
dimension. 


Th. 
Fourie. 
integra. 
ma. 
b. 
readil. 
extende. 
t. 
function. 
o. 
mor. 
tha. 
on. 
variable. 
W. 
no. 
deriv. 
th. 
resul. 
fo. 
. 
functio. 
. 
(x. 
y. 
z. 
o. 
th. 
thre. 
spatia. 
variable. 
x. 
y. 
z. 
I. 
w. 
conside. 
. 
(x. 
y. 
z. 
a. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
x,wit. 
. 
an. 
. 
a. 
parameters. 
the. 
w. 


. 
(x. 
y. 
z. 
.. 
. 
�����. 
g1(kx. 
y. 
z)eikx. 
dk. 
(B:23a. 


g1(kx. 
y. 
z. 
.. 
. 
�����. 
. 
(x. 
y. 
z)e�ikx. 
d. 
(B:23b. 


W. 
nex. 
regar. 
g1(kx. 
y. 
z. 
a. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
. 
wit. 
k. 
an. 
. 
a. 
parameter. 
an. 
expres. 
g1(kx. 
y. 
z. 
a. 
. 
Fourie. 
integra. 


g1(kx. 
y. 
z. 
.. 
. 
�����. 
g2(kx. 
ky. 
z)e. 
ky. 
dk. 
(B:24a. 


g2(kx. 
ky. 
z. 
.. 
. 
�����. 
g1(kx. 
y. 
z)e�iky. 
. 
. 
(B:24b. 


Considerin. 
g2(kx. 
ky. 
z. 
a. 
. 
functio. 
onl. 
o. 
z,wehav. 


g2(kx. 
ky. 
z. 
.. 
. 
����. 
��g(kx. 
ky. 
kz)eikz. 
dk. 
(B:25a. 


g(kx. 
ky. 
kz. 
.. 
. 
�����. 
g2(kx. 
ky. 
z)e�ikz. 
d. 
(B:25b. 


Combinin. 
equation. 
(B.23a). 
(B.24a). 
an. 
(B.25a). 
w. 
obtai. 


. 
(x. 
y. 
z. 
. 
. 
g(kx. 
ky. 
k. 
)ei. 
kxx.kyy.kzz)dk. 
dk. 
dk. 
(B:26a. 


(2�)3=. 


Combinin. 
equation. 
(B.23b). 
(B.24b). 
an. 
(B.25b). 
w. 
hav. 


g(kx. 
ky. 
k. 
. 
. 
. 
. 
(x. 
y. 
z)e�i(kxx.kyy.kzz)d. 
d. 
d. 
(B:26b. 


(2�)3=. 


I. 
w. 
de�n. 
th. 
vecto. 
. 
wit. 
component. 
x. 
y. 
. 
an. 
th. 
vecto. 
. 
wit. 
component. 
kx. 
ky. 
k. 
an. 
writ. 
th. 
volum. 
element. 
a. 
d. 
. 
d. 
d. 
d. 


d. 
. 
dk. 
dk. 
dk. 
the. 
equation. 
(B.26. 
becom. 



Fourie. 
serie. 
an. 
Fourie. 
integra. 
29. 


. 
(r. 
. 
. 
g(k)eik.. 
d. 
(B:27a. 


(2�)3=. 


g(k. 
. 
. 
. 
(r)e�ik.. 
d. 
(B:27b. 


(2�)3=. 


Parseval'. 
theore. 


T. 
obtai. 
Parseval'. 
theore. 
fo. 
th. 
functio. 
. 
(x. 
i. 
equatio. 
(B.17). 
w. 
�rs. 
tak. 
th. 
comple. 
conjugat. 
o. 
. 
(x. 


. 
(x. 
.. 
. 
�����. 
g(k9)e�ik9. 
dk. 


wher. 
w. 
hav. 
use. 
. 
differen. 
dumm. 
variabl. 
o. 
integration. 
Th. 
integra. 
o. 
th. 
squar. 
o. 
th. 
absolut. 
valu. 
o. 
. 
(x. 
i. 
the. 
give. 
b. 


. 
. 
(x)j2d. 
. 
. 
(x. 
. 
(x)d. 
. 
. 
g(k9)g(k)ei(k�k9). 
d. 
dk. 
d. 


Th. 
orde. 
o. 
integratio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
ma. 
b. 
interchanged. 
I. 
w. 
integrat. 
ove. 
. 
whil. 
notin. 
tha. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(C.6)

ei. 
k�k9). 


d. 
. 
2��(. 
. 
k9. 


w. 
obtai. 


. 
. 
(x)j2d. 
. 
g(k9)g(k)�(. 
. 
k9)d. 
dk. 


Finally. 
integratio. 
ove. 
th. 
variabl. 
k. 
yield. 
Parseval'. 
theore. 
fo. 
th. 
Fourie. 
integral. 


. 
. 
(x)j2d. 
.jg(k)j2d. 
(B:28. 


Parseval'. 
theore. 
fo. 
th. 
function. 
. 
(r. 
an. 
g(k. 
i. 
equation. 
(B.27. 
i. 


. 
. 
(r)j2d. 
.jg(k)j2d. 
(B:29. 


Thi. 
relatio. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
th. 
sam. 
derivatio. 
a. 
tha. 
leadin. 
t. 
equatio. 
(B.28). 
usin. 
th. 
integra. 
representatio. 
(C.7. 
fo. 
th. 
three-dimensiona. 
Dira. 
delt. 
function. 



Appendi. 
. 


Dira. 
delt. 
functio. 


Th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
�(x. 
i. 
de�ne. 
b. 
th. 
condition. 


�(x. 
. 
0. 
.1. 
fo. 
. 
6
fo. 
. 
. 
. 
(C:1. 
suc. 
tha. 
.. 
�(x)d. 
. 
. 
(C:2. 
�. 


A. 
. 
consequenc. 
o. 
thi. 
de�nition. 
i. 
. 
(x. 
i. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
whic. 
i. 
well. 
de�ne. 
a. 
. 
. 
0. 
the. 
integratio. 
o. 
. 
(x. 
wit. 
th. 
delt. 
functio. 
select. 
ou. 
th. 
valu. 
o. 
. 
(x. 
a. 
th. 
origi. 


. 
(x)�(x)d. 
. 
. 
(0. 
(C:3. 


Th. 
integratio. 
i. 
take. 
ove. 
th. 
rang. 
o. 
. 
fo. 
whic. 
. 
(x. 
i. 
de�ned. 
provide. 
tha. 
th. 
rang. 
include. 
th. 
origin. 
I. 
als. 
follow. 
tha. 


. 
(x)�(. 
. 
x0)d. 
. 
. 
(x0. 
(C:4. 


sinc. 
�(. 
. 
x0. 
. 
. 
excep. 
whe. 
. 
. 
x0. 
Th. 
rang. 
o. 
integratio. 
i. 
equatio. 
(C.4. 
mus. 
includ. 
th. 
poin. 
. 
. 
x0. 


Th. 
followin. 
propertie. 
o. 
th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
ca. 
b. 
demonstrate. 
b. 
multiplyin. 
bot. 
side. 
o. 
eac. 
expressio. 
b. 
. 
(x. 
an. 
observin. 
that. 
o. 
integration. 
eac. 
sid. 
give. 
th. 
sam. 
resul. 
�(�x. 
. 
�(x. 
(C:5a. 


�(cx. 
. 
�(x). 
. 
rea. 
(C:5b. 


x�(. 
. 
x0. 
. 
x0�(. 
. 
x0. 
(C:5c. 
x�(x. 
. 
. 
(C:5d. 
. 
(x)�(. 
. 
x0. 
. 
. 
(x0)�(. 
. 
x0. 
(C:5e. 


A. 
de�ne. 
above. 
th. 
delt. 
functio. 
b. 
itsel. 
lack. 
mathematica. 
rigo. 
an. 
ha. 
n. 
meaning. 
Onl. 
whe. 
i. 
appear. 
i. 
a. 
integra. 
doe. 
i. 
hav. 
a. 
operationa. 
meaning. 
Tha. 
tw. 
integral. 
ar. 
equa. 
doe. 
no. 
impl. 
tha. 
th. 
integrand. 
ar. 
equal. 
However. 
fo. 
th. 
sak. 
o. 
convenienc. 
w. 
ofte. 
writ. 
mathematica. 
expression. 
involvin. 
�(x. 
suc. 



Dira. 
delt. 
functio. 
29. 


a. 
thos. 
i. 
equation. 
(C.5a�e). 
Thus. 
th. 
expression. 
(C.5a�e. 
an. 
simila. 
one. 
involvin. 
�(x. 
ar. 
no. 
t. 
b. 
take. 
a. 
mathematica. 
identities. 
bu. 
rathe. 
a. 
operationa. 
identities. 
On. 
sid. 
ca. 
replac. 
th. 
othe. 
withi. 
a. 
integra. 
tha. 
include. 
th. 
origin. 
fo. 
�(0). 
o. 
th. 
poin. 
x. 
fo. 
�(. 
. 
x0). 


Th. 
concep. 
o. 
th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
ca. 
b. 
mad. 
mor. 
mathematicall. 
rigorou. 
b. 
regardin. 
�(x. 
a. 
th. 
limi. 
o. 
. 
functio. 
whic. 
become. 
successivel. 
mor. 
peake. 
a. 
th. 
origi. 
whe. 
. 
paramete. 
approache. 
zero. 
On. 
suc. 
functio. 
i. 


1e�x2=�. 


�(x. 
. 
li. 


�!. 
�1=2. 


sinc. 


1e�x2=�. 


�1=2. 
�. 


1e�x. 
=�. 


!. 
a. 
. 
. 
0. 
. 
. 
. 


. 
0a. 
. 
!. 
Equatio. 
(C.3. 
the. 
become. 


li. 
. 
. 
(x)e�x. 
=�2d. 
. 
. 
(0. 


�!. 
�1=2. 
�. 
Othe. 
expression. 
whic. 
ca. 
b. 
use. 
t. 
de�n. 
�(x. 
includ. 


�!. 
. 
x. 
. 
�. 


1e�jxj=. 


�!02. 
Th. 
delt. 
functio. 
i. 
th. 
derivativ. 
o. 
th. 
Heavisid. 
uni. 
ste. 
functio. 
H(x). 
de�ne. 
a. 
th. 
limi. 
a. 
. 
. 
0o. 
H(x. 
�. 
(se. 
Figur. 
C.1. 


H(x. 
�. 
. 
. 
fo. 
. 
. 


. 
. 
��. 


.. 
fo. 
. 
. 
. 


. 
. 
fo. 
. 
. 


Thus. 
i. 
th. 
limi. 
w. 
hav. 
H(x. 
. 
. 
fo. 
. 
. 
. 


. 
. 
fo. 
. 
. 
. 


. 
. 
fo. 
. 
. 
. 
an. 
. 
H=dx. 
whic. 
equal. 
�(x). 
satis�e. 
equatio. 
(C.1). 
Th. 
differentia. 
dH(x. 
�. 
equal. 
dx=. 
fo. 
. 
betwee. 
��=. 
an. 
�=. 
an. 
i. 
zer. 
otherwise. 
I. 
w. 
tak. 
th. 
integra. 
o. 
�(x. 
fro. 
�. 
t. 
1,wehav. 


.. 
.. 
.. 
.�=. 
. 


�(x)d. 
. 
. 
. 
. 
li. 
dH(x. 
�. 
. 
d. 
. 
.. 
. 


�1�. 
�. 
��=. 
. 
2. 



29. 
Appendi. 
. 


H(x, �) 
1 


2�/2 0 �/2 x 

H(x) 
1 
1 
2 


0 
x 

Figur. 
C.. 
Th. 
Heavisid. 
uni. 
ste. 
functio. 
H(x). 
de�ne. 
a. 
th. 
limi. 
a. 
. 
. 
0o. 
H(x. 
�). 


an. 
conditio. 
(C.2. 
i. 
satis�ed. 


W. 
nex. 
assum. 
tha. 
th. 
derivativ. 
�9(x)o. 
�(x. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
exists. 
I. 
w. 
integrat. 
th. 
produc. 
. 
(x)�9(x. 
b. 
part. 
an. 
not. 
tha. 
th. 
integrate. 
par. 
vanishes. 
w. 
obtai. 


. 
(x)�9(x)d. 
.. 
. 
9(x)�(x)d. 
.. 
. 
9(0. 


wher. 
. 
9(x. 
i. 
th. 
derivativ. 
o. 
. 
(x). 
Fro. 
equation. 
(C.5a. 
an. 
(C.5d). 
i. 
follow. 
tha. 
�9(�x. 
. 
�9(x. 


x�9(x. 
.��(x. 
W. 
ma. 
als. 
evaluat. 
th. 
Fourie. 
transfor. 
�(k. 
o. 
th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
�(. 
. 
x0. 


e�. 
kx0

�(k. 
.. 
. 
�����. 
.. 
�(. 
. 
x0)e�ik. 
d. 
.. 
. 
����. 
��

2. 
�. 
2. 
Th. 
invers. 
Fourie. 
transfor. 
the. 
give. 
a. 
integra. 
representatio. 
o. 
th. 
delt. 
functio. 


�(. 
. 
x0. 
.. 
. 
�����. 
�(k)eik. 
d. 
. 
. 
e. 
k(x�x0. 
d. 
(C:6. 
2. 
�. 
�. 


Th. 
Dira. 
delt. 
functio. 
ma. 
b. 
readil. 
generalize. 
t. 
three-dimensiona. 
space. 
I. 
. 
represent. 
th. 
positio. 
vecto. 
wit. 
component. 
x. 
y. 
an. 
z. 
the. 
th. 
three-dimensiona. 
delt. 
functio. 
i. 
�(. 
. 
r0. 
. 
�(. 
. 
x0)�(. 
. 
y0)�(. 
. 
z0. 
an. 
possesse. 
th. 
propert. 
tha. 



Dira. 
delt. 
functio. 
29. 


. 
(r)�(. 
. 
r0)d. 
. 
. 
(r0. 
or. 
equivalently

. 
(x. 
y. 
z)�(. 
. 
x0)�. 
. 
. 
y0)�(. 
. 
z0)d. 
. 
. 
d. 
. 
. 
(x0. 
y0. 
z0. 


wher. 
th. 
rang. 
o. 
integratio. 
include. 
th. 
point. 
x0. 
y0. 
an. 
z0. 
Th. 
integra. 
representatio. 
i. 


eik(r�r0. 
dk

�(. 
. 
r0. 
. 
(C:7. 


(2�). 
�. 


wher. 
. 
i. 
. 
vecto. 
wit. 
component. 
kx. 
ky. 
an. 
k. 
an. 
wher. 
d. 
. 
dk. 
dk. 
dk. 



Appendi. 
. 


Hermit. 
polynomial. 


Th. 
Hermit. 
polynomial. 
Hn(�. 
ar. 
de�ne. 
b. 
mean. 
o. 
a. 
in�nit. 
serie. 
expansio. 
o. 
th. 
generatin. 
functio. 
g(�. 
s). 


. 
e�2�(s��). 


g(�. 
s. 
. 
e2�s�s. 
. 
Hn(�. 
(D:1. 


wher. 
�. 
. 
. 
. 
. 
an. 
wher. 
js. 
. 
. 
i. 
orde. 
fo. 
th. 
Taylo. 
serie. 
expansio. 
t. 
converge. 
Th. 
coef�cient. 
Hn(�. 
o. 
th. 
Taylo. 
expansio. 
ar. 
give. 
b. 


. 
ng(�. 
s. 
. 
. 
. 
. 
Hn(�. 
. 
. 
. 
e�. 
(e�(s��)2). 
(D:2. 


@s. 
@s. 


s.. 
s.. 


Fo. 
. 
functio. 
. 
(. 
. 
y. 
o. 
th. 
su. 
o. 
tw. 
variable. 
. 
an. 
y. 
w. 
not. 
tha. 


Applyin. 
thi. 
propert. 
wit. 
. 
. 
. 
an. 
. 
.�. 
t. 
th. 
nth-orde. 
partia. 
derivativ. 
i. 
equatio. 
(D.2). 
w. 
obtai. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
d. 


. 
e��. 


(e�(s��)2). 
. 
(�1). 
(e�(s��)2). 
. 
(�1). 


@s. 
@. 
. 
d. 
. 


s.. 
s.. 


an. 
equatio. 
(D.2. 
become. 


Hn(�. 
. 
(�1)ne�. 
(D:3. 


Anothe. 
expressio. 
fo. 
th. 
Hermit. 
polynomial. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
expandin. 
g(�. 
s. 
usin. 
equatio. 
(A.1. 


. 
s. 
(2. 
. 
s). 


g(�. 
s. 
. 
es(2��s. 
. 


Applyin. 
th. 
binomia. 
expansio. 
(A.2. 
t. 
th. 
facto. 
(2. 
. 
s)k. 
w. 
obtai. 


(�1). 
k. 
�

(2. 
. 
s). 
. 
(2�)k�. 
s

�!(. 
. 
�). 


an. 
g(�. 
s. 
take. 
th. 
for. 



Hermit. 
polynomial. 
29. 


. 
. 
(�1)�2k��. 
k�. 
sk.. 


g(�. 
s. 
. 


�!(. 
. 
�). 


k.. 
�.. 


W. 
nex. 
collec. 
al. 
th. 
coef�cient. 
o. 
s. 
fo. 
a. 
arbitrar. 
n. 
s. 
tha. 
. 
. 
. 
. 
n. 
an. 
replac. 
th. 
summatio. 
ove. 
. 
b. 
. 
summatio. 
ove. 
n. 
Whe. 
. 
. 
n. 
th. 
inde. 
. 
equal. 
zero. 
whe. 
. 
. 
. 
. 
1. 
th. 
inde. 
. 
equal. 
one. 
whe. 
. 
. 
. 
. 
2. 
th. 
inde. 
. 
equal. 
two. 
an. 
s. 
o. 
unti. 
w. 
hav. 
. 
. 
. 
. 
. 
an. 
. 
. 
M. 
Sinc. 
th. 
inde. 
. 
run. 
fro. 
. 
t. 
. 
s. 
tha. 
. 
. 
k. 
thi. 
�na. 
ter. 
give. 
. 
. 
. 
. 
. 
o. 
. 
. 
n=2. 
Thus. 
fo. 
. 
. 
. 
. 
n. 
th. 
summatio. 
ove. 
. 
terminate. 
a. 
. 
. 
. 
wit. 
. 
. 
n=. 
fo. 
. 
eve. 
an. 
. 
. 
(. 
. 
1)=. 
fo. 
. 
odd. 
Th. 
resul. 
o. 
thi. 
resummatio. 
i. 


. 
. 
(�1)�2n�2�. 
n�2. 


g(�. 
s. 
. 


�!(. 
. 
2�). 


n.. 
�.. 


Sinc. 
th. 
Hermit. 
polynomia. 
Hn(�. 
divide. 
b. 
n. 
i. 
th. 
coef�cien. 
o. 
s. 
i. 
th. 
expansio. 
(D.1. 
o. 
g(�. 
s). 
w. 
hav. 


(�1). 


. 
n�2�

Hn(�. 
. 
2nn. 
(D:4. 


22��!(. 
. 
2�). 


W. 
not. 
tha. 
Hn(�. 
i. 
a. 
od. 
o. 
eve. 
polynomia. 
i. 
. 
accordin. 
t. 
whethe. 
. 
i. 
od. 
o. 
eve. 
an. 
tha. 
th. 
coef�cien. 
o. 
th. 
highes. 
powe. 
o. 
. 
i. 
Hn(�)i. 
2n. 
Expressio. 
(D.4. 
i. 
usefu. 
fo. 
obtainin. 
th. 
serie. 
o. 
Hermit. 
polynomials. 
th. 
�rs. 
fe. 
o. 
whic. 
ar. 
H0(�. 
. 
. 
H3(�. 
. 
8�. 
. 
12. 


H1(�. 
. 
2. 
H4(�. 
. 
16�. 
. 
48�. 
. 
1. 


H2(�. 
. 
4�. 
. 
. 
H5(�. 
. 
32�. 
. 
160�. 
. 
120. 


Recurrenc. 
relation. 


W. 
nex. 
deriv. 
som. 
recurrenc. 
relation. 
fo. 
th. 
Hermit. 
polynomials. 
I. 
w. 
differentiat. 
equatio. 
(D.1. 
wit. 
respec. 
t. 
s. 
w. 
obtai. 


Xsn�. 


2(. 
. 
s)e2�s�s. 
. 
Hn(�. 


(. 
. 
1). 


Th. 
�rs. 
ter. 
(. 
. 
0. 
i. 
th. 
summatio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
vanishe. 
becaus. 
i. 
i. 
th. 
derivativ. 
o. 
. 
constant. 
Th. 
exponentia. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
i. 
th. 
generatin. 
functio. 
g(�. 
s). 
fo. 
whic. 
equatio. 
(D.1. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
giv. 


Xs. 
. 
sn�. 


2(. 
. 
s. 
Hn(�. 
. 
Hn(�. 


n. 
(. 
. 
1). 


n.. 
n.. 


Sinc. 
thi. 
equatio. 
i. 
vali. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
. 
wit. 
js. 
. 
1. 
w. 
ma. 
collec. 
term. 
correspondin. 
t. 
th. 
sam. 
powe. 
o. 
s. 
fo. 
exampl. 
sn. 
an. 
obtai. 


2�Hn(�. 
. 
. 
. 
n�1(�. 
. 
Hn.1(�. 
n. 
(. 
. 
1). 
n. 
o. 


Hn.1(�. 
. 
2�Hn(�. 
. 
2n. 
n�1(�. 
. 
. 
(D:5. 
Thi. 
recurrenc. 
relatio. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
obtai. 
. 
Hermit. 
polynomia. 
whe. 
th. 
tw. 
precedin. 
polynomial. 
ar. 
known. 



29. 
Appendi. 
. 


Anothe. 
recurrenc. 
relatio. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
differentiatin. 
equatio. 
(D.1. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
t. 
obtai. 


2se2�s�s. 


Replacin. 
th. 
exponentia. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
usin. 
equatio. 
(D.1. 
give. 


1. 
dHn2. 
Hn(�. 
. 


Xs. 
Xs. 


n. 
d. 
n. 


n.. 
n.. 
I. 
w. 
the. 
equat. 
th. 
coef�cient. 
o. 
sn. 
w. 
obtai. 
th. 
desire. 
resul. 


. 
2n. 
n�1(�. 
(D:6. 


Th. 
relation. 
(D.5. 
an. 
(D.6. 
ma. 
b. 
combine. 
t. 
giv. 
. 
thir. 
recurrenc. 
relation. 
Additio. 
o. 
th. 
tw. 
equation. 
give. 


Hn.1(�. 
. 
2. 
. 
Hn(�. 
(D:7. 


Wit. 
thi. 
recurrenc. 
relation. 
. 
Hermit. 
polynomia. 
ma. 
b. 
obtaine. 
fro. 
th. 
precedin. 
polynomial. 
B. 
applyin. 
th. 
relatio. 
(D.7. 
t. 
Hn(�. 
. 
times. 
w. 
hav. 


Hn.. 
(�. 
. 
2. 
. 
Hn(�. 
(D:8. 


Differentia. 
equatio. 


T. 
�n. 
th. 
differentia. 
equatio. 
tha. 
i. 
satis�e. 
b. 
th. 
Hermit. 
polynomials. 
w. 
�rs. 
differentiat. 
th. 
secon. 
recurrenc. 
relatio. 
(D.6. 
an. 
the. 
substitut. 
(D.6. 
wit. 
. 
replace. 
b. 
. 
. 
. 
t. 
eliminat. 
th. 
�rs. 
derivativ. 
o. 
Hn�1(�. 


d. 
H. 
. 
Hn�1

. 
2. 
. 
4n(. 
. 
1)Hn�2(�. 
(D:9. 


d�2d. 
Replacin. 
. 
b. 
. 
. 
. 
i. 
th. 
�rs. 
recurrenc. 
relatio. 
(D.5). 
w. 
hav. 
Hn(�. 
. 
2. 
Hn�1(�. 
. 
2(. 
. 
1)Hn�2(�. 
. 
. 
whic. 
ma. 
b. 
use. 
t. 
eliminat. 
Hn�2(�. 
i. 
equatio. 
(D.9). 
givin. 


. 
2nHn(�. 
. 
4n. 
Hn�1(�. 
. 
. 


Applicatio. 
o. 
equatio. 
(D.6. 
agai. 
t. 
eliminat. 
Hn�1(�. 
yield. 
d. 
H. 
dHn

. 
2. 
. 
2nHn(�. 
. 
. 
(D:10. 


d�2d. 
whic. 
i. 
th. 
Hermit. 
differentia. 
equation. 


Integra. 
relation. 


T. 
obtai. 
th. 
orthogonalit. 
an. 
normalizatio. 
relation. 
fo. 
th. 
Hermit. 
polynomials. 
w. 
multipl. 
togethe. 
th. 
generatin. 
function. 
g(�. 
s. 
an. 
g(�. 
t). 
bot. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(D.1). 
an. 
th. 
facto. 
e��. 
an. 
the. 
integrat. 
ove. 
. 


.. 
1. 
.1

XXsnt. 


e��2e��. 


. 
. 
g(�. 
s. 
g(�. 
t)d. 
. 
Hn(�. 
Hm(�)d. 
(D:11. 


n.. 
m.. 



Hermit. 
polynomial. 
29. 


Fo. 
convenience. 
w. 
hav. 
abbreviate. 
th. 
integra. 
wit. 
th. 
symbo. 
I. 
T. 
evaluat. 
th. 
lef. 
integral. 
w. 
substitut. 
th. 
analytica. 
form. 
fo. 
th. 
generatin. 
function. 
fro. 
equatio. 
(D.1. 
t. 
giv. 


e��2e2�s�s2e2�t�t2d. 
. 
e2s. 
e�(��s�t). 
d(. 
. 
. 
. 
t. 
. 
�1=2e2s. 


wher. 
equatio. 
(A.5. 
ha. 
bee. 
used. 
W. 
nex. 
expan. 
e2s. 
i. 
th. 
powe. 
serie. 
(A.1. 
t. 
obtai. 


X2nsnt. 


. 
. 
�1=. 


Substitutio. 
o. 
thi. 
expressio. 
fo. 
. 
int. 
equatio. 
(D.11. 
give. 


. 
1. 
.1

2n(st). 
snt. 


�1=2e��. 


. 
Hn(�)Hm(�)d. 
(D:12. 


n. 
n!m. 


n.. 
n.. 
m.. 


O. 
th. 
left-han. 
side. 
w. 
se. 
tha. 
ther. 
ar. 
n. 
term. 
fo. 
whic. 
th. 
powe. 
o. 
. 
i. 
no. 
equa. 
t. 
th. 
powe. 
o. 
t. 
Therefore. 
term. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
wit. 
. 
6
mus. 
vanish. 
givin. 


Hn(�)Hm(�)d. 
. 
0. 
. 
6
(D:13. 


Th. 
Hermit. 
polynomial. 
Hn(�. 
for. 
a. 
orthogona. 
se. 
ove. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
. 
wit. 
. 
weightin. 
facto. 
e��2
. 
I. 
w. 
equat. 
coef�cient. 
o. 
(st). 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
equatio. 
(D.12). 
w. 
obtai. 


. 
Hn(�)]. 
d. 
. 
2nn!�1=. 


whic. 
ma. 
b. 
combine. 
wit. 
equatio. 
(D.13. 
t. 
give

Hn(�. 
Hm(�)d. 
. 
2nn!�1=2�n. 
(D:14. 


Completenes. 


I. 
w. 
de�n. 
th. 
se. 
o. 
function. 
�n(�)a. 
n!)�1=2��1=4e��. 
=2

�n(�. 
. 
(2. 
Hn(�. 
(D:15. 
the. 
equatio. 
(D.14. 
show. 
tha. 
th. 
member. 
o. 
thi. 
se. 
ar. 
orthonorma. 
wit. 
weightin. 
facto. 
unity. 
W. 
ca. 
als. 
demonstrate. 
tha. 
thi. 
se. 
i. 
complete. 
W. 
begi. 
wit. 
th. 
integra. 
formul. 
(A.8. 
which. 
wit. 
suitabl. 
de�nition. 
fo. 
th. 
parameters. 
ma. 
b. 
writte. 
as

e�(s. 
=4).i�. 
d. 
. 
2�1=2e��. 


(D:16. 


I. 
w. 
replac. 
e��. 
i. 
equatio. 
(D.3. 
b. 
th. 
integra. 
i. 
(D.16). 
w. 
obtai. 
fo. 
Hn(�. 


(�1). 
(�1). 


e�2e�(s2=4).i�. 
d. 
. 
e�2e�s. 
=. 
ei�. 
ds

Hn(�. 
. 


2�1=. 
@. 
. 
2�1=. 
@. 
. 


(�i). 


e�2e�(s2=4).i�s

. 
s. 
d. 


2�1=. 


Se. 
D. 
Par. 
(1992. 
Introductio. 
t. 
th. 
Quantu. 
Theory. 
3r. 
editio. 
(McGraw-Hill. 
Ne. 
York). 
p. 
565. 



30. 
Appendi. 
. 


Th. 
functio. 
�n(�. 
a. 
de�ne. 
b. 
equatio. 
(D.15. 
the. 
become. 


(�i). 
. 


e�2=2e�(s2=4).i�s

�n(�. 
. 
s. 
d. 
(D:17. 


2(2n�n!)1=2�1=. 
�. 
W. 
no. 
evaluat. 
th. 
summatio. 


�n(�)�n(�9. 


b. 
substitutin. 
equatio. 
(D.17. 
twice. 
onc. 
wit. 
th. 
dumm. 
variabl. 
o. 
integratio. 
. 
an. 
onc. 
wit. 
. 
replace. 
b. 
t. 
Sinc. 
th. 
function. 
�n(�. 
ar. 
real. 
the. 
equa. 
thei. 
comple. 
conjugates. 
Thes. 
substitution. 
giv. 


. 
e(�2.�92)=2e�[(s. 
.t2)=4].i(�s.�9t)(�1).


X1. 
X. 


�n(�)�n(�9. 
. 
(st). 
d. 
d. 


4�3=22nn. 


n.. 
n.. 


sinc. 
(�i). 
. 
. 
(�1)n. 
Th. 
summatio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
i. 
easil. 
evaluate. 
usin. 
equatio. 
(A.1. 


. 
(�1). 
s. 


. 
e�st=. 


Notin. 
tha. 
s. 
. 
t. 
s. 
(. 
. 
t). 


w. 
hav. 


. 
e(�2.�92)=2e�[(s.t)2=4].i(�s.�9t)d. 
dt

�n(�)�n(�9. 
. 
(D:18. 


4�3=. 


Th. 
doubl. 
integra. 
ma. 
b. 
evaluate. 
b. 
introducin. 
th. 
ne. 
variable. 
. 
an. 
. 
. 
. 
t. 
. 
. 


. 
. 
. 
. 
. 
o. 
. 
. 
. 
. 
v. 
. 
. 
. 
. 
. 


d. 
d. 
. 
2d. 
d. 
Th. 
doubl. 
integra. 
i. 
thereb. 
factore. 
int. 


e�u2.i(�.�9). 
d. 
ei(���9). 
d. 
. 
. 
. 
�1=2e�(�.�9)2=. 
. 
2��(. 
. 
�9. 


wher. 
th. 
�rs. 
integra. 
i. 
evaluate. 
b. 
equatio. 
(A.8. 
an. 
th. 
secon. 
b. 
(C.6). 
Equatio. 
(D.18. 
no. 
become. 


�n(�)�n(�9. 
. 
e[(�. 
.�92)=2]�[(�.�9)2=4]�(. 
. 
�9. 
. 
e(���9)2=4�(. 
. 
�9. 


Applyin. 
equatio. 
(C.5e). 
w. 
obtai. 
th. 
completenes. 
relatio. 
fo. 
th. 
function. 
�n(�. 


�n(�)�n(�9. 
. 
�(. 
. 
�9. 
(D:19. 
demonstrating. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(3.31). 
tha. 
th. 
se. 
�n(�. 
i. 
. 
complet. 
set. 



Appendi. 
. 


Legendr. 
an. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 


Legendr. 
polynomial. 


Th. 
Legendr. 
polynomial. 
Pl(�. 
ma. 
b. 
de�ne. 
a. 
th. 
coef�cient. 
o. 
s. 
i. 
a. 
in�nit. 
serie. 
expansio. 
o. 
. 
generatin. 
functio. 
g(�. 
s. 


)�1=. 


g(�. 
s. 
(. 
�2�. 
.s2Pl(�)s. 
(E:1. 


wher. 
�. 
. 
. 
. 
. 
an. 
jsj. 
. 
i. 
orde. 
fo. 
th. 
in�nit. 
serie. 
t. 
converge. 
W. 
ma. 
als. 
expan. 
g(�. 
s. 
b. 
applyin. 
th. 
standar. 
formul. 


. 
z. 
dn. 
. 
z. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 



. 
(2. 
�1. 


. 
(z. 
(. 
�z)�1=. 
.. 


n. 
dz. 
z.. 
n. 
2. 


n.. 
n.. 


(2n). 


22n(n!). 


I. 
w. 
se. 
. 
. 
s(2. 
�s). 
the. 
g(�. 
s. 
become. 


(2n). 


g(�. 
s. 
. 
(2. 
�s). 


22n(n!). 


Wit. 
th. 
us. 
o. 
th. 
binomia. 
expansio. 
(A.2). 
th. 
facto. 
(2. 
�s). 
ca. 
b. 
furthe. 
expande. 
a. 


X(�1). 
n. 
�

(2. 
�s). 
. 
(2�)n�. 
s

�!(. 
��). 


s. 
tha. 


(�1)�(2n)!�n�. 


g(�. 
s. 
. 


2n.. 
n!�!(. 
��). 


n.. 
�.. 


W. 
nex. 
collec. 
al. 
th. 
coef�cient. 
o. 
s. 
fo. 
som. 
arbitrar. 
. 
an. 
replac. 
th. 
summatio. 
ove. 
. 
wit. 
. 
summatio. 
ove. 
l. 
Sinc. 
. 
.. 
. 
l. 
whe. 
. 
. 
l,w. 
hav. 
. 
.0. 
whe. 
. 
. 
. 
�1. 
w. 
hav. 
. 
.1. 
an. 
s. 
o. 
unti. 
. 
. 
. 
�M. 
. 
. 
M. 
wher. 
. 
. 
. 
�. 
o. 
. 
. 
l=2. 
Th. 
summatio. 
ove. 
. 
terminate. 
a. 
. 
. 
M,wit. 
. 
. 
l=. 
fo. 
. 
eve. 
an. 
. 
.(. 
�1)=. 
fo. 
. 
odd. 
becaus. 
. 
canno. 
b. 
greate. 
tha. 
n. 
Th. 
resul. 
i. 



30. 
Appendi. 
. 


(�1)�(2. 
. 
2�)!�l�2. 


2l�!(. 
. 
�)!(. 
. 
2�). 


g(�. 
s. 
. 


l.. 
�.. 


Sinc. 
th. 
Legendr. 
polynomial. 
ar. 
th. 
coef�cient. 
o. 
s. 
i. 
th. 
expansio. 
(E.1. 
o. 
g(�. 
s). 
w. 
hav. 


(�1)�(2. 
. 
2�). 


�l�2�

Pl(�. 
. 
(E:2. 


2l�!(. 
. 
�)!(. 
. 
2�). 


W. 
se. 
fro. 
equatio. 
(E.2. 
tha. 
Pl(�. 
fo. 
eve. 
. 
i. 
. 
polynomia. 
wit. 
onl. 
eve. 
power. 
o. 
�. 
whil. 
fo. 
od. 
. 
onl. 
od. 
power. 
o. 
. 
ar. 
present. 
Th. 
�rs. 
fe. 
Legendr. 
polynomial. 
ma. 
b. 
readil. 
obtaine. 
fro. 
equatio. 
(E.2. 
an. 
ar. 
P0(�. 
. 
. 
P3(�. 
. 
1(5�. 
. 
3�. 


P1(�. 
. 
. 
P4(�. 
. 
1(35�. 
. 
30�. 
. 
3. 


P2(�. 
. 
1(3�. 
. 
1. 
P5(�. 
. 
1(63�. 
. 
70�. 
. 
15�. 


W. 
observ. 
tha. 
Pl(1. 
. 
1. 
whic. 
ca. 
b. 
show. 
rigorousl. 
b. 
settin. 
. 
. 
1i. 
equatio. 
(E.1. 
an. 
notin. 
tha. 


g(1. 
s. 
. 
(. 
. 
s)�. 
. 
s. 
. 
Pl(1)s. 


l.. 
l.. 
Sinc. 
Pl(�. 
i. 
eithe. 
eve. 
o. 
od. 
i. 
�. 
i. 
follow. 
tha. 
Pl(�1. 
. 
(�1). 
an. 
tha. 
Pl(0. 
. 
. 
fo. 
. 
odd. 


Recurrenc. 
relation. 


W. 
nex. 
deriv. 
som. 
recurrenc. 
relation. 
fo. 
th. 
Legendr. 
polynomials. 
Differentia. 
tio. 
o. 
th. 
generatin. 
functio. 
g(�. 
s. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
give. 


. 
. 
. 
. 
. 
(. 
. 
s. 
. 
. 


. 
.. 
lPl(�)sl�. 
(E:3. 


@. 
(. 
. 
2. 
. 
s2)3=2. 
. 
2. 
. 
s. 


Th. 
ter. 
wit. 
. 
. 
. 
i. 
th. 
summatio. 
vanishes. 
s. 
tha. 
th. 
summatio. 
no. 
begin. 
wit. 
th. 
. 
. 
. 
term. 
W. 
ma. 
writ. 
equatio. 
(E.3. 
a. 


(. 
. 
s. 
Pl(�)s. 
. 
(. 
. 
2�. 
. 
s2. 
lPl(�)sl�. 
l.. 
l.. 
I. 
w. 
equat. 
coef�cient. 
o. 
sl�. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
th. 
equation. 
w. 
obtai. 
�Pl�1(�. 
. 
Pl�2(�. 
. 
lPl(�. 
. 
2(. 
. 
1)�Pl�1(�. 
. 
(. 
. 
2)Pl�2(�. 


lPl(�. 
. 
(2. 
. 
1)�Pl�1(�. 
. 
(. 
. 
1)Pl�2(�. 
. 
. 
(E:4. 
Th. 
recurrenc. 
relatio. 
(E.4. 
i. 
usefu. 
fo. 
evaluatin. 
Pl(�. 
whe. 
th. 
tw. 
precedin. 
polynomial. 
ar. 
known. 


Differentiatio. 
o. 
th. 
generatin. 
functio. 
g(�. 
s. 
i. 
equatio. 
(E.1. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
yield. 


@. 
. 
. 
2�. 
. 
s. 
whic. 
ma. 
b. 
combine. 
wit. 
equatio. 
(E.3. 
t. 
giv. 



Legendr. 
an. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
30. 


. 
. 
(. 
. 
s. 


s. 
tha. 


1. 
dPllPl(�)s. 
. 
(. 
. 
s. 
s. 


l.. 
l.. 
Equatin. 
coef�cient. 
o. 
s. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
thi. 
equatio. 
yield. 
. 
secon. 
recurrenc. 
relatio. 
dP. 
dPl�1

. 
�. 
lPl(�. 
. 
. 
(E:5. 


. 
thir. 
recurrenc. 
relatio. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
differentiatin. 
equatio. 
(E.4. 
t. 
giv. 
dP. 
dPl�1dPl�2

. 
. 
(2. 
. 
1). 
. 
(2. 
. 
1)Pl�1(�. 
. 
(. 
. 
1. 
. 
. 


an. 
the. 
eliminatin. 
dPl�2=d. 
b. 
th. 
substitutio. 
o. 
equatio. 
(E.5. 
wit. 
. 
replace. 
b. 
. 
. 
1. 
Th. 
resul. 
i. 
dP. 
dPl�1

. 
. 
. 
lPl�1(�. 
. 
. 
(E:6. 


Differentia. 
equatio. 


T. 
�n. 
th. 
differentia. 
equatio. 
satis�e. 
b. 
th. 
polynomial. 
Pl(�). 
w. 
�rs. 
multipl. 
equatio. 
(E.5. 
b. 
�. 
an. 
ad. 
th. 
resul. 
t. 
equatio. 
(E.6. 
t. 
giv. 


(. 
. 
�2. 
. 
l�Pl(�. 
. 
lPl�1(�. 
. 
. 


W. 
the. 
differentiat. 
t. 
obtai. 
d. 
P. 
dP. 
dP. 
dPl�1

(. 
. 
�2. 
. 
2. 
. 
l. 
. 
lPl(�. 
. 
. 
. 
. 


d�2d. 
d. 
d. 
Th. 
thir. 
an. 
las. 
term. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
ma. 
b. 
eliminate. 
b. 
mean. 
o. 
equatio. 
(E.5. 
t. 
giv. 
Legendre'. 
differentia. 
equatio. 
d. 
P. 
dPl

(. 
. 
�2. 
. 
2. 
. 
l(. 
. 
1)Pl(�. 
. 
. 
(E:7. 


d�2d. 


Rodrigues. 
formul. 


Rodrigues. 
formul. 
fo. 
th. 
Legendr. 
polynomial. 
ma. 
b. 
derive. 
a. 
follows. 
Conside. 
th. 
expressio. 
. 
. 
(�. 
. 
1). 
Th. 
derivativ. 
o. 
. 
i. 


. 
2l�(�. 
. 
1)l�. 
. 
2l�v(�. 
. 
1)�. 


whic. 
i. 
jus. 
th. 
differentia. 
equatio. 


(. 
. 
�2. 
. 
2l�. 
. 
. 


I. 
w. 
differentiat. 
thi. 
equation. 
w. 
obtai. 



30. 
Appendi. 
. 


d2. 
d. 


(. 
. 
�2. 
. 
2(. 
. 
1). 
. 
2l. 
. 
. 


d�2d. 
W. 
no. 
differentiat. 
. 
time. 
mor. 
an. 
obtai. 
dr.2. 
dr.1. 
dr. 
(. 
. 
�2. 
. 
2(. 
. 
. 
. 
1). 
. 
(. 
. 
1)(2. 
. 
r. 
. 
. 
(E:8. 


d�r.2d�r.1d�. 


I. 
w. 
le. 
. 
. 
. 
an. 
de�n. 
. 
a. 
dl. 
d. 


. 
. 
(�. 
. 
1). 


d�. 
d�. 
the. 
equatio. 
(E.8. 
reduce. 
t. 
d. 
. 
d. 


(. 
. 
�2. 
. 
2. 
. 
l(. 
. 
1). 
. 
. 


d�2d. 
whic. 
i. 
jus. 
Legendre'. 
differentia. 
equatio. 
(E.7). 
Sinc. 
th. 
polynomial. 
Pl(�. 
represen. 
al. 
o. 
th. 
solution. 
o. 
equatio. 
(E.7). 
thes. 
polynomial. 
mus. 
b. 
multiple. 
o. 
w. 
s. 
tha. 
Pl(�. 
. 
c. 
(�. 
. 
1). 


Th. 
proportionalit. 
constant. 
c. 
ma. 
b. 
evaluate. 
b. 
settin. 
th. 
ter. 
i. 
�l. 
namel. 


(2l). 


c. 
�. 
. 
. 
cl

d�ll. 
equa. 
t. 
th. 
ter. 
i. 
�. 
i. 
equatio. 
(E.2). 
i.e.. 
(2l). 


2l(l!). 
Thus. 
w. 
hav. 


Pl(�. 
. 
1(�. 
. 
1). 
(E:9. 


2ll!d�. 
Thi. 
expressio. 
(equatio. 
(E.9). 
i. 
Rodrigues. 
formula. 


Associate. 
Legendr. 
polynomial. 


Th. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
Pm(�. 
ar. 
de�ne. 
i. 
term. 
o. 
th. 
Legendr. 


polynomial. 
Pl(�)b. 


dmPl(�. 


P. 
)m=2

(�. 
. 
(. 
. 
�2(E:10. 


wher. 
. 
i. 
. 
positiv. 
integer. 
. 
. 
0. 
1. 
2. 
.... 
l.I. 
. 
. 
0. 
the. 
th. 
correspondin. 
associate. 
Legendr. 
polynomia. 
i. 
jus. 
th. 
Legendr. 
polynomia. 
o. 
degre. 
l.I. 
. 
. 
l. 
the. 
th. 
correspondin. 
associate. 
Legendr. 
polynomia. 
vanishes. 


Th. 
generatin. 
function. 
g. 
m)(�. 
s. 
fo. 
th. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
ma. 
b. 
foun. 
fro. 
equatio. 
(E.1. 
b. 
lettin. 



Legendr. 
an. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
30. 


dmg(�. 
s. 


g. 
m))m=2

(�. 
s. 
.(. 
��2

Sinc. 


dmg(�. 
s. 
2)

.. 
. 
. 
. 



. 
(2. 
�1)sm(. 
�2�. 
.s2)�(m.. 


(2m). 
)

. 
sm(. 
�2�. 
.s2)�(m.. 


w. 
hav. 


. 
(2m)!(. 
��2)m=. 
s. 


g(m)(�. 
s. 
. 
(�)s. 
. 
(E:11. 


2mm!(. 
�2�. 
.s2)m.. 


W. 
ca. 
als. 
writ. 
a. 
explici. 
serie. 
fo. 
Pm(�. 
b. 
differentiatin. 
equatio. 
(E.2. 
. 


time. 


M. 
(�1)�(2. 
�2�)!�l�m�2. 


P. 
)m=2

(�. 
.(. 
��2(E:12. 


. 
2l�!(. 
��)!(. 
�. 
�2�). 


wher. 
M. 
.(. 
�m)=2or(. 
�. 
�1)=2. 
whicheve. 
i. 
a. 
integer. 
Furthermore. 
combinin. 
equatio. 
(E.10. 
wit. 
Rodrigues. 
formul. 
(E.9). 
w. 
se. 
tha. 


(�. 
. 
(. 
��2)m=2(�. 
�1). 
(E:13. 


. 
2ll. 
d�l.. 


Th. 
�rs. 
fe. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
ar. 


(�. 
. 
P0(�. 
.. 


P01(�. 
. 
. 


(�. 
.(. 
��2)1=. 


P0(�. 
. 
P2(�. 
.1(3�. 
�1. 


(�. 
.3�(. 
��2)1=. 


(�. 
.3(. 
��2. 


Differentia. 
equatio. 


Th. 
differentia. 
equatio. 
satis�e. 
b. 
th. 
polynomial. 
Pm(�. 
ma. 
b. 
obtaine. 
a. 


follows. 
Le. 
. 
. 
. 
.. 
i. 
equatio. 
(E.8. 
an. 
de�n. 
w. 
a. 
dl.. 
d. 
Plw. 
. 
(�. 
�1). 
.2ll. 
(E:14. 


d�l.. 
d�. 
s. 
tha. 
)�m=. 
Pm

w. 
.2ll!(. 
��2(�. 
(E:15. 


Equatio. 
(E.8. 
the. 
become. 


d. 
w. 
dwm

(. 
��2. 
�2(. 
.1). 
.[l(. 
.1. 
�m(. 
.1)]w. 
.. 
(E:16. 


d�2d. 



30. 
Appendi. 
. 


W. 
the. 
substitut. 
equatio. 
(E.15. 
fo. 
w. 
an. 
tak. 
th. 
�rs. 
an. 
secon. 
derivative. 
a. 
indicate. 
t. 
obtai. 


d. 
P. 
dP. 
m. 


(. 
. 
�2. 
. 
2. 
. 
l(. 
. 
1. 
. 
Plm(�. 
. 
. 
(E:17. 


d�2d. 
. 
. 
�. 


Equatio. 
(E.17. 
i. 
th. 
associate. 
Legendr. 
differentia. 
equation. 


Orthogonalit. 


Equatio. 
(E.17. 
a. 
satis�e. 
b. 
Pm(�. 
an. 
b. 
Pml. 
(�. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 


ddPl
. 
m. 


(. 
. 
�2. 
. 
l(. 
. 
1. 
. 
(�. 
. 
. 


d. 
d. 
. 
. 
�. 
. 


ddP. 
m. 


(. 
. 
�2. 
. 
l9(l. 
. 
1. 
. 
l. 
(�. 
. 
. 


d. 
d. 
. 
. 
�. 


I. 
w. 
multipl. 
th. 
�rs. 
b. 
Pml. 
(�. 
an. 
th. 
secon. 
b. 
Pm
. 
(�. 
an. 
the. 
subtract. 
w. 
hav. 


ddP. 
ddP. 


Pm. 
l. 
P. 


l. 
(. 
. 
�2. 
. 
P. 
(. 
. 
�2. 
. 
[l9(l. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1)]Pml

d. 
d. 
. 
d. 
d. 
l. 
W. 
the. 
ad. 
t. 
an. 
subtrac. 
fro. 
th. 
left-han. 
sid. 
th. 
ter. 
dP. 
dP. 


(. 
. 
�2. 
ll. 


s. 
a. 
t. 
obtai. 


ddPl
. 
dP. 


(. 
. 
�2. 
P. 
. 
P. 
l. 
. 
[l9(l. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1)]P. 


l. 
. 
ll. 


W. 
nex. 
integrat. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
fro. 
�1t. 
.. 
an. 
not. 
tha. 


. 
1

dP. 
dP. 


(. 
. 
�2. 
Pml. 
. 
Pm
. 
. 
. 


d. 
d. 
�. 
givin. 


[l9(l. 
. 
1. 
. 
l(. 
. 
1). 
P. 
Pl
. 
. 
d. 
. 
. 


I. 
l. 
6
l. 
the. 
th. 
integra. 
mus. 
vanis. 


Pm
. 
(�)Pml. 
(�)d. 
. 
. 
(E:18. 


s. 
tha. 
th. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
Pm(�. 
wit. 
�xe. 
. 
for. 
a. 
orthogona. 


se. 
o. 
functions. 
Sinc. 
equatio. 
(E.18. 
i. 
vali. 
fo. 
. 
. 
0. 
th. 
Legendr. 
polynomial. 
Pl(�. 
ar. 
als. 
a. 
orthogona. 
set. 


Normalizatio. 


W. 
nex. 
wis. 
t. 
evaluat. 
th. 
integra. 
Il. 


Il. 
. 
[Pm(�)]. 
d. 


A. 
. 
�rs. 
step. 
w. 
evaluat. 
Il. 



Legendr. 
an. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
30. 


Il. 
. 
[Pl(�)]. 
d. 


W. 
solv. 
th. 
recurrenc. 
relatio. 
(E.4. 
fo. 
Pl(�). 
multipl. 
bot. 
side. 
b. 
Pl(�). 
integrat. 
wit. 
respec. 
t. 
. 
fro. 
�1t. 
.1. 
an. 
not. 
tha. 
on. 
o. 
th. 
integral. 
vanishe. 
accordin. 
t. 
th. 
orthogonalit. 
relatio. 
(E.18). 
s. 
tha. 


[Pl(�)]. 
d. 
. 
�Pl(�)Pl�1(�)d. 


Replacin. 
. 
b. 
. 
.. 
i. 
equatio. 
(E.4). 
w. 
ca. 
substitut. 
fo. 
�Pl(�. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
Agai. 
applyin. 
equatio. 
(E.18). 
w. 
�n. 
tha. 


[Pl(�)]. 
d. 
. 
[Pl�1(�)]. 
d. 


Thi. 
relationshi. 
ca. 
the. 
b. 
applie. 
successivel. 
t. 
obtai. 


(2. 
�1)(2. 
�3. 


[Pl(�)]. 
d. 
. 
[Pl�2(�)]. 
d. 


(2. 
.1)(2. 
�1. 


(2. 
�1)(2. 
�3. 



. 


. 
[P0(�)]. 
d. 


(2. 
.1)(2. 
�1)(2. 
�3. 



. 


. 
. 
.1[P0(�)]. 
d. 


Sinc. 
P0(1. 
.1. 
th. 
desire. 
resul. 
i. 


[Pl(�)]. 
d. 
. 
1d. 
. 
. 
(E:19. 


2. 
.12. 
.. 
W. 
ar. 
no. 
read. 
t. 
evaluat. 
Ilm. 
Fro. 
equatio. 
(E.10. 
w. 
hav. 


.. 
. 
.. 
. 
dmP. 
d. 
P. 
ddm�. 
P. 


Il. 
. 
(. 
��2). 
d. 
. 
(. 
��2). 
d. 


�1d�. 
�1d�. 
d. 
d�m�. 


Integratio. 
b. 
part. 
give. 


. 
.. 
. 


dmP. 
dm�. 
P. 
. 
dm�. 
P. 
dd. 
Pl

Il. 
.(. 
��2). 
. 
(. 
��2). 
d. 
(E:20. 


. 
d�m�1

d�. 
d�m�1d. 
d�. 


Th. 
integrate. 
par. 
vanishe. 
becaus. 
(. 
��2. 
.0a. 
. 
.1. 
T. 
evaluat. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(E.20). 
w. 
replac. 
. 
b. 
. 
�. 
i. 
(E.16. 
an. 
multipl. 
b. 
(. 
��2)m�. 
t. 
obtai. 


d. 
wm�1dwm�1

(. 
��2). 
�2m�(. 
��2)m�. 


d�2d. 


.[l(. 
.1. 
�m(. 
�1)](. 
��2)m�. 
wm�. 
.. 
whic. 
ca. 
b. 
rewritte. 
a. 


ddwm�1

(. 
��2). 
.�(. 
.m)(. 
�. 
.1)(. 
��2)m�. 
wm�. 
.. 


Fro. 
equatio. 
(E.14. 
w. 
se. 
tha. 



30. 
Appendi. 
. 
dm�. 
Pl

wm�. 
.2ll. 


d�m�. 
an. 
dwm�. 
d. 
. 
w. 
.2. 
l. 
d. 
P. 
d�. 
s. 
tha. 
. 
. 
d. 
P. 
. 
dm�. 
Pl

). 
)m�1

(. 
��2.�(. 
.m)(. 
�. 
.1)(. 
��2

d. 
d�. 
d�m�. 
Thus. 
equatio. 
(E.20. 
take. 
th. 
for. 


dm�. 
PlIl. 
.(. 
.m)(. 
�. 
.1. 
(. 
��2)m�1d. 


d�m�. 


Usin. 
equatio. 
(E.10. 
t. 
introduc. 
Pm�1(�). 
w. 
hav. 


[Pm�1

Il. 
.(. 
.m)(. 
�. 
.1. 
(�)]. 
d. 


.(. 
.m)(. 
�. 
.1)Il. 
m�. 
whic. 
relate. 
Il. 
t. 
Il,m�1. 
Thi. 
proces. 
ca. 
b. 
repeate. 
unti. 
Il. 
i. 
obtaine. 
Il. 
.[(. 
.m)(. 
.. 
�1)][(. 
�. 
.1)(. 
�. 
.2)]Il. 
m�. 


.[(. 
.m)(. 
.. 
�1. 



(. 
.1)][(. 
�. 
.1)(. 
�. 
.2. 


. 
l]Il. 


(. 
.m). 
l. 


l. 
(. 
�m). 
s. 
tha. 


2(. 
.m). 


[Pm(�)]. 
d. 
.

. 
(2. 
.1)(. 
�m). 


Completenes. 


Th. 
se. 
o. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
Pm(�. 
wit. 
. 
�xe. 
an. 
. 
. 
m. 


. 
.1. 
.... 
for. 
. 
complet. 
orthogona. 
set. 
i. 
th. 
rang. 
�. 
. 
. 
. 
1. 
Thus. 
a. 
arbitrar. 
functio. 
. 
(�. 
ca. 
b. 
expande. 
i. 
th. 
serie. 


. 
(�. 
. 
almPm(�. 


wit. 
th. 
expansio. 
coef�cient. 
give. 
b. 


Th. 
proo. 
o. 
completenes. 
ma. 
b. 
foun. 
i. 
W. 
Kapla. 
(1991. 
Advance. 
Calculus. 
4t. 
editio. 
(Addison. 
Wesley. 
Reading. 
MA. 
p. 
53. 
an. 
i. 
G. 
Birkhof. 
an. 
G.-C. 
Rot. 
(1989. 
Ordinar. 
Differentia. 
Equations. 
4t. 
editio. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 
pp. 
350�4. 



Legendr. 
an. 
associate. 
Legendr. 
polynomial. 
30. 


2. 
. 
1(. 
. 
m). 


2(. 
. 
m). 
l

al. 
. 
(�. 
. 
(�)d. 


Th. 
completenes. 
relatio. 
fo. 
th. 
polynomial. 
Pm(�)i. 


2. 
. 
1(. 
. 
m). 


Pm(�)P. 


l. 
(�9. 
. 
�(. 
. 
�9. 


2(. 
. 
m). 



Appendi. 
. 


Laguerr. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 


Laguerr. 
polynomial. 


Th. 
Laguerr. 
polynomial. 
Lk(r. 
ar. 
de�ne. 
b. 
mean. 
o. 
th. 
generatin. 
functio. 
g(r. 
s. 


g(r. 
s. 
. 
L. 
(r. 
(F:1. 


. 
. 
sk. 


wher. 
. 
. 
. 
. 
. 
an. 
wher. 
js. 
. 
. 
i. 
orde. 
t. 
ensur. 
convergenc. 
o. 
th. 
in�nit. 
series. 
Sinc. 
th. 
right-han. 
ter. 
i. 
. 
Taylo. 
serie. 
expansio. 
o. 
g(r. 
s). 
th. 
Laguerr. 


e�rs=(1�s. 


polynomial. 
ar. 
give. 
b. 


e�rs=(1�s. 


s.. 
@s. 
. 
. 
. 


. 
kg(r. 
s. 


L. 
(r. 
. 


(F:2. 


T. 
evaluat. 
L. 
(r. 
fro. 
equatio. 
(F.2). 
w. 
�rs. 
facto. 
ou. 
e. 
i. 
th. 
generatin. 
functio. 
an. 
expan. 
th. 
remainin. 
exponentia. 
functio. 
i. 
. 
Taylo. 
serie. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
�. 
. 
. 
. 
�!

�.. 
�.. 


W. 
the. 
tak. 
. 
successiv. 
derivative. 
o. 
g(r. 
s. 
wit. 
respec. 
t. 
. 


(�1). 


(�1)�r. 


e�r=(1�s. 
. 


(. 
. 
s)�(�.1)

g(r. 
s. 
. 


(�1)�r�

. 
g(r. 
s. 


(. 
. 
1)(. 
. 
s)�(�.2. 


@s. 
�. 


(�1)�r�

@. 
g(r. 
s. 


(. 
. 
1)(. 
. 
2)(. 
. 
s)�(�.3. 


@s. 
�. 
�. 


Whe. 
th. 
kt. 
derivativ. 
i. 
evaluate. 
a. 
. 
. 
0. 
w. 
hav. 


(�1)�r�

. 
kg(r. 
s. 


(. 
. 
k). 


(. 
. 
s)�(�.k.1. 


L. 
(r. 
. 
e. 


(�!). 


(�1)�(. 
. 
k). 


r. 
(F:3. 



Laguerr. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
31. 


Usin. 
equatio. 
(A.1. 
w. 
not. 
tha. 


d. 
d. 
. 
(�1). 
. 
(�1)�(. 
. 
k). 


(r. 
e�r. 
. 
r�.. 
. 
r. 
(F:4. 


dr. 
dr. 
�. 
(�!). 


�.. 
�.. 


Combinin. 
equation. 
(F.3. 
an. 
(F.4). 
w. 
obtai. 
th. 
formul. 
fo. 
th. 
Laguerr. 
polynomial. 
L. 
(r. 
. 
e. 
(r. 
e�r. 
(F:5. 


Anothe. 
relationshi. 
fo. 
th. 
polynomial. 
L. 
(r. 
ca. 
b. 
obtaine. 
b. 
expandin. 
th. 
generatin. 
functio. 
g(r. 
s. 
i. 
equatio. 
(F.1. 
usin. 
(A.1. 
e�rs=(1�s. 
. 


(�1)�r. 


g(r. 
s. 
.. 


. 
. 
. 
�. 
(. 
. 
s)�.. 


Th. 
facto. 
(. 
. 
s)�(�.1. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
a. 
in�nit. 
serie. 
usin. 
equatio. 
(A.3. 
t. 
obtai. 


. 
(. 
. 
�). 


(. 
. 
s)�(�.1. 
. 
s. 


s. 
tha. 
g(r. 
s. 
become. 


1. 
(�1)�(. 
. 
�)!r. 


g(r. 
s. 
. 


(�!)2�!

�.. 
�.. 


W. 
nex. 
collec. 
al. 
th. 
coef�cient. 
o. 
s. 
fo. 
a. 
arbitrar. 
k. 
s. 
tha. 
. 
. 
. 
. 
k. 
an. 
replac. 
th. 
summatio. 
ove. 
. 
b. 
. 
summatio. 
ove. 
k. 
Whe. 
. 
. 
k. 
th. 
inde. 
. 
equal. 
zero. 
whe. 
. 
. 
. 
. 
1. 
th. 
inde. 
. 
equal. 
one. 
an. 
s. 
o. 
unti. 
w. 
hav. 
. 
. 
. 
an. 
. 
. 
k. 
Thus. 
th. 
resul. 
o. 
th. 
summatio. 
i. 


. 
. 
(�1)k��rk�. 


g(r. 
s. 
. 
k. 


[(. 
. 
�)!]2�. 


k.. 
�.. 


Sinc. 
th. 
Laguerr. 
polynomia. 
L. 
(r. 
divide. 
b. 
k. 
i. 
th. 
coef�cien. 
o. 
s. 
i. 
th. 
expansio. 
(F.1. 
o. 
th. 
generatin. 
function. 
w. 
hav. 


(�1)k�. 


L. 
(r. 
. 
(k!). 


[(. 
. 
�)!]2�. 


I. 
w. 
le. 
. 
. 
. 
. 
. 
an. 
replac. 
th. 
summatio. 
ove. 
. 
b. 
. 
summatio. 
ove. 
�,w. 
obtai. 
th. 
desire. 
resul. 


(�1). 


L. 
(r. 
. 
(k!). 
r. 
(F:6. 


(�!)2(. 
. 
�). 


. 
thir. 
relationshi. 
fo. 
th. 
polynomial. 
L. 
(r. 
ca. 
b. 
obtaine. 
b. 
expandin. 
th. 
derivativ. 
i. 
equatio. 
(F.5). 
usin. 
(A.4). 
t. 
giv. 
Xdk��e�. 
k

k. 
d�r. 
(�1)k�. 
k. 
d�r. 


L. 
(r. 
. 
e. 
. 


�!(. 
. 
�). 
dr. 
drk���!(. 
. 
�). 
dr. 


�.. 
�.. 


W. 
no. 
observ. 
tha. 
th. 
operato. 
[(d=dr. 
. 
1]. 
ma. 
b. 
expande. 
accordin. 
t. 
th. 
binomia. 
theore. 
(A.2. 
a. 



31. 
Appendi. 
. 


(�1). 
k. 
d. 


[(d=dr. 
. 
1]. 
. 
(�1). 
[. 
. 
(d=dr)]. 
. 
(�1). 


�!(. 
. 
�). 
dr. 


s. 
tha. 
L. 
(r. 
. 
[(d=dr. 
. 
1]. 
r. 
(F:7. 
wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
(�1). 
. 
(�1)��. 
Fro. 
equatio. 
(F.2). 
(F.5). 
(F.6). 
o. 
(F.7). 
w. 
observ. 
tha. 
th. 
polynomia. 
L. 
(r)iso. 
degre. 
. 
an. 
w. 
ma. 
readil. 
obtai. 
th. 
�rs. 
fe. 
polynomial. 
o. 
th. 
se. 
L0(r. 
. 
. 


L1(r. 
. 
. 
. 
. 


L2(r. 
. 
. 
. 
4. 
. 
r. 


L3(r. 
. 
. 
. 
18. 
. 
9r. 
. 
r. 
W. 
als. 
not. 
tha. 
L. 
(0. 
. 
k!. 


Differentia. 
equatio. 


Equatio. 
(F.5. 
ca. 
b. 
use. 
t. 
�n. 
th. 
differentia. 
equatio. 
satis�e. 
b. 
th. 
polynomial. 
L. 
(r). 
W. 
not. 
tha. 
th. 
functio. 
. 
(r. 
de�ne. 
a. 
. 
(r. 
. 
r. 
e�. 
satis�e. 
th. 
relatio. 


. 
. 
(. 
. 
k. 
. 
. 
. 


I. 
w. 
differentiat. 
thi. 
expressio. 
. 
. 
. 
times. 
w. 
obtai. 


d. 
. 
(k). 
. 
(k. 
. 
. 
(. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
1. 
. 
(k. 
. 
. 


dr2d. 
wher. 
. 
. 
k. 
i. 
th. 
kt. 
derivativ. 
o. 
. 
(r). 
Sinc. 
fro. 
equatio. 
(F.5. 
w. 
hav. 
. 
(k. 
. 
e�. 


L. 
(r. 
th. 
Laguerr. 
polynomial. 
L. 
(r. 
satisf. 
th. 
differentia. 
equatio. 
d. 
L. 
dLk

. 
. 
(. 
. 
r. 
. 
kL. 
(r. 
. 
. 
(F:8. 


dr2d. 


Associate. 
Laguerr. 
polynomial. 


Th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
L. 
(r. 
ar. 
de�ne. 
i. 
term. 
o. 
th. 
Laguerr. 


polynomial. 
b. 


. 
(r. 
. 
L. 
(r. 
(F:9. 


Sinc. 
L. 
(r. 
i. 
. 
polynomia. 
o. 
degre. 
k. 
L. 
(r. 
i. 
. 
constan. 
an. 
. 
(r. 
. 
. 
fo. 
. 
. 
k. 


Th. 
generatin. 
functio. 
g(r. 
s. 
j. 
fo. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
wit. 
�xe. 
. 
i. 
readil. 
obtaine. 
b. 
differentiatio. 
o. 
equatio. 
(F.1. 



Laguerr. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
31. 


e�rs=(1�s. 
. 
j

. 
. 
e�rs=(1�s. 


(�1)js. 


(F:10. 


g(r. 
s. 
j. 
. 


(. 
. 
s)j.1

dr. 
. 
. 
. 


Th. 
summatio. 
i. 
th. 
right-han. 
ter. 
begin. 
wit. 
. 
. 
j. 
sinc. 
. 
canno. 
excee. 
k. 


W. 
ca. 
writ. 
a. 
explici. 
serie. 
fo. 
L. 
(r. 
b. 
substitutin. 
equatio. 
(F.6. 
int. 
(F.9. 


(�!)2(. 
. 
�). 
d. 
. 
�!(. 
. 
�)!(. 
. 
j)!

�.. 
�. 
. 


(�1). 


(�1). 


r. 
. 
(k!)2

. 
(r. 
. 
(k!). 


Th. 
summatio. 
ove. 
. 
no. 
begin. 
wit. 
th. 
ter. 
. 
. 
. 
becaus. 
th. 
earlie. 
term. 
vanis. 
i. 
th. 
differentiation. 
I. 
w. 
le. 
. 
. 
. 
. 
. 
an. 
replac. 
th. 
summatio. 
ove. 
. 
b. 
. 
summatio. 
ove. 
�,w. 
hav. 


�!(. 
. 
. 
. 
�)!. 
. 
. 
�). 


(�1. 
j.�r. 


(r. 
. 
(k!). 


(F:11. 


Fo. 
th. 
purpos. 
o. 
derivin. 
som. 
usefu. 
relationship. 
involvin. 
th. 
polynomial. 


. 
(r). 
w. 
de�n. 
th. 
polynomia. 
�j(r)a. 


(r. 
. 
. 
(r. 
(F:12. 


(. 
. 
j). 


I. 
w. 
replac. 
th. 
dumm. 
inde. 
o. 
summatio. 
. 
i. 
equatio. 
(F.10. 
b. 
i. 
wher. 
. 
. 
. 
. 
j. 
the. 
(F.10. 
take. 
th. 
for. 


(. 
. 
j). 
i. 


i.. 
i.. 


Thus. 
�j(r. 
ar. 
jus. 
th. 
coef�cient. 
i. 
. 
Taylo. 
serie. 
expansio. 
o. 
th. 
functio. 


s. 
jg(r. 
s. 
j. 
an. 
are. 
therefore. 
give. 
b. 


si. 
. 
. 
sj

g(r. 
s. 
j. 
. 


�js. 
j

(r. 
. 
g(r. 
s. 
j. 


Substitutin. 
fo. 
g(r. 
s. 
j. 
usin. 
equatio. 
(F.10). 
w. 
obtai. 


@. 
e�rs=(1�s. 


(r. 
. 
(�1). 


. 
@s. 
(. 
. 
s. 
j.. 


@. 
ere�r=(1�s. 


. 
(�1). 


@s. 
(. 
. 
s. 
j.. 


(�r). 


�!(. 
. 
s)�. 
j.. 


. 
(�1). 
e. 


. 
(�1)j

(�r). 
(. 
. 
. 
. 
i). 


(. 
. 
s)�(�. 
j.i.1. 


�. 
(. 
. 
j). 


�!(. 
. 
j). 


W. 
nex. 
not. 
tha. 


(. 
. 
. 
. 
i). 


. 
(�1)je. 


(�r). 
(F:13. 



31. 
Appendi. 
. 
d. 
d. 
XX

. 
(�1). 
. 
(�1). 
(. 
. 
. 
. 
i). 


dr. 
(ri. 
je�r. 
. 
dr. 
�.. 
�. 
r�. 
j.. 
. 
�.. 
�. 
(. 
. 
j). 
r�. 
. 
. 
. 
. 
X. 
�.. 
(. 
. 
. 
. 
i). 
�!(. 
. 
j). 
(�r). 
(F:14. 
Compariso. 
o. 
equation. 
(F.13. 
an. 
(F.14. 
yield. 
th. 
resul. 
tha. 
�. 
. 
(r. 
. 
(�1)jr. 
je. 
d. 
dr. 
(ri. 
je�r. 
Fro. 
equatio. 
(F.12. 
w. 
obtai. 
. 
. 
i. 
j(r. 
. 
(�1. 
. 
(. 
. 
j). 
i. 
r. 
je. 
d. 
dr. 
(ri. 
je�r. 
Finally. 
replacin. 
. 
b. 
th. 
origina. 
inde. 
. 
(. 
. 
. 
j). 
w. 
hav. 
. 
. 
. 
(r. 
. 
(�1. 
. 
k. 
(. 
. 
j). 
r. 
je. 
dk. 
. 
drk. 
. 
(r. 
e�r. 
(F:15. 


Equatio. 
(F.15. 
fo. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
i. 
th. 
analo. 
o. 
(F.5. 
fo. 
th. 
Laguerr. 
polynomial. 
and. 
i. 
fact. 
whe. 
. 
. 
0. 
equatio. 
(F.15. 
reduce. 
t. 
(F.5). 


Differentia. 
equatio. 


Th. 
differentia. 
equatio. 
satis�e. 
b. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
ma. 
b. 
obtaine. 
b. 
repeatedl. 
differentiatin. 
equation. 
(F.8. 
. 
time. 


d. 
L. 
d. 
L. 
dLk

. 
. 
(. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
1. 
. 
. 


dr3dr2d. 


d. 
L. 
d. 
L. 
d. 
Lk

. 
. 
(. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
2. 
. 
. 


dr4dr3dr. 


. 
j.. 
L. 
. 
j.. 
L. 
. 
jLk. 
. 
(. 
. 
. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
j. 
. 
. 


d. 
j.2drj.1d. 
. 


Whe. 
th. 
polynomial. 
L. 
(r. 
ar. 
introduce. 
wit. 
equatio. 
(F.9). 
th. 
differentia. 
equatio. 
i. 


d. 
Ld. 


. 
. 
(. 
. 
. 
. 
r. 
. 
(. 
. 
j)L. 
(r. 
. 
. 
(F:16. 


dr2d. 


Integra. 
relation. 


I. 
orde. 
t. 
obtai. 
th. 
orthogonalit. 
an. 
normalizatio. 
relation. 
o. 
th. 
associat. 
Laguerr. 
polynomials. 
w. 
mak. 
us. 
o. 
th. 
generatin. 
functio. 
(F.10). 
W. 
multipl. 
togethe. 
g(r. 
s. 
j). 
g(r. 
t. 
j). 
an. 
th. 
facto. 
rj.�e�. 
an. 
the. 
integrat. 
ove. 
. 
t. 
giv. 
a. 
integra. 
tha. 
w. 
abbreviat. 
wit. 
th. 
symbo. 
. 


.. 
1. 
.1

XXs. 
t. 


rj.�e�r. 
j.�e�. 
Lj

. 
. 
g(r. 
s. 
j)g(r. 
t. 
j)d. 
. 
�(r)L(r)d. 


. 
�!�. 
�

�. 
. 
�. 
. 


(F:17. 



Laguerr. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
31. 


T. 
evaluat. 
th. 
left-han. 
integral. 
w. 
substitut. 
th. 
analytica. 
form. 
o. 
th. 
generatin. 
function. 
fro. 
equatio. 
(F.10. 
t. 
giv. 


(st. 
. 


rj.�e�a. 
dr

. 
. 
(F:18. 


(. 
. 
s. 
j.1(. 
. 
t. 
j.1
. 
wher. 
s. 
. 
. 
s. 


. 
. 
. 
... 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
(. 
. 
s)(. 
. 
t. 
Th. 
integra. 
i. 
equatio. 
(F.18. 
i. 
jus. 
th. 
gamm. 
functio. 
(A.26). 
s. 
tha. 


�(. 
. 
. 
. 
1. 
. 
. 
. 
�). 


. 
j.�e�a. 


d. 
.. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 


aj.�.. 
aj.�.. 


wher. 
w. 
hav. 
restricte. 
. 
t. 
intege. 
values. 
Thus. 
. 
i. 
equatio. 
(F.18. 
i. 
(. 
. 
�)!(st)j(. 
. 
s)�(. 
. 
t). 


(. 
. 
st. 
j.�.. 
Applyin. 
th. 
expansio. 
formul. 
(A.3). 
w. 
hav. 


. 
. 
. 
. 
. 
. 
i). 


(. 
. 
st)�. 
j.�.1. 
. 
(st). 


(. 
. 
�)!i. 


I. 
w. 
replac. 
th. 
dumm. 
inde. 
. 
b. 
�. 
wher. 
. 
. 
. 
. 
j. 
the. 
thi. 
expressio. 
become. 


. 
(. 
. 
�). 


(. 
. 
st)�. 
j.�.1. 
. 
(st)�. 
. 


(. 
. 
�)!(. 
. 
j). 


an. 
. 
take. 
th. 
for. 


. 
(. 
. 
�). 


. 
. 
(. 
. 
s)�(. 
. 
t). 
(st). 


(. 
. 
j). 


Combinin. 
thi. 
resul. 
wit. 
equatio. 
(F.17). 
w. 
hav. 


1. 
.11

s. 
t. 
(. 
. 
�). 


. 
j.�e�. 


L�
. 
(r)L(r)d. 
. 
(. 
. 
s)�(. 
. 
t). 
(st). 
(F:19. 


�!�. 
. 
�(. 
. 
j)!

�. 
. 
�. 
. 
�. 
. 


W. 
no. 
equat. 
coef�cient. 
o. 
lik. 
power. 
o. 
. 
an. 
. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
thi. 
equation. 
Sinc. 
th. 
intege. 
. 
appear. 
a. 
a. 
exponen. 
o. 
bot. 
. 
an. 
. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
th. 
effec. 
o. 
equatin. 
coef�cient. 
depend. 
o. 
th. 
valu. 
o. 
�. 
Accordingly. 
w. 
shal. 
�rs. 
hav. 
t. 
selec. 
. 
valu. 
fo. 
�. 


Fo. 
. 
. 
0. 
equatio. 
(F.19. 
become. 


1. 
.11

s. 
t��. 


. 
je�. 
L�
. 
(r)L�(r)d. 
. 
(st). 


�!�. 
0(. 
. 
j)!

�. 
. 
�. 
. 
�. 
. 


Sinc. 
th. 
exponen. 
o. 
. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
i. 
alway. 
th. 
sam. 
a. 
th. 
exponen. 
o. 
t. 
th. 
coef�cient. 
o. 
s. 
t. 
fo. 
. 
6
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
mus. 
vanish. 
i.e. 


. 
je�. 
L. 


�(r)L. 
(r)d. 
. 
0. 
. 
6
(F:20. 


Thus. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
for. 
a. 
orthogona. 
se. 
ove. 
th. 
rang. 
. 
. 
. 
. 
. 
wit. 
. 
weightin. 
facto. 
. 
je�r. 
Fo. 
th. 
cas. 
wher. 
. 
an. 
. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
hav. 
th. 
sam. 
exponent. 
w. 
pic. 
ou. 
th. 
ter. 
. 
. 
. 
i. 
th. 
summatio. 
ove. 
�. 
givin. 



31. 
Appendi. 
. 


(st)��. 


. 
je�r[L�
. 
(r)]. 
d. 
. 
(st). 


(�!)2
. 
(. 
. 
j)!

�. 
. 
�. 
. 


Equatin. 
coef�cient. 
o. 
(st). 
o. 
eac. 
sid. 
yield. 


(�!). 


rje�r[L�
. 
(r)]. 
d. 
. 
(F:21. 


0(. 
. 
j). 
Equation. 
(F.20. 
an. 
(F.21. 
ma. 
b. 
combine. 
int. 
. 
singl. 
expressio. 


(�!). 


. 
je�. 
L. 


�(r). 
(r)d. 
. 
��. 
(F:22. 


0(. 
. 
j). 
Fo. 
. 
. 
1. 
equatio. 
(F.19. 
become. 


rj.1e�. 
L. 


XXs. 
t. 


�(r). 
(r)d. 


�!�. 
. 
�

�. 
. 
�. 
. 


. 
(. 
. 
1). 


. 
[(st). 
. 
(st)�.. 
. 
s�.. 
t. 
. 
s. 
t�.1. 


(. 
. 
j). 


Equatin. 
coef�cient. 
o. 
lik. 
power. 
o. 
. 
an. 
. 
o. 
bot. 
side. 
o. 
thi. 
equation. 
w. 
se. 


rj.1e�. 
L. 


�(r). 
(r)d. 
. 
0. 
. 
6
�. 
. 
. 
. 
(F:23. 


an. 
tha. 


�![(. 
. 
1)!]. 


. 
j.1e�. 
L. 


�(r)L. 
(r)d. 
.. 
(F:24. 


0(. 
. 
j). 


(. 
. 
1). 
�. 
(2. 
. 
. 
. 
1)(�!). 


. 
j.1e�r

[L�
. 
(r)]. 
d. 
. 
(�!). 
.. 
(F:25. 


0(. 
. 
j). 
(. 
. 
. 
. 
j). 
(. 
. 
j). 


Th. 
ter. 
i. 
whic. 
. 
. 
. 
. 
. 
i. 
equivalen. 
t. 
th. 
ter. 
i. 
whic. 
. 
. 
. 
. 
. 
afte. 
th. 
dumm. 
indice. 
. 
an. 
. 
ar. 
interchanged. 
Equation. 
(F.23). 
(F.24). 
an. 
(F.25. 
ar. 
pertinen. 
t. 
th. 
wav. 
function. 
fo. 
th. 
hydroge. 
atom. 


Completenes. 


W. 
de�n. 
th. 
se. 
o. 
function. 
�kj(r. 
b. 
th. 
relatio. 


1=2

(. 
. 
j). 
j

. 
je�r

�kj(r. 
. 
. 
(r. 
(F:26. 


(k!). 
. 


Accordin. 
t. 
equatio. 
(F.22). 
th. 
function. 
�kj(r. 
constitut. 
a. 
orthonorma. 
set. 
W. 
no. 
show. 
tha. 
thi. 
se. 
i. 
complete. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(F.15. 
int. 
(F.26. 
give. 


1=2

r. 
je. 
dk. 
. 
�kj(r. 
. 
(�1). 
(r. 
e�r. 
(F:27. 


k!(. 
. 
j). 
drk. 
. 
I. 
w. 
appl. 
equatio. 
(A.11). 
w. 
ma. 
expres. 
th. 
derivativ. 
i. 
(F.27. 
a. 


D. 
Park. 
persona. 
communication. 
Thi. 
metho. 
parallel. 
th. 
procedur. 
use. 
t. 
demonstrat. 
th. 
complete. 
nes. 
o. 
th. 
se. 
o. 
function. 
i. 
equatio. 
(D.15). 



Laguerr. 
an. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
31. 


eir. 
eirs

dk. 
jk. 
dk. 
. 
ik. 
jk. 


(r. 
e�r. 
. 
d. 
. 
sk. 
. 
d. 


drk. 
. 
2. 
drk. 
. 
�. 
(. 
. 
is)k.12. 
(. 
. 
is)k.. 


s. 
tha. 
�kj(r. 
i. 
integra. 
for. 
i. 


1=2.1

(�1)jik. 
jk!r. 
je. 


sk. 
. 
d. 
2. 
(. 
. 
j). 
�. 
(. 
. 
is)k.. 


T. 
demonstrat. 
tha. 
th. 
se. 
�kj(r. 
i. 
complete. 
w. 
nee. 
t. 
evaluat. 
th. 
su. 


�kj(r. 
. 
(F:28. 


�kj(r)�kj(r9. 


Expressin. 
(F.28. 
i. 
term. 
o. 
th. 
dumm. 
variabl. 
o. 
integratio. 
. 
fo. 
. 
an. 
i. 
term. 
o. 
. 
fo. 
r9. 
w. 
obtai. 
fo. 
th. 
summatio. 


�kj(r)�kj(r9. 


.. 
.11

1(�1)k. 
jk. 
(st)k. 
. 


ei(rs.r. 
t)

. 
(rr9). 
j=2e(r.r9)=2d. 
d. 


4�. 
�. 
�. 
(. 
. 
j). 
[. 
. 
i(. 
. 
t. 
. 
st]k.. 


B. 
lettin. 
. 
. 
. 
. 
j. 
w. 
ma. 
expres. 
th. 
su. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
a. 


. 
(�1)�(. 
. 
j). 


[. 
. 
i(. 
. 
t. 
. 
st]�(�. 
j.1)(st). 
. 
j![. 
. 
i(. 
. 
t)]�. 
j.1. 


wher. 
w. 
hav. 
applie. 
equatio. 
(A.3. 
t. 
evaluat. 
th. 
su. 
ove. 
�. 
W. 
no. 
hav. 
X.. 
ei(rs.r9t)

. 
j. 
.. 


�kj(r)�kj(r9. 
. 
(rr9). 
j=2e(r.r9)=2d. 
d. 
(F:29. 


4�. 
[. 
. 
i(. 
. 
t). 
j.. 


T. 
evaluat. 
th. 
doubl. 
integral. 
w. 
introduc. 
th. 
variable. 
. 
an. 
. 
. 
. 
t. 
. 
. 


. 
. 
. 
. 
. 
o. 
. 
. 
. 
. 
v. 
. 
. 
. 
. 
. 


d. 
d. 
. 
2d. 
d. 
Th. 
doubl. 
integra. 
the. 
factor. 
int. 
.. 
ei(r.r9). 
.. 
. 


2. 
. 
. 
r. 


ei(r�r9). 
d. 
.

2d. 
e�(r.r9)=2[2��(. 
. 
r9). 


(. 
. 
2iu. 
j.. 
j. 
. 
wher. 
th. 
�rs. 
integra. 
i. 
evaluate. 
b. 
equatio. 
(A.11. 
an. 
th. 
secon. 
b. 
(C.6). 
Equatio. 
(F.29. 
become. 


. 
. 
. 
r. 


�kj(r)�kj(r9. 
. 
�(. 
. 
r9. 


2(rr9)1=. 


B. 
applyin. 
equatio. 
(C.5e). 
w. 
obtai. 
th. 
completenes. 
relatio. 


�kj(r)�kj(r9. 
. 
�(. 
. 
r9. 
(F:30. 


demonstratin. 
accordin. 
t. 
equatio. 
(3.31. 
tha. 
th. 
se. 
�kj(r. 
i. 
complete. 



Appendi. 
. 


Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 


Genera. 
procedur. 


Th. 
applicatio. 
o. 
th. 
time-independen. 
Schro�dinge. 
equatio. 
t. 
. 
syste. 
o. 
chemica. 
interes. 
require. 
th. 
solutio. 
o. 
. 
linea. 
second-orde. 
homogeneou. 
differentia. 
equa. 
tio. 
o. 
th. 
genera. 
for. 


d. 
u(x)du(x. 


p(x. 
.q(x. 
.r(x)u(x. 
.. 
(G:1. 


dx2d. 
wher. 
p(x). 
q(x). 
an. 
r(x. 
ar. 
polynomial. 
i. 
. 
an. 
wher. 
p(x. 
doe. 
no. 
vanis. 
i. 
som. 
interva. 
whic. 
contain. 
th. 
poin. 
. 
.0. 
Equatio. 
(G.1. 
i. 
linea. 
becaus. 
eac. 
ter. 
contain. 
. 
o. 
. 
derivativ. 
o. 
. 
t. 
th. 
�rs. 
powe. 
only. 
Th. 
orde. 
o. 
th. 
highes. 
derivativ. 
determine. 
tha. 
equatio. 
(G.1. 
i. 
second-order.In. 
homogeneou. 
differ. 
entia. 
equation. 
ever. 
ter. 
contain. 
. 
o. 
on. 
o. 
it. 
derivatives. 


Th. 
Frobeniu. 
o. 
serie. 
solutio. 
metho. 
fo. 
solvin. 
equatio. 
(G.1. 
assume. 
tha. 
th. 
solutio. 
ma. 
b. 
expresse. 
a. 
. 
powe. 
serie. 
i. 
. 


. 
. 
ak. 
k.. 
. 
a. 
x. 
.a. 
xs.. 
.

. 
(G:2. 


wher. 
a. 
(. 
.0. 
1. 
2. 
.... 
an. 
. 
ar. 
constant. 
t. 
b. 
determined. 
Th. 
constan. 
. 
i. 
chose. 
suc. 
tha. 
a. 
i. 
no. 
equa. 
t. 
zero. 
Th. 
�rs. 
an. 
secon. 
derivative. 
o. 
. 
ar. 
the. 
give. 
b. 


d. 
. 
u. 
. 
a. 
(. 
.s)xk.s�. 
. 
a. 
sxs�. 
.a1(. 
.1)x. 
.

. 
(G:3. 


. 
u. 
. 
a. 
(. 
.s)(. 
.. 
�1)xk.s�. 
.a. 
s(. 
�1)xs�. 
.a1(. 
.1)sxs�. 
.

. 


(G:4. 
. 
second-orde. 
differentia. 
equatio. 
ha. 
tw. 
solution. 
o. 
th. 
for. 
o. 
equatio. 
(G.2). 
eac. 
wit. 
. 
differen. 
se. 
o. 
value. 
fo. 
th. 
constan. 
. 
an. 
th. 
coef�cient. 
a. 
. 
No. 
al. 
differentia. 
equation. 
o. 
th. 
genera. 
for. 
(G.1. 
posses. 
solution. 
whic. 
ca. 
b. 
expresse. 
a. 
. 
powe. 
serie. 
(equatio. 
(G.2)).. 
However. 
th. 
differentia. 
equation. 
encountere. 
i. 
quantu. 
mechanic. 
ca. 
b. 
treate. 
i. 
thi. 
manner. 
Moreover. 
th. 
powe. 


Fo. 
. 
thoroug. 
treatmen. 
se. 
F. 
B. 
Hildebran. 
(1949. 
Advance. 
Calculu. 
fo. 
Engineer. 
(Prentice-Hall. 
Ne. 
York). 



Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 
31. 


serie. 
expansio. 
o. 
. 
i. 
vali. 
fo. 
man. 
differentia. 
equation. 
i. 
whic. 
p(x). 
q(x). 
and. 


o. 
r(x. 
ar. 
function. 
othe. 
tha. 
polynomials,. 
bu. 
suc. 
differentia. 
equation. 
d. 
no. 


occu. 
i. 
quantum-mechanica. 
applications. 
Th. 
Frobeniu. 
procedur. 
consist. 
o. 
th. 
followin. 
steps. 


1. 
Equation. 
(G.2). 
(G.3). 
an. 
(G.4. 
ar. 
substitute. 
int. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(G.1. 
t. 
obtai. 
. 
serie. 
o. 
th. 
for. 


a. 
[(. 
.s)(. 
.. 
�1. 
p(x)xk.s�. 
.(. 
.s)q(x)xk.s�. 
.r(x)xk.s. 
.. 


2. 
Th. 
term. 
ar. 
arrange. 
i. 
orde. 
o. 
ascendin. 
power. 
o. 
. 
t. 
obtai. 


ckxk.s�. 
.. 
(G:5. 


wher. 
th. 
coef�cient. 
c. 
ar. 
combination. 
o. 
th. 
constan. 
s. 
th. 
coef�cient. 
a. 
. 
an. 
th. 
coef�cient. 
i. 
th. 
polynomial. 
p(x). 
q(x). 
an. 
r(x). 
Th. 
lowe. 
limi. 
. 
o. 
th. 
summatio. 
i. 
selecte. 
suc. 
tha. 
th. 
coef�cient. 
c. 
fo. 
. 
. 
. 
ar. 
identicall. 
zero. 
bu. 
c. 
i. 
not. 


3. 
Sinc. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(G.5. 
i. 
zero. 
th. 
left-han. 
sid. 
mus. 
als. 
equa. 
zer. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
. 
i. 
a. 
interva. 
tha. 
include. 
. 
.0. 
Th. 
onl. 
wa. 
t. 
mee. 
thi. 
conditio. 
i. 
t. 
se. 
eac. 
o. 
th. 
coef�cient. 
c. 
equa. 
t. 
zero. 
i.e.. 
c. 
.. 
fo. 
. 
.�. 
. 
.1. 
... 


4. 
Th. 
coef�cien. 
c. 
o. 
th. 
lowes. 
powe. 
o. 
. 
i. 
equatio. 
(G.5. 
alway. 
ha. 
th. 
for. 
c. 
. 
a. 
. 
(s). 
wher. 
. 
(s. 
i. 
quadrati. 
i. 
. 
becaus. 
th. 
differentia. 
equatio. 
i. 
second-order. 
Th. 
expressio. 
c. 
. 
a. 
. 
(s. 
.. 
i. 
calle. 
th. 
indicia. 
equatio. 
an. 
ha. 
tw. 
roots. 
s. 
an. 
s2. 
assumin. 
tha. 
a. 
6.0. 


5. 
Fo. 
eac. 
o. 
th. 
tw. 
value. 
o. 
s. 
th. 
remainin. 
expression. 
c. 
.. 
fo. 
. 
.. 
.1. 
. 
.2. 
... 
determin. 
successivel. 
a1. 
a2. 
... 
i. 
term. 
o. 
a0. 
Eac. 
valu. 
o. 
. 
yield. 
. 
differen. 
se. 
o. 
value. 
fo. 
a. 
. 
on. 
se. 
i. 
denote. 
her. 
a. 
a. 
. 
th. 
othe. 
a. 
a9. 
. 


6. 
Th. 
tw. 
mathematica. 
solution. 
o. 
th. 
differentia. 
equatio. 
ar. 
u. 
an. 
u. 


u. 
. 
a. 
xs1[. 
.(a1=a0). 
.(a2=a0)x. 
.


. 


u. 
. 
a9. 
xs2[. 
.(a91=a90). 
.(a92=a90)x. 
.


. 


wher. 
a. 
an. 
a9. 
ar. 
arbitrar. 
constants. 
Physica. 
solution. 
ar. 
obtaine. 
b. 
applyin. 
boundar. 
an. 
normalizatio. 
condition. 
t. 
u. 
an. 
u2. 


7. 
Fo. 
som. 
differentia. 
equations. 
th. 
tw. 
root. 
s. 
an. 
s. 
o. 
th. 
indicia. 
equatio. 
diffe. 
b. 
a. 
integer. 
Unde. 
thi. 
circumstance. 
ther. 
ar. 
tw. 
possibl. 
outcomes. 
(a. 
step. 
. 
t. 
. 
lea. 
t. 
tw. 
independen. 
solutions. 
o. 
(b. 
fo. 
th. 
large. 
roo. 
s1. 
step. 
. 
t. 
. 
giv. 
. 
solutio. 
u1. 
bu. 
fo. 
th. 
roo. 
s. 
th. 
recursio. 
relatio. 
give. 
in�nit. 
value. 
fo. 
th. 
coef�cient. 
a. 
beyon. 
som. 
speci�. 
valu. 
o. 
. 
an. 
therefor. 
thes. 
step. 
fai. 
t. 
provid. 
. 
secon. 
solution. 
Fo. 
som. 
othe. 
differentia. 
equations. 
th. 
tw. 
root. 
o. 


Se. 
fo. 
exampl. 
E. 
T. 
Whittake. 
an. 
G. 
N. 
Watso. 
(1927. 
. 
Cours. 
o. 
Moder. 
Analysis. 
4t. 
editio. 
(Cambridg. 
Universit. 
Press. 
Cambridge). 
pp. 
194�8. 
se. 
als. 
th. 
referenc. 
i. 
footnot. 
. 
o. 
thi. 
Appendix. 



32. 
Appendi. 
. 


th. 
indicia. 
equatio. 
ar. 
th. 
sam. 
(s. 
. 
s2. 
an. 
therefor. 
onl. 
on. 
solutio. 
u. 
i. 
obtained. 
I. 
thos. 
case. 
wher. 
step. 
. 
t. 
. 
giv. 
onl. 
on. 
solutio. 
u1. 
. 
secon. 
solutio. 
u. 
ma. 
b. 
obtained. 
b. 
. 
slightl. 
mor. 
comple. 
procedure. 
Thi. 
secon. 
solutio. 
ha. 
th. 
for. 


u. 
. 
cu. 
l. 
. 
. 
. 
bkxk.s. 
wher. 
. 
i. 
a. 
arbitrar. 
constan. 
an. 
th. 
coef�cient. 
b. 
ar. 
relate. 
t. 
th. 
coef�cient. 
a. 
. 
However. 
. 
solutio. 
containin. 
l. 
. 
i. 
no. 
well-behave. 
an. 
th. 
arbitrar. 
constan. 
. 
i. 
se. 
equa. 
t. 
zer. 
i. 
quantum-mechanica. 
applications. 
8. 
Th. 
interva. 
o. 
convergenc. 
fo. 
eac. 
o. 
th. 
serie. 
solution. 
u. 
an. 
u. 
ma. 
b. 


Xdeterminedbyapplyingth. 
.Forconvergence,theconditio. 
ratiotest

jx. 
. 
. 


mus. 
b. 
satis�ed. 
Thus. 
. 
serie. 
converge. 
fo. 
value. 
o. 
. 
i. 
th. 
rang. 


wher. 
. 
i. 
de�ne. 
b. 


. 
. 
li. 


Fo. 
. 
equa. 
t. 
zero. 
th. 
correspondin. 
serie. 
converge. 
fo. 
�. 
. 
. 
. 
1.I. 
. 
equal. 
unity. 
th. 
correspondin. 
serie. 
converge. 
fo. 
�. 
. 
. 
. 
1. 


Application. 


I. 
Chapter. 
4. 
5. 
an. 
. 
th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
i. 
applie. 
t. 
thre. 
systems. 
th. 
harmoni. 
oscillator. 
th. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
an. 
th. 
hydroge. 
atom. 
respec. 
tively. 
Th. 
ladde. 
operato. 
techniqu. 
i. 
use. 
i. 
eac. 
cas. 
t. 
solv. 
th. 
resultin. 
differentia. 
equation. 
W. 
presen. 
her. 
th. 
solution. 
o. 
thes. 
differentia. 
equation. 
usin. 
th. 
Frobeniu. 
method. 


Harmoni. 
oscillato. 


Th. 
Schro�dinge. 
equatio. 
fo. 
th. 
linea. 
harmoni. 
oscillato. 
lead. 
t. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(4.17. 


d2�(�)2. 


�. 
�2�(�. 
. 
�(�. 
(G:6. 


d�. 
". 
I. 
w. 
de�n. 
. 
b. 
th. 
relatio. 


2. 
. 
. 
. 
(G:7. 


an. 
introduc. 
thi. 
expressio. 
int. 
equatio. 
(G.6). 
w. 
obtai. 
�. 
. 
(2. 
. 
. 
. 
�2). 
. 
. 
(G:8. 


Se. 
footnot. 
. 
o. 
thi. 
Appendix. 



Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 
32. 


W. 
�rs. 
investigat. 
th. 
asymptoti. 
behavio. 
o. 
�(�). 
Fo. 
larg. 
value. 
o. 
�. 
th. 
constan. 
2. 
.. 
ma. 
b. 
neglecte. 
i. 
compariso. 
wit. 
�. 
an. 
equatio. 
(G.8. 
become. 
�. 
.�2. 


Th. 
approximat. 
solution. 
o. 
thi. 
differentia. 
equatio. 
ar. 


. 
.ce�. 
=. 


becaus. 
w. 
hav. 


�. 
.(�. 
1). 
�2. 
fo. 
larg. 
. 


Th. 
functio. 
e�2=. 
i. 
no. 
. 
satisfactor. 
solutio. 
becaus. 
i. 
become. 
in�nit. 
a. 


. 
!1. 
bu. 
th. 
functio. 
e��2=. 
i. 
well-behaved. 
Thi. 
asymptoti. 
behavio. 
o. 
�(�. 


suggest. 
tha. 
. 
satisfactor. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(G.8. 
ha. 
th. 
for. 
�(�. 
.u(�)e��2=. 
(G:9. 
wher. 
u(�. 
i. 
. 
functio. 
t. 
b. 
determined. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(G.9. 
int. 
(G.8. 
give. 
u. 
�2�u. 
.2�. 
.. 
(G:10. 


W. 
solv. 
thi. 
differentia. 
equatio. 
b. 
th. 
serie. 
solutio. 
method. 
Applyin. 
equation. 
(G.2). 
(G.3). 
an. 
(G.4). 
w. 
obtai. 


a. 
(. 
.s)(. 
.. 
�1). 
k.s�. 
. 
a. 
[�2(. 
.s. 
.2�]. 
k.. 
.. 
(G:11. 
k.. 
k.. 
Th. 
coef�cien. 
o. 
�s�. 
give. 
th. 
indicia. 
equatio. 
a. 
s(. 
�1. 
.. 
(G:12. 
wit. 
tw. 
solutions. 
. 
.. 
an. 
. 
.1. 
Th. 
coef�cien. 
o. 
�s�. 
give. 
a1(. 
.1). 
.. 
(G:13. 
Fo. 
th. 
cas. 
. 
.0. 
th. 
coef�cien. 
a. 
ha. 
a. 
arbitrar. 
value. 
fo. 
. 
.1. 
w. 
hav. 
a. 
.0. 


I. 
w. 
omi. 
th. 
�rs. 
tw. 
term. 
(the. 
vanis. 
accordin. 
t. 
equation. 
(G.12. 
an. 
(G.13). 
i. 
th. 
�rs. 
summatio. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
(G.11. 
an. 
replac. 
th. 
dumm. 
inde. 
. 
b. 
. 
.. 
i. 
tha. 
summation. 
w. 
obtai. 


fak.2(. 
.. 
.2)(. 
.. 
.1. 
.a. 
[�2(. 
.s. 
.2�]g. 
k.. 
.. 
(G:14. 
Settin. 
th. 
coef�cien. 
o. 
eac. 
powe. 
o. 
. 
equa. 
t. 
zer. 
give. 
th. 
recursio. 
formul. 


2(. 
.. 
��. 


ak.. 
. 
a. 
(G:15. 


(. 
.. 
.2)(. 
.. 
.1. 
Fo. 
th. 
cas. 
. 
.0. 
th. 
constant. 
a. 
an. 
a. 
ar. 
arbitrar. 
an. 
w. 
hav. 
th. 
followin. 
tw. 
set. 
o. 
expansio. 
constant. 


2(. 
��. 


a. 
.��a. 
a. 
. 
a. 


2(. 
��. 
22�(. 
��. 
2(. 
��. 
22(. 
��)(. 
��. 


a. 
. 
a. 
.. 
a. 
a. 
. 
a. 
. 
a1

. 
. 
34. 
. 
. 
45. 


2(. 
��. 
23�(. 
��)(. 
��. 
2(. 
��. 
23(. 
��)(. 
��)(. 
��. 


a. 
. 
a. 
.. 
a. 
a. 
. 
a. 
. 
a1

. 
. 
56. 
. 
. 
67. 


Thus. 
th. 
tw. 
solution. 
o. 
th. 
second-orde. 
differentia. 
equatio. 
(G.10. 
ar. 



32. 
Appendi. 
. 


22�(. 
��. 
23�(. 
��)(. 
��. 


u. 
. 
a0. 
���. 
. 
�. 
. 
�6�

. 
(G:16a. 


2(. 
��. 
22(. 
��)(. 
��. 
23(. 
��)(. 
��)(. 
��. 


u. 
. 
a. 
. 
. 
�. 
. 
�. 
. 
�. 
.

. 


3. 
5. 
7. 


(G:16b. 
Th. 
solutio. 
u. 
i. 
a. 
eve. 
functio. 
o. 
th. 
variabl. 
. 
an. 
u. 
i. 
a. 
od. 
functio. 
o. 
�. 
Accordingly. 
u. 
an. 
u. 
ar. 
independen. 
solutions. 
Fo. 
th. 
cas. 
. 
.1. 
w. 
agai. 
obtai. 
th. 
solutio. 
u2. 


Th. 
rati. 
o. 
consecutiv. 
term. 
i. 
eithe. 
serie. 
solutio. 
u. 
o. 
u. 
i. 
give. 
b. 
th. 
recursio. 
formul. 
wit. 
. 
.0a. 
ak.2. 
k.. 
2(. 
��. 


a. 
. 
. 
(. 
.2)(. 
.1. 
I. 
th. 
limi. 
a. 
. 
!1. 
thi. 
rati. 
approache. 
zer. 
ak.2. 
k.2. 


li. 
. 
li. 
�. 
!. 


k!. 
a. 
. 
kk!. 
. 
s. 
tha. 
th. 
serie. 
u. 
an. 
u. 
converg. 
fo. 
al. 
�nit. 
value. 
o. 
�. 
T. 
se. 
wha. 
happen. 
t. 
u. 
an. 
u. 
a. 
. 
!1. 
w. 
conside. 
th. 
Taylo. 
serie. 
expansio. 
o. 
e�. 


X�2. 
�. 


... 
.�. 
. 
. 
.

. 


n. 
2. 
3. 


Th. 
coef�cien. 
a. 
i. 
give. 
b. 
a. 
.1=(n=2)!fo. 
. 
eve. 
an. 
a. 
.. 
fo. 
. 
odd. 
s. 
tha. 


an.2. 
n.2. 
. 
12�. 


.�. 
.�. 
. 
a. 
. 
!. 


an. 
n. 
.. 
n. 


Thus. 
u. 
an. 
u. 
behav. 
lik. 
e�. 
a. 
. 
!1. 
Fo. 
larg. 
j�j. 
th. 
functio. 
�(�. 
behave. 


�(�. 
. 
u(�)e��2=. 
e�2e��2=. 
.e�. 
=. 
!. 
a. 
. 
!. 
whic. 
i. 
no. 
satisfactor. 
behavio. 
fo. 
. 
wav. 
function. 
I. 
orde. 
t. 
obtai. 
well-behave. 
solution. 
fo. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(G.8). 
w. 
nee. 
t. 
terminat. 
th. 
in�nit. 
powe. 
serie. 
u. 
an. 
u. 
i. 
(G.16. 
t. 
. 
�nit. 
polynomial. 
I. 
w. 
le. 
. 
equa. 
a. 
intege. 
. 
(. 
.0,1. 
2. 
3. 
...). 
the. 
w. 
obtai. 
well-behave. 
solution. 


. 
.0. 
�. 
. 
a0e��2=2. 
a. 
.. 


. 
.1. 
�. 
. 
a1�e��2=2. 
a. 
.. 


. 
.2. 
�. 
. 
a0(. 
�2�2)e��2=2. 
a. 
.. 


. 
.3. 
�. 
. 
a1�(. 
�2�2)e��2=2,

3a. 
.. 


. 
.4. 
�. 
. 
a0(. 
�4�. 
.4�4)e��2=2. 
a. 
.. 


. 
.5. 
�. 
. 
a1�(. 
�4�. 
. 
. 
�4)e��2=2. 
a. 
.. 



Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 
32. 


Sinc. 
th. 
paramete. 
. 
i. 
equa. 
t. 
. 
positiv. 
intege. 
n. 
th. 
energ. 
. 
o. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
i. 
equatio. 
(G.7. 
i. 
E. 
.(. 
.1)"�. 
. 
.0. 
1,2. 
... 


i. 
agreemen. 
wit. 
equatio. 
(4.30). 
Settin. 
. 
i. 
equatio. 
(G.10. 
equa. 
t. 
th. 
intege. 
. 
give. 


u. 
�2�u. 
.2n. 
.. 
(G:17. 
. 
compariso. 
o. 
equatio. 
(G.17. 
wit. 
(D.10. 
show. 
tha. 
th. 
solution. 
u(�. 
ar. 
th. 
Hermit. 
polynomials. 
whos. 
propertie. 
ar. 
discusse. 
i. 
Appendi. 
D. 
Thus. 
th. 
function. 
�n(�. 
fo. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
ar. 


�n(�. 
.anHn(�)e��2=. 
wher. 
a. 
ar. 
th. 
constant. 
whic. 
normaliz. 
�n(�). 
Applicatio. 
o. 
equatio. 
(D.14. 
yield. 
th. 
�na. 
resul. 


1=2��1=4

�n(�. 
.(2nn!)�Hn(�)e��2=. 
whic. 
agree. 
wit. 
equatio. 
(4.40). 


Orbita. 
angula. 
momentu. 


W. 
wis. 
t. 
solv. 
th. 
differentia. 
equatio. 


.
^L2�(�. 
j. 
.�"2�(�. 
j. 
(G:18. 
wher. 
.
^L. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(5.32. 
a. 


. 
@. 
. 
@. 


.
^L. 
.�". 
si. 
. 
. 
(G:19. 


si. 
. 
@. 
@. 
sin2. 
@j. 


W. 
writ. 
th. 
functio. 
�(�. 
j. 
a. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
functions. 
on. 
dependin. 
onl. 
o. 
th. 
angl. 
�. 
th. 
othe. 
onl. 
o. 
. 


�(�. 
j. 
.�(�)�(j. 
(G:20. 
Whe. 
equation. 
(G.19. 
an. 
(G.20. 
ar. 
substitute. 
int. 
(G.18). 
w. 
obtai. 
afte. 
. 
littl. 
rearrangemen. 


si. 
. 
dd. 
. 
d2. 


si. 
. 
.. 
sin2. 
.. 
(G:21. 


. 
d. 
d. 
. 
dj. 
Th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(G.21. 
depend. 
onl. 
o. 
th. 
variabl. 
�. 
whil. 
th. 
right. 
han. 
sid. 
depend. 
onl. 
o. 
j. 
Followin. 
th. 
sam. 
argumen. 
use. 
i. 
th. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(2.28). 
eac. 
sid. 
o. 
equatio. 
(G.21. 
mus. 
b. 
equa. 
t. 
. 
constant. 
whic. 
w. 
writ. 
a. 
m2. 
Thus. 
equatio. 
(G.21. 
separate. 
int. 
tw. 
differentia. 
equation. 


si. 
. 
dd. 


si. 
. 
.. 
sin2. 
.m. 
(G:22. 


. 
d. 
d. 


.�m2. 
(G:23. 


Th. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(G.23. 
i. 
. 
.Aeim. 
(G:24. 
wher. 
. 
i. 
a. 
arbitrar. 
constant. 
I. 
orde. 
fo. 
. 
t. 
b. 
single-valued. 
w. 
requir. 
tha. 
�(j. 
.�(. 
.2�. 



32. 
Appendi. 
. 


e2�i. 
.. 


s. 
tha. 
. 
i. 
a. 
integer. 
. 
.0. 
1. 
2. 
... 
T. 
solv. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(G.22). 
w. 
introduc. 
. 
chang. 
o. 
variabl. 
. 
.co. 
. 
(G:25. 


Th. 
functio. 
�(�. 
the. 
become. 
. 
ne. 
functio. 
F(�. 
o. 
th. 
variabl. 
�. 
�(�. 
. 
F(�). 
s. 
tha. 


d. 
d. 
d. 
d. 
d. 


. 
.�si. 
. 
.�(. 
��2)1=. 
(G:26. 


d. 
d. 
d. 
d. 
d. 


Substitutio. 
o. 
equation. 
(G.25. 
an. 
(G.26. 
int. 
(G.22. 
give. 


ddFm. 


(. 
��2. 
. 
. 
. 
. 
.. 


d. 
d. 
. 
��. 


(. 
��2). 
. 
�2�F. 
. 
. 
. 
. 
.. 
(G:27. 


. 
powe. 
serie. 
solutio. 
o. 
equatio. 
(G.27. 
yield. 
. 
recursio. 
formul. 
relatin. 
ak.4. 
ak.2. 
an. 
ak. 
whic. 
i. 
to. 
complicate. 
t. 
b. 
practical. 
Accordingly. 
w. 
mak. 
th. 
furthe. 
de�nitio. 


F(�. 
.(. 
��2)jmj=. 
G(�. 
(G:28. 
fro. 
whic. 
i. 
follow. 
tha. 


F. 
.(. 
��2)jmj=2[G. 
�jmj�(. 
��2)�. 
G. 
(G:29. 


. 
. 
.(. 
��2)jmj=2[. 
. 
�2jmj�(. 
��2)�. 
G. 
�jmj(. 
��2)�. 
. 


.jmj(jmj�2)�2(. 
��2G. 
(G:30. 


Substitutio. 
o. 
(G.28). 
(G.29). 
an. 
(G.30. 
int. 
(G.27. 
wit. 
divisio. 
b. 
(. 
��2)jmj=. 
give. 


(. 
��2). 
. 
�2(jmj.1)�G. 
.[. 
�jmj(jmj.1)]. 
.. 
(G:31. 


T. 
solv. 
thi. 
differentia. 
equation. 
w. 
substitut. 
equation. 
(G.2). 
(G.3). 
an. 
(G.4. 
fo. 
G. 
G9. 
an. 
G. 
t. 
obtai. 


a. 
(. 
.s)(. 
.. 
�1)�k.s�. 
. 
a. 
[. 
�(. 
.. 
.jmj)(. 
.. 
.jmj.1)]. 
k.. 
k.. 
k.. 


.. 
(G:32. 


Equatin. 
th. 
coef�cien. 
o. 
�s�. 
t. 
zero. 
w. 
obtai. 
th. 
indicia. 
equatio. 
a. 
s(. 
�1. 
.. 
(G:33. 
wit. 
solution. 
. 
.. 
an. 
. 
.1. 
Equatin. 
th. 
coef�cien. 
o. 
�s�. 
t. 
zer. 
give. 
a. 
s(. 
.1. 
.. 
(G:34. 
Fo. 
th. 
cas. 
. 
.0. 
th. 
coef�cien. 
a. 
ha. 
a. 
arbitrar. 
value. 
whil. 
fo. 
. 
.1. 
th. 
coef�cien. 
a. 
mus. 
vanish. 
I. 
w. 
replac. 
th. 
dumm. 
inde. 
. 
b. 
. 
.. 
i. 
th. 
�rs. 
summatio. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(G.32). 
tha. 
equatio. 
become. 



Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 
32. 


fak.2(. 
.. 
.2)(. 
.. 
.1. 
.a. 
[. 
�(. 
.. 
.jmj)(. 
.. 
.jmj.1)]g�k.. 
.. 


(G:35. 
Th. 
recursio. 
formul. 
i. 
obtaine. 
b. 
settin. 
th. 
coef�cien. 
o. 
eac. 
powe. 
o. 
. 
equa. 
t. 
zer. 
(. 
.. 
.jmj)(. 
.. 
.jmj.1. 
�. 


ak.. 
. 
a. 
(G:36. 


(. 
.. 
.2)(. 
.. 
.1. 
Thus. 
w. 
obtai. 
. 
resul. 
analogou. 
t. 
th. 
harmoni. 
oscillato. 
solution. 
Th. 
tw. 
independen. 
solution. 
ar. 
in�nit. 
series. 
on. 
i. 
od. 
power. 
o. 
. 
an. 
th. 
othe. 
i. 
eve. 
power. 
o. 
�. 
Th. 
cas. 
. 
.. 
give. 
bot. 
solutions. 
whil. 
th. 
cas. 
. 
.. 
merel. 
reproduce. 
th. 
od. 
series. 
Thes. 
solution. 
ar. 


jmj(jmj.1. 
�. 
[(jmj.2)(jmj.3. 
��][jmj(jmj.1. 
��. 


G. 
.a0. 
. 
�. 
. 
�. 


.


. 
(G:37a. 


(jmj.1)(jmj.2. 
�. 


G. 
.a. 
. 
. 


[(jmj.3)(jmj.4. 
��][(jmj.1)(jmj.2. 
��. 


. 
�5.

. 
(G:37b. 


Th. 
rati. 
o. 
consecutiv. 
term. 
i. 
G. 
an. 
i. 
G. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(G.36. 
a. 
ak.. 
�k.2(. 
.jmj)(. 
.jmj.1. 
�. 


a. 
�. 
(. 
.1)(. 
.2. 
I. 
th. 
limi. 
a. 
. 
!1. 
thi. 
rati. 
become. 
ak.. 
�k.. 
k. 
�. 


li. 
. 
�. 
!�. 


k!. 
a. 
�kk. 
A. 
lon. 
a. 
j�j. 
1. 
thi. 
rati. 
i. 
les. 
tha. 
unit. 
an. 
th. 
serie. 
G. 
an. 
G. 
converge. 
However. 
fo. 
. 
.. 
an. 
. 
.�1. 
thi. 
rati. 
equal. 
unit. 
an. 
neithe. 
o. 
th. 
in�nit. 
powe. 
serie. 
converges. 
Fo. 
th. 
solution. 
t. 
equatio. 
(G.31. 
t. 
b. 
well-behaved. 
w. 
mus. 
terminat. 
th. 
serie. 
G. 
an. 
G. 
t. 
polynomial. 
b. 
settin. 
. 
.(. 
.jmj)(. 
.jmj.1. 
. 
l(. 
.1. 
(G:38. 
wher. 
. 
i. 
a. 
intege. 
de�ne. 
a. 
. 
.jmj.k. 
s. 
tha. 
. 
.jmj. 
jmj.1. 
jmj.2. 
...W. 
observ. 
tha. 
jmj. 
l. 
s. 
tha. 
. 
take. 
o. 
th. 
value. 
�l. 
�. 
.1. 
.... 
�1. 
0. 
1. 
.... 
. 
�1. 
l. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(G.38. 
int. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(G.27. 
give. 


(. 
��2). 
. 
�2�F. 
. 
l(. 
.1. 
. 
. 
.. 
(G:39. 


whic. 
i. 
identica. 
t. 
th. 
associate. 
Legendr. 
differentia. 
equatio. 
(E.17). 
Thus. 
th. 
well-behave. 
solution. 
t. 
(G.27. 
ar. 
proportiona. 
t. 
th. 
associate. 
Legendr. 
poly. 


nomial. 
P. 
(�. 
introduce. 
i. 
Appendi. 
. 


F(�. 
.cP. 
(�. 
Sinc. 
w. 
hav. 
�(�. 
. 
F(�). 
wher. 
. 
.co. 
�. 
th. 
function. 
�(�. 
ar. 


�lm(�. 
.cPjmj(co. 
�. 


an. 
th. 
eigenfunction. 
�(�. 
j)o. 
.
^L. 
ar. 



32. 
Appendi. 
. 


�lm(�. 
j. 
.cl. 
P(co. 
�)e. 
m. 
(G:40. 


wher. 
cl. 
ar. 
th. 
normalizatio. 
constants. 
. 
compariso. 
o. 
equatio. 
(G.40. 
wit. 
(5.59. 
show. 
tha. 
th. 
function. 
�lm(�. 
j. 
ar. 
th. 
spherica. 
harmonic. 
Ylm(�. 
j). 


Radia. 
equatio. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 


Th. 
radia. 
differentia. 
equatio. 
fo. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.24. 


d. 
. 
. 
d. 
. 
. 
. 
l(. 
.1. 
. 
dr. 
. 
. 
d. 
.. 
. 
. 
. 
. 
r. 
. 
.. 
(G:41. 


wher. 
. 
i. 
. 
positiv. 
integer. 
I. 
. 
powe. 
serie. 
solutio. 
i. 
applie. 
directl. 
t. 
equatio. 
(G.41). 
th. 
resultin. 
recursio. 
relatio. 
involve. 
ak.2. 
ak.1. 
an. 
a. 
. 
Sinc. 
suc. 
. 
three. 
ter. 
recursio. 
relatio. 
i. 
dif�cul. 
t. 
handle. 
w. 
�rs. 
examin. 
th. 
asymptoti. 
behavio. 
o. 
S(r). 
Fo. 
larg. 
value. 
o. 
r. 
th. 
term. 
i. 
r�. 
an. 
r�. 
becom. 
negligibl. 
an. 
equatio. 
(G.41. 
reduce. 
t. 


. 
.cer=. 


wher. 
. 
i. 
th. 
integratio. 
constant. 
Sinc. 
r. 
a. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(6.22). 
i. 
alway. 
rea. 
an. 
positiv. 
fo. 
. 
. 
0. 
th. 
functio. 
er=. 
i. 
no. 
well-behaved. 
bu. 
e�r=. 
is. 
Therefore. 
w. 
le. 
S(r. 
tak. 
th. 
for. 


S(r. 
.F(r)e�r=. 
(G:42. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(G.42. 
int. 
(G.41. 
yield. 


. 
. 
.r(. 
�r)F. 
.[(. 
�1). 
�l(. 
.1)]. 
.. 
(G:43. 
wher. 
w. 
hav. 
multiplie. 
throug. 
b. 
r2er=2. 
T. 
solv. 
thi. 
differentia. 
equatio. 
b. 
th. 
serie. 
solutio. 
method. 
w. 
substitut. 
equation. 
(G.2). 
(G.3). 
an. 
(G.4. 
fo. 
F. 
F9. 
an. 
. 
. 
t. 
obtai. 


a. 
[(. 
.s)(. 
.. 
.1. 
�l(. 
.1)]rk.. 
. 
a. 
(. 
�. 
�. 
�s)rk.s.. 
.. 
k.. 
k.. 


(G:44. 
Th. 
indicia. 
equatio. 
i. 
give. 
b. 
th. 
coef�cien. 
o. 
r. 
a. 
a0[s(. 
.1. 
�l(. 
.1). 
.. 
(G:45. 
wit. 
solution. 
. 
.. 
an. 
. 
.�(. 
.1). 
Fo. 
th. 
cas. 
. 
.�(. 
.1). 
w. 
hav. 
. 
l.1. 
.a1r�. 
.a2r�l.1

F(r. 
.a0r�.

. 
(G:46. 
whic. 
diverge. 
a. 
th. 
origin.. 
Thus. 
th. 
cas. 
. 
.. 
i. 
th. 
onl. 
acceptabl. 
solution. 
Omittin. 
th. 
vanishin. 
�rs. 
ter. 
i. 
th. 
�rs. 
summatio. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
(G.44. 
an. 
replacin. 
. 
b. 
. 
.. 
i. 
tha. 
summation. 
w. 
hav. 


. 
Th. 
reaso. 
fo. 
rejectin. 
th. 
solutio. 
. 
.�(. 
.1. 
i. 
actuall. 
mor. 
complicate. 
fo. 
state. 
wit. 
. 
.0. 
I. 
N. 
Levin. 
(1991. 
Quantu. 
Chemistry. 
4t. 
editio. 
(Prentice-Hall. 
Englewoo. 
Cliffs. 
NJ). 
p. 
124. 
summarize. 
th. 
argument. 
wit. 
reference. 
t. 
mor. 
detaile. 
discussions. 
Th. 
complication. 
her. 
strengthe. 
th. 
reason. 
fo. 
preferrin. 
th. 
ladde. 
operato. 
techniqu. 
use. 
i. 
th. 
mai. 
text. 



Serie. 
solution. 
o. 
differentia. 
equation. 
32. 


fak.1[(. 
.1)(. 
.2. 
.2). 
.a. 
(. 
�. 
�. 
�k)grk.s.. 
.. 
(G:47. 


Sinc. 
th. 
coef�cien. 
o. 
eac. 
powe. 
o. 
. 
mus. 
vanish. 
w. 
hav. 
fo. 
th. 
recursio. 
formul. 


. 
.. 
.. 
�. 


ak.. 
. 
a. 
(G:48. 


(. 
.1)(. 
.2. 
.2. 


Thus. 
w. 
obtai. 
th. 
followin. 
se. 
o. 
expansio. 
constant. 


. 
.. 
�. 


a. 
. 
a. 


. 
.. 
�. 
(. 
.. 
��)(. 
.. 
��. 


a. 
. 
a. 
. 
a0

2(2. 
.3. 
2(2. 
.3)(2. 
.2. 


. 
.. 
�. 
(. 
.. 
��)(. 
.. 
��)(. 
.. 
��. 


a. 
. 
a. 
. 
a0

3(2. 
.4. 
3!(2. 
.4)(2. 
.3)(2. 
.2. 


s. 
tha. 
th. 
solutio. 
o. 
(G.43. 
i. 


. 
(. 
.. 
��)(. 
.. 
�. 
��. 



(. 
.. 
��. 


. 
.a0r. 
. 
. 
r. 
(G:49. 


k!(2. 
.. 
.1)(2. 
.k. 



(2. 
.2. 


W. 
hav. 
alread. 
discarde. 
th. 
secon. 
solution. 
equatio. 
(G.46). 


Th. 
rati. 
o. 
consecutiv. 
term. 
i. 
th. 
powe. 
serie. 
expansio. 
. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(G.48. 
a. 


ak.1rk.l.. 
.. 
.. 
�. 


a. 
rk.. 
(. 
.1)(. 
.2. 
.2. 


I. 
th. 
limi. 
a. 
. 
!1. 
thi. 
rati. 
become. 
r=k. 
whic. 
approache. 
zer. 
fo. 
�nit. 
r. 
Thus. 
th. 
serie. 
converge. 
fo. 
al. 
�nit. 
value. 
o. 
r. 
T. 
tes. 
th. 
behavio. 
o. 
th. 
powe. 
serie. 
a. 
. 
!1. 
w. 
conside. 
th. 
Taylo. 
serie. 
expansio. 
o. 
e. 


an. 
not. 
tha. 
th. 
rati. 
o. 
consecutiv. 
term. 
i. 
als. 
r=k. 
Sinc. 
th. 
behavio. 
o. 
. 
a. 
. 
!1i. 
determine. 
b. 
th. 
expansio. 
term. 
wit. 
larg. 
value. 
o. 
. 
(. 
!1). 
w. 
se. 
tha. 
. 
behave. 
lik. 
e. 
a. 
. 
!1. 
Thi. 
behavio. 
i. 
no. 
acceptabl. 
becaus. 
S(r)i. 
equatio. 
(G.42. 
woul. 
tak. 
th. 
for. 


S(r. 
!rlere�r=. 
.rler=. 
!. 
a. 
. 
!. 


an. 
coul. 
no. 
b. 
normalized. 


Th. 
onl. 
wa. 
t. 
avoi. 
thi. 
convergenc. 
proble. 
i. 
t. 
terminat. 
th. 
in�nit. 
serie. 
(equatio. 
(G.49). 
afte. 
. 
�nit. 
numbe. 
o. 
terms. 
I. 
w. 
le. 
. 
tak. 
o. 
th. 
successiv. 
value. 
. 
.1. 
. 
.2. 
.... 
the. 
w. 
obtai. 
. 
serie. 
o. 
acceptabl. 
solution. 
o. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(G.43. 



32. 
Appendi. 
. 


. 
.1. 
F. 
.a0r. 


. 
.2. 
F. 
.a0r. 
(. 
. 
. 
. 


. 
.3. 
F. 
.a0r. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
r. 


. 
.. 
(2. 
.3)(2. 
.2. 


Sinc. 
. 
i. 
a. 
intege. 
wit. 
value. 
0. 
1. 
2. 
.... 
th. 
paramete. 
. 
take. 
o. 
intege. 
value. 
n. 
. 
.1. 
2. 
3. 
.... 
s. 
tha. 
. 
.. 
.1. 
. 
.2. 
...Whe. 
th. 
quantu. 
numbe. 
. 
equal. 
1. 
th. 
valu. 
o. 
. 
i. 
1. 
whe. 
. 
.2. 
w. 
hav. 
. 
.0. 
1. 
whe. 
. 
.3. 
w. 
hav. 
. 
.0. 
1. 
2. 


Th. 
energ. 
. 
o. 
th. 
hydrogen-lik. 
ato. 
i. 
relate. 
t. 
. 
b. 
equatio. 
(6.21). 
I. 
w. 
solv. 
thi. 
equatio. 
fo. 
. 
an. 
se. 
. 
equa. 
t. 
n. 
w. 
obtai. 
. 
Z2e9. 


E. 
.. 
. 
. 
.1. 
2,3. 
... 


2". 
n. 
i. 
agreemen. 
wit. 
equatio. 
(6.48). 
T. 
identif. 
th. 
polynomia. 
solution. 
fo. 
F(r). 
w. 
mak. 
th. 
substitutio. 
F(r. 
.rlu(r. 
(G:50. 
i. 
th. 
differentia. 
equatio. 
(G.43. 
an. 
se. 
. 
equa. 
t. 
. 
t. 
obtai. 
ru. 
.[2(. 
.1. 
�r]u. 
.(. 
�. 
�1). 
.. 
(G:51. 


Sinc. 
. 
an. 
. 
ar. 
integers. 
equatio. 
(G.51. 
i. 
identica. 
t. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
differentia. 
equatio. 
(F.16. 
wit. 
. 
.. 
.. 
an. 
. 
.2. 
.1. 
Thus. 
th. 
solution. 
u(r. 
ar. 
proportiona. 
t. 
th. 
associate. 
Laguerr. 
polynomial. 
L2l.1(r). 
whos. 
propertie. 
ar. 


discusse. 
i. 
Appendi. 
. 


u(r. 
.cL. 
l.(r. 
(G:52. 


Combinin. 
equation. 
(G.42). 
(G.50). 
an. 
(G.52). 
w. 
obtai. 


L2l.1

Snl(r. 
.cnlrle�r=2(r. 
(G:53. 


wher. 
cn. 
ar. 
th. 
normalizin. 
constants. 
Equatio. 
(G.53. 
agree. 
wit. 
equatio. 
(6.53). 



Appendi. 
. 


Recurrenc. 
relatio. 
fo. 
hydrogen-ato. 
expectatio. 
value. 


Th. 
expectatio. 
value. 
hr. 
in. 
o. 
variou. 
power. 
o. 
th. 
radia. 
variabl. 
. 
fo. 
. 
hydrogen. 
lik. 
ato. 
wit. 
quantu. 
number. 
. 
an. 
. 
ar. 
give. 
b. 
equatio. 
(6.69. 


hr. 
in. 
. 
r. 
[Rnl(r)]. 
r2d. 
(H:1. 


wher. 
Rnl(r. 
ar. 
th. 
solution. 
o. 
th. 
radia. 
differentia. 
equatio. 
(6.17). 
I. 
thi. 
appendix. 
w. 
sho. 
tha. 
thes. 
expectatio. 
value. 
ar. 
relate. 
b. 
th. 
recurrenc. 
relatio. 


. 
.. 
a0. 
�k. 
a. 


hr. 
in. 
�(2. 
.1. 
hrk�1in. 
.kl(. 
.1. 
.hrk�2in. 
.0(H:2. 


n. 
. 
. 
Z. 
T. 
simplif. 
th. 
notation. 
w. 
de�n. 
th. 
rea. 
functio. 
u(r)b. 
. 
rRnl(r. 
an. 
denot. 
th. 
�rs. 
an. 
secon. 
derivative. 
o. 
u(r)b. 
u. 
an. 
u0. 
Equatio. 
(H.1. 
the. 
take. 
th. 


hr. 
in. 
. 
rku2d. 
(H:3. 


Sinc. 
w. 
hav. 


dR(r. 
u. 
. 
ddR(r. 


d. 
rr2d. 
d. 


equatio. 
(6.17. 
become. 


.. 
. 
.ru. 


l(. 
.1. 
2ZZ. 


u. 
. 
�. 
. 
(H:4. 


r. 
n. 
a. 


wher. 
equatio. 
(6.57. 
fo. 
th. 
energ. 
E. 
ha. 
als. 
bee. 
introduced. 
Befor. 
beginnin. 
th. 
direc. 
derivatio. 
o. 
equatio. 
(H.2). 
w. 
�rs. 
deriv. 
. 
usefu. 
relationship. 
Conside. 
th. 
integra. 


r. 
uu. 
d. 


an. 
integrat. 
b. 
part. 


.1. 
.. 


r. 
uu. 
d. 
.r. 
u2. 
. 
. 
d(r. 
u)d. 


Th. 
integrate. 
par. 
vanishe. 
becaus. 
R(r. 
!. 
exponentiall. 
a. 
. 
!1an. 
u(r. 
!. 
a. 
. 
!0. 
Expandin. 
th. 
derivativ. 
withi. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
w. 
hav. 



33. 
Appendi. 
. 


r. 
uu. 
d. 
.�. 
r��u2d. 
. 
r. 
uu. 
d. 


Combinin. 
th. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
wit. 
th. 
las. 
on. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
w. 
obtai. 
th. 
desire. 
resul. 


r. 
uu. 
d. 
.. 
. 
hr��1in. 
(H:5. 


T. 
obtai. 
th. 
recurrenc. 
relatio. 
(H.2). 
w. 
multipl. 
equatio. 
(H.4. 
b. 
rk.. 
u. 
an. 
integrat. 
ove. 
. 


rk.. 
rk�. 
r. 
rk.1

u9u. 
d. 
.l(. 
.1. 
uu. 
d. 
. 
uu. 
d. 
. 
uu. 
d. 


0. 
a0. 
0. 


l(. 
.1)(. 
�1. 
k. 
(. 
.1. 
Z. 


.. 
hrk�2in. 
.hrk�1in. 
�hr. 
in. 
(H:6. 


. 
a02n. 
a. 


wher. 
equatio. 
(H.5. 
wa. 
applie. 
t. 
th. 
right-han. 
side. 
Th. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
o. 
(H.6. 
ma. 
b. 
integrate. 
b. 
part. 
twic. 
t. 
give

rk.1(rk.1

u9u. 
d. 
.. 
u. 
u9)d. 


r. 
rk.1

.�(. 
.1. 
u9u. 
d. 
. 
u9u. 
d. 


.(. 
.1. 
. 
(rku9)d. 
. 
rk.u9u. 
d. 


rk�. 
rk.1

.k(. 
.1. 
uu. 
d. 
.(. 
.1. 
uu. 
d. 
. 
u9u. 
d. 


Th. 
integra. 
o. 
th. 
left-han. 
sid. 
an. 
th. 
las. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
ma. 
b. 
combine. 
t. 
give

1(. 
�1)k(. 
.1. 
(. 
.1. 


rk.hrk�2irk

u9u. 
d. 
.. 
n. 
. 
uu. 
d. 
(H:7. 


wher. 
equatio. 
(H.5. 
ha. 
bee. 
use. 
fo. 
th. 
�rs. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
side. 
Substitutio. 
o. 
equatio. 
(H.4. 
fo. 
u. 
i. 
th. 
las. 
integra. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
(H.7. 
yields

(. 
�1)k(. 
.1. 
(. 
.1)l(. 
.1. 


u9u. 
d. 
.. 
hrk�2in. 
.hrk�2in. 


(. 
.1). 
(. 
.1)Z. 


�hrk�1in. 
.hr. 
in. 
(H:8. 


2n. 
a. 


Combinin. 
equation. 
(H.6. 
an. 
(H.8). 
w. 
obtai. 
th. 
recurrenc. 
relatio. 
(H.2). 



Appendi. 
. 


Matrice. 


A. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
i. 
a. 
ordere. 
se. 
o. 
m. 
element. 
ai. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
m. 
. 
.1. 
2. 


.... 
n. 
arrange. 
i. 
. 
rectangula. 
arra. 
o. 
. 
row. 
an. 
. 
columns. 


0. 
a1. 
a1. 


. 
a. 
. 
a2. 
a2. 


. 
a. 
. 


(I:1. 


am. 
am. 


. 
am. 


I. 
. 
equal. 
n. 
th. 
arra. 
i. 
. 
squar. 
matri. 
o. 
orde. 
n.Ifwehav. 
. 
.1. 
the. 
th. 
matri. 
ha. 
onl. 
on. 
ro. 
an. 
i. 
know. 
a. 
. 
ro. 
matrix. 
O. 
th. 
othe. 
hand. 
i. 
w. 
hav. 
. 
.1. 
the. 
th. 
matri. 
consist. 
o. 
on. 
colum. 
an. 
i. 
calle. 
. 
colum. 
matrix. 


Matri. 
algebr. 


Tw. 
. 
. 
. 
matrice. 
. 
an. 
. 
ar. 
equa. 
i. 
an. 
onl. 
i. 
thei. 
correspondin. 
element. 
ar. 
equal. 
i.e.. 
ai. 
. 
bi. 
fo. 
al. 
value. 
o. 
. 
an. 
j. 
Som. 
o. 
th. 
rule. 
o. 
matri. 
algebr. 
ar. 


de�ne. 
b. 
th. 
followin. 
relation. 
. 
.. 
.. 
.. 
.C. 
ci. 
. 
ai. 
.bi. 
. 
�. 
.C. 
ci. 
. 
ai. 
�bi. 
(I:2. 
k. 
.C. 
ci. 
. 
kai. 


wher. 
. 
i. 
. 
constant. 
Clearly. 
th. 
matrice. 
A. 
B. 
an. 
. 
i. 
equation. 
(I.2. 
mus. 
hav. 
th. 
sam. 
dimension. 
. 
. 
n. 


Multiplicatio. 
o. 
a. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
an. 
a. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
i. 
de�ne. 
b. 


A. 
.C. 
ci. 
. 
aijbj. 
(I:3. 


Th. 
matri. 
. 
ha. 
dimension. 
. 
. 
p. 
Tw. 
matrice. 
ma. 
b. 
multiplie. 
onl. 
i. 
the. 
ar. 
conformable. 
i.e.. 
onl. 
i. 
th. 
numbe. 
o. 
column. 
o. 
th. 
�rs. 
equal. 
th. 
numbe. 
o. 
row. 


o. 
th. 
second. 
A. 
a. 
example. 
suppos. 
. 
an. 
. 
ar. 


a1. 
a1. 
a1. 
b1. 
b1. 


a2. 
a2. 
a2. 


b2. 
b2. 


a3. 
a3. 
a3. 
b3. 
b3. 
The. 
th. 
produc. 
A. 
i. 
33. 



33. 
Appendi. 
. 


a1. 
b1. 
.a1. 
b2. 
.a1. 
b3. 
a1. 
b1. 
.a1. 
b2. 
.a1. 
b3. 


A. 
. 
a2. 
b1. 
.a2. 
b2. 
.a2. 
b3. 
a2. 
b1. 
.a2. 
b2. 
.a2. 
b3. 
a3. 
b1. 
.a3. 
b2. 
.a3. 
b3. 
a3. 
b1. 
.a3. 
b2. 
.a3. 
b3. 


Continue. 
products. 
suc. 
a. 
ABC. 
ma. 
b. 
de�ne. 
an. 
evaluate. 
i. 
th. 
matrice. 
ar. 
conformable. 
I. 
suc. 
cases. 
multiplicatio. 
i. 
associative. 
fo. 
exampl. 


AB. 
.A(BC. 
.(AB). 
.D. 
di. 
. 
aijbjkck. 
(I:4. 


Fo. 
th. 
nul. 
matri. 
0. 
al. 
th. 
matri. 
element. 
ar. 
zer. 


0. 


. 
. 


0. 


. 
. 


. 
. 
(I:5. 


0. 


. 
. 
an. 
w. 
hav. 
. 
.. 
.. 
.. 
.. 
(I:6. 
Th. 
produc. 
o. 
a. 
arbitrar. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
wit. 
. 
conformabl. 
. 
. 
. 
nul. 
matri. 
i. 
th. 
. 
. 
. 
nul. 
matri. 
A. 
.. 
(I:7. 
I. 
matri. 
algebr. 
i. 
i. 
possibl. 
fo. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
conformabl. 
matrices. 
neithe. 
o. 
whic. 
i. 
. 
nul. 
matrix. 
t. 
b. 
. 
nul. 
matrix. 
Fo. 
example. 
i. 
. 
an. 
. 
ar. 


1. 
. 
. 
�. 


. 
.�. 
�2. 
A. 
. 
.�1. 
33. 
0. 
the. 
th. 
produc. 
A. 
isth. 
. 
. 
. 
nul. 
matrix. 
Th. 
transpos. 
matri. 
A. 
o. 
. 
matri. 
. 
i. 
obtaine. 
b. 
interchangin. 
th. 
row. 
an. 
column. 
o. 
A. 
I. 
th. 
matri. 
. 
i. 
give. 
b. 
equatio. 
(I.1). 
the. 
it. 
transpos. 
i. 


a1. 
a2. 


. 
am. 


a1. 
a2. 


. 
am2

A. 
.. 
(I:8. 


a1na2. 


. 
am. 
Thus. 
th. 
element. 
a. 
o. 
A. 
ar. 
give. 
b. 
a. 
. 
aji. 


Le. 
th. 
matri. 
. 
b. 
th. 
produc. 
o. 
matrice. 
. 
an. 
. 
a. 
i. 
equatio. 
(I.3). 
Th. 
element. 
c. 
o. 
th. 
transpos. 
o. 
. 
ar. 
the. 
give. 
b. 


. 
akjbj. 
.. 
(I:9)

c. 
a. 
b. 
b. 
a. 


i. 
jki. 
ijj. 
j.. 
j.. 
j.. 


wher. 
w. 
hav. 
note. 
tha. 
a. 
. 
a�. 
an. 
b. 


�. 
�. 
. 
b��. 
Thus. 
w. 
se. 
tha. 
C. 
.BTA. 


(AB). 
.BTA. 
(I:10. 
Thi. 
resul. 
ma. 
b. 
generalize. 
t. 
giv. 
(A. 



Q). 
.Q. 



BTA. 
(I:11. 
a. 
lon. 
a. 
th. 
matrice. 
ar. 
conformable. 
I. 
eac. 
elemen. 

ai. 
i. 
. 
matri. 
. 
i. 
replace. 
b. 
it. 
comple. 
conjugat. 
a. 
i. 
. 
the. 
th. 
resultin. 
matri. 
Ai. 
calle. 
th. 
conjugat. 
o. 
A. 
Th. 
transpose. 
conjugat. 
o. 
. 
i. 



Matrice. 
33. 


calle. 
th. 
adjoint. 
o. 
. 
an. 
i. 
denote. 
b. 
Ay. 
Th. 
element. 
ao. 
A. 
ar. 
obviousl. 


give. 
b. 
a. 
a. 


Squar. 
matrice. 


Squar. 
matrice. 
ar. 
o. 
particula. 
interes. 
becaus. 
the. 
appl. 
t. 
man. 
physica. 
situations. 


. 
squar. 
matri. 
o. 
orde. 
. 
i. 
symmetri. 
i. 
ai. 
. 
aji,(i. 
. 
.1. 
2. 
.... 
n). 
s. 
tha. 
. 
.AT. 
an. 
i. 
antisymmetri. 
i. 
ai. 
.�aji,(i. 
. 
.1. 
2. 
.... 
n). 
s. 
tha. 
. 
.�AT. 
Th. 
diagona. 
element. 
o. 
a. 
antisymmetri. 
matri. 
mus. 
al. 
b. 
zero. 
An. 
arbitrar. 
squar. 
matri. 
. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 
th. 
su. 
o. 
. 
symmetri. 
matri. 
A(s. 
an. 
a. 
antisymmetri. 
matri. 
A(a. 


. 
.A(s. 
.A(a. 
(I:12. 
wher. 
a(s. 
i. 
.. 
2(ai. 
.aji). 
a(a. 
i. 
.. 
2(ai. 
�aji. 
(I:13. 


. 
squar. 
matri. 
. 
i. 
diagona. 
i. 
ai. 
.0fo. 
. 
6
j. 
Thus. 
. 
diagona. 
matri. 
ha. 
th. 


a1. 


. 
. 
. 
a. 


. 
. 


0. 


. 
a. 


(I:14. 


. 
diagona. 
matri. 
i. 
scala. 
i. 
al. 
th. 
diagona. 
element. 
ar. 
equal. 
a. 
. 
a. 
. 


. 
. 


a. 
. 
a. 
s. 
tha. 


. 
. 


. 
. 
. 
. 


. 
. 


0. 


. 
. 


(I:15. 


. 
specia. 
cas. 
o. 
. 
scala. 
matri. 
i. 
th. 
uni. 
matri. 
I. 
fo. 
whic. 
. 
equal. 
unit. 
1. 


. 
. 
0. 


. 
. 


(I:16. 


0. 


. 
. 


Th. 
element. 
o. 
th. 
uni. 
matri. 
ar. 
�ij. 
th. 
Kronecke. 
delt. 
function. 
Fo. 
squar. 
matrice. 
i. 
general. 
th. 
produc. 
A. 
i. 
no. 
equa. 
t. 
th. 
produc. 
BA.Fo. 


example. 
i. 


the. 
w. 
hav. 


. 
. 
0. 
1. 
. 
. 
. 
2. 
0. 
. 


A. 
. 
. 
B. 
. 
6.A. 


I. 
th. 
produc. 
A. 
equal. 
th. 
produc. 
BA. 
the. 
. 
an. 
. 
commute. 
An. 
squar. 
matri. 
. 
commute. 
wit. 
th. 
uni. 
matri. 
o. 
th. 
sam. 
orde. 


Mathematic. 
text. 
us. 
th. 
ter. 
transpos. 
conjugat. 
fo. 
thi. 
matri. 
an. 
appl. 
th. 
ter. 
adjoin. 
t. 
th. 
adjugat. 
matri. 
de�ne. 
i. 
equatio. 
(I.28). 



33. 
Appendi. 
. 
A. 
.I. 
(I:17. 


Moreover. 
tw. 
diagona. 
matrice. 
o. 
th. 
sam. 
orde. 
commut. 
a1. 


. 
. 
b1. 


. 
. 
a. 
b1. 


. 
. 


0. 


. 
a. 
0. 


. 
b. 
0. 


. 
anb. 
.B. 
(I:18. 


Determinant. 


Fo. 
. 
squar. 
matri. 
A. 
ther. 
exist. 
. 
numbe. 
calle. 
th. 
determinan. 
o. 
th. 
matrix. 
Thi. 


determinan. 
i. 
denote. 
b. 


a1. 
a1. 


. 
a1. 
a2. 
a2. 


. 
a2. 


an. 
an. 


. 
an. 


(I:19. 


an. 
i. 
de�ne. 
a. 
th. 
summatio. 


jAj. 
�Pa1ia. 
. 


. 
an. 
(I:20. 


wher. 
�. 
.1. 
Th. 
summatio. 
i. 
take. 
ove. 
al. 
possibl. 
permutation. 
i. 
j. 
.... 
. 
o. 
th. 
sequenc. 
1. 
2. 
.... 
n. 
Th. 
valu. 
o. 
�. 
i. 
.1(�1. 
i. 
th. 
orde. 
i. 
j. 
.... 
. 
i. 
obtaine. 
b. 
a. 
eve. 
(odd. 
numbe. 
o. 
pai. 
interchange. 
fro. 
th. 
orde. 
1. 
2. 
.... 
n. 
Ther. 
ar. 
n. 
term. 
i. 
th. 
summation. 
hal. 
wit. 
�. 
.. 
an. 
hal. 
wit. 
�. 
.�1. 
Thus. 


fo. 
. 
second-orde. 
determinant. 
w. 
hav. 


a1. 
a1. 


. 
a1. 
a2. 
�a1. 
a2. 
(I:21. 


a2. 
a2. 


an. 
fo. 
. 
third-orde. 
determinant. 
w. 
hav. 


a1. 
a1. 
a1. 


a2. 
a2. 
a2. 
a3. 
a3. 
a3. 


. 
a1. 
a2. 
a3. 
.a1. 
a2. 
a3. 
.a1. 
a2. 
a3. 
�(a1. 
a2. 
a3. 
.a1. 
a2. 
a3. 
.a1. 
a2. 
a31)(I:22. 


I. 
th. 
determinan. 
jAjo. 
th. 
matri. 
. 
vanishes. 
the. 
th. 
matri. 
. 
i. 
sai. 
t. 
b. 
singular. 
Otherwise. 
th. 
matri. 
. 
i. 
non-singular. 
Th. 
determinan. 
jAjha. 
th. 
followin. 
properties. 
whic. 
ar. 
easil. 
derive. 
fro. 
th. 
de�nitio. 
(I.20). 


1. 
Th. 
interchang. 
o. 
an. 
tw. 
row. 
o. 
an. 
tw. 
column. 
change. 
th. 
sig. 
o. 
th. 
determinant. 
2. 
Multiplicatio. 
o. 
al. 
th. 
element. 
i. 
an. 
ro. 
o. 
i. 
an. 
colum. 
b. 
. 
constan. 
. 
give. 
. 
ne. 
determinan. 
o. 
valu. 
kjAj. 
(Not. 
tha. 
i. 
. 
. 
kA. 
the. 
jBj. 
knjAj.. 


3. 
Th. 
valu. 
o. 
th. 
determinan. 
i. 
zer. 
i. 
an. 
tw. 
row. 
o. 
an. 
tw. 
column. 
ar. 
identical. 
o. 
i. 
eac. 
elemen. 
i. 
an. 
ro. 
o. 
i. 
an. 
colum. 
i. 
zero. 
A. 
. 
specia. 
cas. 
o. 
propertie. 
. 
an. 
3. 
. 
determinan. 
vanishe. 
i. 
an. 
tw. 
row. 
o. 
an. 
tw. 
column. 
ar. 
proportional. 



Matrice. 
33. 


4. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
determinan. 
i. 
unchange. 
i. 
th. 
row. 
ar. 
writte. 
a. 
columns. 
Thus. 
th. 
determinant. 
o. 
. 
matri. 
. 
an. 
it. 
transpos. 
matri. 
A. 
ar. 
equal. 


5. 
Th. 
valu. 
o. 
. 
determinan. 
i. 
unchange. 
if. 
t. 
eac. 
elemen. 
o. 
on. 
ro. 
(column. 
i. 
adde. 
. 
constan. 
. 
time. 
th. 
correspondin. 
elemen. 
o. 
anothe. 
ro. 
(column). 
Thus. 
w. 
have. 
fo. 
exampl. 


a1. 
a1. 
a1. 


a2. 
a2. 
a2. 


a3. 
a3. 
a3. 


a1. 
.ka3. 
a1. 
.ka3. 
a1. 
.ka3. 


a2. 
a2. 
a2. 


a3. 
a3. 
a3. 


a1. 
.ka1. 


a1. 
a1. 


a2. 
.ka2. 


a2. 
a2. 


a3. 
.ka3. 


a3. 
a3. 


Eac. 
elemen. 
ai. 
o. 
th. 
determinan. 
jAji. 
equatio. 
(I.19. 
ha. 
. 
cofacto. 
Cij. 
whic. 
i. 
an(. 
�1)-orde. 
determinant. 
Thi. 
cofacto. 
Ci. 
i. 
constructe. 
b. 
deletin. 
th. 
it. 
ro. 
an. 
th. 
jt. 
colum. 
o. 
jAjan. 
the. 
multiplyin. 
b. 
(�1)i.j. 
Fo. 
example. 
th. 


cofacto. 
o. 
th. 
elemen. 
a1. 
i. 
equatio. 
(I.22. 
i. 



aa212. 


C1. 
.. 


a3. 
a3. 


.a2. 
a3. 
�a2. 
a3. 


Th. 
summatio. 
o. 
th. 
right-han. 
sid. 
o. 
equatio. 
(I.20. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
term. 
o. 
th. 
cofactor. 
o. 
th. 
�rs. 
ro. 
o. 
jAj. 
s. 
tha. 
(I.20. 
become. 


jAj.a1. 
C1. 
.a1. 
C1. 
.


.a1nC1. 
. 
a1kC1. 
(I:23. 


Alternatively. 
th. 
expressio. 
o. 
jAji. 
equatio. 
(I.20. 
ma. 
b. 
expande. 
i. 
term. 
o. 
an. 


jAj. 
aikCi. 
. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
(I:24. 


o. 
i. 
term. 
o. 
an. 
colum. 
. 


jAj. 
akjCkj. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
(I:25. 


Equation. 
(I.20). 
(I.24). 
an. 
(I.25. 
ar. 
identical. 
the. 
ar. 
jus. 
expresse. 
i. 
differen. 
notations. 
No. 
suppos. 
tha. 
ro. 
. 
an. 
ro. 
. 
o. 
th. 
determinan. 
jAjar. 
identical. 
Equatio. 
(I.23. 
the. 
become. 


jAj.ai. 
C1. 
.ai. 
C1. 
.


.ainC. 
. 
. 
aikC. 
. 
.. 


wher. 
th. 
determinan. 
jAjvanishe. 
accordin. 
t. 
propert. 
3. 
Thi. 
argumen. 
applie. 
t. 
an. 
identica. 
pai. 
o. 
row. 
o. 
an. 
identica. 
pai. 
o. 
columns. 
s. 
tha. 
equation. 
(I.24. 
an. 
(I.25. 
ma. 
b. 
generalize. 


aikCj. 
. 
akiCk. 
.jAj�ij. 
i. 
. 
.1. 
2. 
.... 
. 
(I:26. 
k.. 
k.. 


I. 
ca. 
b. 
shown. 
tha. 
th. 
determinan. 
o. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
squar. 
matrice. 
o. 
th. 
sam. 
orde. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
produc. 
o. 
th. 
tw. 
determinants. 
i.e.. 
i. 
. 
.AB. 
the. 
jCj.jAj. 
jB. 
(I:27. 


Se. 
G. 
D. 
Arfke. 
an. 
H. 
J. 
Webe. 
(1995. 
Mathematica. 
Method. 
fo. 
Physicists. 
4t. 
editio. 
(Academi. 
Press. 
Sa. 
Diego). 
p. 
169. 



33. 
Appendi. 
. 


I. 
follow. 
fro. 
equatio. 
(I.27. 
tha. 
th. 
produc. 
o. 
tw. 
non-singula. 
matrice. 
i. 
als. 
non-singular. 


Specia. 
squar. 
matrice. 


Th. 
adjugat. 
matri. 
A^
o. 
th. 
squar. 
matri. 
. 
i. 
de�ne. 
a. 


C1. 
C2. 


. 
Cn. 
C1. 
C2. 


. 
Cn. 




. 


. 


. 


. 
C1nC2. 


. 
Cn. 


(I:28. 


wher. 
Ci. 
ar. 
th. 
cofactor. 
o. 
th. 
element. 
ai. 
o. 
th. 
determinan. 
jAjo. 
A. 
Not. 
tha. 
th. 
elemen. 
.
^ak. 
o. 
A^
i. 
th. 
cofacto. 
Clk. 
Th. 
matri. 
produc. 
AA^
i. 
. 
matri. 
. 
whos. 
element. 
bi. 
ar. 
give. 
b. 


XnX. 
bi. 
. 
ai. 
.
^a
k. 
. 
ai. 
Cj. 
.jAj�i. 
(I:29. 
k.. 
k.. 
wher. 
equatio. 
(I.26. 
wa. 
introduced. 
Thus. 
w. 
hav. 
. 
^. 
.. 
.jAj. 
. 
^A
. 
(I:30. 


wher. 
. 
i. 
th. 
uni. 
matri. 
i. 
equatio. 
(I.16). 
an. 
w. 
se. 
tha. 
th. 
matrice. 
. 
an. 
A^
commute. 
An. 
non-singula. 
squar. 
matri. 
. 
possesse. 
a. 
invers. 
matri. 
A�. 
de�ne. 
a. 
A�. 
. 
^

A=jA. 
(I:31. 
Fro. 
equatio. 
(I.30. 
w. 
observ. 
tha. 
AA�. 
.A�1. 
.. 
(I:32. 
Conside. 
thre. 
squar. 
matrice. 
A. 
B. 
. 
suc. 
tha. 
A. 
.C. 
The. 
w. 
hav. 
A�1A. 
.A�1. 


. 
.A�1. 
(I:33. 
Thus. 
th. 
invers. 
matri. 
play. 
th. 
rol. 
o. 
divisio. 
i. 
matri. 
algebra. 
Multiplicatio. 
o. 
equatio. 
(I.33. 
fro. 
th. 
lef. 
b. 
B�. 
an. 
fro. 
th. 
righ. 
b. 
C�. 
yield. 
C�. 
.B�1A�. 


(AB)�. 
.B�1A�. 
(I:34. 
Thi. 
resul. 
ma. 
easil. 
b. 
generalize. 
t. 
sho. 
tha. 
(A. 



Q)�. 
.Q�. 



B�1A�. 
(I:35. 
. 
squar. 
matri. 
. 
i. 
hermitia. 
o. 
self-adjoin. 
i. 
i. 
i. 
equa. 
t. 
it. 
adjoint. 
i.e.. 
i. 
. 
.A. 
o. 
ai. 
. 
a. 
Thus. 
th. 
diagona. 
element. 
o. 
. 
hermitia. 
matri. 
ar. 
real. 


. 
squar. 
matri. 
. 
i. 
orthogona. 
i. 
i. 
satis�e. 
th. 
relatio. 
AA. 
.AT. 
.. 
I. 
w. 
multipl. 
AA. 
.. 
fro. 
th. 
lef. 
b. 
A�1. 
the. 
w. 
hav. 
th. 
equivalen. 
de�nitio. 
A. 
.A�. 
Sinc. 
th. 
determinant. 
jAjan. 
jATjar. 
equal. 
w. 
hav. 
fro. 
equatio. 
(I.27. 


jAj. 
.1o. 
jAj.. 



Matrice. 
33. 


Th. 
produc. 
o. 
tw. 
orthogona. 
matrice. 
i. 
a. 
orthogona. 
matri. 
a. 
show. 
b. 
th. 
followin. 
sequenc. 


(AB). 
.BTA. 
.B�1A�. 
.(AB)�. 
wher. 
equation. 
(I.10. 
an. 
(I.34. 
wer. 
used. 
Th. 
invers. 
o. 
a. 
orthogona. 
matri. 
i. 
als. 
a. 
orthogona. 
matri. 
a. 
show. 
b. 
takin. 
th. 
transpos. 
o. 
A�. 
an. 
notin. 
tha. 
th. 
orde. 
o. 
transpositio. 
an. 
inversio. 
ma. 
b. 
reverse. 


(A�1). 
.(AT)�. 
.(A�1)�. 


. 
squar. 
matri. 
. 
i. 
unitar. 
i. 
it. 
invers. 
i. 
equa. 
t. 
it. 
adjoint. 
i.e.. 
i. 
A�. 
.A. 
o. 
i. 
AAy.Ay. 
.I. 
Fo. 
. 
rea. 
matrix. 
wit. 
al. 
element. 
rea. 
s. 
tha. 
ai. 
.a. 
ther. 
i. 


n. 
distinctio. 
betwee. 
a. 
orthogona. 
an. 
. 
unitar. 
matrix. 
I. 
tha. 
case. 
w. 
hav. 
Ay.A. 
.A�1. 


Linea. 
vecto. 
spac. 


. 
vecto. 
. 
i. 
three-dimensiona. 
cartesia. 
spac. 
ma. 
b. 
represente. 
a. 
. 
colum. 
matri. 


. 
. 
x. 
(I:36. 


wher. 
x1. 
x2. 
x. 
ar. 
th. 
component. 
o. 
x. 
Th. 
adjoin. 
o. 
th. 
colum. 
matri. 
. 
is. 
ro. 
matri. 


xy.(xxx. 
(I:37. 


Th. 
scala. 
produc. 
o. 
th. 
vector. 
. 
an. 
. 
whe. 
expresse. 
i. 
matri. 
notatio. 
i. 


xy. 
.(xxx). 
y. 
. 
.xy. 
.xy. 
.xy. 
(I:38. 


12. 
12. 


Consequently. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
i. 
2)1=2

(xyx)1=. 
.(jx1j. 
.jx2j. 
.jx3j(I:39. 
I. 
th. 
vector. 
. 
an. 
. 
ar. 
orthogonal. 
the. 
w. 
hav. 
xy. 
.0. 
Th. 
uni. 
vector. 
i. 
j. 
. 
i. 
matri. 
notatio. 
ar. 


@A. 
@A. 
@A

. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
(I:40. 


. 
linea. 
operato. 
A^
i. 
three-dimensiona. 
cartesia. 
spac. 
ma. 
b. 
represente. 
a. 
. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
wit. 
element. 
aij. 
Th. 
expressio. 
. 
. 
A^
. 
i. 
matri. 
notatio. 
become. 


y. 
a1. 
a1. 
a1. 
x. 
a1. 
x. 
.a1. 
x. 
.a1. 
x. 


. 
. 
A@. 
.. 
A

. 
. 
y. 
. 
.A. 
. 
a2. 
a2. 
a2. 
x. 
a2. 
x. 
.a2. 
x. 
.a2. 
x. 
y. 
a3. 
a3. 
a3. 
x. 
a3. 
x. 
.a3. 
x. 
.a3. 
x. 


(I:41. 
I. 
. 
i. 
non-singular. 
the. 
i. 
matri. 
notatio. 
th. 
vecto. 
. 
i. 
relate. 
t. 
th. 
vecto. 
. 
b. 
. 
.A�1. 
(I:42. 
Th. 
vecto. 
concep. 
ma. 
b. 
extende. 
t. 
n-dimensiona. 
cartesia. 
space. 
wher. 
w. 
hav. 
. 
mutuall. 
orthogona. 
axes. 
Eac. 
vecto. 
. 
the. 
ha. 
. 
component. 
(x1. 
x2. 
.... 



33. 
Appendi. 
. 


xn. 
an. 
ma. 
b. 
represente. 
a. 
. 
colum. 
matri. 
. 
wit. 
. 
rows. 
Th. 
scala. 
produc. 
o. 
th. 
n-dimensiona. 
vector. 
. 
an. 
. 
i. 
matri. 
notatio. 
i. 


xy. 
. 
xy. 
.xy. 
.


. 
xy. 
(I:43. 


an. 
th. 
magnitud. 
o. 
. 
i. 


(xyx)1=. 
.(jx1j. 
.jx2j. 
.


. 
jxnj2)1=. 
(I:44. 
I. 
w. 
hav. 
xy. 
.0. 
the. 
th. 
vector. 
. 
an. 
. 
ar. 
orthogonal. 
Th. 
uni. 
vector. 
i. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
n. 
whe. 
expresse. 
i. 
matri. 
notatio. 
ar. 





. 
i. 
. 


(I:45. 


I. 
. 
vecto. 
. 
i. 
relate. 
t. 
. 
vecto. 
. 
b. 
th. 
relatio. 
. 
.A. 
an. 
i. 
th. 
magnitud. 
o. 
. 
i. 
t. 
remai. 
th. 
sam. 
a. 
th. 
magnitud. 
o. 
x. 
the. 
w. 
hav. 
xy. 
.yy. 
.(Ax)yA. 
.xyAyA. 
(I:46. 
wher. 
equatio. 
(I.10. 
wa. 
used. 
I. 
follow. 
fro. 
equatio. 
(I.46. 
tha. 
Ay. 
.. 
s. 
tha. 
. 
mus. 
b. 
unitary. 


Eigenvalue. 


Th. 
eigenvalue. 
. 
o. 
. 
squar. 
matri. 
. 
wit. 
element. 
ai. 
ar. 
de�ne. 
b. 
th. 
equatio. 


A. 
.�. 
.�I. 
(I:47. 
wher. 
th. 
eigenvecto. 
. 
i. 
th. 
colum. 
matri. 
correspondin. 
t. 
a. 
n-dimensiona. 
vecto. 
an. 
. 
i. 
. 
scala. 
quantity. 
Equatio. 
(I.47. 
ma. 
als. 
b. 
writte. 
a. 


(. 
��I). 
.. 
(I:48. 
I. 
th. 
matri. 
(. 
��I. 
wer. 
t. 
posses. 
a. 
inverse. 
w. 
coul. 
multipl. 
bot. 
side. 
o. 
equatio. 
(I.48. 
b. 
(. 
��I)�. 
an. 
obtai. 
. 
.0. 
Sinc. 
. 
i. 
no. 
. 
nul. 
matrix. 
th. 
matri. 


(. 
��I. 
i. 
singula. 
an. 
it. 
determinan. 
vanishe. 
a1. 
�. 
a1. 


. 
a1. 
a2. 
a2. 
�. 


. 
a2. 


.. 
(I:49. 


an. 
an. 


. 
an. 
�. 


Th. 
expansio. 
o. 
thi. 
determinan. 
i. 
. 
polynomia. 
o. 
degre. 
. 
i. 
�. 
givin. 
th. 
characteristi. 
o. 
secula. 
equatio. 


�. 
.cn�1�n�. 
.


. 
c1. 
.c. 
.. 
(I:50. 
wher. 
c. 
(. 
.0. 
1. 
.... 
. 
�1. 
ar. 
constants. 
Equatio. 
(I.50. 
ha. 
. 
root. 
o. 
eigenvalue. 
�. 
(. 
.1. 
2. 
.... 
n). 
I. 
i. 
possibl. 
tha. 
som. 
o. 
thes. 
eigenvalue. 
ar. 
degenerate. 


Th. 
eigenvalue. 
o. 
. 
hermitia. 
matri. 
ar. 
real. 
T. 
prov. 
thi. 
statement. 
w. 
tak. 
th. 
adjoin. 
o. 
eac. 
sid. 
o. 
equatio. 
(I.47). 
appl. 
equatio. 
(I.10). 
an. 
not. 
tha. 
. 
.A. 


(Ax)y.xyAy.xy. 
.�x. 
(I:51. 
Multiplyin. 
equatio. 
(I.47. 
fro. 
th. 
lef. 
b. 
x. 
an. 
equatio. 
(I.51. 
fro. 
th. 
righ. 
b. 
x. 
w. 
hav. 


xyA. 
.�xy. 


xyA. 
.�xy. 
Sinc. 
th. 
magnitud. 
o. 
th. 
vecto. 
. 
i. 
no. 
zero. 
w. 
se. 
tha. 
. 
.�an. 
. 
i. 
real. 



Matrice. 
33. 


Th. 
eigenvector. 
o. 
. 
hermitia. 
matri. 
wit. 
differen. 
eigenvalue. 
ar. 
orthogonal. 
T. 
prov. 
thi. 
statement. 
w. 
conside. 
tw. 
distinc. 
eigenvalue. 
�. 
an. 
�. 
an. 
thei. 
correspondin. 
eigenvector. 
x(1. 
an. 
x(2). 
s. 
tha. 


Ax(1. 
.�1x(1. 


(I:52a. 


Ax(2. 
.�2x(2. 


(I:52b. 


I. 
w. 
multipl. 
equatio. 
(I.52a. 
fro. 
th. 
lef. 
b. 
x(2). 
an. 
th. 
adjoin. 
o. 
(I.52b. 
fro. 
th. 
righ. 
b. 
x(1). 
w. 
obtai. 


x(2). 
Ax(1. 
.�1x(2). 
x(1. 


(I:53a. 


(Ax(2))yx(1. 
.x(2). 
Ayx(1. 
.x(2). 
Ax(1. 
.�2x(2). 
x(1. 


(I:53b. 


wher. 
w. 
hav. 
use. 
equatio. 
(I.10. 
an. 
note. 
tha. 
�. 
i. 
real. 
Subtractin. 
equatio. 
(I.53b. 
fro. 
(I.53a). 
w. 
�n. 


(�. 
��2)x(2). 
x(1. 
.. 


Sinc. 
�. 
i. 
no. 
equa. 
t. 
�2. 
w. 
se. 
tha. 
x(1. 
an. 
x(2. 
ar. 
orthogonal. 


Th. 
eigenvecto. 
x(�. 
correspondin. 
t. 
th. 
eigenvalu. 
�. 
ma. 
b. 
determine. 
b. 
substitutin. 
th. 
valu. 
fo. 
�. 
int. 
equatio. 
(I.47. 
an. 
the. 
solvin. 
th. 
resultin. 


(�)(�)

simultaneou. 
equation. 
fo. 
th. 
component. 
x. 
x. 
.... 
x(�. 
o. 
x(�. 
i. 
term. 
o. 
th. 


�rs. 
componen. 
x. 
Th. 
valu. 
o. 
th. 
�rs. 
componen. 
i. 
arbitrary. 
bu. 
i. 
ma. 
b. 


speci�e. 
b. 
requirin. 
tha. 
th. 
vecto. 
x(�. 
b. 
normalized. 
i.e.. 
x(�). 


(�)(�)

x(�. 
.jxj. 
.jxj. 
.


. 
jx(�)j. 
.. 
(I:54. 


Th. 
determinatio. 
o. 
th. 
eigenvector. 
fo. 
degenerat. 
eigenvalue. 
i. 
somewha. 
mor. 
complicate. 
an. 
i. 
no. 
discusse. 
here. 


W. 
ma. 
construc. 
a. 
. 
. 
. 
matri. 
. 
usin. 
th. 
. 
orthogona. 
eigenvector. 
x(�. 
a. 
column. 


(1. 
(2. 
(n)

xx

. 
x

(1. 
(2. 
(n)

xx

. 
x

(I:55. 




. 


. 


. 


. 


x(1. 
x(2. 
x(n. 


an. 
. 
diagona. 
matri. 
. 
usin. 
th. 
. 
eigenvalue. 


�1. 


. 
. 
. 
�. 


. 
. 




. 


. 


. 


. 
0. 


. 
�. 


(I:56. 


Equatio. 
(I.47. 
ma. 
the. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 
A. 
.X. 
(I:57. 
Th. 
matri. 
. 
i. 
easil. 
see. 
t. 
b. 
unitary. 
Sinc. 
th. 
. 
eigenvector. 
ar. 
linearl. 
independent. 
th. 
matri. 
. 
i. 
non-singula. 
an. 
it. 
invers. 
X�. 
exists. 
I. 
w. 
multipl. 
equatio. 
(I.57. 
fro. 
th. 
lef. 
b. 
X�1. 
w. 
obtai. 
X�1A. 
.. 
(I:58. 
Thi. 
transformatio. 
o. 
th. 
matri. 
. 
t. 
. 
diagona. 
matri. 
i. 
a. 
exampl. 
o. 
. 
similarit. 
transform. 



34. 
Appendi. 
. 


Trac. 


Th. 
trac. 
T. 
. 
o. 
. 
squar. 
matri. 
. 
i. 
de�ne. 
a. 
th. 
su. 
o. 
th. 
diagona. 
element. 
T. 
. 
. 
a1. 
.a2. 
.


. 
an. 
(I:59. 
Th. 
operato. 
T. 
i. 
. 
linea. 
operato. 
becaus. 
Tr(. 
.B. 
.(a1. 
.b11. 
.(a2. 
.b22. 
.


. 
(an. 
.bnn. 
.T. 
. 
.T. 
. 
(I:60. 
Tr(cA. 
. 
ca1. 
.ca2. 
.


. 
can. 
. 
. 
T. 
. 
(I:61. 
Th. 
trac. 
o. 
. 
produc. 
o. 
tw. 
matrices. 
whic. 
ma. 
o. 
ma. 
no. 
commute. 
i. 
independen. 
o. 
th. 
orde. 
o. 
multiplicatio. 


Tr(AB. 
. 
aijbj. 
. 
bjiai. 
.Tr(BA. 
(I:62. 
i.. 
j.. 
j.. 
i.. 


Thus. 
th. 
trac. 
o. 
th. 
commutato. 
[A. 
B. 
A. 
�B. 
i. 
equa. 
t. 
zero. 
Furthermore. 
th. 
trac. 
o. 
. 
continue. 
produc. 
o. 
matrice. 
i. 
invarian. 
unde. 
. 
cycli. 
permutatio. 
o. 
th. 
matrice. 


Tr(AB. 



Q. 
.Tr(B. 



QA. 
.Tr(. 



QAB. 
. 


. 
(I:63. 
Fo. 
. 
hermitia. 
matrix. 
th. 
trac. 
i. 
th. 
su. 
o. 
it. 
eigenvalue. 


T. 
. 
. 
�. 
(I:64. 


T. 
demonstrat. 
th. 
validit. 
o. 
equatio. 
(I.64). 
w. 
�rs. 
tak. 
th. 
trac. 
o. 
(I.58. 
t. 
obtai. 


Tr(X�1AX. 
.T. 
. 
. 
�. 
(I:65. 


W. 
the. 
not. 
tha. 


Tr(X�1AX. 
. 
(X�1AX)�. 
. 
aij. 
j. 


�.. 
�.. 
i.. 
j.. 


. 
ai. 
Xj. 
. 
��
. 
. 
. 
aij�i. 
. 
ai. 
.T. 
. 
(I:66. 
i.. 
j.. 
�.. 
i.. 
j.. 
i.. 


X. 
XXXXX

wher. 
Xj. 
(. 
x(�). 
ar. 
th. 
element. 
o. 
X. 
Combinin. 
equation. 
(I.65. 
an. 
(I.66). 
w. 


obtai. 
equatio. 
(I.64). 



Appendi. 
. 


Evaluatio. 
o. 
th. 
two-electro. 
interactio. 
integra. 


I. 
th. 
applicatio. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
t. 
th. 
heliu. 
atom. 
th. 
followin. 
integra. 
. 
arise. 
an. 
need. 
t. 
b. 
evaluate. 


e�(r. 
.r2. 
. 
. 
d.
rr1d.
rr. 


e�(r1.r2. 
. 


. 
si. 
�. 
si. 
�2dr1d�1dj1dr2d�2dj. 
(J:1. 


wher. 
th. 
positio. 
vector. 
.
rr. 
(. 
.1. 
2. 
hav. 
component. 
ri. 
�i. 
j. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
an. 
wher. 


r1. 
.j.
rr. 
�.
rr1. 


Th. 
distanc. 
r1. 
i. 
relate. 
t. 
r. 
an. 
r. 
b. 
th. 
la. 
o. 
cosine. 


r. 
.r. 
.r. 
�2r1r. 
co. 
. 
(J:2. 


wher. 
. 
i. 
th. 
angl. 
betwee. 
.
rr. 
an. 
.
rr. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
J.1. 
Th. 
integratio. 
i. 
take. 
ove. 
al. 
spac. 
fo. 
eac. 
positio. 
vector. 


Th. 
integra. 
. 
ma. 
b. 
evaluate. 
mor. 
easil. 
i. 
w. 
orien. 
th. 
coordinat. 
axe. 
s. 
tha. 
th. 
vecto. 
.
rr. 
lie. 
alon. 
th. 
positiv. 
z-axi. 
a. 
show. 
i. 
Figur. 
J.2. 
I. 
tha. 
case. 
th. 
angl. 
. 
betwee. 
.
rr. 
an. 
.
rr. 
i. 
equa. 
t. 
th. 
angl. 
�2. 
I. 
w. 
de�n. 
r. 
a. 
th. 
large. 
an. 
r. 
a. 
th. 
smalle. 
o. 
r. 
an. 
r. 
an. 
de�n. 
. 
b. 
th. 
rati. 


s. 
tha. 
. 
. 
1. 
the. 
equatio. 
(J.2. 
ma. 
b. 
expresse. 
i. 
th. 
for. 


. 
. 
. 
(. 
.s. 
�2. 
co. 
�2)�1=. 
(J:3. 


r1. 
r. 


A. 
thi. 
point. 
w. 
ma. 
procee. 
i. 
on. 
o. 
tw. 
ways. 
whic. 
ar. 
mathematicall. 
equivalent. 
I. 
th. 
�rs. 
procedure. 
w. 
not. 
tha. 
fro. 
th. 
generatin. 
functio. 
(E.1. 
fo. 
Legendr. 
polynomial. 
Pl. 
equatio. 
(J.3. 
ma. 
b. 
writte. 
a. 


. 
. 
. 
Pl(co. 
�2)s. 


r1. 
r. 
l.. 


Th. 
integra. 
. 
i. 
equatio. 
(J.1. 
the. 
become. 



34. 
Appendi. 
. 


z 

1 
2 
x 
y 
� 
r 1 r 2 
r 12 
Figur. 
J.. 
Distanc. 
betwee. 
tw. 
particle. 
. 
an. 
. 
an. 
thei. 
respectiv. 
distance. 
fro. 
th. 
origin. 


1 
2 
z 
x 
y 
r 1 
r 2 
r 12 
�2 
2j 
Figur. 
J.. 
Rotatio. 
o. 
th. 
coordinat. 
axe. 
i. 
Figur. 
J.. 
s. 
tha. 
th. 
z-axi. 
lie. 
alon. 
r1. 


. 
e�(r1.r2. 
.. 
.. 
.2. 
.2. 
. 
. 
dr1dr. 
Pl(co. 
�2. 
si. 
�2d�. 
si. 
�1d�1dj1dj2

slr2r. 


r. 
. 
00. 


Th. 
integral. 
ove. 
�1. 
j1. 
an. 
j. 
ar. 
readil. 
evaluated. 
Sinc. 
P0(�. 
. 
1. 
w. 
ma. 
writ. 
th. 
integra. 
ove. 
�. 
a. 



Evaluatio. 
o. 
two-electro. 
interactio. 
interva. 
34. 


Pl(co. 
�2. 
si. 
�2d�. 
. 
Pl(�)P0(�)d. 
. 
2�l. 


wher. 
equation. 
(E.18. 
an. 
(E.19. 
hav. 
bee. 
introduced. 
Thus. 
onl. 
th. 
ter. 
wit. 
. 
. 
. 
i. 
th. 
summatio. 
doe. 
no. 
vanis. 
an. 
w. 
hav. 


e�(r1.r2. 
. 
. 
16�. 
r2r2dr1dr. 
(J:4. 


I. 
th. 
secon. 
procedure. 
w. 
substitut. 
equatio. 
(J.3. 
directl. 
int. 
(J.1. 
an. 
evaluat. 
th. 
integra. 
ove. 
�. 


si. 
�2. 


d�. 
. 
(. 
. 
s. 
. 
2. 
co. 
�2)1=. 
. 


. 
(. 
. 
s. 
. 
2. 
co. 
�2)1=. 
. 
. 


. 
[(. 
. 
s. 
. 
2s)1=. 
. 
(. 
. 
s. 
. 
2s)1=2. 


. 
[(. 
. 
s. 
. 
(. 
. 
s). 
. 
. 


Th. 
integral. 
ove. 
�1. 
j1. 
an. 
j. 
ar. 
th. 
sam. 
a. 
befor. 
an. 
equatio. 
(J.4. 
i. 
obtained. 
Sinc. 
r. 
i. 
th. 
large. 
o. 
r. 
an. 
r2. 
th. 
integra. 
. 
i. 
equatio. 
(J.4. 
ma. 
b. 
writte. 
i. 
th. 
for. 


.. 
".r. 
.. 
. 
e�r. 
r2. 
e�r. 
r2e�r. 
r2dr.


. 
. 
16�2dr. 
. 
dr. 


. 
r1. 
r. 


. 
16�2e�r. 
r1f[. 
. 
(r. 
. 
2r. 
. 
2)e�r1. 
. 
r1(r. 
. 
1)e�r. 
. 
dr. 
. 
16�2(. 
. 
5. 


Accordingly. 
th. 
�na. 
resul. 
i. 


e�(r1.r2. 
. 
. 
d.
rr1d.
rr. 
. 
20�. 
(J:5. 



Selecte. 
bibliograph. 


Applie. 
mathematica. 
method. 


Thre. 
widel. 
use. 
compendi. 
o. 
applie. 
mathematic. 
directe. 
t. 
th. 
need. 
o. 


chemistr. 
an. 
physic. 
ar. 
th. 
following. 


G. 
B. 
Arfke. 
an. 
H. 
J. 
Webe. 
(1995. 
Mathematica. 
Method. 
fo. 
Physicists. 
4t. 
editio. 
(Academi. 
Press. 
Sa. 
Diego). 


M. 
L. 
Boa. 
(1983. 
Mathematica. 
Method. 
i. 
th. 
Physica. 
Sciences. 
2n. 
editio. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 


K. 
F. 
Riley. 
M. 
P. 
Hobson. 
an. 
S. 
J. 
Benc. 
(1998. 
Mathematica. 
Method. 
fo. 
Physic. 
an. 
Engineerin. 
(Cambridg. 
Universit. 
Press. 
Cambridge). 


Undergraduat. 
physica. 
chemistr. 


Th. 
followin. 
undergraduat. 
text. 
discus. 
th. 
historica. 
developmen. 
o. 
quantu. 


concept. 
an. 
introduc. 
th. 
element. 
o. 
quantu. 
mechanics. 


R. 
A. 
Albert. 
an. 
R. 
J. 
Silbe. 
(1996. 
Physica. 
Chemistry. 
2n. 
editio. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 


P. 
W. 
Atkin. 
(1998. 
Physica. 
Chemistry. 
6t. 
editio. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford. 
W. 
H. 
Freeman. 
Ne. 
York). 


D. 
A. 
McQuarri. 
an. 
J. 
D. 
Simo. 
(1997. 
Physica. 
Chemistry. 
. 
Molecula. 
Approac. 
(Universit. 
Scienc. 
Books. 
Sausalito. 
CA). 


Histor. 
an. 
philosoph. 
o. 
quantu. 
theor. 


J. 
Baggot. 
(1992. 
Th. 
Meanin. 
o. 
Quantu. 
Theor. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 


M. 
Jamme. 
(1974. 
Th. 
Philosoph. 
o. 
Quantu. 
Mechanic. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 


M. 
Jamme. 
(1966)Th. 
Conceptua. 
Developmen. 
o. 
Quantu. 
Mechanic. 
(McGraw. 
Hill. 
Ne. 
York). 


Som. 
`classic. 
quantu. 
mechanic. 
text. 


Emphasi. 
o. 
application. 
t. 
chemistry. 


H. 
Eyring. 
J. 
Walter. 
an. 
G. 
E. 
Kimbal. 
(1944. 
Quantu. 
Chemistr. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 



Selecte. 
bibliograph. 
34. 


L. 
Paulin. 
an. 
E. 
B. 
Wilso. 
(1935. 
Introductio. 
t. 
Quantu. 
Mechanics. 
Wit. 
Application. 
t. 
Chemistr. 
(McGraw-Hill. 
Ne. 
York. 
reprinte. 
b. 
Dover. 
Ne. 
York. 
1985). 


Emphasi. 
o. 
application. 
t. 
physics. 


D. 
Boh. 
(1951. 
Quantu. 
Theor. 
(Prentice-Hall. 
Ne. 
York). 


P. 
A. 
M. 
Dira. 
(1947. 
Th. 
Principle. 
o. 
Quantu. 
Mechanics. 
3r. 
editio. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford. 
an. 
4t. 
editio. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford. 
1958). 
Excep. 
fo. 
th. 
las. 
chapter. 
thes. 
tw. 
edition. 
ar. 
virtuall. 
identical. 


H. 
A. 
Kramer. 
(1957. 
Quantu. 
Mechanic. 
(North-Holland. 
Amsterdam). 


L. 
D. 
Landa. 
an. 
E. 
M. 
Lifshit. 
(1958. 
Quantu. 
Mechanics. 
Non-Relativisti. 
Theor. 
(Pergamon. 
London. 
Addison-Wesley. 
Reading. 
MA). 


Som. 
recen. 
quantu. 
mechanic. 
text. 


Emphasi. 
o. 
application. 
t. 
chemistry. 


P. 
W. 
Atkin. 
an. 
R. 
S. 
Friedma. 
(1997. 
Molecula. 
Quantu. 
Mechanics. 
3r. 
editio. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 


I. 
N. 
Levin. 
(1991. 
Quantu. 
Chemistry. 
4t. 
editio. 
(Prentice-Hall. 
Englewoo. 
Cliffs. 


F. 
L. 
Pila. 
(1990. 
Elementar. 
Quantu. 
Chemistry. 
2n. 
editio. 
(McGraw-Hill. 
Ne. 
York). 


J. 
Simon. 
an. 
J. 
Nichol. 
(1997. 
Quantu. 
Mechanic. 
i. 
Chemistr. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Ne. 
York). 


Emphasi. 
o. 
application. 
t. 
physics. 


B. 
H. 
Bransde. 
an. 
C. 
J. 
Joachai. 
(1989. 
Introductio. 
t. 
Quantu. 
Mechanic. 
(Addiso. 
Wesle. 
Longman. 
Harlow. 
Essex). 


C. 
Cohen-Tannoudji. 
B. 
Diu. 
an. 
F. 
Lalo. 
e�(1977. 
Quantu. 
Mechanics. 
volume. 
. 
an. 
I. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York. 
Hermann. 
Paris). 


D. 
Par. 
(1992. 
Introductio. 
t. 
th. 
Quantu. 
Theory. 
3r. 
editio. 
(McGraw-Hill. 
Ne. 
York). 


J. 
J. 
Sakura. 
(1994. 
Moder. 
Quantu. 
Mechanics. 
revise. 
editio. 
(Addison-Wesley. 
Reading. 
MA). 


Angula. 
momentu. 


Th. 
followin. 
book. 
develo. 
th. 
quantu. 
theor. 
o. 
angula. 
momentu. 
i. 


mor. 
detai. 
tha. 
thi. 
text. 


A. 
R. 
Edmond. 
(1960. 
Angula. 
Momentu. 
i. 
Quantu. 
Mechanics. 
2n. 
editio. 
(Princeto. 
Universit. 
Press. 
Princeton). 


M. 
E. 
Ros. 
(1957. 
Elementar. 
Theor. 
o. 
Angula. 
Momentu. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York. 
reprinte. 
b. 
Dover. 
Ne. 
York. 
1995). 


R. 
N. 
Zar. 
(1988. 
Angula. 
Momentum. 
Understandin. 
Spatia. 
Aspect. 
i. 
Chemistr. 
an. 
Physic. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 



34. 
Selecte. 
bibliograph. 


Atom. 
an. 
atomi. 
spectr. 


H. 
A. 
Beth. 
an. 
E. 
E. 
Salpete. 
(1957. 
Quantu. 
Mechanic. 
o. 
One. 
an. 
Two-Electro. 
Atom. 
(Springer. 
Berlin. 
Academi. 
Press. 
Ne. 
York. 
reprinte. 
b. 
Plenum. 
Ne. 
York. 
1977). 
. 
comprehensiv. 
non-relativisti. 
an. 
relativisti. 
treatmen. 
o. 
th. 
hydroge. 
an. 
heliu. 
atom. 
wit. 
an. 
withou. 
externa. 
�elds. 


E. 
U. 
Condo. 
an. 
G. 
H. 
Shortle. 
(1935. 
Th. 
Theor. 
o. 
Atomi. 
Spectr. 
(Cambridg. 
Universit. 
Press. 
Cambridge). 
. 
`classic. 
tex. 
o. 
th. 
applicatio. 
o. 
quantu. 
theor. 
t. 
atomi. 
spectra. 


Mor. 
advance. 
application. 
o. 
quantu. 
mechanic. 


D. 
R. 
Bate. 
(ed. 
(1961. 
1962. 
Quantu. 
Theory. 
volume. 
I. 
II. 
an. 
II. 
(Academi. 
Press. 
Ne. 
Yor. 
an. 
London). 
. 
compendiu. 
o. 
article. 
coverin. 
th. 
principle. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
an. 
. 
wid. 
variet. 
o. 
applications. 


S. 
Ki. 
(1998. 
Grou. 
Theoretica. 
Method. 
an. 
Application. 
t. 
Molecule. 
an. 
Crystal. 
(Cambridg. 
Universit. 
Press. 
Cambridge). 


I. 
N. 
Levin. 
(1975. 
Molecula. 
Spectroscop. 
(Joh. 
Wile. 
. 
Sons. 
Ne. 
York). 
. 
surve. 
o. 
th. 
theor. 
o. 
rotational. 
vibrational. 
an. 
electroni. 
spectroscop. 
o. 
diatomi. 
an. 
polyatomi. 
molecule. 
an. 
o. 
nuclea. 
magneti. 
resonanc. 
spectro. 
scopy. 


N. 
F. 
Mot. 
an. 
H. 
S. 
W. 
Masse. 
(1965. 
Th. 
Theor. 
o. 
Atomi. 
Collisions. 
3r. 
editio. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 
Th. 
standar. 
referenc. 
fo. 
th. 
quantum. 
mechanica. 
treatmen. 
o. 
collision. 
betwee. 
atoms. 


G. 
C. 
Schat. 
an. 
M. 
A. 
Ratne. 
(1993. 
Quantu. 
Mechanic. 
i. 
Chemistr. 
(Prentice. 
Hall. 
Englewoo. 
Cliffs. 
NJ). 
A. 
advance. 
tex. 
emphasizin. 
molecula. 
symmetr. 
an. 
rotations. 
time-dependen. 
quantu. 
mechanics. 
collision. 
an. 
rat. 
processes. 
correlatio. 
functions. 
an. 
densit. 
matrices. 


A. 
J. 
Ston. 
(1991. 
Th. 
Theor. 
o. 
Intermolecula. 
Force. 
(Oxfor. 
Universit. 
Press. 
Oxford). 
A. 
extensiv. 
surve. 
o. 
th. 
application. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
t. 
determin. 
th. 
force. 
betwee. 
molecules. 


Compilation. 
o. 
problem. 
i. 
quantu. 
mechanic. 


I. 
I. 
Gol'dma. 
an. 
V. 
D. 
Krivchenko. 
(1961. 
Problem. 
i. 
Quantu. 
Mechanic. 
(Pergamon. 
London. 
Addison-Wesley. 
Reading. 
MA. 
reprinte. 
b. 
Dover. 
Ne. 
York. 
1993). 


C. 
S. 
Johnson. 
Jr. 
an. 
L. 
G. 
Pederse. 
(1974. 
Problem. 
an. 
Solution. 
i. 
Quantu. 
Chemistr. 
an. 
Physic. 
(Addison-Wesley. 
Reading. 
MA. 
reprinte. 
b. 
Dover. 
Ne. 
York. 
1987). 


G. 
L. 
Squire. 
(1995. 
Problem. 
i. 
Quantu. 
Mechanics. 
wit. 
Solution. 
(Cambridg. 
Universit. 
Press. 
Cambridge). 



Inde. 


absorptio. 
o. 
radiatio. 
18. 
adiabati. 
approximatio. 
268�9. 
272�. 
allowe. 
transition. 
19. 
amplitud. 


o. 
vibration. 
de�ne. 
10. 
o. 
. 
wave. 
de�ne. 
. 
se. 
als. 
harmoni. 
oscillator. 
wav. 
motio. 


angula. 
frequenc. 
o. 
vibration. 
de�ne. 
10. 
o. 
. 
wave. 
de�ne. 
. 
se. 
als. 
harmoni. 
oscillator. 
wav. 
motio. 


angula. 
momentu. 
additio. 
o. 
204�. 
conservatio. 
o. 
131. 
192. 
204�. 
genera. 
theor. 
o. 
132�7. 
15. 
se. 
als. 
orbita. 
angula. 
momentum. 
spi. 
angula. 


momentu. 
anharmoni. 
oscillato. 
246�8. 
278�8. 
antisymmetri. 
wav. 
function. 
se. 
wav. 
functio. 
atomi. 
orbital. 
175�82. 
254�. 
averag. 
values. 
se. 
expectatio. 
value. 
azimutha. 
quantu. 
number. 
de�ne. 
17. 


Balme. 
serie. 
156. 
188�9. 
19. 
Bio. 
an. 
Savar. 
la. 
20. 
Bohr. 
N. 
43. 
151. 
156�. 
Boh. 
correspondenc. 
principl. 
43�5. 
12. 
Boh. 
magneton. 
de�ne. 
15. 
Boh. 
radiu. 
175. 
18. 
Boltzman. 
constan. 
228�. 
Born. 
M. 
34. 
38. 
41. 
26. 
Born�Huan. 
treatmen. 
266�. 
Born�Oppenheime. 
approximatio. 
264�6. 
268�9. 


Bose�Einstei. 
condensatio. 
229�3. 
boso. 
197�8. 
217�18. 
221�3. 
229�3. 
br. 
vector. 
de�ne. 
8. 


se. 
als. 
eigenfunction. 
Bracket. 
serie. 
188�. 


center-of-mas. 
coordinate. 
149. 
157�8. 
269�7. 
classica. 
mechanic. 
o. 
harmoni. 
oscillato. 
106�9. 
12. 


o. 
magneti. 
momen. 
151�. 
o. 
orbita. 
motio. 
130�. 
o. 
rigi. 
roto. 
148�. 


closur. 
property. 
se. 
completenes. 
relatio. 


commutator. 
de�ne. 
6. 
fo. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
133. 
15. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
132. 
155. 
161. 


203�. 
fo. 
positio. 
an. 
momentu. 
10. 
propertie. 
66. 
70. 
77. 
100�1. 
104�. 
fo. 
spi. 
angula. 
momentu. 
197. 
199. 
203�. 


complet. 
se. 
o. 
functions. 
de�ne. 
75�. 
completenes. 
relatio. 
76�7. 
84. 
118. 
218�20. 
300. 


309. 
31. 
Compton. 
A. 
1. 
Copenhage. 
interpretatio. 
3. 
correspondenc. 
principle. 
se. 
Boh. 
correspondenc. 


principl. 
Coulomb'. 
la. 
151. 
160. 
22. 
creatio. 
operator. 
se. 
ladde. 
operator. 


Davison�Germe. 
experimen. 
1. 
d. 
Broglie. 
L. 
1. 
d. 
Brogli. 
wavelengt. 
19. 
49�50. 
5. 
degenerac. 
72�4. 
78�9. 
85. 
92. 
9. 


de�ne. 
62�3. 
6. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
113�14. 
12. 
fo. 
hydrogen-lik. 
ato. 
176. 
191�. 
fo. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
6. 
an. 
perturbatio. 
theor. 
248�5. 
fo. 
rigi. 
roto. 
15. 


delt. 
function. 
se. 
Dira. 
delt. 
functio. 
destructio. 
operator. 
se. 
ladde. 
operator. 
determinants. 
propertie. 
o. 
334�. 
deuteriu. 
190. 
19. 
diatomi. 
molecul. 
269�8. 
Dirac. 
P. 
A. 
M. 
19. 
Dira. 
delt. 
functio. 
15�16. 
22. 
76�7. 
291�. 
Dira. 
equatio. 
an. 
electro. 
spi. 
195�. 
Dira. 
notatio. 
69. 
71. 
80�3. 
8. 
dispersio. 
law. 
de�ne. 
. 


se. 
als. 
wav. 
motio. 



Ehrenfes. 
theorem. 
43�5. 
59�60. 
99. 
10. 


eigenfunction. 
67�75. 
80�3. 
85. 
87. 
96. 
10. 
completenes. 
o. 
75�. 
expansion. 
i. 
75�7. 
84. 
88�91. 
94. 
19. 
fo. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
133�. 
normalizatio. 
38�41. 
47. 
51. 
58. 
69. 
86. 
9. 
orthogonalit. 
51. 
69. 
71�4. 
80. 
211. 
215. 
21. 
scala. 
produc. 
o. 
68�. 
simultaneou. 
77�. 
fo. 
spi. 
angula. 
momentu. 
197�. 
well-behaved. 
de�ne. 
68. 
16. 
se. 
als. 
wav. 
functio. 


eigenket. 
se. 
eigenfunctions. 
wav. 
functio. 


eigenvalue. 
67�8. 
71. 
85. 
87�90. 
10. 
fo. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
133�4. 
13. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
138. 
14. 
fo. 
spi. 
angula. 
momentu. 
197. 
19. 
se. 
als. 
degeneracy. 
energ. 
level. 


eigenvector. 
se. 
eigenfunctions. 
wav. 
functio. 
Einstein. 
A. 
18�19. 
22. 
electro. 
spi. 
29. 
32�4. 
85. 
190. 
194�6. 
201�6. 


223�. 
electro. 
volt. 
de�ne. 
16. 
emissio. 
o. 
radiatio. 
18. 
energ. 
level. 


fo. 
diatomi. 
molecul. 
276�. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
113�14. 
127�9. 
32. 
fo. 
hydrogen-lik. 
ato. 
168. 
175�6. 
191�2. 


254�6. 
261�2. 
32. 
fo. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
50. 
62�. 
fo. 
rigi. 
roto. 
15. 
se. 
als. 
perturbatio. 
theory. 
variatio. 
metho. 


Estermann. 
I. 
1. 
exchang. 
force. 
22. 
exchang. 
operator. 
210�11. 
213�16. 
23. 
exclusio. 
principle. 
se. 
Paul. 
exclusio. 
principl. 
expectatio. 
value. 
41�5. 
47�8. 
59. 
85. 
87�91. 


104�. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
12. 
fo. 
hydrogen-lik. 
ato. 
181. 
184. 
186�7. 
192�3. 


329�3. 
fo. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
10. 
tim. 
dependenc. 
97�. 


Fermi. 
E. 
1. 
Ferm. 
energ. 
i. 
free-electro. 
mode. 
227�. 
fermio. 
197�8. 
217�18. 
221�9. 
23. 
�n. 
structur. 
constan. 
20. 
forc. 
constan. 
fo. 
vibratio. 
106. 
27. 
Fourie. 
serie. 
4. 
285�. 
Fourie. 
transfor. 
8. 
10. 
14�15. 
22. 
37. 
40. 
42. 
58. 


102. 
289�91. 
29. 
free-electro. 
ga. 
226�9. 
23. 
frequenc. 


angular. 
de�ne. 
. 
o. 
vibration. 
de�ne. 
10. 
o. 
. 
wave. 
de�ne. 
. 
se. 
als. 
harmoni. 
oscillator. 
wav. 
motio. 


Frisch. 
R. 
1. 
Frobeniu. 
method. 
se. 
serie. 
solutio. 
metho. 


Inde. 


gaussia. 
distributio. 
10�11. 
15. 
17�18. 
21. 
34�5. 
Gerlach. 
W. 
2. 


se. 
als. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
Goudsmit. 
S. 
194�. 
grou. 
velocity. 
se. 
wav. 
packe. 
gyromagneti. 
rati. 
19. 


Hamiltonia. 
operato. 
85. 
87. 
93. 
95�. 
de�ne. 
4. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
10. 
fo. 
heliu. 
ato. 
224. 
25. 
fo. 
hydrogen-lik. 
ato. 
159. 
161. 
191. 
26. 
fo. 
. 
molecul. 
263�. 
fo. 
multi-particl. 
syste. 
6. 
fo. 
non-interactin. 
particle. 
22. 
perturbe. 
240. 
246. 
24. 
fo. 
rigi. 
roto. 
15. 
fo. 
spin�orbi. 
couplin. 
202�3. 
20. 
symmetr. 
o. 
209. 
212. 
21. 
three-dimensiona. 
5. 


harmoni. 
oscillato. 
106�2. 
classica. 
106�9. 
12. 
energ. 
level. 
113�14. 
127�9. 
32. 
Hamiltonia. 
operato. 
10. 
isotropi. 
127�. 
ladde. 
operator. 
110. 
12. 
linea. 
109�2. 
matri. 
element. 
121�5. 
12. 
applie. 
t. 
nuclea. 
motio. 
275�. 
perturbe. 
246�. 
Schro�dinge. 
equatio. 
109. 
12. 
three-dimensiona. 
125�. 
an. 
variatio. 
metho. 
235�. 
wav. 
function. 
114�21. 
127. 
320�. 
zero-poin. 
energ. 
11. 
se. 
als. 
anharmoni. 
oscillato. 


Heisenberg. 
W. 
3. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
21�3. 
29. 
45�6. 


99�105. 
15. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
12. 
fo. 
tim. 
an. 
energ. 
22. 
31. 
103�. 
an. 
zero-poin. 
energ. 
5. 
se. 
als. 
wav. 
packe. 
. 
uncertaint. 
relatio. 


heliu. 
ato. 
217�18. 
223�5. 
256�6. 
io. 
19. 
liqui. 
218. 
23. 


Hellmann�Feynma. 
theore. 
96�7. 
186. 
19. 
Hermit. 
polynomial. 
117�18. 
296�300. 
32. 
hermitia. 
operator. 
se. 
operato. 
Hilber. 
spac. 
8. 
Hooke'. 
la. 
10. 
Humphrey. 
serie. 
188�. 
hydrogen-lik. 
ato. 
156�7. 
160�9. 


atomi. 
orbital. 
175�82. 
254�. 
Boh. 
mode. 
156�7. 
168. 
17. 
Boh. 
radiu. 
175. 
18. 
i. 
electri. 
�el. 
254�6. 
260�. 
energ. 
continuu. 
174�. 



Inde. 
34. 


energ. 
level. 
168. 
175�6. 
191�2. 
254�6. 
261�2. 
expectatio. 
value. 
181. 
184. 
186�7. 
192�3. 


329�3. 
Hamiltonia. 
operato. 
159. 
161. 
191. 
26. 
ionizatio. 
potentia. 
16. 
ladde. 
operator. 
16. 
i. 
. 
magneti. 
�el. 
190�. 
perturbe. 
206. 
254�6. 
26. 
quantu. 
number. 
175�. 
radia. 
distributio. 
functio. 
181. 
184�6. 
19. 
radia. 
function. 
161�75. 
181. 
183. 
185. 
326�. 
Rydber. 
constan. 
156�7. 
188. 
190. 
19. 
Schro�dinge. 
equatio. 
159�6. 
spectr. 
156�7. 
187�90. 
192�. 
spin�orbi. 
couplin. 
201�6. 
26. 
wav. 
function. 
161. 
17. 


identica. 
particle. 
85. 
208�17. 
22. 
de�nitio. 
20. 
non-interactin. 
220�3. 
226�3. 
an. 
symmetr. 
o. 
wav. 
function. 
209�11. 
23. 
se. 
als. 
boson. 
exchang. 
operators. 
fermion. 


permutatio. 
operator. 


ionizatio. 
potentia. 
fo. 
hydroge. 
16. 
fo. 
lithiu. 
io. 
19. 


ke. 
vector. 
de�ne. 
8. 
se. 
als. 
eigenfunction. 


ladde. 
operator. 
10. 
fo. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
134�7. 
15. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
110. 
12. 
fo. 
hydrogen-lik. 
ato. 
16. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
140�. 
fo. 
spi. 
angula. 
momentu. 
197. 
19. 


Laguerr. 
polynomial. 
310�1. 


associate. 
171�4. 
192. 
312�17. 
32. 
Larmo. 
frequenc. 
153�. 
Legendr. 
polynomial. 
301�. 


associate. 
147. 
304�9. 
325�. 
linea. 
variatio. 
functio. 
237�9. 
26. 
linea. 
vecto. 
spac. 
337�. 
lithiu. 


ato. 
23. 


io. 
19. 
lowerin. 
operators. 
se. 
ladde. 
operator. 
Lyma. 
serie. 
156. 
188�. 


magneti. 
momen. 
o. 
electro. 
spi. 
26�9. 
32�3. 
190. 
196. 
201�2. 


o. 
hydroge. 
ato. 
190�. 
orbita. 
151�5. 
190. 
20. 
o. 
particle. 
wit. 
spi. 
19. 


magneti. 
interaction. 
wit. 
atom. 
153�5. 
190�. 
withi. 
a. 
ato. 
201�. 
se. 
als. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 


magneti. 
quantu. 
number. 
de�ne. 
176. 
19. 


magneton. 
Bohr. 
de�ne. 
15. 
Marshall. 
L. 
1. 
matrice. 


propertie. 
o. 
331�4. 
spi. 
200�1. 
20. 
matri. 
element. 
8. 


o. 
harmoni. 
oscillato. 
121�5. 
12. 
metalli. 
crysta. 
226. 
228�9. 
23. 
molecula. 
spectr. 
27. 
molecula. 
structur. 
263�8. 


adiabati. 
approximatio. 
268�9. 
272�. 
Born�Huan. 
treatmen. 
266�. 
Born�Oppenheime. 
approximatio. 
264�6. 


268�9. 
27. 
diatomi. 
molecul. 
269�8. 
nuclea. 
wav. 
functio. 
265�8. 
273�4. 
27. 


momen. 
o. 
inerti. 
149. 
27. 
momentu. 
operato. 
43�4. 
58. 
70. 
8. 
momentu. 
spac. 
wav. 
function. 
se. 
wav. 
functio. 


. 
i. 
momentu. 
spac. 
Mors. 
potentia. 
279�8. 


normalize. 
function. 
38�41. 
47. 
51. 
58. 
69. 
86. 
9. 
nuclea. 
motion. 
se. 
molecula. 
structur. 


operato. 
adjoin. 
82�3. 
16. 
exchang. 
210�11. 
213�16. 
23. 
fo. 
generalize. 
angula. 
momentu. 
132�4. 
15. 
hermitia. 
69�75. 
77�87. 
10. 
linea. 
65�8. 
85. 
10. 
fo. 
momentu. 
43�4. 
58. 
70. 
8. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
131�2. 
139. 


149�50. 
155. 
160�1. 
202�. 
parit. 
94�6. 
25. 
permutatio. 
212�16. 
219�2. 
projectio. 
83�. 
self-adjoint. 
se. 
operato. 
. 
hermitia. 
fo. 
spi. 
angula. 
momentu. 
196�7. 
199. 
202�. 
se. 
als. 
Hamiltonia. 
operator. 
ladde. 
operator. 


Oppenheimer. 
J. 
R. 
26. 


orbita. 
angula. 
momentu. 
130�2. 
138�46. 
15. 
classica. 
130�. 
eigenvalue. 
138. 
14. 
ladde. 
operator. 
140�. 
an. 
magneti. 
momen. 
151�5. 
190. 
20. 
operator. 
131�2. 
139. 
149�50. 
155. 
160�1. 


202�. 
operator. 
i. 
spherica. 
pola. 
coordinate. 
138�4. 
spin�orbi. 
couplin. 
201�6. 
26. 
wav. 
function. 
138�47. 
323�. 


orbitals. 
atomic. 
se. 
atomi. 
orbital. 
orthogona. 
function. 
51. 
69. 
71�4. 
80. 
211. 
215. 


expansion. 
i. 
term. 
o. 
75�7. 
84. 
88�91. 
94. 
19. 
orthonorma. 
functions. 
de�ne. 
51�2. 
6. 
oscillator. 
se. 
harmoni. 
oscillato. 
overla. 
integra. 
23. 


parit. 
95. 
19. 
operato. 
94�6. 
25. 



Parseval'. 
theore. 
10. 
18. 
35. 
41. 
288�9. 
29. 


particl. 
i. 
. 
bo. 
48�52. 
64. 
91. 
104�5. 
23. 
energ. 
level. 
50. 
62�. 
perturbe. 
261�. 
three-dimensiona. 
61�3. 
22. 
an. 
variatio. 
metho. 
234�. 
wav. 
function. 
50�2. 
6. 


Pasche. 
serie. 
156. 
188�. 
Pauli. 
W. 
195�6. 
22. 
Paul. 
exclusio. 
principl. 
221�2. 
225. 
22. 
Paul. 
spi. 
matrice. 
200�1. 
20. 
permutatio. 
operator. 
212�16. 
219�2. 
perturbatio. 
theor. 
239�58. 
261�. 


degenerat. 
248�5. 
�rst-orde. 
240�3. 
245. 
250�4. 
257�8. 
26. 
applie. 
t. 
harmoni. 
oscillato. 
246�. 
applie. 
t. 
heliu. 
ato. 
257�. 
applie. 
t. 
hydroge. 
ato. 
26. 
applie. 
t. 
hydroge. 
ato. 
i. 
electri. 
�el. 
254�. 
applie. 
t. 
. 
molecul. 
265�6. 
276�. 
non-degenerat. 
239�4. 
relate. 
t. 
variatio. 
metho. 
24. 
second-orde. 
240. 
243�5. 
26. 
applie. 
t. 
spin�orbi. 
couplin. 
26. 


Pfun. 
serie. 
188�. 
phas. 
velocity. 
se. 
wav. 
packe. 
photo. 
1. 
18�19. 
24�6. 
30�2. 
18. 


spi. 
o. 
21. 
Planck. 
M. 
1. 
Planc. 
relatio. 
18. 
157. 
18. 
plan. 
wav. 
2�9. 
11. 
22. 
4. 
postulate. 
o. 
quantu. 
mechanic. 
85�94. 
196. 
21. 
principl. 
quantu. 
number. 
de�ne. 
17. 
probabilit. 
density. 
se. 
wav. 
functio. 
. 
an. 


probabilitie. 


radia. 
distributio. 
functio. 
181. 
184�6. 
19. 
radiation. 
absorptio. 
an. 
emissio. 
o. 
18. 
raisin. 
operators. 
se. 
ladde. 
operator. 
Rayleigh�Schro�dinge. 
perturbatio. 
theory. 
se. 


perturbatio. 
theor. 
reduce. 
mas. 
149. 
158. 
175. 
188. 
270�. 
re�ectio. 
coef�cient. 
se. 
tunnelin. 
rigi. 
roto. 
148�51. 
274�6. 
27. 
rotationa. 
constan. 
150. 
27. 
Rydber. 
constan. 
156�7. 
188. 
190. 
19. 
Rydber. 
potentia. 
279�8. 


Schmid. 
orthogonalizatio. 
72�3. 
10. 
Schro�dinger. 
E. 
1. 
20. 
3. 
Schro�dinge. 
equatio. 


fo. 
harmoni. 
oscillato. 
109. 
12. 
fo. 
hydrogen-lik. 
ato. 
159�6. 
fo. 
. 
molecul. 
264�. 
fo. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
48. 
6. 
time-dependen. 
37. 
59. 
85. 
92�. 
time-independen. 
47. 
59. 
93. 
96�. 


Schwarz'. 
inequalit. 
46. 
28. 
secula. 
determinan. 
78. 
239. 
251�2. 
25. 
selectio. 
rule. 
19. 
serie. 
solutio. 
metho. 
318�2. 


Inde. 


fo. 
harmoni. 
oscillato. 
110. 
147�8. 
162. 
320�. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
323�. 
fo. 
radia. 
equatio. 
326�. 


Slate. 
determinan. 
221�. 
Sommerfeld. 
A. 
22. 
spherica. 
harmonic. 
139�47. 
161. 
175. 
177. 
192. 


spi. 
angula. 
momentu. 
85. 
194�20. 
o. 
boson. 
197�8. 
217�18. 
221�3. 
229�3. 
discover. 
o. 
194�. 
eigenfunction. 
197�. 
eigenvalue. 
197. 
19. 
o. 
electro. 
29. 
32�4. 
85. 
190. 
194�6. 
201�6. 


223�. 
o. 
fermion. 
197�8. 
217�18. 
221�9. 
23. 
gyromagneti. 
rati. 
19. 
ladde. 
operator. 
197. 
19. 
operator. 
196�7. 
199. 
202�. 
single. 
an. 
triple. 
state. 
22. 
spi. 
one-hal. 
198�20. 
se. 
als. 
Paul. 
spi. 
matrice. 


spino. 
19. 
spin�orbi. 
couplin. 
201�6. 
26. 
sprin. 
constan. 
10. 
squar. 
puls. 
distributio. 
12�13. 
15. 
3. 
Star. 
effec. 
i. 
atomi. 
hydroge. 
254�6. 
260�. 
stat. 
functio. 
30. 
38. 
40. 
85�. 


se. 
als. 
wav. 
functio. 
stationar. 
stat. 
47�8. 
52. 
59. 
93�. 
Stern. 
O. 
19. 
2. 
Stern�Gerlac. 
experimen. 
26�9. 
32�4. 
19. 
symmetri. 
wav. 
function. 
se. 
wav. 
functio. 


Thoma. 
precessio. 
20. 
Thomson. 
G. 
P. 
1. 
transmissio. 
coef�cient. 
se. 
tunnelin. 
tunnelin. 
53�7. 
6. 


Uhlenbeck. 
G. 
E. 
194�. 
uncertaint. 
principle. 
se. 
Heisenber. 
uncertaint. 
principl. 
uncertaint. 
relation. 
se. 
wav. 
packe. 
. 
uncertaint. 
relatio. 
Urey. 
H. 
19. 


variatio. 
metho. 
232�9. 
260�. 
excite. 
stat. 
energie. 
236�. 
groun. 
stat. 
eigenfunction. 
23. 
groun. 
stat. 
energ. 
232�. 
applie. 
t. 
harmoni. 
oscillato. 
235�. 
applie. 
t. 
heliu. 
ato. 
259�6. 
applie. 
t. 
hydroge. 
ato. 
i. 
electri. 
�el. 
260�. 
linea. 
variatio. 
functio. 
237�9. 
26. 
applie. 
t. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
234�. 
relate. 
t. 
perturbatio. 
theor. 
24. 


variatio. 
theore. 
232�3. 
23. 


vibratio. 
o. 
molecula. 
bond. 
10. 
se. 
als. 
harmoni. 
oscillato. 


viria. 
theore. 
187. 
19. 



Inde. 
35. 


frequenc. 
of. 
de�ne. 
2�. 
node. 
o. 
. 
se. 
als. 
plan. 
wave. 
wav. 
motion. 
wav. 
packe. 


wav. 
equation. 
se. 
Schro�dinge. 
equatio. 


wav. 
functio. 
collaps. 
o. 
30�4. 
85. 
9. 
fo. 
fre. 
particl. 
20�3. 
29�3. 
fo. 
harmoni. 
oscillato. 
114�21. 
127. 
320�. 
fo. 
hydrogen-lik. 
atom. 
161. 
17. 
interpretatio. 
o. 
29�34. 
8. 
many-particl. 
60�1. 
209�2. 
i. 
momentu. 
spac. 
40�1. 
58. 
128�. 
normalizatio. 
38�41. 
47. 
51. 
58. 
69. 
86. 
9. 
nuclea. 
265�8. 
273�4. 
27. 
fo. 
orbita. 
angula. 
momentu. 
138�47. 
323�. 
fo. 
particl. 
i. 
. 
bo. 
50�2. 
6. 
an. 
probabilitie. 
30. 
38�41. 
47. 
58. 
60. 
86. 
91. 


2. 
118�21. 
198. 
209. 
222�. 
propertie. 
o. 
29�34. 
48�. 
fo. 
rigi. 
roto. 
15. 
symmetr. 
o. 
209�11. 
214�21. 
223�4. 
23. 
time-dependen. 
3. 
time-independen. 
4. 
well-behaved. 
de�ne. 
68. 
16. 
se. 
als. 
eigenfunctions. 
stat. 
function. 
stationar. 


stat. 


wav. 
motio. 
2�1. 
composit. 
wav. 
4�. 
standin. 
wav. 
. 
se. 
als. 
plan. 
wave. 
wav. 
packe. 


wav. 
numbe. 
o. 
plan. 
wave. 
de�ne. 
. 
o. 
spectra. 
lin. 
187�8. 
19. 


wav. 
packe. 
8�18. 
20�2. 
29. 
34. 
36�7. 
8. 
dispersio. 
o. 
4�5. 
15�18. 
20�1. 
29. 
3. 
grou. 
velocit. 
o. 
7. 
20�1. 
23. 
3. 
o. 
minimu. 
uncertaint. 
102�. 
phas. 
velocit. 
o. 
4�5. 
20�1. 
3. 
uncertaint. 
relatio. 
12. 
14�15. 
1. 
se. 
als. 
gaussia. 
distribution. 
squar. 
puls. 


distributio. 


wavelengt. 
d. 
Brogli. 
19. 
49�50. 
5. 
o. 
. 
wave. 
de�ne. 
. 
se. 
als. 
wav. 
motio. 


weightin. 
functio. 
69. 
72. 
74. 
77. 
162. 
164�. 


Young. 
T. 
2. 
Young'. 
double-sli. 
experimen. 
23�6. 
29�3. 


Zeema. 
effec. 
190�. 
Zinn. 
W. 
H. 
1. 



Physica. 
constant. 


Spee. 
o. 
ligh. 
. 
2:99. 
92. 
5. 
. 
10. 
ms�. 
(exac. 
valu. 
b. 
de�nition. 
Elementar. 
charg. 
. 
1:60. 
17. 
. 
10�19. 
Planck'. 
constan. 
. 
6:62. 
0. 
. 
10�3. 
J. 
. 
1:05. 
5. 
. 
10�3. 
J. 
Boltzmann'. 
constan. 
kB1:38. 
6. 
. 
10�2. 
JK�. 
Avogadro'. 
numbe. 
NA6:02. 
1. 
. 
102. 
mol�. 
Mas. 
o. 
electro. 
me9:10. 
3. 
. 
10�3. 
k. 
Mas. 
o. 
proto. 
mp1:67. 
6. 
. 
10�2. 
k. 
Mas. 
o. 
neutro. 
mn1:67. 
9. 
. 
10�2. 
k. 
Permittivit. 
o. 
vacuu. 
�08:85. 
1. 
. 
10�1. 
J�1C2m�. 
4��01:11. 
6. 
. 
10�1. 
J�1C2m�. 
Electro. 
spi. 
gyromagneti. 
rati. 
g. 
2.00. 
31. 
30. 
Boh. 
magneto. 
�. 
. 
e"=2m. 
9:27. 
0. 
. 
10�2. 
JT�. 


Fin. 
structur. 
constan. 
. 
. 
e2=4��0". 
. 
. 
7:29. 
3. 
. 
10�. 


137:03. 
9. 


Hydroge. 
ato. 
Boh. 
radiu. 
�. 
. 
4��0"2=m. 
e25:29. 
7. 
. 
10�1. 
. 


Rydber. 
constan. 
R. 
10. 
677:3. 
cm�. 
R1. 
m. 
e4=8�0
. 
h. 
. 
10. 
737:3. 
cm�. 


Groun. 
stat. 
energ. 
�13.59. 
e. 
�2:17. 
6. 
. 
10�1. 
. 


Energ. 
conversio. 


1e. 
. 
1:60. 
17. 
. 
10�1. 
. 
. 
8065:5. 
cm�. 
1. 
. 
6:24. 
50. 
. 
101. 
e. 
. 
5:03. 
1. 
. 
102. 
cm�. 
1cm�. 
. 
1:23. 
84. 
. 
10�. 
e. 
. 
1:98. 
44. 
. 
10�2. 
.